11 parte 2

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<p>/}Dxt6-cLÜY</p><p>O c100&</p><p>esmo de doa</p><p>• V X II</p><p>AA-8</p><p>v são coVoneaves covxx o</p><p>Q'</p><p>x coso¿</p><p>o de sedo</p><p>Caso IIL? II</p><p>Q ooclO (</p><p>Se A' Q oocko</p><p>QO dct</p><p>3. W n-cho</p><p>4. olokuso (40' <</p><p>Se oz ob-\vso</p><p>• G II II</p><p>d )</p><p>x cos o?</p><p>130'</p><p>x cos</p><p>cos -0)</p><p>o? 2' vx.kA-Qo</p><p>II G II QOSOO</p><p>COS go</p><p>e oq voe</p><p>00</p><p>x'</p><p>Cos (180)</p><p>liÔll</p><p>x)) $11</p><p>-t So</p><p>o 0c' do</p><p>ľ-Ŕ-RO</p><p>clos cQs Baclo'.</p><p>doì%</p><p>AèencÂo</p><p>Y eoS (lòo)•</p><p>x -QOS (060 -ORO))</p><p>nodo à ,</p><p>Il ÂBI) Y Il AC}IÌ</p><p>- Il aî\l x Cos 680)</p><p>= (-vÈ).3î</p><p>AD</p><p>l)ycl) x Il AD))</p><p>o)</p><p>x -Il cyll x cas</p><p>Il Il96 (cut'</p><p>Il Hbll eos Q</p><p>IN HHS ll X (ft4611 1M" 'Il</p><p>0 40</p><p>deC</p><p>…18</p><p>一Il ㄨ-</p><p>4 x</p><p>乁 乁C</p><p>(0</p><p>0</p><p>、0乁</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>瓢</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>望</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>瓜</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>望</p><p>な</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>房</p><p>ロロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>~</p><p>ロロロロロロロロロロロロ</p><p>ロロロ</p><p>冨日ロ</p><p>口</p><p>ロ</p><p>ロロロロ旦</p><p>ロ</p><p>目</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>7</p><p>ロ</p><p>2</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>日</p><p>ロ</p><p>盟</p><p>卩</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>第</p><p>ロ</p><p>電</p><p>新</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>9</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロロ</p><p>C</p><p>習</p><p>ロロ</p><p>ロ</p><p>日預</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>卩</p><p>ロ</p><p>当</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>2</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロロ</p><p>ロ</p><p>ロロ</p><p>ロロ</p><p>/</p><p>ロロ</p><p>驩ロ引</p><p>円ロ</p><p>ロ住</p><p>ロ</p><p>郎ロ</p><p>ロロ</p><p>ロロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロロロロ</p><p>ロロロロロロロ</p><p>3</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>副</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>【</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>協</p><p>日</p><p>一口ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>門</p><p>ロ</p><p>測</p><p>新</p><p>新</p><p>ロ</p><p>暖</p><p>確</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>日</p><p>周</p><p>ロ</p><p>新</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>「</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>コ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>口</p><p>一口ロ</p><p>当</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>「</p><p>印</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>尾</p><p>ロ</p><p>住</p><p>ロ</p><p>日</p><p>一口</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>型</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>冖</p><p>和ロロ住ロ制ロロ</p><p>ロロ尉ロ日ロ玉一口日ロロロロロロ一ロ</p><p>ロ</p><p>ロロ【</p><p>0) , ー</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>領</p><p>愿</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>知</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>留</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ノィ0</p><p>日</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>慓</p><p>息</p><p>日</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>鄧</p><p>矗</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>住</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>.