Equações Diferenciais Ordinárias

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<p>FACULDADE ÚNICA EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS MICHELE L. MOURÃO FERNANDES GRUPO FACULDADE Prominas UNICA</p><p>Michele L. Mourão Fernandes Mestra em Ensino de Ciências e Matemática pela Pontifícia Universidade Ca- tólica de Minas Gerais (PUC-MG) (2012), especialista em Matemática Faculda- des Integradas de Jacarepaguá (2006) e licenciada em Matemática pela Fa- culdade Pereira de Freitas (2005). Ministra aulas em cursos de Engenharia no Centro Universitário Católica do Leste de Minas Gerais (UNILESTE-MG), além de atu- ar como professora dos ensinos médio e fundamental no município de Ipatinga-MG. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS MICHELE L. MOURÃO FERNANDES FACULDADE GRUPO Prominas</p><p>FACULDADE ÚNICA EDITORIAL Diretor Geral: Valdir Henrique Valerio Diretor Executivo: William José Ferreira Ger. do Núcleo de Educação à Distância: Cristiane Lelis dos Santos Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira Revisão Gramatical e Ortográfica: Izabel Cristina da Costa Bárbara Carla Amorim O. Silva Carla Jordânia G. de Souza Rubens Henrique L. de Oliveira Design: Brayan Lazarino Santos Élen Cristina Teixeira Oliveira Maria Luiza Filgueiras Taisser Gustavo Soares Duarte FACULDADE 2020, Faculdade Única. Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização escrita do Editor. NEaD - Núcleo de Educação as Distancia FACULDADE ÚNICA Rua Salermo, 299 Anexo 03 - Bairro Bethânia - CEP: 35164-779 - Tel (31) 2109 -2300 - 0800 724 2300 www.faculdadeunica.com.br FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas</p><p>EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 1° edição Ipatinga, MG Faculdade Única 2021 FACULDADE GRUPO UNICA Prominas</p><p>FACULDADE GRUPO UNICA Prominas</p><p>LEGENDA DE Com intuito de facilitar seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, mostradas a seguir: FIQUE ATENTO ! Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes nas quais você precisa ficar atento. BUSQUE POR MAIS São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro. VAMOS PENSAR? Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, associando-os a suas ações. FIXANDO CONTEÚDO Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos conteúdos abordados no livro. GLOSSÁRIO Apresentação dos significados de um determinado termo ou palavras mostradas no decorrer do livro. FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas</p><p>SUMÁRIO UNIDADE 1 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 1.1 Relembrando a integral definida 8 Integrais impróprias com limite de integração infinito 10 UNIDADE 2 REGRA DE L'HÔPITAL 2.1 Regra de L'Hôpital 19 2.2 Uso da regra de L'Hôpital 20 UNIDADE 3 SEQUÊNCIAS E SÉRIES 3.1 Sequências 27 3.2 Séries 30 UNIDADE 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 4.1 Ordem, grau e forma de uma Edo 43 4.2 Solução de uma Edo 46 4.3 Problema do valor inicial e solução singular 49 UNIDADE 5 LUCIAN EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM RENEE CARLINO 5.1 Equações de variáveis separáveis 54 5.2 Problema do valor inicial 57 5.3 Resolução envolvendo decomposição em frações parciais 59 5.4 Equações 62 DALE CAR UNIDADE 6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM 6.1 Equações exatas e fatores integrantes 68 6.2 Equações lineares de segunda ordem 70 6.3 Problema do valor inicial 74 30 Problemas de valor do contorno 75 Transformada de LaPlace FACULDADE GRUPO UNICA Prominas</p><p>UNIDADE 1 Nesta unidade vamos estudar as Integrais Impróprias que são definidas em intervalos do tipo [a, ); b] ou (-00, +00), estas integrais são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática. UNIDADE 2 Nesta unidade vamos aprender uma regra para resolver as indeterminações dos limites, que nem sempre funciona quando simplificamos a função. Essa regra será de grande utilidade para estudo das sequências que será abordada na próxima unidade. Z UNIDADE 3 Nesta unidade, vamos apresentar conceito de sequências e séries para a aplicação em soluções analíticas de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) UNIDADE 4 Equações cujas incógnitas são derivadas foram denominadas Equações diferenciais, pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz. Nesta unidade vamos iniciar estudo das