1 - Geometria Espacial de Posição 2024 - GABARITO

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<p>TRABALHO DE MATEMÁTICA</p><p>01 Que conceito primitivo da Geometria espacial pode ser lembrado ao se</p><p>observar:</p><p>a) um fio bem esticado? Uma Reta.</p><p>b) um grão de areia? Um Ponto.</p><p>c) a superfície de uma mesa? Um Plano.</p><p>02 Em cada item, classifique a sentença em (V) verdadeira ou (F) falsa.</p><p>a) ( F ) Na Geometria Espacial de Posição, o espaço é limitado e é nele que</p><p>residem as figuras geométricas espaciais.</p><p>b) ( V ) Dois pontos do espaço sempre são colineares.</p><p>c) ( V ) Três pontos do espaço nem sempre são coplanares.</p><p>d) ( V ) Dois pontos distintos determinam uma única reta.</p><p>e) ( F ) Uma reta que não está contida em um plano intersecta esse plano em</p><p>vários pontos.</p><p>03 Sejam os pontos A, B e C pertencentes ao plano ∝ e não colineares, e o</p><p>ponto D não pertencentes ao plano ∝ e não colinear com os pontos A, B ou C.</p><p>Responda:</p><p>a) No máximo, quantos triângulos podem ser determinados pelos pontos A, B, C</p><p>e D, tendo esses pontos como vértices? 4 Triângulos.</p><p>b) No máximo, quantos planos podem ser determinados pelos pontos A, B, C e</p><p>D? 4 Planos.</p><p>c) Qual é a posição relativa entre as retas 𝐴𝐷 ⃡ e 𝐴𝐵 ⃡ . Concorrentes.</p><p>d) Qual é a posição relativa entre as retas 𝐴𝐷 ⃡ e 𝐵𝐶 ⃡ . Reversas.</p><p>04 Determine a posição relativa entre duas retas, caso:</p><p>a) Sejam coplanares e possuam apenas um ponto em comum. Concorrentes.</p><p>b) Sejam coplanares e não possuam ponto em comum. Paralelos.</p><p>c) Não sejam coplanares. Reversas.</p><p>d) Sejam coplanares e possuam dois pontos em comum. Coincidentes.</p><p>05 Observe a imagem de um cubo, em que β é um plano que contém uma de</p><p>suas faces. De acordo com a figura, podemos afirmar que:</p><p>a) Os pontos F e G pertencem ao plano β ? Sim.</p><p>b) As faces do cubo estão contidas no plano β ? Não. (somente FGHI).</p><p>c) A reta 𝐾𝐿 ⃡ pertencem ao plano β ? Não.</p><p>d) A reta 𝐹𝐺 ⃡ pertencem ao plano β ? Sim.</p><p>e) Os pontos G e K pertencem ao plano β ? Não.</p><p>f) A reta JK ⃡ é paralela ao plano β ? Sim.</p><p>06 Responda a cada item baseando-se na figura a seguir.</p><p>a) Quais são os pontos apresentadas na figura? R, S, T e U.</p><p>b) Quais são as retas apresentadas na figura? 𝑅𝑇 ⃡ , 𝑅𝑆 ⃡ , 𝑅𝑈 ⃡ , 𝑆𝑇 ⃡ , 𝑇𝑈 ⃡ e 𝑆𝑈 ⃡ .</p><p>c) Quais das retas apresentadas são concorrentes a reta 𝑆𝑇 ⃡ ? 𝑅𝑆 ⃡ e 𝑅𝑇 ⃡</p><p>d) Qual é a posição relativa entre as retas 𝑆𝑇 ⃡ e 𝑈𝑇 ⃡ . Concorrentes.</p><p>e) Qual é a posição relativa entre as retas 𝑅𝑇 ⃡ e 𝑆𝑈 ⃡ . Reversas.</p><p>f) Qual é a posição relativa entre as retas 𝑇𝑈 ⃡ e o plano (STU). Coincidentes.</p><p>g) Qual é a posição relativa entre as retas 𝑅𝑆 ⃡ e o plano (STU). Concorrentes ou Secantes.</p><p>07 Observe a representação do cubo.</p><p>Determine a posição relativa das retas que contêm as arestas do cubo, indicadas</p><p>em cada item.</p><p>a) 𝐸𝐹 ⃡ e 𝐴𝐵 ⃡ . Paralelas.