unidade 5

Prévia do material em texto

<p>1</p><p>EQUAÇÕES</p><p>DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS</p><p>MICHELE L. MOURÃO FERNANDES</p><p>EDUCAÇÃO A</p><p>DISTÂNCIAFACULDADE ÚNICA</p><p>1</p><p>EQUAÇÕES DIFERENCIAIS</p><p>ORDINÁRIAS</p><p>MICHELE L. MOURÃO FERNANDES</p><p>Michele L. Mourão Fernandes</p><p>Mestra em Ensino de Ciências e Matemática pela Pontifícia Universidade Ca-</p><p>tólica de Minas Gerais (PUC-MG) (2012), especialista em Matemática Faculda-</p><p>des Integradas de Jacarepaguá (2006) e licenciada em Matemática pela Fa-</p><p>culdade Pereira de Freitas (2005). Ministra aulas em cursos de Engenharia no</p><p>Centro Universitário Católica do Leste de Minas Gerais (UNILESTE-MG), além de atu-</p><p>ar como professora dos ensinos médio e fundamental no município de Ipatinga-MG.</p><p>1</p><p>FACULDADE ÚNICA EDITORIAL</p><p>Diretor Geral:</p><p>Diretor Executivo:</p><p>Ger. do Núcleo de Educação à Distância:</p><p>Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar:</p><p>Revisão Gramatical e Ortográfica:</p><p>Revisão/Diagramação/Estruturação:</p><p>Design:</p><p>Valdir Henrique Valério</p><p>William José Ferreira</p><p>Cristiane Lelis dos Santos</p><p>Gilvânia Barcelos Dias Teixeira</p><p>Izabel Cristina da Costa</p><p>Bárbara Carla Amorim O. Silva</p><p>Carla Jordânia G. de Souza</p><p>Rubens Henrique L. de Oliveira</p><p>Brayan Lazarino Santos</p><p>Élen Cristina Teixeira Oliveira</p><p>Maria Luiza Filgueiras</p><p>Taisser Gustavo Soares Duarte</p><p>© 2020, Faculdade Única.</p><p>Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização escrita do Editor.</p><p>NEaD – Núcleo de Educação as Distancia FACULDADE ÚNICA</p><p>Rua Salermo, 299</p><p>Anexo 03 – Bairro Bethânia – CEP: 35164-779 – Ipatinga/MG</p><p>Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300</p><p>www.faculdadeunica.com.br</p><p>2</p><p>EQUAÇÕES DIFERENCIAIS</p><p>ORDINÁRIAS</p><p>1° edição</p><p>Ipatinga, MG</p><p>Faculdade Única</p><p>2021</p><p>3</p><p>4</p><p>LEGENDA DE</p><p>Ícones</p><p>Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes nas</p><p>quais você precisa ficar atento.</p><p>Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do</p><p>conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones</p><p>ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para determinado</p><p>trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, mostradas a</p><p>seguir:</p><p>São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca</p><p>virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.</p><p>Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade,</p><p>associando-os a suas ações.</p><p>Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos</p><p>conteúdos abordados no livro.</p><p>Apresentação dos significados de um determinado termo ou</p><p>palavras mostradas no decorrer do livro.</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>BUSQUE POR MAIS</p><p>VAMOS PENSAR?</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>GLOSSÁRIO</p><p>5</p><p>SUMÁRIO</p><p>1.1 Relembrando a integral definida............................................................................................................8</p><p>1.2 Integrais impróprias com limite de integração infinito........................................................10</p><p>2.1 Regra de L’Hôpital..........................................................................................................................................19</p><p>2.2 Uso da regra de L’Hôpital.........................................................................................................................20</p><p>3.1 Sequências..........................................................................................................................................................27</p><p>3.2 Séries......................................................................................................................................................................30</p><p>UNIDADE 