EDOs, abordando sua ordem, seu grau, sua forma e sua solução. UNIDADE 5 Nesta unidade, prosseguiremos com estudo das Equações Diferenciais ordinárias, porém, abordando os seguintes tópicos: Equações Separáveis ou Problema do Valor inicial, Resolução envolvendo frações parciais. UNIDADE 6 Nesta unidade vamos abordar as equações exatas e os fatores integrantes, bem como as Equações diferenciais de segunda ordem. Vamos enunciar as transformadas de Laplace, fazendo a abordagem com exemplos práticos. FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas</p><p>INTEGRAIS IMPRÓPRIAS UNIDADE 01 62-4ac 2a a X 2 X-6-24 f(x)-tanx fix = X GRUPO UNICA Prominas 7</p><p>Na definição de Integral definida, consideramos a função a ser integrada num intervalo limitado, ou seja, fechado. Agora estenderemos esta definição para funções definidas em intervalos do tipo : [a, ); (-00, b] ou as integrais de funções com os intervalos acima são conhecidas como impróprias, as quais serão tratadas nesta unidade, estas integrais são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática. 1.1 RELEMBRANDO A INTEGRAL DEFINIDA cálculo Diferencial tanto decorre dos processos que definem a equação da reta tangente a uma curva, conhecido como problemas das Tangentes, quanto motivado pelo entendimento dos procedimentos de variação de grandezas. cálculo Integral origina-se das infinitas tentativas de determinação de áreas e vo- lumes e comprimentos de arcos, conhecidos como problemas das Áreas. Isacc Newton e Gottfried Willeim Leibniz, através de estudos independentes perce- beram que havia uma conexão entre os dois problemas: um resolvia o outro. Seja f uma função definida e contínua num domínio D =[a,b]. Uma função f se diz definida em D se ela se descreve por uma equação. Se lim f se diz contínua em Se S = é chamada Integral definida de uma função f definida e contínua em D e a função f é dita Integrável em D. A integral definida pode ser interpretada como a área resultante de uma região neste intervalo [a,b]. Exemplo 1: Resolver a integral I) Calculando a integral: Temos uma integral da potência, sabemos que: Portanto, teremos : 4 1 II) Substituindo os intervalos dados: 4 4 14 4 = 16 4 1 4 = 15 4 FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 8</p><p>Analisando graficamente, temos: 10 0 6 $ 10 Figura 1: Representação gráfica da integral da função X ao cubo no intevarlo [1,2] Fonte: A Autora (2021) Portanto, dizemos que a área abaixo dessa curva no intervalo é de 15/4 = 3,75 u.a. (unidade de área). Exemplo 2: Resolver a integral I) Reescrevendo a integral: II) Resolvendo: III) Substituindo no intervalo dado: = ! FIQUE ATENTO Propriedades de Potências: FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 9</p><p>1.2 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS COM LIMITE DE INTEGRAÇÃO INFINITO Iremos trabalhar com três tipos de intervalor de integração, : [a, ); b] ou (-00, +00) e detalharemos abaixo o método para a resolução de cada uma das integrais impróprias. Tendo a integral inicialmente iremos substituir o extremo infinito do inter- valo por uma constante a, e após aplicando conceito de limite, temos (2): (2) Calcularemos então a integral definida ao final resolveremos o limite. Tendo a integral de modo análogo ao item anterior, iremos substituir o ex- tremo infinito por uma constante b, aplicando limite temos (3): (3) Calcularemos então a integral definida ao final resolveremos o limite Por fim, se temos a integral inicialmente iremos dividir a integral em uma soma de duas integrais, como demonstrado por (4): (4) Quando aplicamos essa propriedade, recaímos em integrais do tipo I e II, e a resolve- remos da mesma forma item I e II, vale ressaltar que quando o limite existir dizemos que a integral converge e caso não, diverge. FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 10</p><p>! FIQUE ATENTO Algumas Integrais tabeladas: dx = senx = cotgx dx = = cossecx dx = - cotgx| coshx dx = senhx senhxdx = coshx tghx dx = In coshx cotghx dx sechx dx = 1 1 = FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 11</p><p>Exemplo 3: Calcular a integral se ela Reescrevendo a integral, utilizando o conceito de limite temos: Resolvendo a integral (para resolver a integral, utilizamos a integral de uma potência): dx 1 Vamos substituir os intervalos: = lim - lim Agora basta calcular o limite