</p><p>0</p><p>第</p><p>新</p><p>慶</p><p>000</p><p>■</p><p>■</p><p>0</p><p>ロ</p><p>0</p><p>無</p><p>0</p><p>■</p><p>■</p><p>0</p><p>■</p><p>謝</p><p>望</p><p>置</p><p>0</p><p>第</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>0</p><p>ロ</p><p>・ヨ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>直</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>住</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>証</p><p>ロ</p><p>国</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>07</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>国</p><p>ま</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>忘</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>原</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>日</p><p>日</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>過</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>設</p><p>測</p><p>區</p><p>当</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>6</p><p>翩</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>髜</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>伝ロ</p><p>新ロロ</p><p>ロロロ</p><p>加</p><p>ロロロロロ</p><p>口</p><p>ロロロ</p><p>ロロ脂ロロロロ、</p><p>ロロロロロロ</p><p>ロロロロ</p><p>ロロ</p><p>0</p><p>ロロ</p><p>ロロ住</p><p>ロ</p><p>百ロ</p><p>新</p><p>2</p><p>、</p><p>ロロロロロロ</p><p>ロロロロ</p><p>ロ当ロロ気のロロロロ</p><p>sロロ</p><p>ロ新一礦ロロ沼氤</p><p>ロロロロロ</p><p>ロロロロロ</p><p>京</p><p>ロ</p><p>ロロロ</p><p>新</p><p>ロロ断</p><p>ロ</p><p>石ロロロロロロロ</p><p>日ロロロロ</p><p>印口ロロロ研ロ幻ロロを当</p><p>ロ0新鷸ロロロ日ロロロコロロ庭ロロロ</p><p>ロロロロロロ</p><p>ロロロ</p><p>ロロ以預</p><p>ロロロロロ</p><p>ロ</p><p>日</p><p>ロロロ煢</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>望</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>宿</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>塾</p><p>当</p><p>眠</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>回</p><p>凹</p><p>口</p><p>を</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>第</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>加</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>c</p><p>-ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>口</p><p>を</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>「ロ</p><p>報</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>当</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>」</p><p>■</p><p>第</p><p>第</p><p>第</p><p>義</p><p>■</p><p>0</p><p>第</p><p>住</p><p>新</p><p>第</p><p>第</p><p>0</p><p>■</p><p>■</p><p>を</p><p>物</p><p>第</p><p>■</p><p>■</p><p>鄧</p><p>■</p><p>亟</p><p>第</p><p>評</p><p>■</p><p>第</p><p>第</p><p>人</p><p>0</p><p>00k</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>」</p><p>ロ旧</p><p>)</p><p>ら)</p><p>へ</p><p>代</p><p>い</p><p>(</p><p>G</p><p>0</p><p>:</p><p>,</p><p>-R</p><p>、</p><p>m そ身)do 廴</p><p>一</p><p>1</p><p>をを新(愛</p><p>釟</p><p>ろ、</p><p>0</p><p>ス</p><p>収</p><p>改</p><p>代ー</p><p>破</p><p>を</p><p>0</p><p>は(</p><p>ー</p><p>を</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>口</p><p>ロ</p><p>ゞ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>望</p><p>日</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ロ</p><p>ュロロロロ</p><p>ロロロロロロロ</p><p>2</p><p>エ</p><p>0</p><p>ーニ(</p><p>(</p><p>01</p><p>第亠・一」-- 物い31ル1れ</p><p>:% 、れ、れん亠れ</p><p>2</p><p>フEXIR.