1</p><p>UNIDADE 2</p><p>UNIDADE 3</p><p>INTEGRAIS IMPRÓPRIAS</p><p>REGRA DE L’HÔPITAL</p><p>4.1 Ordem, grau e forma de uma Edo.....................................................................................................43</p><p>4.2 Solução de uma Edo..................................................................................................................................46</p><p>4.3 Problema do valor inicial e solução singular.............................................................................49</p><p>UNIDADE 4</p><p>SEQUÊNCIAS E SÉRIES</p><p>EQUAÇÕES DIFERENCIAIS</p><p>UNIDADE 5</p><p>EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM</p><p>5.1 Equações de variáveis separáveis.......................................................................................................54</p><p>5.2 Problema do valor inicial...........................................................................................................................57</p><p>5.3 Resolução envolvendo decomposição em frações parciais............................................59</p><p>5.4 Equações redutíveis.....................................................................................................................................62</p><p>UNIDADE 6</p><p>EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 2ª ORDEM</p><p>6.1 Equações exatas e fatores integrantes............................................................................................68</p><p>6.2 Equações lineares de segunda ordem...........................................................................................70</p><p>6.3 Problema do valor inicial..........................................................................................................................74</p><p>6.4 Problemas de valor do contorno.........................................................................................................75</p><p>6.5 Transformada de LaPlace.........................................................................................................................77</p><p>6</p><p>UNIDADE 1</p><p>Nesta unidade vamos estudar as Integrais Impróprias que são definidas em intervalos</p><p>do tipo : [a, ); (-∞, b] ou (-∞, +∞), estas integrais são de grande utilidade em diversos</p><p>ramos da Matemática.</p><p>UNIDADE 2</p><p>Nesta unidade vamos aprender uma regra para resolver as indeterminações dos</p><p>limites, que nem sempre funciona quando simplificamos a função. Essa regra será</p><p>de grande utilidade para o estudo das sequências que será abordada na próxima</p><p>unidade.</p><p>UNIDADE 3</p><p>Nesta unidade, vamos apresentar o conceito de sequências e séries para a aplicação</p><p>em soluções analíticas de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO).</p><p>UNIDADE 4</p><p>Equações cujas incógnitas são derivadas foram denominadas Equações diferenciais,</p><p>pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz. Nesta unidade vamos iniciar o</p><p>estudo das EDOs, abordando sua ordem, seu grau, sua forma e sua solução.</p><p>UNIDADE 5</p><p>Nesta unidade, prosseguiremos com o estudo das Equações Diferenciais ordinárias,</p><p>porém, abordando os seguintes tópicos: Equações Separáveis ou redutíveis, Problema</p><p>do Valor inicial, Resolução envolvendo frações parciais.</p><p>UNIDADE 6</p><p>Nesta unidade vamos abordar as equações exatas e os fatores integrantes, bem como</p><p>as Equações diferenciais de segunda ordem. Vamos enunciar as transformadas de</p><p>Laplace, fazendo a abordagem com exemplos práticos.