quando b tende para o infinito: = 3 2 1.5 1 0.5 Area 1 0 1.5 2 3.5 45 Figura 2: Gráfico de convergência do exemplo 3 Fonte: A autora (2021) FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 12</p><p>Exemplo 4: Calcular a se convergir Reescrevendo a integral, utilizando conceito de limite temos: -dx Resolvendo a integral: -dx Aplicando teorema fundamental do cálculo: = Podemos concluir que essa integral não converge. Analisando graficamente temos: 14 12 Figura 3: Gráfico de convergência do exemplo 4 Fonte: A autora (2021) FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 13</p><p>VAMOS PENSAR? Quando é que uma integral converge e quando diverge? Se O limite der um número finito, ela é dita convergente. Se esse limite der +00 a integral é dita divergente. Exemplo 5: Calcular a integral se ela dx Inicialmente, decompondo a integral e após calcularemos para verificar se a mesma converge. Sabemos que: dx = Logo ao reescrevermos nossa integral, podemos dizer que: dx dx dx Substutuindo a integral por arctgx, teremos: dx Aplicando teorema fundamental do cálculo, temos: lim arctg 0) Arctg para encontrarmos os valores do arctg t quando tende a menos infinito e arctag S quando tende a mais infinito precisamos lembrar do ciclo trigonométrico. FACULDADE GRUPO Prominas 14 JUNICA</p><p>2 3 3 #135 4 + 4 =150 6 6 210 330 6 6 m225 4 4 3 3 2 Figura 4: Ciclo trigonométrico Fonte: A autora (2021) Portanto, teremos: TT = 2 Analisando graficamente: 6 4 2 A=3.14 0 -2 Figura 5: Gráfico de convergência do exemplo 4 Fonte: A autora (2021) BUSQUE POR MAIS Para enriquecer seus conhecimentos acerca das integrais impróprias, aqui vão algumas su- gestões: livro "Cálculo, Vol. 7" (2018) de Jon Rogawski e Colin Adams aborda tema de forma clara e fácil de entender, tendo um texto leve e prático sem, contudo, descuidar do rigor da mate- mática aplicada. Disponível em: https://bit.ly/3cuf2dU. Acesso em: 24 de nov. de 2020. também material sobre assunto do prof. Adriano Pedreira Cattai, da Universidade Federal da Bahia. Disponível em: https://bit.ly/3m0DJ4V Acesso em: 24 de nov. de 2020. FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 15</p><p>FIXANDO CONTEÚDO 1. Sabendo que a integral diverge, seu valor será: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 1/2 2. Sabendo que a integral imprópria ex diverge, seu valor será igual a: a) 1. b) e. c) e-2 d) 4. e) 5. 3. valor da integral dx, sabendo que ela diverge. a) O. b) In5 -1 c) 21n5 -1 d) 4. e) 6. 4. valor da integral sabendo que ela diverge será: a) b) c) d) e) 5. Sabendo que a integral dx, diverge, seu valor será: a) b) 1 c)O. d) 1. 6. Sabendo que e*dx, diverge, seu valor será: FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 16</p><p>a) 2. b) 3. c) 1. d) 8. e) 7. 3x dx 7. Sabendo que a integral diverge, seu valor será: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) O. 3dx 8. valor da integral sabendo que ela diverge, será: a) b) c) 1 d) e) 3 FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 17</p><p>UNIDADE REGRA DE L'HÔPITAL 02 n! k)! k) P1 + V1 + (2n - 1)5</p><p>Nesta unidade iremos estudar a Regra de L'Hôpital, que é utilizada para limites que possuem inderteminações do tipo ou 00/00 Essa regra será de grande utilidade para estudo das sequências que será abordada na próxima unidade. 2.1 REGRA DE L'HÔPITAL x2-x Inicialmente, vamos lembrar processo para resolução do seguinte limite, observe que substituindo no limite, temos uma indeterminação do tipo e para resolver problema podemos simplificar a fração: x(x-1) 2 Concluímos, então, que valor do limite é 1/2. Porém, não são todos os limites que conseguimos simplificar, dessa forma, utilizaremos a regra de L'Hôpital. Essa regra será usada em indeterminações do tipo ou 00/00 ! FIQUE ATENTO 0 A Regra de L'hôpital consiste em derivarmos as funções apresentadas, toda vez que chegarmos nas indeterminações citadas acima. Vamos utilizar três exemplos para aplicar- mos a regra. FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 19</p><p>! FIQUE ATENTO Polinomial Exponencial Logaritmica = Trigonométrica 1 (are cosx)' = 1 Arcos (are -1 (arco = = Derivada da soma/subtração Derivada do produto: do Produto Derivada da função composta: da cadeia. 