Teoria das Probabilidades

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<p>Prof. Luiz Antonio de Carvalho</p><p>Conhecimentos Bancários -</p><p>www.lacconcursos.com.br 1</p><p>1</p><p>1</p><p>PROBABILIDADE</p><p>MATEMÁTICA</p><p>2</p><p>2</p><p>‐ TEORIA DAS PROBABILIDADE;</p><p>‐ PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO;</p><p>‐ Resolução de Exercícios Propostos.</p><p>O que estudaremos na aula de hoje?</p><p>3</p><p>3</p><p>TEORIA DAS PROBABILIDADES</p><p>A teoria das probabilidades busca estimar as</p><p>chances de ocorrer um determinado</p><p>acontecimento. É um ramo da matemática que cria,</p><p>elabora e pesquisa modelos para estudar</p><p>experimentos ou fenômenos aleatórios.</p><p>4</p><p>4</p><p>Experimento aleatório: É um experimento que pode</p><p>apresentar resultados diferentes, quando repetido</p><p>nas mesmas condições.</p><p>Experimento aleatório</p><p>Exº Lançamento de um dado; sorteio de loteria, etc.</p><p>5</p><p>5</p><p>ESPAÇO AMOSTRAL</p><p>Lançar um dado</p><p>• S = {1,2,3,4,5,6}</p><p>Obs.: Dizemos que um espaço amostral é equiprovável</p><p>quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer.</p><p>Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados</p><p>possíveis de um experimento aleatório. Indicamos o espaço</p><p>amostral por .</p><p>Exº Jogar uma moeda</p><p>S = {cara, coroa}</p><p>Sortear um número inteiro de um a cem</p><p>S = {1,2,...,100}</p><p>6</p><p>6</p><p>EXEMPLO</p><p>E = {cara}     (sortear cara)</p><p>E = {25, 27} (sortear um nº ímpar entre 24 e 28)</p><p>E = {3, 5, 1} (sair um nº impar no dado)</p><p>Evento</p><p>Evento: Chama‐se evento a qualquer subconjunto do</p><p>espaço amostral.</p><p>Prof. Luiz Antonio de Carvalho</p><p>Conhecimentos Bancários -</p><p>www.lacconcursos.com.br 2</p><p>7</p><p>7</p><p>Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o</p><p>espaço amostral.</p><p>Ex.: 1 Lançar um dado e registrar os resultados:</p><p>Espaço amostral:  = 1, 2, 3, 4, 5, 6</p><p>Evento A: Ocorrência de um número menor que 7 e</p><p>maior que zero.</p><p>A = 1, 2, 3, 4, 5, 6</p><p>Portanto   A =  , logo o evento é certo.</p><p>Eventos certo, impossível e mutuamente exclusivos</p><p>ou excludentes</p><p>8</p><p>8</p><p>Evento impossível:</p><p>Ocorre quando um evento é vazio.</p><p>Evento B</p><p>Ocorrência de um número maior que 6.</p><p>B = </p><p>Não existe número maior que 6 no dado,</p><p>portanto o evento é impossível.</p><p>9</p><p>9</p><p>Evento E: Ocorrência de número ímpar</p><p>E = 1, 3, 5</p><p>EXEMPLOS DE OCORRÊNCIA DE EVENTOS</p><p>Evento C: Ocorrência de um número par.</p><p>C = 2, 4, 6</p><p>Evento D: Ocorrência de múltiplo de 3.</p><p>D = 3, 6</p><p>10</p><p>10</p><p>PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO</p><p>)(</p><p>)(</p><p>)(</p><p>de elementos de número</p><p>A de elementos de número</p><p>)(</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>An</p><p>APAP</p><p>11</p><p>11</p><p>Exemplos</p><p>Ex.: 1 Consideremos o experimento Aleatório do</p><p>lançamento de um moeda perfeita. Calcule a</p><p>probabilidade de sair cara.</p><p>)(</p><p>)(</p><p>)(</p><p></p><p></p><p>n</p><p>An</p><p>AP</p><p>2</p><p>1</p><p>)( AP</p><p>Espaço amostral:  = cara, coroa  n() = 2</p><p>Evento A: A = cara  n(A) = 1</p><p>Como</p><p>ou seja a probabilidade é de  0,50 = 50%</p><p>temos:</p><p>12</p><p>12</p><p>Ex.: 2  No lançamento de um dado perfeito, qual é a</p><p>probabilidade de sair número maior do que 4?</p><p>3</p><p>1</p><p>)(</p><p>6</p><p>2</p><p>)(</p><p>)(</p><p>)(</p><p>)( </p><p></p><p> APAP</p><p>n</p><p>An</p><p>AP</p><p>Espaço amostral:  = 1, 2, 3, 4, 5, 6  n() = 6</p><p>Evento A:  A = 5, 6  n(A) = 2</p><p>Prof. Luiz Antonio de Carvalho</p><p>Conhecimentos Bancários -</p><p>www.lacconcursos.com.br 3</p><p>13</p><p>13</p><p>Ex.: 3  No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas</p><p>distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas:</p><p>a) Pelo menos 2 caras?