Exercícios de Séries de Potência e Polinômios de Taylor

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Terceira Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo - Se´ries de Poteˆncia
Cursos: F´ısica e Engenharia de Alimentos
1. Determine o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia das seguintes se´ries de
poteˆncia:
(a)
∞∑
n=1
(−1)n2
nxn
n3n
(b)
∞∑
n=0
n!xn (c)
∞∑
n=1
n3xn (d)
∞∑
n=0
n
en
x3n+5
(e)
∞∑
n=0
(2x−1)n/2 (f)
∞∑
n=1
n(x−2)n (g)
∞∑
n=1
(−2)nxn
4
√
n
(h)
∞∑
n=1
n!(2x−1)n
2. Determine as se´ries de Taylor das seguintes func¸o˜es, em torno do ponto x◦ dado:
(a) f(x) = cos(x), x◦ = 0 (b) f(x) = e−2x, x◦ = 0 (c) f(x) = cos(3x), x◦ = 0
(d) f(x) = ln(x), x◦ = 1 (e) f(x) = (1 + x)−2, x◦ = 0
3. Use se´ries para aproximar a integral definida
∫ 1
0
cos(x3)dx, com precisa˜o de 3 casas
decimais.
4. Polinoˆmios de Taylor: Se f , f ′, f ′′, . . . , f (n+1) sa˜o de classe Cn+1 em |x − a| < R,
enta˜o
f(x) = Pn(x) + Rn(x),
onde Pn(x) =
n∑
k=0
f (k)(a)(x− a)k
k!
e Rn(x) e´ o resto dado por
Rn(x) =
∫ x
a
f (x+1)
n!
(x− t)ndt ou lim
x→a
Rn(x)
(x− a)n = 0.
O polinoˆmio Pn(x) e´ chamado n-e´simo polinoˆmio de Taylor de f em torno de a, e o termo
Rn(x) e´ o resto da se´rie de Taylor.
(a) Considere a func¸a˜o f(x) = sen(x) e a = 0. Determine o polinoˆmio de Taylor de f de
grau P2n+1.
(b) Usando o item anterior, calcule sen(2) com um erro menor que 10−4.
(c) Determine o polinoˆmio de Taylor P2n da func¸a˜o f(x) = cos(x) no ponto a = 0.
(d) Usando o item anterior, calcule cos(1) com erro menor que 10−5.
5. Obtenha uma se´rie binomial para cada func¸a˜o e indique o raio de convergeˆncia:
(a) f(x) =
√
1 + x (b) f(x) =
√
1− x3 (c) f(x) = (1 + x)−2
6. Ache um valor aproximado para as seguintes integrais definidas usando o exerc´ıcio indi-
cado, com precisa˜o de 3 casas decimais:
(a)
∫ 1/2
0
√
1 + x3dx (item (a) do exerc´ıcio 5)
(b)
∫ 0,3
0
1
(1 + x3)2
dx (item (c) do exerc´ıcio 5)
7. Calcule:
(a) lim
x→0
ex − 1− x
x2
(b) lim
x→0
x− arctg(x)
x3
(c) lim
x→0
sen(x)− x + 1
6
x3
x5
2