1 Derivada da função inversa 2.2 USOS DA REGRA DE L'HÔPITAL Exemplo 6: Resolver o lim x-2 x-2 Inicialmente, iremos substituir X = 2 no limite, e observaremos que mesmo dará uma indeterminação. Veja: lim Observe que como encontramos uma indeterminação do sendo assim, uma forma de resolver o limite é aplicar L'Hôpital. FACULDADE GRUPO Prominas 20 JUNICA</p><p>Derivando as funções teremos: 2x - lim = x-2 1 x-2 Exemplo Calcular: lim 3x+4 2x-5 7: De modo análogo ao exemplo anterior, substituir limite e observaremos que o mesmo dará uma Veja: Calculamos o limite observe que encontramos uma do tipo vamos aplicar a regra de L'Hôpital. Derivando as funções teremos: - Exemplo 8: Calcular o limite X-00 ex De modo análogo aos exemplos anteriores, note que: Calculando o limite encontramos uma indeterminação. Como chegamos em uma indeterminação, vamos aplicar L'Hopital: 3x2 Note que ao calcularmos o limite, ainda teremos uma indeterminação Podemos então aplicar o teorema novamente: FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 21</p><p>6x' 6 lim Observe que podemos aplicar L'Hopital, quantas vezes forem necessárias para resolver limite. VAMOS PENSAR? Lembre-se: O limite de uma constante é a própria constante. Podemos aplicar L'Hôpital quantas vezes forem necessárias para "tirarmos" a indetermina- ção da função. BUSQUE POR MAIS Leia O texto "A derivada e suas diferentes abordagens: uma proposta para a introdução do seu conceito" de Ferreira, Zuin e Oliveira (2017). Nesta leitura você encontrará um breve pano- rama do Cálculo Diferencial e as diferentes abordagens do conceito das Derivadas. vel em: https://bit.ly/3rA17qO. Acesso em: 12 de fev. de 2021. Consulte cap. 5 do livro "Cáculo Diferencial e Integral" de Silva (2017). Nele você encontrará conceito de derivada e suas propriedades e também mais exemplos sobre a Regra de L'ho- pital. Disponível em: Acesso em: 12 de fev. de 2021. FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 22</p><p>FIXANDO CONTEÚDO lim 1. Aplicando a regra de L'Hôpital encontramos como solução do limite x-0 : a) -1. b) c) 2. d) -2. e) 3. x2-x-2 lim 2. Aplicando a regra de L'Hôpital encontramos como solução do limite : b) c) -3. d) e) O. lim 3. Aplicando a regra de L'Hôpital encontramos como solução do limite 3x2-7 : a) 1/3. b) c) 1. d) 4/3 e) 2. 4. Aplicando a regra de L'Hôpital encontramos como solução do limite X-00 lim 1-x ex a) 1. c) 3. d) 5. Aplicando a regra de L'Hôpital encontramos como solução do limite lim : a) -2. b) -1. c) 2. senx_ 6. Aplicando a regra de L'Hôpital encontramos como solução do limite x-0 lim FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 23</p><p>b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. lim x2-x-2 7. Aplicando a regra de L'Hôpital encontramos como solução do limite x-2 3x2 - 5x-2 : a) 1/7. b) 2/7. c) 3/7. d) e) 5/7. sen 2x 8. Aplicando a regra de L'Hôpital encontramos como solução do limite: lim x-0 sen 5x a) 1/6. b) 1/3. c) 1. d) 2/5. e) 3. FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 24</p><p>UNIDADE SEQUÊNCIAS E SÉRIES 03 V=G.h 2 3 = SI - Z q 2 p a h p - FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 25</p><p>Nesta unidade vamos apresentar o conceito de sequências e séries, para a aplicação em soluções analíticas de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). 3.1 SEQUÊNCIAS Segundo Dante (2005), Conjunto é uma coleção de objetos, de pessoas, de números, de pontos, de figuras geométricas etc. Por exemplo, considere os seguintes conjuntos = {2,3,8,9}; A2 = e A3 = {9, 2,3,8}, como os conjuntos Al, A2 e A3 possuem os mesmos elementos, dizemos que eles são iguais. Agora, se a considerarmos essa lista de objetos disposta ordenadamente, com uma ordem preestabelecida vamos denominá-la de sequência ou sucessão. Assim, a sequência Al = {2,4,8,9}; A2 = ou A3 = {9, 2,4,8} são todas diferentes. Como nossos objetos de estudo são os números reais, uma sequência deve ser com- preendida como toda lista ordenada de números reais dispostos por uma lei de formação, de modo que é possível identificar cada termo ou elemento dessa sequência. Assim, toda sequência deve ser compreendida como uma lista ordenada de nú- meros reais a2, a3, ,...