</p><p>C</p><p>O</p><p>N</p><p>FI</p><p>R</p><p>A</p><p>N</p><p>O</p><p>L</p><p>IV</p><p>R</p><p>O</p><p>7</p><p>INTEGRAIS IMPRÓPRIAS UNIDADE</p><p>01</p><p>8</p><p>1.1 RELEMBRANDO A INTEGRAL DEFINIDA</p><p>Na definição de Integral definida, consideramos a função a ser integrada num</p><p>intervalo limitado, ou seja, fechado. Agora estenderemos esta definição para funções</p><p>definidas em intervalos do tipo : [a, ); (-∞, b] ou (-∞, +∞) as integrais de funções com os</p><p>intervalos acima são conhecidas como impróprias, as quais serão tratadas nesta unidade,</p><p>estas integrais são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática.</p><p>O cálculo Diferencial tanto decorre dos processos que definem a equação da reta</p><p>tangente a uma curva, conhecido como problemas das Tangentes, quanto motivado pelo</p><p>entendimento dos procedimentos de variação de grandezas.</p><p>O cálculo Integral origina-se das infinitas tentativas de determinação de áreas e vo-</p><p>lumes e comprimentos de arcos, conhecidos como problemas das Áreas.</p><p>Isacc Newton e Gottfried Willeim Leibniz, através de estudos independentes perce-</p><p>beram que havia uma conexão entre os dois problemas: um resolvia o outro.</p><p>Seja f uma função definida e contínua num domínio D =[a,b]. Uma função f se diz</p><p>definida em D se ela se descreve por uma equação. Se se diz contínua em</p><p>.</p><p>Se é chamada Integral definida</p><p>de uma função f definida e contínua em</p><p>D e a função f é dita Integrável em D. A integral definida pode ser interpretada como a</p><p>área resultante de uma região neste intervalo [a,b].</p><p>9</p><p>Analisando graficamente, temos:</p><p>Figura 1: Representação gráfica da integral da função x ao cubo no intevarlo [1, 2]</p><p>Fonte: A Autora (2021)</p><p>Portanto, dizemos que a área abaixo dessa curva no intervalo é de 15/4 = 3,75 u.a.</p><p>(unidade de área).</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>10</p><p>1.2 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS COM LIMITE</p><p>DE INTEGRAÇÃO INFINITO</p><p>Iremos trabalhar com três tipos de intervalor de integração, : [a, ); (-∞, b] ou (-∞, +∞)</p><p>e detalharemos abaixo o método para a resolução de cada uma das integrais impróprias.</p><p>Tendo a integral , inicialmente iremos substituir o extremo infinito do inter-</p><p>valo por uma constante a, e após aplicando o conceito de limite, temos (2):</p><p>Calcularemos então a integral definida ao final resolveremos o limite.</p><p>Tendo a integral , de modo análogo ao item anterior, iremos substituir o ex-</p><p>tremo infinito por uma constante b, aplicando limite temos (3):</p><p>Calcularemos então a integral definida ao final resolveremos o limite .</p><p>Por fim, se temos a integral , inicialmente iremos dividir a integral em uma</p><p>soma de duas integrais, como demonstrado por (4):</p><p>Quando aplicamos essa propriedade, recaímos em integrais do tipo I e II, e a resolve-</p><p>remos da mesma forma item I e II, vale ressaltar que quando o limite existir dizemos que a</p><p>integral converge e caso não, diverge.</p><p>11</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>12</p><p>Figura 2: Gráfico de convergência do exemplo 3</p><p>Fonte: A autora (2021)</p><p>13</p><p>Analisando graficamente temos:</p><p>Figura 3: Gráfico de convergência do exemplo 4</p><p>Fonte: A autora (2021)</p><p>14</p><p>Quando é que uma integral converge e quando diverge?</p><p>Se o limite der um número finito, ela é dita convergente.</p><p>Se esse limite der ±∞ a integral é dita divergente.</p><p>VAMOS PENSAR?</p><p>Arctg 0 = 0, para encontrarmos os valores do arctg t quando tende a menos infinito</p><p>e arctag s quando tende a mais infinito precisamos lembrar do ciclo trigonométrico.</p><p>15</p><p>Figura 4: Ciclo trigonométrico</p><p>Fonte: A autora (2021)</p><p>Portanto, teremos:</p><p>Analisando graficamente:</p><p>Figura 5: Gráfico de convergência do exemplo 4</p><p>Fonte: A autora (2021)</p><p>Para enriquecer seus conhecimentos acerca das integrais impróprias, aqui vão algumas su-</p><p>gestões:</p><p>•O livro “Cálculo, Vol. 1” (2018) de Jon Rogawski e Colin Adams aborda o tema de forma clara</p><p>e fácil de entender, tendo um texto leve e prático sem, contudo, descuidar do rigor da mate-</p><p>mática aplicada. Disponível em: https://bit.ly/3cuf2dU. Acesso em: 24 de nov. de 2020.