SOLUÇÃO 2 COMPLETA

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Resolvendo a questão A 
Sabendo que T: R2 → R³ 
A questão pede para determinar uma matriz M, tal que T(u) = Au; para todo u pertencente a 
R²; 
Conforme exemplo 3 do capitulo 8 da seção 4 (pág. 275) do livro Anton, Howard Álgebra 
linear com aplicações – 8. Ed : Bookman, 2001. 
[T(α1)]β = [1 1 0]
T 
[T(α2)]β = [0 1 -1]
T 
Sendo assim, temos que: 
 T(α1) = β1 + β2 (Basta analisar os coeficientes da transformação [1 1 0] ) 
T(α2) = β2 - β3 (Basta analisar os coeficientes da transformação [0 1 -1] ; 
Temos então que 
T(α1) = β1 + β2 = [1 1 1]
 T 
T(α2) = β2 – β3 = [-1 -1 2] 
T 
Logo Basta achar a matriz M, tal que: 
[1 1 1] T = M.(α1) 
[-1 -1 2] T = M.(α2) 
Chamando M = 
 
 
 
 e Conhecendo α1 e α2 
Temos que : 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
a –b =1; c-d = 1; e-f = 1; 
2b =-1; 2d = -1; f = 1; 
Logo 
a = ½; 
b = -½; 
c = ½; 
d = -½; 
e =2; 
f = 1 
Assim M = 
 
 
 
 
Em geral, a forma explicita de T: 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
T(x,y) : 
 
 
 
 
 
 
Usando o mesmo raciocínio, só que agora temos a forma explícita de S. 
Como α R² e β R³ 
Segue que dado as bases α = { α1, α2} e β = { β1, β2, β3} 
Dado α1=(1,-1) , α2=(0,2) 
β1 =(1,0,-1), β2 =(0,1,2), β3 =(1,2,0) 
Sabendo que M = 
 
 
 
 
Aplicando M em α1 e α2 Temos: 
S(α1) = 
 
 
 
 . 
 
 
 = 
 
 
 
 
S(α2) = 
 
 
 
 . 
 
 
 = 
 
 
 
 
Como qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores na base e 
escrevendo S(α1) e S(α2) na base β 
Temos 
Para S(α1): 
(-2,0,1) = c1(1,0,-1) + c2(0,1,2) + c3(1,2,0) 
 c1 + c3 = -2 
 c2 + c3 = 0 
-c1 + 2c2 = 1 
Resolvendo (verifique) 
c1 = -3; c2 =-1;c3=1; 
[S(α1)] β =[c1 c2 c3] =[-3 -1 1] ; 
Temos Para S(α2): 
(4,-2,0) = c1(1,0,-1) + c2(0,1,2) + c3(1,2,0) 
Resolvendo (verifique) 
c1 =12; c2 = 6; c3=-8; 
Assim 
[S(α2)] β =[c1 c2 c3] =[12 6 -8] ; 
Logo, [S] β α =[ [S(α1)] β | [S(α2)] β ] 
 [S] β α = 
 
 
 
 ▪ 
 
 
 
 
 
Essa é chata, existe n jeitos de fazer. 
Conhecida a Matriz M (matriz de transformação explicita) e [T]γα 
Determinar uma base γ. 
Sabendo que a forma explícita de T, temos: 
M = 
 
 
 
 
Sabemos também que: 
T(x,y) : 
 
 
 
 
Logo, 
[T(α1)]γ = 
 
 
 
 
[T(α2)]γ = 
 
 
 
 
Então, 
T(α1) = [1 1 1]
 
 
T(α2) = [-1 -1 2]
 
 
γ1= (1, 1, 1]
 
 
γ2= β2 = (0,1,2) 
γ3= (-1,-1,2) 
Assim 
γ = (γ1, γ2, γ3) 
É a base γ.