} interpretada como uma função que associa cada = a um, e somente um, número real, a(n) =an. Em geral, todas as sequências têm o mesmo domínio, o conjunto 3.1.1 GRÁFICO DE UMA SEQUÊNCIA Considere a sequência an = onde cada valor de produz um único an, formando assim pares ordenados (n, an). Observe: 12-3.1+ 2 = 0, portanto, (1,0) 2 = portanto, (2,0) (3,2) Calculando os pontos teremos: (1,0) ; (2,0); (3,2); (4,6); (5,12) ou (6,20). Observe abaixo a repre- sentação gráfica dos pontos acima. Calculando os pontos teremos: (1,0) ; (2,0); (3,2); (4,6); (5,12) ou (6,20). Observe abaixo a representação gráfica dos pontos acima. FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 26</p><p>20 14 12 10 : 10 12 14 Figura 6: Representação gráfica dos pontos Fonte: A autora (2021) gráfico da sequência an é o conjunto dos pares ordenados , 3.1.2 FORMANDO SEQUÊNCIAS Em algumas sequências podemos definir ou reconhecer sua lei de formação, para isso necessitamos de alguns termos dessa sequência, alguns são de forma intuitiva, em outros é necessário o uso de alguns artifícios matemáticos. Considere a sequência abaixo: bn = Observe que: = 2 = 2.1 b2 = 4 = 2.2 b3 = 6 = 2.3 Portanto, podemos concluir que bn = 2.n Consideremos agora a seguinte sequência: an ={1,3,5,7,9,....} Observe que: al=1 Portanto, podemos concluir que an= FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 27</p><p>BUSQUE POR MAIS Na dissertação defendida por Belini (2015) "A razão áurea e a sequência de Fibonacci", você vai encontrar uma abordagem sobre O número de ouro e uma importante sequência que é a de Fibonacci. Disponível em: Acesso em: 12 de fev. de 2021. Consulte O capítulo 02 do livro "Cálculo Diferencial e Integral" de Silva (2017). Nele você encontrará as propriedades e aplicações das sequências dos números reais. Disponível em: Acesso em: 16 de fev. de 2021. 3.1.3 ANÁLISE DA CONVERGÊNCIA OU DIVERGÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA Vamos analisar agora se uma sequência converge ou diverge: Dizemos que uma sequência a(n) converge (5) se: lim an=L (a sequência converge para L) Dizemos ainda que uma sequência diverge (6) se: +00 lim a sequência diverge. FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 28</p><p>Exemplo 9: Verificar se a sequência a seguir converge ou diverge. Aplicando limite teremos: lim Calculando limite chegamos em uma precisamos aplicar a Regra de L' Hôpital como visto na unidade anterior, teremos que derivar numerador e denominador. 1 Aplicando limite temos: Como resultado foi um número, podemos concluir que a sequência converge. Exemplo 10: Considere termo geral de uma sequência 2n, lim n-00 Calculando limite, chegamos a uma indeterminação. Como o resultado foi infinito, podemos concluir que a sequência diverge. 3.2 SÉRIES Vimos que a sequência pode ser obtida ou representada por uma lei de formação, a qual nos fornece termo a termo a sequência. Agora pegarmos essa sequência e somarmos todos os seus termos até infinito teremos a série. Logo: Seja uma sequência = como demonstrado por (7). FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 29</p><p>+ ... (7) n=1 Podemos obter uma lei de formação para a soma dos termos Sn que será chamada de somas parciais da sequência (8). (7) Obtemos o resultado fazendo a relação (9): + ... (8) Após resolvermos limite, podemos verificar se a série em questão é convergente ou divergente. ! FIQUE ATENTO = ... n=1 Se lim = L a série converge + Se lim ou a série diverge n-00 oscilar 3.2.1 SÉRIE DE POTÊNCIA Se CO, C1, C2, são constantes e X uma variável, temos a relação (10): = ... (10) k=0 FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 30</p><p>É uma série de potência em X. Apresentaremos a seguir dois exemplos de séries de potência. Exemplos: ... k=0 +00 0! 1! 2! k=0 3.2.2 RAIO E INTERVALO DE CONVERGÊNCIA Para resolvermos uma série de potência e encontrar seu raio de convergência, va- mos utilizar teste de razão. Dada uma série vamos supor que: lim an+1 p n-00 an Então a série será: Se a série será absolutamente convergente; Se a série será divergente; Se p=1 teste será inconclusivo. Exemplo 11: Considere a seguinte série: n=1 Queremos determinar raio de convergência e intervalo de convergência. Como feremos? I. Começamos a resolver pelo teste da razão an+1 substituindo na série temos : an FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 31</p><p>VAMOS PENSAR? Propriedade das potências: Multiplicação de potência de mesma base conserva-se a base e soma os expoentes. Divisão de potência de mesma base, conserva-se a base e subtrai os expoentes: Fatorial (!) 2!=2.1=2 = 120 n!= n (n-1)(n-2)(n-3). 