</p><p>•Leia também o material sobre o assunto do prof. Adriano Pedreira Cattai, da Universidade</p><p>Federal da Bahia. Disponível em: https://bit.ly/3m0DJ4V. Acesso em: 24 de nov. de 2020.</p><p>BUSQUE POR MAIS</p><p>16</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>1. Sabendo que a integral , diverge, o seu valor será:</p><p>a) 1.</p><p>b) 2.</p><p>c) 3.</p><p>d) 4.</p><p>e)</p><p>2. Sabendo que a integral imprópria , diverge, o seu valor será igual a:</p><p>a) 1.</p><p>b) e.</p><p>c)</p><p>d) 4.</p><p>e) 5.</p><p>3. O valor da integral , sabendo que ela diverge.</p><p>a) 0.</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d) 4.</p><p>e) 6.</p><p>4. O valor da integral , sabendo que ela diverge será:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>5. Sabendo que a integral , diverge, seu valor será:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)0.</p><p>d) 1.</p><p>e) -1.</p><p>6. Sabendo que , diverge, o seu valor será:</p><p>17</p><p>a) 2.</p><p>b) 3.</p><p>c) 1.</p><p>d) 8.</p><p>e) 7.</p><p>7. Sabendo que a integral , diverge, seu valor será:</p><p>a) 1.</p><p>b) 2.</p><p>c) 3.</p><p>d) 4.</p><p>e) 0.</p><p>8. O valor da integral , sabendo que ela diverge, será:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c) 1</p><p>d) 0</p><p>e)</p><p>18</p><p>Figura 9: Estrutura das bases nitrogenadas que compõem os ácidos nucleicos</p><p>Fonte: Nelson e Cox (2019, p. 283)</p><p>As bases nitrogenadas possuem uma conformação estrutural que permite sua</p><p>ligação com uma base nitrogenada correspondente (Figura 10), assim, no DNA a adenina</p><p>se liga à timina, enquanto a guanina se liga a citosina, enquanto no RNA a uracila assume</p><p>a posição da timina ao se ligar a adenina de forma complementar (NELSON; COX, 2019;</p><p>MARQUES; BALDINI, 2017; VOET; VOET; PRATT, 2014).</p><p>REGRA DE L’HÔPITAL UNIDADE</p><p>02</p><p>19</p><p>2.1 REGRA DE L’HÔPITAL</p><p>Nesta unidade iremos estudar a Regra de L’Hôpital, que é utilizada para limites que</p><p>possuem inderteminações do tipo 0/0 ou . Essa regra será de grande utilidade para o</p><p>estudo das sequências que será abordada na próxima unidade.</p><p>Inicialmente, vamos lembrar o processo para resolução do seguinte limite,</p><p>observe que substituindo o x = 1 no limite, temos uma indeterminação do tipo 0/0 e para</p><p>resolver o problema podemos simplificar a fração:</p><p>Concluímos, então, que o valor do limite é ½. Porém, não são todos os limites que</p><p>conseguimos simplificar, dessa forma, utilizaremos a regra de L´Hôpital. Essa regra será</p><p>usada em indeterminações do tipo 0/0 ou .</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>A Regra de L’hôpital consiste em derivarmos as funções apresentadas, toda vez que</p><p>chegarmos nas indeterminações citadas acima. Vamos utilizar três exemplos para aplicar-</p><p>mos a regra.</p><p>20</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>2.2 USOS DA REGRA DE L’HÔPITAL</p><p>21</p><p>22</p><p>Lembre-se: O limite de uma constante é a própria constante.</p><p>Podemos aplicar L’Hôpital quantas vezes forem necessárias para “tirarmos” a indetermina-</p><p>ção da função.</p><p>VAMOS PENSAR?</p><p>• Leia o texto “A derivada e suas diferentes abordagens: uma proposta para a introdução do</p><p>seu conceito” de Ferreira, Zuin e Oliveira (2017). Nesta leitura você encontrará um breve pano-</p><p>rama do Cálculo Diferencial e as diferentes abordagens do conceito das Derivadas. Disponí-</p><p>vel em: https://bit.ly/3rA17qO. Acesso em: 12 de fev. de 2021.</p><p>• Consulte o cap. 5 do livro “Cáculo Diferencial e Integral” de Silva (2017). Nele você encontrará</p><p>o conceito de derivada e suas propriedades e também mais exemplos sobre a Regra de L’ho-</p><p>pital. Disponível em: https://bit.ly/2O47pkV. Acesso em: 12 de fev. de 2021.