</p><p>b) 𝐸𝐹 ⃡ e 𝐸𝐻 ⃡ . Concorrentes Perpendiculares.</p><p>c) 𝐴𝐵 ⃡ e 𝐵𝐶 ⃡ . Concorrentes Perpendiculares.</p><p>d) 𝐷𝐶 ⃡ e 𝐴𝐵 ⃡ . Paralelas.</p><p>e) 𝐵𝐶 ⃡ e 𝐸𝐻 ⃡ . Paralelas.</p><p>f) 𝐷𝐶 ⃡ e 𝐹𝐺 ⃡ . Reversas.</p><p>g) 𝐻𝐷 ⃡ e 𝐸𝐹 ⃡ . Reversas.</p><p>h) 𝐹𝐺 ⃡ e 𝐵𝐹 ⃡ . Concorrentes Perpendiculares.</p><p>08 Considere as retas reversas r e s. A reta r passa pelos pontos A e B</p><p>pertencentes ao plano ∝, e a reta s passa pelos pontos H e I, sendo H</p><p>pertencente ao plano ∝ e I não pertencente ao plano ∝.</p><p>a) Determine a posição relativa entre o plano ∝ e a reta r. Coincidentes.</p><p>b) Determine a posição relativa entre o plano ∝ e a reta s. Concorrentes ou Secantes.</p><p>09 Observe a representação do prisma reto de base quadrangular abaixo:</p><p>Considerando os planos que contêm as faces desse prisma, determine:</p><p>a) O(s) plano(s) paralelo(s) ao plano que contém a face ABFE. O plano que contém a face</p><p>DCGH.</p><p>b) O(s) plano(s) secante(s) ao plano que contém a face ABCD. Os planos que contêm as</p><p>faces BCGF, CGHD, ABFE e ADHE</p><p>c) A posição relativa entre os planos que contêm as faces ABFE e BCGF. Secantes.</p><p>d) A posição relativa entre os planos que contêm as faces ADHE e DCGH. Secantes.</p><p>e) A posição relativa entre a reta 𝐶𝐺 ⃡ e o plano que contêm a face DAEH. Paralelos.</p><p>f) A posição relativa entre a reta 𝐷𝐴 ⃡ e o plano que contêm a face ABFE. Concorrentes.</p><p>10 Considere a representação do prisma reto de base triangular abaixo:</p><p>Determine a posição relativa entre a reta que contém a aresta:</p><p>a) 𝐴𝐷 ⃡ e o plano que contém a face ABE; Secante.</p><p>b) BE 𝐵𝐸 ⃡ e o plano que contém a face ADEF; Secante.</p><p>c) 𝐸𝐹 ⃡ e o plano que contém a face ABCD; Paralela.</p><p>d) 𝐴𝐷 ⃡ e o plano que contém a face ABCD: Coincidente.</p><p>11 Em cada item, classifique a sentença em (V) verdadeira ou (F) falsa.</p><p>a) ( F ) Se a reta r possui um ponto em comum com o plano ∝, então r está</p><p>contida em ∝.</p><p>b) ( V ) Se a reta r possui dois ou mais pontos em comum com o plano ∝, então r</p><p>está contida em ∝.</p><p>c) ( V ) Se a reta r intersecta o plano ∝ em apenas um ponto, então r é secante a</p><p>∝.</p><p>d) ( F ) Se a reta r é paralela ao plano ∝, então r intercepta ∝ em apenas um</p><p>ponto.</p><p>12 Considere os planos e as retas que contêm, respectivamente, as faces e as</p><p>arestas da representação do cubo.</p><p>a) Quais são os planos paralelos ao plano que contém a face ABFE? O plano que</p><p>contém a face DCGH.</p><p>b) O ponto A pertence a quais planos? Aos planos que contêm as faces ABFE, AEHD e ABCD.</p><p>c) ⟷D H corresponde à intersecção de quais planos? Dos planos que contêm as faces</p><p>ADHE e DHGC.</p><p>13 Observe a figura abaixo.</p><p>Qual é a posição relativa entre a reta que passa pelos pontos Q e P e o plano ∝?</p><p>Concorrentes ou Secantes.</p><p>14 Observe a pirâmide de base quadrada representada a seguir e verifique se</p><p>as retas indicadas em cada item são paralelas, concorrentes ou reversas.