1 II. Expandindo nossa série, utilizando as propriedades das potências e resolvendo o fatorial. Temos: = (n!)2 ! FIQUE ATENTO No segundo passo, o (n+1)! foi decomposto em (n+1).(n)!, porém, ele estava elevado ao quadrado, porisso, ficamos com FACULDADE GRUPO Prominas 32 JUNICA</p><p>III. Simplificando: = (2n) Obs: desenvolvemos fatorial de (2n+2) até 2n! IV.Podemos ainda fazer mais uma = 1 V. Vamos calcular o limite desta função: |x| (n+1)2.x lim = = 2 2 8 Podemos resolver a indeterminação de duas maneiras, simplificando limite DU aplicando Aplicando L'Hôpital: lim 2 6 ! FIQUE ATENTO é um produto notável, portanto, podemos aplicar a Regra do Quadrado da soma de dois termos. (2n+2)(2n+1), podemos aplicar a Propriedade distributiva. Substituindo n por teremos uma indeterminação 00/00 aplicando L'Hôpital nova- mente, temos: lim . lim - . 2 Raio de convergência e intervalo: Sabemos que multiplicando cruzado temos que assim, o raio de conver- gência é 8. intervalo de convergência encontramos resolvendo a inequação modular. -8<x<8 FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 33</p><p>! FIQUE ATENTO Se 3.2.3 SÉRIES DE TAYLOR A fórmula de Taylor é um método de aproximação de uma função por um polinômio, com erro estimado. polinômio de Taylor, considerando uma função derivável infinitas vezes e, C per- tencente ao intervalo até a ordem n. polinômio de Taylor (11), de ordem de f em C é : + ... + (11) 2! n! Quando n vai para o infinito temos a série de Taylor (12): n! (12) Quando C=O temos a série de MacLaurin (13): + + (13) 1! 2! FACULDADE GRUPO Prominas 34 JUNICA</p><p>Exemplo 12: Transformar função em série de MocLaurin Calcular a função e depois calcular o f(0) na função = = Fazendo a segunda agora do função e depois calculando = cos(x) = -sen(x)( a derivada do cosseno = -sen(x)) Calculando a agara da função: - sen(x) e depois calculando -1 Escrevendo de temos (já deu para identificar qual é lógica do + = 3! + + Teremos: 3! 5! FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 35</p><p>Note que nossa sequência oscila entre positivo e negativo e temos apenas expoentes impares. Portanto, chegamos à seguinte conclusão: 1! 3! 5! 7! = VAMOS PENSAR? Para chegarmos à fórmula: n=1 Temos que pensar O seguinte: A série está oscilando em negativo colocamos n=1, por isso, colocamos Como primeiro termo da série é positivo, temos que colocar O Como O X está elevado em termos ímpares O nosso x2n-1 lembrando que colo- camos nosso n começando no 7. Exemplo 13: Transformar a função f(x) = cos X para Obs: Como C não é zero, vamos utilizar a série de Taylor. Calcular = cos = - 1 Derivar a função e calcular = X = 0 FACULDADE GRUPO Prominas 36 JUNICA</p><p>Calculando a derivada segunda Calculando a derivada terceira de f"(x) = - Podemos escrever a série: 2! + Note que: = 3! Concluindo: = + *** 2! 4! 6! 8! Obs: Nossa série está oscilando entre negativo e positivo e só estamos trabalhando na série com expoentes positivos. Aplicando Somatório: + 8! FACULDADE GRUPO Prominas 37</p><p>VAMOS PENSAR? Para chegarmos à fórmula: n=0 Temos que pensar O seguinte: Como O primeiro termo da série é negativo começamos por (-7), como estamos começando com n=0 expoente do tem que ser n+1; Como todos nossos expoentes são pares podemos concluir que Temos que dividir pela mesma potência fatorial. BUSQUE POR MAIS No material elaborado pela Luiza Amalia Pinto Cantão da Universidade Estadual Paulista (UNESP) você encontrará mais exemplos sobre as Séries de Thaylon e de Maclaurim. Dipsonivel em: Acesso em: 16 de fev. de 2021. No artigo "Series de Fourier" do prof. Ricardo Bianconi você encontrará uma abordagem sobre as Séries de Fourier. Disponível em: https://bit.ly/3czjB6U. Acesso em: 16 de fev. de 2021. FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 38</p><p>FIXANDO CONTEÚDO 1. (UnBgama-Adaptada) intervalo de convergência da série de potência abaixo será: 8 n=1 a) b) (-1,2). c) (-2,2). d) (3,0). e) (1,4). 2. (UnBgama-Adaptada) intervalo de convergência da série abaixo de potência será: n=1 a) (-1,1). b) (2,4). c) (-1,6). d) (-2,2). e) (-3,6). 3. (UFSCAR-Adaptada) Considere a seguinte sequência analise sua convergência, seu limite quando n tende para infinito b) O. c) d) 4. (UFSCAR-Adaptada) Considere a seguinte sequência analise sua convergência, seu limite quando n tende para infinito será: a) 1. b) 2. FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 39</p><p>d) e) 5. 