Lista 1

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<p>MAC130 Cálculo Diferencial e Integral 3</p><p>LISTA 1.</p><p>Domı́nio de funções de duas variáveis</p><p>Determine e represente geometricamente o domı́nio das funções abaixo.</p><p>1. z = f(x, y) =</p><p>√</p><p>x+ 4</p><p>√</p><p>y − 1</p><p>2. z = f(x, y) = ln(4x2 + y2 − 1)</p><p>3. z = f(x, y) =</p><p>√</p><p>y − x2 +</p><p>√</p><p>2x− y</p><p>4. z = f(x, y) =</p><p>x− y√</p><p>1− x2 − y2</p><p>5. z = f(x, y) = arcsin(x+ y)</p><p>6. z = f(x, y) = ln(x2 + y2 − 4) +</p><p>√</p><p>1− x2</p><p>4</p><p>− y2</p><p>9</p><p>7. z = f(x, y) =</p><p>√</p><p>1− |x| − |y|</p><p>8. z = f(x, y) = ln(5− x2 − y2) +</p><p>√</p><p>xy − x</p><p>9. z = f(x, y) =</p><p>√</p><p>(y − 3) ln(x− 2)</p><p>10. z = f(x, y) =</p><p>√</p><p>xy</p><p>ln(</p><p>√</p><p>x2 + y2 − 9− 4)</p><p>11. z = f(x, y) =</p><p>√</p><p>1− x2 − y2</p><p>12. z = f(x, y) = ln(x+ y)</p><p>13. z = f(x, y) =</p><p>√</p><p>1− x2 +</p><p>√</p><p>1− y2</p><p>14. z = f(x, y) = x+ arccos(y)</p><p>15. z = f(x, y) = arctan</p><p>(</p><p>x− y</p><p>1 + x2y2</p><p>)</p><p>Curvas de ńıvel</p><p>Descreva as curvas de ńıvel não vazias das funções abaixo.</p><p>1. z = f(x, y) =</p><p>√</p><p>4− x2 − y2</p><p>2. z = f(x, y) =</p><p>1</p><p>x2 + y2</p><p>3. z = f(x, y) =</p><p>2</p><p>x+ y</p><p>4. z = f(x, y) =</p><p>x</p><p>x− y</p><p>5. z = f(x, y) = ln(x2 + y2)</p><p>6. z = f(x, y) =</p><p>x2</p><p>4</p><p>+</p><p>y2</p><p>9</p><p>1</p><p>Limites</p><p>Calcule os limites abaixo.</p><p>1. lim</p><p>(x,y)→(0,9)</p><p>(</p><p>x</p><p>√</p><p>y</p><p>)</p><p>(Resp: 0)</p><p>2. lim</p><p>(x,y)→(2,1)</p><p>(ln(xy − 1)) (Resp: 0)</p><p>3. lim</p><p>(x,y)→(2,2)</p><p>(</p><p>x3 − y3</p><p>x− y</p><p>)</p><p>(Resp: 12)</p><p>4. lim</p><p>(x,y)→(0,0)</p><p>(</p><p>x2 − xy√</p><p>x−√</p><p>y</p><p>)</p><p>(Resp: 0)</p><p>Mostre que os limites abaixo não existem.</p><p>1. lim</p><p>(x,y)→(0,0)</p><p>(</p><p>5xy</p><p>x2 + y2</p><p>)</p><p>2. lim</p><p>(x,y)→(0,0)</p><p>(</p><p>x2</p><p>x2 + y2</p><p>)</p><p>3. lim</p><p>(x,y)→(0,0)</p><p>(</p><p>3x2y</p><p>x4 + y2</p><p>)</p><p>4. lim</p><p>(x,y)→(0,0)</p><p>(</p><p>xy2cos(y)</p><p>x2 + y4</p><p>)</p><p>Derivadas parciais</p><p>Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.</p><p>1. z = f(x, y) = 2xy5 + 3x2y + x2 (Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= 2y5 + 6xy + 2x,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= 10xy4 + 3x2 )</p><p>2. z = f(x, y) = (3x+ 2y)5 (Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= 15(3x+ 2y)4,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= 10(3x+ 2y)4 )</p><p>3. z = f(x, y) =</p><p>x− y</p><p>x+ y</p><p>(Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>=</p><p>2y</p><p>(x+ y)2</p><p>,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>=</p><p>−2x</p><p>(x+ y)2</p><p>)</p><p>4. z = f(x, y) =</p><p>xy2</p><p>x2y3 + 1</p><p>(Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>=</p><p>y2(1− x2y3)</p><p>(x2y3 + 1)2</p><p>,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>=</p><p>xy(2− x2y3)</p><p>(x2y3 + 1)2</p><p>)</p><p>5. z = f(x, y) = e−(x2+y2) (Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= −2xe−(x2+y2),</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= −2ye−(x2+y2) )</p><p>6. z = f(x, y) = xexy (Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= (xy + 1)exy,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= x2exy) )</p><p>7. z = f(x, y) =</p><p>√</p><p>x2 + y2 (Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>=</p><p>x√</p><p>x2 + y2</p><p>,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>=</p><p>y√</p><p>x2 + y2</p><p>)</p><p>2</p><p>8. z = f(x, y) = ln</p><p>(</p><p>x+ y</p><p>x− y</p><p>)</p><p>(Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>=</p><p>−2y</p><p>x2 − y2</p><p>,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>=</p><p>2x</p><p>x2 − y2</p><p>9. z = f(x, y) = ln(</p><p>√</p><p>x2 + y2) (Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>=</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>=</p><p>y</p><p>x2 + y2</p><p>)</p><p>10. z = f(x, y) = x2 ln(1 + x2 + y2)</p><p>(Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= 2xln(1 + x2 + y2) +</p><p>2x3</p><p>1 + x2 + y2</p><p>,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>=</p><p>2x2y</p><p>1 + x2 + y2</p><p>)</p><p>11. z = f(x, y) =</p><p>x sin(y)</p><p>cos(x2 + y2)</p><p>Resp: ∂f</p><p>∂x</p><p>=</p><p>sin(y)(cos(x2 + y2) + 2x2 sin(x2 + y2))</p><p>(cos(x2 + y2))2</p><p>,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>=</p><p>x cos(y) cos(x2 + y2) + 2y sin(y) sin(x2 + y2)</p><p>(cos(x2 + y2))2</p><p>12. f(x, y, z) = xy2z3 + 3yz (Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= y2z3,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= 2xyz3 + 3z,</p><p>∂f</p><p>∂z</p><p>= 3xy2z2 + 3y )</p><p>13. f(x, y, z) = xe2x+yz (Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>= (1 + 2x)e2x+yz,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>= xze2x+yz,</p><p>∂f</p><p>∂z</p><p>= xye2x+yz )</p><p>14. f(x, y) = arctan</p><p>(y</p><p>x</p><p>)</p><p>(Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>=</p><p>−y</p><p>x2 + y2</p><p>,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>=</p><p>x</p><p>x2 + y2</p><p>)</p><p>15. f(x, y, z) = e</p><p>sin</p><p>(y</p><p>x</p><p>)</p><p>(Resp:</p><p>∂f</p><p>∂x</p><p>=</p><p>−y</p><p>x2</p><p>e</p><p>sin</p><p>(y</p><p>x</p><p>)</p><p>cos</p><p>(y</p><p>x</p><p>)</p><p>,</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>=</p><p>1</p><p>x</p><p>e</p><p>sin</p><p>(y</p><p>x</p><p>)</p><p>cos</p><p>(y</p><p>x</p><p>)</p><p>)</p><p>3</p>