</p><p>a) 𝐴𝐶 ⃡ e 𝐴𝐷 ⃡ Concorrentes.</p><p>b) 𝐴𝐵 ⃡ e 𝐸𝐷 ⃡ Reversas.</p><p>c) 𝐵𝐶 ⃡ e 𝐸𝐷 ⃡ Paralelas.</p><p>d) 𝐵𝐸 ⃡ e 𝐴𝐸 ⃡ Concorrentes.</p><p>e) 𝐵𝐶 ⃡ e 𝐴𝐸 ⃡ Reversas.</p><p>f) 𝐴𝐸 ⃡ e 𝐴𝐶 ⃡ Concorrentes.</p><p>15 Observe o sólido geométrico representado abaixo. Depois, responda às</p><p>questões.</p><p>a) Qual é a posição relativa dos planos determinados pelas faces EFHC e DEFG?</p><p>Concorrentes ou Secantes.</p><p>b) A reta 𝐴𝐼 ⃡ é intersecção de quais planos determinados pelas faces desse sólido</p><p>geométrico? Plano (AIGD) e Plano (AIJB).</p><p>c) Qual é o plano determinado por uma das faces do sólido que é paralelo ao</p><p>plano determinado pela face ADGI? Plano (BCHJ).</p><p>d) Qual é a reta de intersecção dos planos secantes determinados por BCHJ e</p><p>ECHF? 𝐶𝐻 ⃡ .</p><p>e) Há algum plano determinado por uma das faces do sólido que é paralelo ao</p><p>plano determinado pela face ABJI? Sim. Em caso afirmativo, qual é esse plano?</p><p>Plano (DCHG).</p><p>16 Observe o sólido geométrico ao lado e os pontos assinalados. Classifique</p><p>em verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações seguintes.</p><p>a) ( V ) As retas 𝐹𝐺 ⃡ e 𝐵𝐺 ⃡ são coplanares.</p><p>b) ( V ) As retas 𝐴𝐵 ⃡ e 𝐺𝐻 ⃡ são coplanares.</p><p>c) ( F ) As retas 𝐸𝐻 ⃡ e 𝐹𝐽 ⃡ são coplanares.</p><p>d) ( V ) Os planos (FGJ) e (IEH) são paralelos distintos.</p><p>e) ( F ) Os planos (ABE) e (EFJ) são paralelos distintos.</p><p>f) ( V ) As retas 𝐼𝐽 ⃡ e 𝐵𝐶 ⃡ são reversas.</p><p>g) ( V ) As retas 𝐸𝐼 ⃡ e 𝐹𝐽 ⃡ são paralelas.</p><p>17 Considere um paralelepípedo com as medidas de comprimento das arestas</p><p>indicadas na figura abaixo.</p><p>Determine as medidas de distância:</p><p>a) Entre os pontos A e B. 3</p><p>b) Entre os pontos H e F. 5</p><p>c) Entre os pontos C e E. √13</p><p>d) Entre os pontos D e H. 2√5</p><p>e) Entre os pontos A e C. √29</p><p>f) Entre os pontos H e G. 3</p><p>g) Do ponto F ao plano (ABG). 4</p><p>h) Entre as retas 𝐻𝐸 ⃡ e 𝐴𝐷 ⃡ . 2</p><p>i) Entre as retas 𝐶𝐸 ⃡ e 𝐵𝐻 ⃡ . 4</p><p>j) Da reta 𝐵𝐷 ⃡ ao plano (EFGH). 2</p><p>k) Entre os planos (ADEH) e (BGFC).3</p><p>l) Entre as retas 𝐺𝐻 ⃡ e 𝐵𝐷 ⃡ .</p><p>2</p><p>m) Entre os pontos B e E. √29</p><p>18 Observe o cubo a seguir.</p><p>Determine a posição relativa entre:</p><p>a) A reta 𝐴𝐵 ⃡ e o plano (CDG). Paralelos.</p><p>b) A reta 𝐴𝐷 ⃡ e o plano (CDG). Concorrentes Perpendiculares.</p><p>c) A reta 𝐸𝐷 ⃡ e o plano (ABC). Concorrentes.</p><p>d) O plano (ABC) e o plano (EHD). secantes ou Concorrentes Perpendiculares.</p><p>e) O plano determinado pelas retas 𝐸𝐹 ⃡ e 𝐺𝐻 ⃡ e o plano determinado pelas retas</p><p>𝐸𝐹 ⃡ e 𝐹𝐺 ⃡ . Coincidentes.</p><p>19 Observe a pirâmide abaixo, cuja base é um retângulo. Determine a posição</p><p>relativa entre:</p><p>a) as retas 𝐴𝐵 ⃡ e 𝐵𝐶 ⃡ . Concorrentes Perpendiculares.</p><p>b) as retas 𝐴𝐵 ⃡ e 𝐸𝐶 ⃡ . Reversas.</p><p>c) as retas 𝐴𝐷 ⃡ e 𝐵𝐶 ⃡ . Paralelas.</p><p>d) a reta 𝐴𝐵 ⃡ e o plano (BEC). secantes ou Concorrentes.</p><p>e) a reta 𝐴𝐷 ⃡ e o plano (BEC). Paralelas.</p><p>f) as retas 𝐵𝐷 ⃡ e 𝐸𝐶 ⃡ . Reversas.</p>