Exercícios de Fundamentos de Álgebra

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Fund. de Álgebra: Exerćıcios 2, umas soluções
1. Omitida.
2. Mostre que se o triplo de um numero primo p é igual ao quadrado de um
numero natural n menos 4 então p só pode ser o primo 7.
R: Temos 3p = n2 − 4 = (n − 2)(n + 2), logo (já que p é primo) temos
quatro casos:
(a) n− 2 = 1 =⇒ n + 2 = 5. Mas 3 6 |5, então este caso é imposśıvel.
(b) n + 2 = 1 =⇒ n− 2 = −3, mas p > 0 logo 3p > 0. Imposśıvel.
(c) n + 2 = 3 =⇒ p = n− 2 = −1. Imposśıvel.
(d) n− 2 = 3 =⇒ p = n + 2 = 7.
Logo, a única possibilidade é que p = 7.
3. Suponha que p e q sejam dois numeros primos tais que p < q e q|(p2 − 1).
Mostre que p = 2 e q = 3.
R: q|(p2 − 1) = (p − 1)(p + 1). Já que q é primo, q|(p − 1) ou q|(p + 1),
logo temos dois casos:
(a) q|(p− 1). Mas q > p e p− 1 6= 0 já que p é primo. Então, este caso
não pode acontecer.
(b) q|(p + 1). Temos que q > p mas q|(p + 1), logo q = p + 1. Mas
então, p e p+ 1 são primos consecutivos. A única possibilidade é que
p = 2, q = p + 1 = 2 + 1 = 3 (já que o único primo par é 2).
4. Ordenando o conjunto dos numeros primos, pn denota o n-esimo primo.
Prove que não existe a ∈ N tal que p1p2 . . . pn + 1 = a2.
R: Observações: O menor primo é p1 = 2. Todos os outros primos p2, . . . pn
são ı́mpares. Logo 2|p1 . . . pn mas 4 6 |p1 . . . pn.
Vamos supor (procurando contradição) que existe a tal que p1p2 . . . pn +
1 = a2, ou seja
p1 . . . pn = a
2 − 1 = (a− 1)(a + 1).
Dois casos:
(a) a = 2k é par. Logo a− 1, a + 1 são ı́mpares. Mas
2|p1 . . . pn
2 6 |(a− 1)(a + 1)
e eles não podem ser iguais.
1
(b) a = 2k + 1 é ı́mpar. Logo a− 1, a + 1 são pares. Mas segue que
4|(a− 1)(a + 1)
4 6 |p1 . . . pn
e de novo eles não podem ser iguais.
Em todo caso, ganhamos uma contradição. Logo, não existe nenhum a da
forma requerida.
5. Considere n > 2 um natural. Mostre que não existe um número natural
a tal que 2n + 1 = a3.
R: Observe que 2n+1 é ı́mpar, e a par implica que a3 também é par. Segue
que caso a existesse, ele seria ı́mpar, então escreve a = 2k + 1. Vamos
mostrar que a3 − 1 = (2k + 1)3 − 1 sempre possui um fator ı́mpar, logo
não pode ser igual a 2n.
a3 − 1 = (2k + 1)3 − 1 = 8k3 + 12k2 + 6k + 1− 1 = 2k(4k2 + 6k + 3).
Caso k for ı́mpar, ele será um fator ı́mpar de a3 − 1. Caso k for par,
(4k2 + 6k+ 3) será um fator ı́mpar de a3− 1. Em todo caso, a3− 1 possui
um fator ı́mpar, logo não pode igual 2n.
6. Mostre que n4 +4 é sempre um número composto quando n ∈ Z e |n| 6= 1.
R: Vamos usar um truque para ganhar uma diferença de dois quadrados:
n4+4 = n4+4n2+4−4n2 = (n2+2)2−(2n)2 = (n2+2−2n)(n2+2+2n).
Observe n4 + 4 vai ser composto exceto quando um dois fatores no lado
direito é 0,-1, ou 1. Logo temos vários casos:
(a) n2 + 2− 2n = 1: logo n = 1.
(b) n2 + 2− 2n = 0: não tem solução, logo este caso não acontece.
(c) n2 + 2− 2n = −1: não tem solução.
(d) Mais três casos: n2 + 2 + 2n = 1, n2 + 2 + 2n = 0, n2 + 2 + 2n = −1.
Cada vez, vemos que ou o caso não pode acontecer, ou |n| 6 1.
7. Dois numeros primos dizem-se gêmeos se a diferença entre eles for 2.
(a) Mostre que se a soma de dois primos gêmeos for igual a 24 então um
dos primos e 13.
(b) Determine todos os primos gêmeos p e q tais que p2 + q2 = 34.
(c) Mostre que a soma de dois primos gêmeos p e p+ 2, com p > 3, e um
multiplo de 12.
R: Vamos chamar nossos primos gêmeos p, p + 2.
(a) p + (p + 2) = 24 =⇒ p = 11. Logo p + 2 = 13.
2
(b) Simplificando p2 + (p + 2)2 = 34, ganhamos p(p + 2) = 15 = 3 · 5.
Logo p = 3, q = p + 2 = 5.
(c) Observe que p > 3 implica que p é ı́mpar. Logo p + 1 = 2k.
p + (p + 2) = 2p + 2 = 2(p + 1) = 4k.
Então, 4|p+(p+2). Para mostrar que 12|p+(p+2), ainda precisamos
de mostrar que 3|p + (p + 2). Já que p > 3, sabemos que p = 3k + 1
ou p = 3k + 2. Dois casos:
i. p = 3k + 1: Mas então o primo p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3(p + 1) é
composto - uma contradição, logo este caso não pode acontecer.
ii. p = 3k + 2: p + (p + 2) = 2(p + 1) = 2(3k + 2 + 1) = 6k + 6, que
é diviśıvel por 3.
8. Suponha que p seja o menor fator primo de um inteiro n e que p >
√
n
p .
Prove que np é primo (ou 1).
R: Caso n = p for primo, teremos que p >
√
n
p = 1. Outro caso: vamos
supor que n não é primo, logo n = ps para algum s > 2. Seja s = p1 . . . pn
a decomposição primo de s. Queremos mostrar que s é primo, ou seja,
que n = 1. Observe que√
n
p
=
√
s =
√
p1 . . . pn >
√
pn = pn/2.
Segue que caso n > 2, teŕıamos que
√
n
p > p. Já que
√
n
p < p, a única
possibilidade é que n = 1.
9. Determine se e verdadeiro ou falso, onde p é um primo. Justifique:
(a) Se p3|ab e p2|a então p|b.
(b) Se p divide a2 + b2 e p divide a então p divide b.
(c) Se p divide a2b(a + b) então p divide a ou p divide b.
R:
(a) F: contraexemplo a = p3, b = 1.
(b) V: Seja a = pk, (a2 + b2) = ps (alguns k, s). Logo
b2 = ps− (pk)2 = p(s− pk2),
logo p|b2, que implica (já que p é primo) que p|b.
(c) F: contraexemplo a = 2, b = 3, p = 5.
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