AULA_01_-_Lei_de_Hooke_para_Tenso_Plana

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<p>Resistência dos Materiais II</p><p>Prof. Werley Rafael da Silva</p><p>AULA 01 – Lei de Hooke para EPT</p><p>Universidade Federal de Catalão</p><p>Faculdade de Engenharia - FENG</p><p>Departamento de Engenharia Civil - DECIV</p><p>Lei de Hooke para Tensão Plana</p><p>As equações de transformação de Tensão são deduzidas a partir do</p><p>equilíbrio do elemento As propriedades dos materiais não são</p><p>necessárias</p><p>Considera-se as propriedades dos materiais para investigar as deformações</p><p>no material no estado plano de tensões</p><p>Limitações:</p><p>1 – Material isótropo e homogêneo</p><p>2 – Material elástico linear (segue a lei de hooke)</p><p>Lei de Hooke para Tensão Plana</p><p>Deformações normais em tensão planazyx e  ,</p><p>Lei de Hooke para Tensão Plana</p><p>zy</p><p>x</p><p>x </p><p></p><p> +</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−+</p><p></p><p>=</p><p>?=x 0</p><p></p><p>−=−= z</p><p>zx</p><p></p><p></p><p>y</p><p>x</p><p>x </p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p>=</p><p>( )yxx  −</p><p></p><p>=</p><p>1</p><p>( )xyy  −</p><p></p><p>=</p><p>1</p><p>( )yxz </p><p></p><p> +</p><p></p><p>−=</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>analogamente</p><p>não provoca ! xy</p><p>x</p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>Sair de das equações (1) e (2) para chegar em (5) e (6).</p><p>Lei de Hooke para Tensão Plana</p><p>( )xyy  −=</p><p>xyy  +=</p><p>( )yxx  −</p><p></p><p>=</p><p>1</p><p>1 ( )xyy  −</p><p></p><p>=</p><p>1 2</p><p>yxx  −=</p><p>( )xyxx  +−=</p><p>xyxx  2−−=</p><p>( ) −−= yxx  21</p><p>( )21  −=+ xyx</p><p>( ) ( )21  −=+ xyx</p><p>( )yxx </p><p></p><p> +</p><p>−</p><p></p><p>=</p><p>21</p><p>analogamente</p><p>( )xyy </p><p></p><p> +</p><p>−</p><p></p><p>=</p><p>21</p><p>5 6</p><p>Lei de Hooke para Tensão Plana</p><p>G</p><p>xy</p><p>xy</p><p></p><p> =</p><p>4</p><p>não provoca !</p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>xyyx e </p><p>As equações (1)-(4) fornecem as</p><p>deformações em estado plano de tensão,</p><p>quando todas as tensões agem</p><p>simultaneamente ( , e )x</p><p>y xy</p><p>As equações (1) e (2) podem ser dadas por:</p><p>Lei de Hooke para Tensão Plana</p><p>( )yxx </p><p></p><p> +</p><p>−</p><p></p><p>=</p><p>21</p><p>( )xyy </p><p></p><p> +</p><p>−</p><p></p><p>=</p><p>21</p><p>xyxy G = 7</p><p>6</p><p>5</p><p>0=z 0=yzxz e </p><p>LEI DE HOOKE PARA TENSÃO PLANA</p><p>Contém 3 constantes do material (E, G e )</p><p>mas apenas duas dependentes.</p><p></p><p></p><p>( )+</p><p></p><p>=</p><p>12</p><p>G</p><p>8</p><p>G</p><p></p><p> =</p><p>Prova da Eq. (8) partindo</p><p>do estado de cisalhamento</p><p>puro!</p><p>EE</p><p>mínmáx</p><p>máx</p><p></p><p></p><p></p><p> −=</p><p>EE</p><p>máx</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−= ( )</p><p></p><p> +</p><p></p><p>= 1máx</p><p>9</p><p>Lei de Hooke para Tensão Plana</p><p>( )máxmáxbd hhhL  +=+= 1222</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−+= </p><p></p><p>2</p><p>cos2 2222 hhhLbd</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−= </p><p></p><p>2</p><p>cos12 22 hLbd</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−= </p><p></p><p>2</p><p>cos1</p><p>2 2</p><p>2</p><p>h</p><p>Lbd</p><p>( )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−=</p><p>+</p><p></p><p></p><p>2</p><p>cos1</p><p>2</p><p>12</p><p>2</p><p>22</p><p>h</p><p>h máx</p><p>( ) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−=+ </p><p></p><p></p><p>2</p><p>cos11</p><p>2</p><p>máx</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−=++ </p><p></p><p></p><p>2</p><p>cos121</p><p>2</p><p>máxmáx</p><p>sen−</p><p>máx </p><p>02 máx</p><p> sen</p><p>Como e são pequenas!