</p><p>ー・込気ユー心 )</p><p>00</p><p>He 一 “「" 0</p><p>M 5</p><p>0</p><p>= 0</p><p>s</p><p>91</p><p>s</p><p>dcämeYo—ÆAØ</p><p>1.4</p><p>ョ A了0 女</p><p>ー占 3-)イ</p><p>量CA</p><p>・→ ) 5、ー00 い、C003</p><p>- (33 4 j-=-T)</p><p>Definição: Vetor normal a um plano Vetores</p><p>NOTA</p><p>normais ao plano a:</p><p>Dado um plano cx e um vetor v , diz-se que o vetor v é normal ao plano U,</p><p>11</p><p>se v for o vetor nulo ou se, não sendo o vetor nulo, as retas de vetor diretor</p><p>v forem perpendiculares a ot .</p><p>Definição: Vetor paralelo a um plano NOTA</p><p>Vetores paralelos ao plano :</p><p>Dado um plano oc e um vctor v , diz-se que o vetor v é paralelo ao plano u</p><p>se v for o vetor nulo ou se, não sendo o vetor nulo, v for vetor diretor de</p><p>uma reta do plano.</p><p>Equações cartesianas de planos</p><p>Sejam a um plano, n um vetor não nulo normal ao plano e A um ponto do plano.</p><p>Um qualquer ponto P do espaço pertence ao plano a se e só se os vetores AP e n são</p><p>perpendiculares, ou seja, Pe a AP • ñ = 0 .</p><p>Fixado um referencial o.n. do espaço e dados um vetor não nulo ñ = (a,b,c) e um ponto</p><p>A(xo, yo,zo) , o conjunto de pontos P(x, y, z) que satisfazem a condição</p><p>é o plano que passa em A(xo, yo,zo) e de que ñ = (a,b,c) é vetor normal.</p><p>Esta equação é uma equação cartesiana desse plano.</p><p>As equações da forma ax+by+cz+d = (j, em que a,b,c,de IR e (a,b,c) # (0, 0,0) , são equações</p><p>cartesianas de planos de que o vetor de coordenadas (a,b,c) é vetor normal.</p><p>Reciprocamente, todo o plano de que o vetor, não nulo, de coordenadas (a,b,c) é vetor normal</p><p>pode ser definido por uma equação cartesiana daquela forma.</p><p>1</p><p>Exercícios:</p><p>1. Escreve, em cada caso, uma equação cartesiana do plano que admite o vetor n como vetor</p><p>normal e contém o ponto A.</p><p>(1, 0,3) :</p><p>2. De cada um dos planos a,</p><p>ponto pertencente ao plano.</p><p>a) a:—2(x+3)+(y—l)—3z</p><p>-3</p><p>d) Ô: —2x+4=0</p><p>o)</p><p>Pág. 147: Ex:42</p><p>Q) 0,0) A</p><p>02 -</p><p>(0,0/1 ) A</p><p>e ô , indica as coordenadas de um vetor normal e de um</p><p>o o</p><p>1 .3</p><p>00)</p><p>Pág. 146: Ex•.41</p><p>-4-3 c.</p><p>3</p><p>3</p><p>3. Escreve, em cada caso, uma equação cartesiana do plano perpendicular à reta r e que</p><p>contém o ponto B.</p><p>No espaço, dada uma reta r</p><p>e um ponto B. existe um e</p><p>um só plano a perpendicular</p><p>a r que contém o ponto B.</p><p>Qualquer vetor diretor da</p><p>reta r é um vetor normal</p><p>ao plano</p><p>Pocoo Pág. 147: Ex:43</p><p>2</p><p>0</p><p>ノ</p><p>ノP、、示(扣 代s</p><p>5 0 ( (人こ代-廴、でゝ</p><p>e 0</p><p>(廴ⅱモ-せペモ5れs ミ0</p><p>(el朝( 0-ゝ</p><p>れ応る( 003「れ、. (030</p><p>0れ e(れれ し、介0</p><p>2</p><p>9. & (弋ゝ</p><p>ノっへ(レ 。で0</p><p>- 0、フ 収弋へ</p><p>れ。5・い、い愆ゝ3。</p><p>b)</p><p>c) —6</p><p>Nos exemplos anteriores foi fácil determinar uma equação cartesiana de um plano, pois era dado</p><p>um vetor normal ao plano e um ponto pertencente ao plano. Mas nem sempre isso acontece.