</p><p>BUSQUE POR MAIS</p><p>23</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>1. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :</p><p>a) -1.</p><p>b) 1.</p><p>c) 2.</p><p>d) -2.</p><p>e) 3.</p><p>2. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :</p><p>a) -2.</p><p>b) -4.</p><p>c) -3.</p><p>d) -1.</p><p>e) 0.</p><p>3. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :</p><p>a) 1/3.</p><p>b) 2/3.</p><p>c) 1.</p><p>d) 4/3.</p><p>e) 2.</p><p>4. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :</p><p>a) 1.</p><p>b) 0.</p><p>c) 3.</p><p>d) 4.</p><p>e) 2.</p><p>5. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :</p><p>a) -2.</p><p>b) -1.</p><p>c) 2.</p><p>d) 3.</p><p>e) 0.</p><p>6. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :</p><p>a) 1.</p><p>24</p><p>b) 2.</p><p>c) 3.</p><p>d) 4.</p><p>e) 5.</p><p>7. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite :</p><p>a) 1/7.</p><p>b) 2/7.</p><p>c) 3/7.</p><p>d) 4/7.</p><p>e) 5/7.</p><p>8. Aplicando a regra de L’Hôpital encontramos como solução do limite:</p><p>a) 1/6.</p><p>b) 1/3.</p><p>c) 1.</p><p>d) 2/5.</p><p>e) 3.</p><p>25</p><p>SEQUÊNCIAS E SÉRIES</p><p>UNIDADE</p><p>03</p><p>26</p><p>Nesta unidade vamos apresentar o conceito de sequências e séries, para a aplicação</p><p>em soluções analíticas de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO).</p><p>3.1 SEQUÊNCIAS</p><p>Segundo Dante (2005), Conjunto é uma coleção de objetos, de pessoas, de números,</p><p>de pontos, de figuras geométricas etc. Por exemplo, considere os seguintes conjuntos A1 =</p><p>{2,3,8,9}; A2 = {2,3,3,3,3,8,8,8,8,9,9,9} e A3 = {9, 2,3,8}, como os conjuntos A1, A2 e A3 possuem</p><p>os mesmos elementos, dizemos que eles são iguais.</p><p>Agora, se a considerarmos essa lista de objetos disposta ordenadamente, com uma</p><p>ordem preestabelecida vamos denominá-la de sequência ou sucessão. Assim, a sequência</p><p>A1 = {2,4,8,9}; A2 = {2,3,3,3,3,8,8,8,8,9,9,9} ou A3 = {9, 2,4,8} são todas diferentes.</p><p>Como nossos objetos de estudo são os números reais, uma sequência deve ser com-</p><p>preendida como toda lista ordenada de números reais dispostos por uma lei de formação,</p><p>de modo que é possível identificar cada termo ou elemento dessa sequência.</p><p>Assim, toda sequência deve ser compreendida como uma lista ordenada de nú-</p><p>meros reais {a1, a2, a3, ...,a_n ,...} interpretada como uma função que associa cada =</p><p>{1,2,3,...,n,...}, a um, e somente um, número real, a(n) =an. Em geral, todas as sequências têm</p><p>o mesmo domínio, o conjunto</p><p>3.1.1 GRÁFICO</p><p>DE UMA SEQUÊNCIA</p><p>Considere a sequência , onde cada valor de , produz um único an,</p><p>formando assim pares ordenados (n, an).</p><p>Observe:</p><p>Calculando os pontos teremos: (1,0) ; (2,0); (3,2); (4,6); (5,12) ou (6,20). Observe abaixo a repre-</p><p>sentação gráfica dos pontos acima.</p><p>Calculando os pontos teremos: (1,0) ; (2,0); (3,2); (4,6); (5,12) ou (6,20). Observe abaixo a</p><p>representação gráfica dos pontos acima.</p><p>27</p><p>Figura 6: Representação gráfica dos pontos</p><p>Fonte: A autora (2021)</p><p>O gráfico da sequência an é o conjunto dos pares ordenados (n, an) , .</p><p>3.1.2 FORMANDO SEQUÊNCIAS</p><p>Em algumas sequências podemos definir ou reconhecer sua lei de formação, para</p><p>isso necessitamos de alguns termos dessa sequência, alguns são de forma intuitiva, em</p><p>outros é necessário o uso de alguns artifícios matemáticos.</p><p>Considere a sequência abaixo:</p><p>bn = { 2,4,6,8,10, 12,....}</p><p>Observe que:</p><p>b1 = 2 = 2.1</p><p>b2 = 4 = 2.2</p><p>b3 = 6 = 2.3</p><p>...</p><p>Portanto, podemos concluir que bn = 2.n</p><p>Consideremos agora a seguinte sequência:</p><p>an ={1,3,5,7,9,....}</p><p>Observe que:</p><p>a1 = 1</p><p>a2 = 3 = 2.2 -1</p><p>a3 = 5 = 2.3 – 1</p><p>a4 = 7 = 2.4 – 1</p><p>....</p><p>Portanto, podemos concluir que an= 2n -1.