cálculo vetorial e EDO- Aula2

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<p>Equações</p><p>Diferenciais de</p><p>primeira ordem</p><p>• Separáveis;</p><p>Lineares;</p><p>Exatas;</p><p>Aplicações.</p><p>Equações Diferenciais Ordinárias- EDO</p><p>• Ordem de uma EDO:</p><p>• É a ordem da “maior” derivada que aparece na</p><p>equação:</p><p>Ex:</p><p>a) xy’’ – y’ =1 , 2ª ordem</p><p>b) 3(y’)³ - 𝒚𝑰𝑽 , 4ª ordem</p><p>Equações Diferenciais Ordinárias- EDO</p><p>• Lineares e não- lineares:</p><p>• Lineares: y, y’, y’’, ..., 𝒚(𝒏) aparecem com</p><p>expoente 1 e não aparecem produtos dessas</p><p>variáveis. Caso contrário seriam não lineares.</p><p>Ex:</p><p>a) xy’’ – y’ =1 , linear</p><p>b) 3(y’)³ - 𝒚𝑰𝑽 , não- linear</p><p>c) y.y’ = 1 , não- linear</p><p>Solução de uma EDO</p><p>Ex1: Verificar se as funções são soluções da equação</p><p>dada.</p><p>a) y’’ – y =0 ; y(x)= 𝒆𝒙, y(x) = senx</p><p>Solução:</p><p>p/ y(x)= 𝒆𝒙</p><p>Y’= 𝒆𝒙 , Y’’= 𝒆𝒙 𝒆𝒙- 𝒆𝒙= 0, é solução</p><p>p/ y(x) = senx</p><p>Y’= cosx</p><p>Y’’= -senx, -senx- senx ≠ 0, não é solução</p><p>Solução de uma EDO</p><p>Ex2: Para que valor de a, a equação y’ + 2 y =0 tem</p><p>solução y(x)= 𝒆𝒂𝒙.</p><p>Solução:</p><p>p/ y(x)= 𝒆𝒂𝒙</p><p>Y’= a𝒆𝒂𝒙 ,</p><p>a𝒆𝒂𝒙 + 2 𝒆𝒂𝒙 = 0 → a+ 2 = 0 → a= -2</p><p>Equação Diferencial Ordinária de 1ª ordem.</p><p>Equação geral linear de 1ª ordem y’+ p(x)y= g(x)</p><p>Caso 1: p(x) =0</p><p>y’ = g(x)</p><p>y’= 2x → y=∫ 2x dx → y= x² +c</p><p>Caso 2: g(x)=0</p><p>Transformar o primeiro termo da equação, na derivada</p><p>do produto entre duas funções</p><p>y’+ 2 y =0 ( 𝒆𝒂𝒙). a= p(x), a é um coeficiente</p><p>constante</p><p>Equação Diferencial Ordinária de 1ª ordem.</p><p>a= 2</p><p>y’+ 2 y =0 ( 𝒆𝟐𝒙) → 𝒆𝟐𝒙 y’+ 2 𝒆𝟐𝒙 y =0</p><p>→ ∫ (𝒆𝟐𝒙 y)’dx=∫ 0 dx</p><p>→ 𝒆𝟐𝒙 y= c</p><p>y= c 𝒆−𝟐𝒙</p><p>Obs: A solução depende de uma constante. O conjunto</p><p>de todas as soluções é chamada de família de</p><p>soluções.</p><p>Equação Diferencial Ordinária de 1ª ordem.</p><p>Resolver o problema de valor inicial PVI. Dada a</p><p>equação:</p><p>y’+ 5 y = 0; y(0)= 3</p><p>y’+ 5 y =0 ( 𝒆𝟓𝒙) → 𝒆𝟓𝒙 y’+ 2 𝒆𝟓𝒙 y =0</p><p>→ ∫ (𝒆𝟓𝒙 y)’dx=∫ 0 dx</p><p>→ 𝒆𝟓𝒙 y= c</p><p>y= c 𝒆−𝟓𝒙 → 3=c 𝒆−𝟓.𝟎 → c= 3, logo y = 3 𝒆−𝟓𝒙</p><p>Caso Geral y’+ p(x)y= g(x).</p><p>Utilizar o fator integrante U(x)= 𝒆∫𝒑 𝒙 𝒅𝒙.</p><p>Ex: y’ -2xy =x</p><p>Solução:</p><p>y’- 2x y =x ( 𝒆∫−2x𝒅𝒙 ) → 𝒆−𝒙² y’- 2x 𝒆−𝒙² y =x</p><p>→ ∫(𝒆−𝒙²y)’dx=∫ x 𝒆−𝒙² dx</p><p>→𝒆−𝒙²y= -</p><p>𝒆−𝒙²</p><p>𝟐</p><p>+ c</p><p>y= (-</p><p>𝒆−𝒙²</p><p>𝟐</p><p>+ c). 𝒆𝒙²</p><p>APLICAÇÕES DA EDO- CIRCUITOS ELÉTRICOS</p><p>•Equação Separável</p><p>•Estas podem ser reescritas de</p><p>maneira a isolar as variáveis x e y</p><p>(com seus diferenciais dx e dy) em</p><p>lados opostos da equação.</p><p>•Ex: Resolver a equação não- linear</p><p>𝒅𝒚</p><p>𝒅𝒙</p><p>=</p><p>𝒙−𝟓</p><p>𝒚²</p><p>•Solução:</p><p>•</p><p>•→ ∫y²dy=∫ x -5 dx</p><p>• y= (3</p><p>𝒙²</p><p>𝟐</p><p>- 15 x+ c) Τ𝟏</p><p>𝟑</p><p>Aplicação EDO de 1ª ordem</p><p>(Decaimento radioativo)</p><p>O isótopo radioativo tório 234 desintegra-se</p><p>numa taxa proporcional a quantidade presente. Se</p><p>1000mg desse material são reduzidos a 82,04mg,</p><p>em 7dias. Encontre uma expressão para a</p><p>quantidade de tório em um tempo t qualquer.</p><p>Aplicação EDO de 1ª ordem</p><p>(Decaimento radioativo)</p><p>Solução:</p><p>Q(t) quantidade de tório no tempo t</p><p>𝒅𝒒</p><p>𝒅𝒕</p><p>= kq , →</p><p>𝒅𝒒</p><p>𝒒</p><p>= kdt</p><p>∫</p><p>𝒅𝒒</p><p>𝒒</p><p>= ∫ kdt , → lnq= kt +c, → q= 𝒆𝒌𝒕+𝒄 (duas</p><p>constantes</p><p>O isótopo radioativo tório 234</p><p>desintegra-se numa taxa</p><p>proporcional a quantidade</p><p>presente. Se 1000mg desse</p><p>material são reduzidos a 82,04mg,</p><p>em 7dias. Encontre uma expressão</p><p>para a quantidade de tório em um</p><p>tempo t qualquer</p><p>Aplicação EDO de 1ª ordem</p><p>(Decaimento radioativo)</p><p>Solução:</p><p>Q(0)= 1000, q(7)= 82,04</p><p>q= 𝒆𝒌𝒕+𝒄 (duas constantes), q= 1000. 𝒆𝒌𝒕</p><p>𝒆𝒌𝟕=</p><p>𝟖𝟐,𝟎𝟒</p><p>𝟏𝟎𝟎𝟎</p><p>, 𝒆𝒌𝟕= 0,08204, 7k= ln 0,08204</p><p>K= ln 0,08204/7</p><p>Q(t)= 1000 𝒆−𝟎,𝟑𝟓𝟕𝟐𝒕</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p>