</p><p>Veremos que há diferentes formas de definir um plano.</p><p>Um plano pode ser definido por:</p><p>três pontos não colineares;</p><p>duas retas concorrentes;</p><p>duas retas estritamente paralelas;</p><p>• uma reta e um ponto exterior à reta.</p><p>Em qualquer situação, a determinação de uma equação cartesiana de um plano passa por</p><p>encontrar um vetor normal a um plano e um ponto do plano.</p><p>Como encontrar um vetor normal a um plano?</p><p>Um vetor é normal a um plano se e só se for perpendicular a dois vetores não colineares, paralelos</p><p>ao plano.</p><p>Exemplo:</p><p>Considera, num referencial ortonormado os vetores ü(—2, 1,3) e F(2, l, —l) , vetores paralelos a um</p><p>certo plano a.</p><p>Determine as coordenadas de um vetor w , não nulo, que seja perpendicular aos vetores li e F</p><p>ou seja, que seja perpendicular ao plano u.</p><p>Resolução:</p><p>Em primeiro lugar verifiquemos que os vetores u e não são colineares:</p><p>Recorde:</p><p>Dois vetores u e são</p><p>colineares se e só se</p><p>Como obtivemos um sistema impossível, os vetores não são colineares.</p><p>Seja ó = (a,b,c) um vetor, não nulo, perpendicular aos vetores li e .</p><p>O vetor vi' satisfaz a condição = 0 A = 0 , logo, tem-se que:</p><p>3</p><p>• 1,3) -O —2a + b -E 3c = 0</p><p>2a + b —c = 0</p><p>Repare que estamos perante um sistema dc duas equações corn três Incógnitas, Atendendo ao</p><p>problema que estamos a resolver sabemos à partida que este sistema tern urna Infinidade dc</p><p>soluções, logo não vamos conseguir determinar tuna solução, mas t/tna expressão geral das suas</p><p>soluções.</p><p>Vamos resolver o sistema de forma a obter duas das incógnitas em função da outra.</p><p>-2a+b+3c=O b = 2a —3c b = 2c —3c</p><p>2a +b—c = 0 2a+2a-3c-c=O</p><p>IR , ou seja,</p><p>As soluções do sistema são os vetores da família ó' = (c, —c,c) , com c c</p><p>ó' = c(l, -1,1), IR</p><p>Cada um destes vetores é perpendicular aos vetores u e v, logo, para cada valor de c não nulo,</p><p>é um vetor normal ao plano 01.</p><p>Agora que sabemos determinar as coordenadas de um vetor perpendicular a dois vetores não</p><p>colineares dados, veremos as várias situações que se podem colocar quanto à definição de um</p><p>plano e como proceder em cada caso. Pág. 149: Ex:44</p><p>Plano definido por três pontos não colineares</p><p>Processo:</p><p>Seja 0 plano definido pelos pontos A, B e C. 71 c</p><p>1 0). Definimos dois vetores não colineares, paralelos ao plano, por</p><p>exemplo, os vetores AC e AB</p><p>2 0). Determinamos as coordenadas de um vetor, ñ , perpendicular aos vetores obtidos — esse vetor</p><p>é um vetor normal ao plano.</p><p>30). Com o vetor ñ obtido e com um (qualquer) dos três pontos dados escrevemos uma equação</p><p>cartesiana do plano 71.</p><p>Exercício:</p><p>4. Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A, B e C de coordenadas (1,0, 1), (1, 1,0) e</p><p>(2,0,0), respetivamente.</p><p>Recorde:</p><p>a) Justifique que os pontos A, B e C definem um plano. Três pontos definem um</p><p>c_L9 ê) C' plano se e só se são não</p><p>colineares.