</p><p>b) Exatamente 2 caras?</p><p>C = cara          K = coroa</p><p>Espaço amostral</p><p>= CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK n() = 8</p><p>14</p><p>14</p><p>%50</p><p>2</p><p>1</p><p>8</p><p>4</p><p>)( AP</p><p>5,37375,0</p><p>8</p><p>3</p><p>)( BP</p><p>b) Exatamente 2 caras</p><p>B = CCK, CKC, KCC  n(B) = 3</p><p>Evento</p><p>a) Pelo menos 2 caras</p><p>A = CCC, CCK, CKC, KCC  n(A) = 4</p><p>15</p><p>15</p><p>Obs.: A probabilidade de ocorrer um evento será sempre</p><p>compreendida entre:</p><p>0 ≤ P(A) ≤ 1</p><p>Probabilidade de não ocorrer um evento</p><p>P(A)</p><p>P (A) = 1 – P(A)</p><p>16</p><p>16</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>17</p><p>17</p><p>(Adaptado) Em um turma para formação de policiais com</p><p>80 alunos, 45 são destros, 27 são canhotos, e 8 são</p><p>ambidestros. A probabilidade de um desses alunos,</p><p>escolhido ao acaso, ser apenas destro é de</p><p>A) 66,25%</p><p>B) 56,25%</p><p>C) 22,50%</p><p>D) 33,75%</p><p>E) 46,25%</p><p>EXERCÍCIO 01</p><p>18</p><p>18</p><p>Com dados do último censo, a Assistente Social de um Centro de</p><p>Saúde constatou que das famílias da região, 20% não têm filhos,</p><p>30%, um filho, 35%, dois filhos e as restantes se dividem</p><p>igualmente entre três, quatro e cinco filhos. Suponha que uma</p><p>família dessa região é escolhida, aleatoriamente, nessa região, e o</p><p>número de filhos é averiguado. Qual a probabilidade de a família</p><p>escolhida ter mais do que três filhos?</p><p>A) 0,10</p><p>B) 0,15</p><p>C) 0,85</p><p>D) 0,65</p><p>E) 0,05</p><p>EXERCÍCIO 02</p><p>Prof. Luiz Antonio de Carvalho</p><p>Conhecimentos Bancários -</p><p>www.lacconcursos.com.br 4</p><p>19</p><p>19</p><p>IAUPE – 2017 (adaptado) - Dos 100 alunos de um curso, 15 fazem</p><p>iniciação científica, 25 são monitores e 10 são monitores e</p><p>fazem iniciação científica. Ao escolher um aluno do curso, a</p><p>probabilidade de que ele NÃO seja monitor nem faça</p><p>iniciação científica é de</p><p>A) 60%</p><p>B) 25%</p><p>C) 70%</p><p>D) 5%</p><p>E) 50%</p><p>EXERCÍCIO 03</p><p>20</p><p>20</p><p>IAUPE – 2017 ‐ . Qual a probabilidade de, lançado um dado</p><p>honesto três vezes, obter‐se o número 6 em todos os</p><p>lançamentos?</p><p>A) 1/6</p><p>B) 1/3</p><p>C) 1/216</p><p>D) 1/36</p><p>E) 1/108</p><p>EXERCÍCIO 04</p><p>21</p><p>21</p><p>Para ter acesso a um dado setor, um visitante precisa passar</p><p>por 4 verificações independentes de segurança, dispostas</p><p>uma após a outra em sequência. A probabilidade de um</p><p>visitante mal intencionado qualquer passar pela primeira</p><p>verificação é de 50%; de passar pela segunda verificação é de</p><p>12%; de passar pela terceira verificação é de 25% e de passar</p><p>pela quarta verificação é de 15%.</p><p>EXERCÍCIO 05</p><p>22</p><p>22</p><p>Nessas condições, é CORRETO afirmar que</p><p>A) a probabilidade de o visitante mal intencionado ter acesso a</p><p>esse setor é maior que 1%</p><p>B) a probabilidade de o visitante mal intencionado ter seu acesso</p><p>negado a esse setor é de, no máximo, 85%.</p><p>C) em média, 12% dos visitantes mal intencionados terão acesso</p><p>a esse setor.</p><p>D) em média, 88% dos visitantes mal intencionados terão seu</p><p>acesso negado a esse setor.</p><p>E) a probabilidade de o visitante mal intencionado ter acesso a</p><p>esse setor é menor que 1%.</p><p>EXERCÍCIO 05</p><p>23</p><p>23</p><p>Uma empresa tem seis candidatos para prestar entrevista.</p><p>São 3 rapazes e 3 moças. Os candidatos são selecionados ao</p><p>acaso, um após o outro. A probabilidade de que rapazes e</p><p>moças se alternem é</p><p>A) 1/2.</p><p>B) 1/5.</p><p>C) 1/20.</p><p>D) 1/10.</p><p>E) 1/36.</p><p>EXERCÍCIO 06</p><p>24</p><p>24</p>