</p><p>( ) senmáx +=+ 121</p><p> =máx2</p><p>2</p><p></p><p> =máx</p><p>10</p><p>Sabendo (9), (10) e (7):</p><p>( ) ( )</p><p>G2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=+</p><p></p><p>=+</p><p></p><p>( )+</p><p></p><p>=</p><p>1</p><p>2G</p><p>( )+</p><p></p><p>=</p><p>12</p><p>G</p><p>8</p><p>Lei dos cossenos abd</p><p>Geometria de um</p><p>EVR abcd (h x h)</p><p>deformado em</p><p>cisalhamento</p><p>puro</p><p>*Tensão Biaxial</p><p>São dadas por (5) e (6)</p><p>São dadas por (1), (2) e (3)</p><p>Os efeitos de tensão normal e cisalhamento são independentes.</p><p>*Tensão Uniaxial</p><p>*Cisalhamento Puro</p><p>Casos Especiais no Plano</p><p>0=xy</p><p>yx e </p><p>zyx e  ,</p><p>0=y</p><p></p><p>= x</p><p>x</p><p></p><p></p><p></p><p>−== x</p><p>zy</p><p></p><p></p><p>xx  =</p><p>0== yx  0=== zyx </p><p>G</p><p>xy</p><p>xy</p><p></p><p> =</p><p>*Quando há deformação linear em um sólido implica em variação de volume</p><p>*Se conhecer sendo i = x,y e/ou z, pode-se determinar</p><p>*Considere o elemento variando suas dimensões como na figura abaixo</p><p>Sendo os lados, com as dimensões originais: a, b e c</p><p>Com o aumento dos lados:</p><p>Variação de Volume na Tensão Plana</p><p>i V</p><p>zyx ceba  ,</p><p>abcVo =</p><p>( )( )( )zyxf ccbbaaV  +++=</p><p>( )zyxzyzxyxzyxf VV  +++++++= 10</p><p>( )( )( )zyxf VV  +++= 1110</p><p>( ) ( ) ( )zyxf cbaV  +++= 111</p><p>Equação válida para</p><p>grandes deformações</p><p>Restringindo nosso estudo ao caso das pequenas deformações</p><p>Variação de Volume na Tensão Plana</p><p>( )zyxf VV  +++= 10</p><p>( )</p><p>000 1 VVVVV zyxf −+++=−= </p><p>( )zyxVV  ++= 0</p><p>zyx</p><p>V</p><p>V</p><p>e  ++=</p><p></p><p>=</p><p>0</p><p>Variação de volume por unidade</p><p>Dilatação</p><p>Deformação Volumétrica v</p><p>ou</p><p>ou</p><p>Deformação de cisalhamento não</p><p>produz variação de volume</p><p>Válida para pequenas deformações</p><p>Não precisa seguir a Lei de Hooke</p><p>Válida para qualquer estado de tensão</p><p>Para Estados Planos de Tensão e Lei de Hooke, temos:</p><p>Variação de Volume na Tensão Plana</p><p>( )yxe </p><p></p><p>+</p><p></p><p>−</p><p>=</p><p>21</p><p>( )</p><p>x</p><p>V</p><p>V</p><p>e </p><p></p><p></p><p>−</p><p>=</p><p></p><p>=</p><p>21</p><p>0</p><p>( ) ( ) ( )yxxyyx</p><p>EEE</p><p>e </p><p></p><p> +−−+−=</p><p>11</p><p>yxxy</p><p>yx</p><p>EEEEEE</p><p>e </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−−−+=</p><p>( ) ( ) ( )yxyxxyyx</p><p>EEEEE</p><p>e </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +−+=−−+=</p><p>21221</p><p>Considerando o caso de tensão uniaxial, tem-se:</p><p>11</p><p>0x 0VSe (Tração) 5,0021 − </p><p>Coeficiente máximo de Poisson</p><p>Exemplos</p><p>EXEMPLO 1</p><p>Mostre que, para o caso do estado plano de tensão, a lei de Hooke pode ser</p><p>expressa como:</p><p>( )yxx </p><p></p><p> +</p><p>−</p><p></p><p>=</p><p>21</p><p>( )xyy </p><p></p><p> +</p><p>−</p><p></p><p>=</p><p>21</p><p>EXEMPLO 2</p><p>A barra de cobre na Figura está sujeita a uma carga uniforme ao longo de suas bordas.</p><p>Se tiver comprimento a = 300mm, largura b = 50mm e espessura t = 20mm antes da</p><p>aplicação da carga, determine seus novos comprimento, largura e espessura após a</p><p>aplicação da carga. Desconsidere a deformação na direção z e Considere</p><p>120coE GPa= 0,34co =</p>