</p><p>Três pontos são colineares</p><p>se um deles pertencer à reta</p><p>definida pelos outros dois.</p><p>'li-ês pontos A , B e C são</p><p>colineares se, por</p><p>os vetores AB e AC forem</p><p>colineares.</p><p>4</p><p>b) Determine uma equação cartesiana do plano ABC. Pág. 149: 9:45</p><p>Pág. 150: 9:46</p><p>í/ L cxc</p><p>Abc</p><p>Plano definido por duas retas concorrentes</p><p>Processo:</p><p>Seja oc o plano definido pelas retas r e s .</p><p>10). Escolhemos um vetor diretor de cada reta, vetores F e — esses</p><p>vetores são paralelos ao plano 01 e são não colineares.</p><p>20). Determinamos as coordenadas de um vetor,</p><p>é um vetor normal ao plano.</p><p>30). Com o vetor ñ obtido e com um ponto</p><p>escrevemos uma equação cartesiana do plano cx.</p><p>Exercício:</p><p>5. Considere num referencial o.n. do espaço</p><p>definidas por:</p><p>a. Justifique que as retas são concorrentes.</p><p>31</p><p>ocy¯c:) E c.'Z</p><p>{-:m-BO (</p><p>ñ ,perpendicular aos vetores obtidos— esse vetor</p><p>pertencente a qualquer uma das retas dadas</p><p>as retas r e s,</p><p>Nota:</p><p>Num referencial o.n. do espaço,</p><p>duas retas são concorrentes se</p><p>tiverem um ponto em comum e</p><p>os seus vetores diretores não</p><p>forem colineares.</p><p>Em particular, duas retas são</p><p>concorrentes perpendiculares</p><p>se e somente se os seus vetores</p><p>diretores forem perpendiculares.</p><p>Se as retas forem concorrentes e</p><p>não forem perpendiculares</p><p>então dizem-se concorrentes</p><p>oblíquas.</p><p>Pág. 150: Ex:47</p><p>b. Determine uma equação cartesiana do plano u, definido pelas retas r e s</p><p>c.0hno o</p><p>00</p><p>3</p><p>( -a, 3) C</p><p>5</p><p>Plano definido por duas retas estritamente paralelas</p><p>Processo:</p><p>Seja 0 plano definido pelas retas r e s .</p><p>10). Escolhemos um vetor diretor de uma das retas e definimos</p><p>um vetor a partir de dois pontos, A e B, um de cada reta - esses</p><p>13</p><p>vetores, AB e F ( por exemplo), são paralelos ao plano [3 e SÃO não f,</p><p>colineares.</p><p>20). Determinamos as coordenadas de um vctor,</p><p>é um vetor normal ao plano O.</p><p>3 0). Com o vetor ñ obtido e com um ponto</p><p>escrevemos uma equação cartesiana do plano O.</p><p>Exercício:</p><p>6. Considere num referencial o.n. do espaço</p><p>definidas por:</p><p>, perpendicular aos vetores obtidos esse vetor</p><p>pertencente a qualquer urna das retas dadas</p><p>as retas r Nota:</p><p>Num referencial o.n. do</p><p>espaço, duas retas são</p><p>(estritamente) paralelas se</p><p>os seus vetores diretores</p><p>forem colineares e um</p><p>qualquer ponto de uma das</p><p>retas não pertencer à outra.</p><p>a. Justifique que as retas são (estritamente) paralelas. Se os vetores diretores</p><p>forem colineares e um</p><p>ponto de uma das retas</p><p>pertencer à outra, então as</p><p>retas são coincidentes.</p><p>são Pág. 151: Ex:48</p><p>b. Determine uma equação cartesiana do plano 01, definido pelas retas r e s .</p><p>cedo</p><p>n t Q,</p><p>Leda totm,cA</p><p>o N) eco</p><p>Como (1, - )</p><p>1 + o (3 ) dcl</p><p>6</p><p>Plano definido por uma reta e um ponto exterior à reta</p><p>Processo:</p><p>Seja [3 0 plano definido pela reta r e pelo ponto A.