</p><p>28</p><p>• Na dissertação defendida por Belini (2015) “A razão áurea e a sequência de</p><p>Fibonacci”, você vai encontrar uma abordagem sobre o número de ouro e uma</p><p>importante sequência que é a de Fibonacci. Disponível em: https://bit.ly/3cvpmlY.</p><p>Acesso em: 12 de fev. de 2021.</p><p>• Consulte o capítulo 02 do livro “Cálculo Diferencial e Integral” de Silva (2017).</p><p>Nele você encontrará as propriedades e aplicações das sequências dos números</p><p>reais. Disponível em: https://bit.ly/2O2nJ5G. Acesso em: 16 de fev. de 2021.</p><p>BUSQUE POR MAIS</p><p>3.1.3 ANÁLISE DA CONVERGÊNCIA OU</p><p>DIVERGÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA</p><p>Vamos analisar agora se uma sequência converge ou diverge:</p><p>Dizemos que uma sequência a(n) converge (5) se:</p><p>(a sequência converge para L)</p><p>Dizemos ainda que uma sequência diverge (6) se:</p><p>a sequência diverge.</p><p>29</p><p>3.2 SÉRIES</p><p>Vimos que a sequência pode ser obtida ou representada por uma lei de formação, a</p><p>qual nos fornece termo a termo a sequência. Agora pegarmos essa sequência e somarmos</p><p>todos os seus termos até o infinito teremos a série. Logo:</p><p>Seja uma sequência a(n) = {an}, como demonstrado por (7).</p><p>30</p><p>Podemos obter uma lei de formação para a soma dos termos Sn que será chamada</p><p>de somas parciais da sequência (8).</p><p>Obtemos o resultado fazendo a relação (9):</p><p>Após resolvermos o limite, podemos verificar se a série em questão é convergente ou</p><p>divergente.</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>3.2.1 SÉRIE DE POTÊNCIA</p><p>Se C0, C1, C2, são constantes e x uma variável, temos a relação (10):</p><p>31</p><p>É uma série de potência em x. Apresentaremos a seguir dois exemplos de séries de</p><p>potência. Exemplos:</p><p>3.2.2 RAIO E INTERVALO DE CONVERGÊNCIA</p><p>Para resolvermos uma série de potência e encontrar seu raio de convergência, va-</p><p>mos utilizar o teste de razão.</p><p>Dada uma série vamos supor que:</p><p>Então a série será:</p><p>Se p1 a série será divergente;</p><p>Se p=1 o teste será inconclusivo.</p><p>32</p><p>VAMOS PENSAR?</p><p>II. Expandindo nossa série, utilizando as propriedades das potências e resolvendo o</p><p>fatorial. Temos:</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>33</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>é um produto notável, portanto, podemos aplicar a Regra do Quadrado</p><p>da soma de dois termos.</p><p>(2n+2)(2n+1), podemos aplicar a Propriedade distributiva.</p><p>Substituindo n por ∞, teremos uma indeterminação , aplicando L’Hôpital nova-</p><p>mente, temos:</p><p>Raio de convergência e intervalo:</p><p>Sabemos que , multiplicando cruzado temos que |x|a → x a</p><p>3.2.3 SÉRIES DE TAYLOR</p><p>A fórmula de Taylor é um método de aproximação de uma função por um polinômio,</p><p>com erro estimado.</p><p>O polinômio de Taylor, considerando uma função derivável infinitas vezes e, C per-</p><p>tencente ao intervalo até a ordem n. O polinômio de Taylor (11), de ordem n de f em C é :</p><p>Quando n vai para o infinito temos a série de Taylor (12):</p><p>Quando c=o temos a série de MacLaurin (13):</p><p>35</p><p>36</p><p>VAMOS PENSAR?</p><p>Para chegarmos à fórmula:</p><p>Temos que pensar o seguinte:</p><p>A série está oscilando em negativo colocamos n=1, por isso, colocamos (-1);</p><p>Como o primeiro termo da série é positivo, temos que colocar o</p><p>Como o x está elevado em termos ímpares o nosso , lembrando que colo-</p><p>camos nosso n começando no 1.</p><p>37</p><p>38</p><p>VAMOS PENSAR?</p><p>Para chegarmos à fórmula:</p><p>Temos que pensar o seguinte:</p><p>Como o primeiro termo da série é negativo começamos por (-1), como</p><p>estamos começando com n=0 o expoente do (-1) tem que ser n+1;</p><p>Como todos nossos expoentes são pares podemos concluir que ;</p><p>Temos que dividir pela mesma potência fatorial.</p><p>• No material elaborado pela prof.