5. Considere a seguinte sequência { seu termo geral pode ser dado por: a) b) c) e) an=3n 6. Quantos múltiplos de 7 existem entre a sequência 52 e 2341'? a) 327 b) 326 c) 325 d) 340 e) 350 7. A série de Maclaurin da função , será: a) d) e) 8. raio de convergência da série é: a) 2. b) 1. c) d) 3. e) 4. FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 40</p><p>dt + + @</p><p>Equações cujas incógnitas são derivadas foram denominadas Equações diferenciais pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz. Nesta unidade vamos iniciar estudo da EDO, abordando sua ordem, seu grau, sua forma e sua solução. 4.1 ORDEM, GRAU E FORMA DE UMA EDO Se as incógnitas dependem apenas da variável X de uma função y em relação a y(x) a equação se diz Equações Diferenciais Ordinais (EDO). Mas se as incógnitas são deri- vadas parciais, a equação é denominada Equações Diferenciais Parciais ou EDP. Observe alguns exemplos de equações diferenciais: - Toda EDO é uma relação entre as variáveis reais X e y e pelo menos uma função n das derivadas de y em relação a X. Muitas EDO se colocam na forma de um Polinômio diferencial, que permite classi- fica-las quanto à ordem e ao grau das derivadas. Um Polinômio Diferencial (14) é todo polinômio da forma: (14) Onde as funções são chamadas de coeficientes. Quanto ao grau as EDO formam dois grupos: as lineares e as não lineares. Organiza- das na forma de um polinômio as EDO se classificam quanto ao ordem e quanto ao grau da derivada. A ordem é a ordem do termo diferencial de mais alta ordem da equação. grau é dado pelo expoente inteiro não negativo a que está elevado termo diferencial de mais alta ordem da equação. Por exemplo, a equação y" 3y' + 2y = 0 é Ordem 2 e Grau 1. Em geral Polinômios Diferenciais de Grau são LINEARES. Mais precisamente, Poli- nômios Diferenciais de Grau ] são lineares se a função y e suas derivadas são de grau e não ocorre produto ou composição destas variáveis. ! FIQUE ATENTO Toda equação linear tem grau mas nem toda equação de grau 7 é linear. FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 42</p><p>Ser(x)=0, Polinômio Diferencial é dito Equações Homogêneas Associada, y' + f(x)y = 0 ou y" + = são Equações Homogêneas associadas, respectivamente, às equa- ções lineares de ordem 1 e 2. As EDO de Ordem n e Grau podem ser descritas numa das formas: Na Forma Implícita: = Na Forma Explicita: = Na forma as EDO são escritas f(x,y,y') e na forma AS EDO se descrevem y' Por exemplo, = C em relação à X, temos 2x+ FORMA e na FORMA Pois, segundo Leibniz, o símbolo deve ser entendido como um quociente e uma expressão como deve ser vista como uma equação. Assim, operando como quociente: yy' + X = 0 => ydy + A forma xdx + ydy = 0 é denomi- nada Forma Diferencial da EDO dada. Exemplo 14: Classificar as equações diferenciais quanto à ordem, ao grau e se ela é linear. Ordem - 1 (pois só temos a derivada primeira) Grau- 1 (pois o expoente da derivada de maior ordem é o 1) Linear: Sim, pois é do grau 1. Ordem 3 (pois temos até a terceira derivada) Grau- pois expoente da de maior ordem é 1) Linear: Sim, pois é do grau 1. Ordem- 2 (pois temos até a segunda Grau- 3 (pois expoente da derivada de maior ordem é o 3) Linear: Não, pois não é do primeiro grau. Ordem 2 (pois temos até a segunda) Grau- 1 (pois o expoente da derivada de maior ordem é 1) Linear: Não, pois envolve produto de incógnitas FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 43</p><p>FIQUE ATENTO Toda equação linear tem grau 7, mas nem toda equação de grau 7 é linear. Se r(x)=0, o Polinômio Diferencial é dito Equações Homogêneas Associada y' + f(x)y = 0 ou = são Equações Homogêneas associadas, respectiva- mente, às equações lineares de ordem 1 e 2. As EDO de Ordem n e Grau 1 podem ser descritas numa das formas: Na Forma Implícita: Na Forma Explicita: Na forma as EDO são escritas f(x,y,y') e na forma EDO se descrevem y' = f(x,y). Por exemplo, derivando em relação à X, temos 2x + = 0 Na FORMA yy^'+x=0 e na FORMA y^'=(-x)/y. Pois, segundo Leibniz, o símbolo deve ser entendido como um quociente e uma expressão como deve ser vista como uma equação. Assim, operando dx como quociente: yy' + X = 0 ydydx +x=0 ydy forma xdx + ydy = é denomi- nada Forma Diferencial da EDO dada. Exemplo 14: Classificar as equações abaixo, quanto à ao grau