</p><p>10). Escolhemos um vetor diretor da reta r vetor , e definimos</p><p>Vetor com um ponto qualquer da reta r e cotn o ponto A - esses</p><p>vetores são paralelos ao plano [3 e são não colineares.</p><p>20). Determinamos as coordenadas de um vetor, ñ ,pcrpcndlcular aos vetores obtidos esse vetor é</p><p>um vetor normal ao plano.</p><p>30). Com o vetor obtido e com um ponto pertencente a qualquer uma das retas dadas</p><p>escrevemos uma equação cartesiana do plano</p><p>Exercício:</p><p>7. Considere a reta r definida por x = 2 e o ponto Um ponto e uma reta definem</p><p>um plano se o ponto for exterior</p><p>à reta.</p><p>a) Justifique que a reta r e o ponto A definem um plano. Para averiguar se um ponto</p><p>pertence a uma reta basta</p><p>verificar se as coordenadas do</p><p>ponto satisfazem a condição que</p><p>define a reta, ou seja, substituir</p><p>as incógnitas da</p><p>condição que define a reta pelas</p><p>coordenadas do ponto dado e</p><p>verificar se se obtém</p><p>proposição verdadeira.</p><p>b) Determine uma equação cartesiana do plano definido pela reta r e pelo ponto A .</p><p>Pág. 153: Ex:49</p><p>• (0,91)</p><p>Posição relativa de dois planos</p><p>Quanto à posição relativa de dois planos temos os seguintes casos:</p><p>v Coincidentes</p><p>Nao concorrentes</p><p>(Estritanjente)paralelos</p><p>Planos a c p</p><p>Concorrentes perpendiculntes</p><p>4 Concorrentes</p><p>a Concorrentes oblíquos</p><p>Nota:</p><p>Dois planos concorrentes</p><p>intersetam-se segundo</p><p>uma reta.</p><p>7</p><p>Propriedade</p><p>Dados dois planos « e e dois vctorcs no e tnp nño nulos, norrnalg, a c tcrn-se quc:</p><p>ot e são planos estritamente paralelos 011 coincidentcq sc e gotncntc se na c m p sào vetores</p><p>colineares.</p><p>• Planos coincidentes</p><p>Se dois planos ot e são coincidentes então os vetores na e '11/3</p><p>são colineares e as equações caffesianas dos planos são equaçôcs</p><p>equivalentes.</p><p>Neste caso qualquer ponto pertencente a um plano também pertence ao outro.</p><p>Exercício:</p><p>8. Justifique que os planos e p, de equações cartesianas a:</p><p>p : —4x +6y 2: +1 S = 0 são coincidentes.</p><p>(S, -3,0) c</p><p>—4 rp.x.l , Q</p><p>• Planos (estritamente) paralelos</p><p>Se dois planos a e p são estritamente paralelos então na e mp</p><p>são vetores colineares, mas as equações cartesianas dos planos</p><p>não são equivalentes.</p><p>Exercício:</p><p>9. Justifique que os planos 01 e p, de equações cartesianas a:</p><p>: —4x + 6y — 2Z + 10 = 0 são estritamente paralelos.</p><p>0020</p><p>0000 e)</p><p>Propriedade</p><p>—3(y+ l) + Z</p><p>e</p><p>Pág. 156: Ex:53 e 52</p><p>Dados dois planos a e p e dois vetores na e mp não nulos, normais, a oc e p, respetivamente. tem-</p><p>se que: a e p são planos perpendiculares se e somente se os vetores na e nt' são</p><p>perpendiculares.</p><p>• Planos perpendiculares</p><p>Se os planos u e p são perpendiculares então os seus vetores normais na</p><p>e mp também são perpendiculares, logo o produto escalar dos vetores na</p><p>e mp é zero.