ª Luiza Amalia Pinto Cantão da Universidade</p><p>Estadual Paulista (UNESP) você encontrará mais exemplos sobre as Séries de</p><p>Thaylon e de Maclaurim. Dipsonivel em: https://bit.ly/2PJKXOI. Acesso em: 16 de fev.</p><p>de 2021.</p><p>• No artigo “Series de Fourier” do prof. Ricardo Bianconi você encontrará uma</p><p>abordagem sobre as Séries de Fourier. Disponível em: https://bit.ly/3czjB6U. Acesso</p><p>em: 16 de fev. de 2021.</p><p>BUSQUE POR MAIS</p><p>39</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>1. (UnBgama-Adaptada) O intervalo de convergência da série de potência abaixo será:</p><p>a) (-1,1).</p><p>b) (-1,2).</p><p>c) (-2,2).</p><p>d) (3,0).</p><p>e) (1,4).</p><p>2. (UnBgama-Adaptada) O intervalo de convergência da série abaixo de potência será:</p><p>a) (-1,1).</p><p>b) (2,4).</p><p>c) (-1,6).</p><p>d) (-2,2).</p><p>e) (-3,6).</p><p>3. (UFSCAR-Adaptada) Considere a seguinte sequência , analise sua convergência,</p><p>seu limite quando n tende para o infinito será:</p><p>a)1.</p><p>b) 0.</p><p>c) ∞.</p><p>d) -1.</p><p>e) 2.</p><p>4. (UFSCAR-Adaptada) Considere a seguinte sequência , analise sua convergência,</p><p>seu limite quando n tende para o infinito será:</p><p>a) 1.</p><p>b) 2.</p><p>c) 0.</p><p>40</p><p>d) ∞.</p><p>e) 5.</p><p>5. Considere a seguinte sequência { 1; 1/3;1/5;1/7;1/9;...} seu termo geral pode ser dado por:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>6. Quantos múltiplos de 7 existem entre a sequência 52 e 2341’?</p><p>a) 327</p><p>b) 326</p><p>c) 325</p><p>d) 340</p><p>e) 350</p><p>7. A série de Maclaurin da função , será:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>8. O raio de convergência da série é:</p><p>a) 2.</p><p>b) 1.</p><p>c) ∞.</p><p>d) 3.</p><p>e) 4.</p><p>41</p><p>EQUAÇÕES DIFERENCIAIS UNIDADE</p><p>04</p><p>42</p><p>Equações cujas incógnitas são derivadas foram denominadas Equações diferenciais</p><p>pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz. Nesta unidade vamos iniciar o estudo</p><p>da EDO, abordando sua ordem, seu grau, sua forma e sua solução.</p><p>4.1 ORDEM, GRAU E FORMA DE UMA EDO</p><p>Se as incógnitas dependem apenas da variável x de uma função y em relação a x,y=</p><p>y(x) a equação se diz Equações Diferenciais Ordinais (EDO). Mas se as incógnitas são deri-</p><p>vadas parciais, a equação é denominada Equações Diferenciais Parciais ou EDP.</p><p>Observe alguns exemplos de equações diferenciais:</p><p>Toda EDO é uma relação entre as variáveis reais x e y e pelo menos uma função</p><p>, das derivadas de y em relação a x.</p><p>Muitas EDO se colocam na forma de um Polinômio diferencial, o que permite classi-</p><p>fica-las quanto à ordem e ao grau das derivadas.</p><p>Um Polinômio Diferencial (14) é todo polinômio da forma:</p><p>Onde as funções são chamadas de coeficientes.</p><p>Quanto ao grau as EDO formam dois grupos: as lineares e as não lineares. Organiza-</p><p>das na forma de um polinômio as EDO se classificam quanto ao ordem e quanto ao grau</p><p>da derivada. A ordem é a ordem do termo diferencial de mais alta ordem da equação. O</p><p>grau é dado pelo expoente inteiro não negativo a que está elevado o termo diferencial de</p><p>mais alta ordem da equação.</p><p>Por exemplo, a equação é Ordem 2 e Grau 1.</p><p>Em geral Polinômios Diferenciais de Grau 1 são LINEARES. Mais precisamente, Poli-</p><p>nômios Diferenciais de Grau 1 são lineares se a função y e suas derivadas são de grau 1 e não</p><p>ocorre produto ou composição destas variáveis.</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>Toda equação linear tem grau 1, mas nem toda equação de grau 1 é linear.</p><p>43</p><p>Se r(x)=0, o Polinômio Diferencial</p><p>é dito Equações Homogêneas Associada ,</p><p>ou , são Equações Homogêneas associadas, respectivamente, às equa-</p><p>ções lineares de ordem 1 e 2.