e se ela é Ordem 1 (pois só temos derivada primeira) Grau- 1 (pois o expoente da derivada de maior ordem é Linear: pois é do grau 1. Ordem 3 (pois temos até a Grau- 1 pois expoente derivada de ordem é o Linear: Sim, pois é do grau 1. Ordem- 2 (pois temos até a segunda derivada) Grau- 3 (pois expoente derivada de ordem Linear: pois não é do primeiro Ordem - 2 (pois até a derivada segunda) Grau- 1 (pois expoente da derivada de maior ordem é Linear: pois envolve produto de FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 44</p><p>4.2 SOLUÇÃO DE UMA EDO Resolver uma EDO é procurar as funções que a satisfazem ou é encontrar a função y=y(x) que originou a EDO. RESOLVER uma EDO é procurar a função y=y(x), definida e diferenciável num intervalo I, tal que, quando substituímos, respectivamente, y e suas de- rivadas na EDO, ela se transforma numa Intervalo da solução da EDO, chamado Intervalo de Solução, de Definição, de Existência, de Validade ou Domínio da Solução, pode ser ( a, b ), [ a, b ], ( a, b ], [ ou algum intervalo infinito ( toda função diferenciável é con- desde que a solução de uma EDO é uma função diferenciável, ela é contínua no Intervalo de Solução I. Exemplo 15: Verificar se senx é solução da EDO y" +y=0. Derivar y = senx: y' Fazer a derivada segunda: Substituir na EDO: y"+y=0 Portanto, y = uma solução da ED. Verificar se sen solução da EDO? Calcula-se a primeira derivada: y' senx + Calcula-se a segunda derivada: y" = -A cosx - B senx Substituindo na ED temos: FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 45</p><p>-A cosx - B senx + A + B senx = 0 0=0 Portanto y=A + B sen X, com A,B # 0 é solução. Ela é solução única? Exemplo 16: Verificar se a equação possui como solução de C é uma constante. Resolvendo a derivada temos: dx dx dx que: 2y Portanto, este termo é solução da equação diferencial. A EDO, pode ter infinitas so- luções. Por exemplo, y = senx mostra a totalidade das soluções de y = X. Como cada valor atribuído a CER determina uma solução, temos infinitas soluções. VAMOS PENSAR? O conjunto das n soluções de uma EDO descritas por uma Fórmula contendo n Constantes Arbitrárias e Independentes é chamada Família de Soluções ou SOLUÇÃO GERAL, SG, da EDO (n). A solução Geral de uma EDO é toda fórmula contendo tantas constantes arbitrárias e independentes quanto for a ordem da equação. A Solução Geral SG de uma EDO pode ser colocada na Forma EXPLICITA: abreviadamente SGE, ou na forma. onde são n constantes arbitrárias e independentes da SG. A Solução Particular de uma EDO(n) é toda solução obtida da solução geral por atri- buição de valores numéricos às constantes arbitrárias. FACULDADE GRUPO JUNICA Prominas 46</p><p>Exemplo 17: A solução geral y' = é y(x) = onde domínio de y(x) - + C é intervalo A Solução Particular, SP, que satisfaz a condição inicial y(0) = é obtida substituindo por 0 e Como y(0) A Exemplo 18: A Função uma solução da +y=0 0=0, portanto, a função é solução da EDO. Exemplo 19: A SG da EDO y' - 2y = Cexem A solução particular y(0)=0 é 0, a solução particular y(x) = A solução dada pela função nula y(x) = chamada Solução trivial; A solução particular que satisfaz y(o) - 1 Exemplo 20: y = 3x é uma solução da = 0 Verificação: De FACULDADE GRUPO UNICA Prominas 47</p><p>y dx - xdy temos: = Substituindo y'=3ey = 3x na equação 0 Como a verificação mostrou que as substituições produzem uma identidade, a equa- ção y=3x é uma solução da EDO ydx-x dy=0. 4.3 PROBLEMA DO VALOR INICIAL E SOLUÇÃO SINGULAR As Equações Diferenciais Ordinais estão sujeitas a dadas condições iniciais, que de- finem valor de cada constante Cn da solução geral que satisfaz a condição inicial y (xo) = Por exemplo: A solução geral y' = y = senx + C, onde A solução particular que satisfaz a condição inicial é obtida substituindo X por zero e y por TT na solução geral. Temos: Como . Exemplo 21: A solução geral da EDO y' - 2y é em -00 e a solução particular que satisfaz a condição y(0) = 0, é obtida substituindo X por 0 e y por 0 na solução geral. Temos: = C.1 C=0 Uma solução identicamente nula no intervalo de solução de uma equação diferen- cial é chamada de solução trivial. Entretanto, nem toda solução de uma Equação Diferencial Ordinária de primeira or- dem pode ser obtida da solução geral atribuindo valor numérico à constante arbitrária. FACULDADE GRUPO Prominas 48 JUNICA</p>