</p><p>A interseçáo de dois planos perpendiculares é uma reta cujos vetores diretores são</p><p>perpendiculares a ambos os vetores normais,</p><p>8</p><p>Exercício:</p><p>10. Justifique que os planos e p, de equações cartesianas a: —3)</p><p>p : 3x+ 3 y + 3a + 1 = 0 são perpendiculares. Pág. 157: Ex•.54</p><p>C) 20</p><p>• Planos concorrentes oblíquos</p><p>Se os planos a e p são concorrentes oblíquos então os seus vetores</p><p>normais na e mp não são colineares nem perpendiculares.</p><p>Exercício:</p><p>11. Justifique que os planos oc e p, de equações cartesianas e</p><p>p : x + y + Z + I = 0 são concorrentes oblíquos. .5</p><p>Ydpe\ñ d i c-Lt-QQ\-os são</p><p>Problemas envolvendo equacóes de planos e de retas no espaco</p><p>Problema 1 - Determinar a equação vetorial da reta de interseção de dois planos</p><p>concorrentes</p><p>Exercício:</p><p>12. Considere os planos a: —2x+ y = 0 e : —x+4y — z +1 = 0</p><p>a) Justifique que os planos são concorrentes oblíquos.</p><p>GA, 1,0) •</p><p>-QOô0 são</p><p>na não são 2 (3</p><p>h cro são // coincicL.0KQ-os</p><p>b) Determine uma equação vetorial da reta de interseção dos dois planos.</p><p>Pág. 163: Ex.•62</p><p>-Z 44 el</p><p>, do m.frcx</p><p>(Ilàô)) (0,0/0 & k (1Ñ,à)</p><p>Problema 2 - Determinar uma equaçao vetorlal da reta perpendicular a orn plano num dado</p><p>ponto.</p><p>Exercício:</p><p>13. Considere o plano a: x --2 y — z +2=0 c o ponto ,</p><p>Escreva uma equação vctorial da perpendicular ao plano a c contém o ponto A.</p><p>ela</p><p>Problema 3 - Determinar o ponto de interseçao de uma reta com um plano</p><p>Exercício:</p><p>14. Considere o plano a: x —2 y + Z +2=0 e a reta r: (x, y,z,) ̄</p><p>Determine as coordenadas do ponto de interseçáo da reta com o plano. pág. 161: Ex:60</p><p>4</p><p>4</p><p>Problema 4 - Determinar a distância de um ponto a um plano</p><p>Exercício:</p><p>15. Considere o plano a: x—2y— z +2 = 0 e o ponto A(—3,5,O) .</p><p>a) Prove que o ponto A não pertence ao plano.</p><p>b) Determine a distância do ponto A ao plano a . e AoQ</p><p>ao o</p><p>E eda -Ascese</p><p>é do "-c+cz</p><p>6)4-3 6 3</p><p>-o(s-êv) 66 6</p><p>10</p><p>6</p><p>21 ecu a'</p><p>Posição relativa de uma reta e de um plano</p><p>Quanto à posição relativa de uma reta, r, e um plano, a, temos os seguintes casos:</p><p>a reta está contida no plano (ou, a reta é aposta ao plano)</p><p>a reta é (estritamente) paralela ao plano</p><p>a reta é secante ao plano, podendo ser perpendicular ou oblíqua.</p><p>Interpretaçio vetorial:</p><p>Seja um vetor diretor da reta r, ñ um vetor normal ao plano a e A um ponto da reta r.</p><p>• A reta é (estritamente) paralela ao plano</p><p>A reta é perpendicular ao plano</p><p>r e n são colineares</p><p>Exercício:</p><p>• A reta está contida no plano</p><p>A reta é oblíqua ao plano</p><p>n</p><p>a</p><p>r e n não são colineares nem</p><p>perpendiculares</p><p>16. Considere o plano (X : x— 2 y + Z +3 = 0 e as retas:</p><p>Pág. 162: Ex:61</p><p>Pág. 164: Ex:63</p><p>(1, 2,0) IR,</p><p>s: (x, y, z) = IR,</p><p>t : (x, y, z) = IR,</p><p>Estude a posição relativa de cada uma das retas em relação ao plano a .</p><p>São , Qor</p><p>3</p><p>ozo</p><p>11</p><p>J QT&ic.JO</p><p>ハ( 1.っ</p><p>の、・、は、 0 00い込0へ、0、 いいれ0 秘</p><p>1</p><p>0、ま310 (。斌へ(ゝ</p><p>0 - 0 : 0</p><p>(ぬー4 0・い一0 ) = 0</p><p>ーキ十1ニ0</p><p>丿0</p><p>も。 い(貧。 ャーへめ。、</p>