</p><p>As EDO de Ordem n e Grau 1 podem ser descritas numa das formas:</p><p>Na Forma Implícita:</p><p>Na Forma Explicita:</p><p>Na forma IMPLÍCITA as EDO são escritas e na forma EXPLÍCITA AS EDO</p><p>se descrevem . Por exemplo, em relação à x, temos 2x+ . Na</p><p>FORMA IMPLÍCITA e na FORMA EXPLÍCITA</p><p>Pois, segundo Leibniz, o símbolo deve ser entendido como um quociente e</p><p>uma expressão como deve ser vista como uma equação. Assim, operando</p><p>como quociente: . A forma é denomi-</p><p>nada Forma Diferencial da EDO dada.</p><p>44</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>Toda equação linear tem grau 1, mas nem toda equação de grau 1 é linear.</p><p>Se r(x)=0, o Polinômio Diferencial é dito Equações Homogêneas Associada ,</p><p>ou , são Equações Homogêneas associadas, respectiva-</p><p>mente, às equações lineares de ordem 1 e 2.</p><p>As EDO de Ordem n e Grau 1 podem ser descritas numa das formas:</p><p>Na Forma Implícita:</p><p>Na Forma Explicita:</p><p>Na forma IMPLÍCITA as EDO são escritas e na forma EXPLÍCITA AS EDO se</p><p>descrevem . Por exemplo, derivando em relação à x, temos</p><p>. Na FORMA IMPLÍCITA yy^’+x=0 e na FORMA EXPLÍCITA y^’=(-x)/y.</p><p>Pois, segundo Leibniz, o símbolo deve ser entendido como um quociente e</p><p>uma expressão como deve ser vista como uma equação. Assim, operando</p><p>como quociente: . A forma é denomi-</p><p>nada Forma Diferencial da EDO dada.</p><p>45</p><p>4.2 SOLUÇÃO DE UMA EDO</p><p>Resolver uma EDO é procurar as funções que a satisfazem ou é encontrar a função</p><p>y=y(x) que originou a EDO. RESOLVER uma EDO é procurar a função y=y(x), definida e</p><p>diferenciável num intervalo l, tal que, quando substituímos, respectivamente, y e suas de-</p><p>rivadas na EDO, ela se transforma numa IDENTIDADE.</p><p>O Intervalo l da solução da EDO, chamado Intervalo de Solução, de Definição, de</p><p>Existência, de Validade ou Domínio da Solução, pode ser ( a, b ), [ a, b ], ( a, b ], [ a, b ) ou</p><p>algum intervalo infinito . Como toda função diferenciável é con-</p><p>tínua, desde que a solução de uma EDO é uma função diferenciável, ela é contínua no</p><p>Intervalo de Solução l.</p><p>46</p><p>Portanto, este termo é solução da equação diferencial. A EDO, pode ter infinitas so-</p><p>luções. Por exemplo, mostra a totalidade das soluções de y = cos x. Como cada</p><p>valor atribuído a determina uma solução, temos infinitas soluções.</p><p>O conjunto das n soluções de uma EDO descritas por uma Fórmula contendo n Constantes</p><p>Arbitrárias e Independentes é chamada Família de Soluções ou SOLUÇÃO GERAL, SG, da</p><p>EDO (n).</p><p>VAMOS PENSAR?</p><p>A solução Geral de uma EDO é toda fórmula contendo tantas constantes arbitrárias</p><p>e independentes quanto for a ordem da equação.</p><p>A Solução Geral SG de uma EDO pode ser colocada na Forma</p><p>EXPLICITA: S= , abreviadamente SGE, ou na forma.</p><p>IMPLICITA: S= ,SGI, onde , são n constantes arbitrárias e</p><p>independentes da SG.</p><p>A Solução Particular de uma EDO(n) é toda solução obtida da solução geral por atri-</p><p>buição de valores numéricos às constantes arbitrárias.</p><p>47</p><p>48</p><p>Como a verificação mostrou que as substituições produzem uma identidade, a equa-</p><p>ção y=3x é uma solução da EDO ydx-x dy=0.</p><p>4.3 PROBLEMA DO VALOR INICIAL</p><p>E SOLUÇÃO SINGULAR</p><p>As Equações Diferenciais Ordinais estão sujeitas a dadas condições iniciais, que de-</p><p>finem o valor de cada constante da solução geral que satisfaz a condição inicial</p><p>.</p><p>Por exemplo: A solução geral , onde . A solução particular</p><p>que satisfaz a condição inicial y(0)= π , é obtida substituindo x por zero e y por π na solução</p><p>geral. Temos: Como y(0)= .</p><p>Uma solução identicamente nula no intervalo de solução de uma equação diferen-</p><p>cial é chamada de solução trivial.</p><p>Entretanto, nem toda solução de uma Equação Diferencial Ordinária de primeira or-</p><p>dem pode ser obtida da solução geral atribuindo valor numérico à constante arbitrária.</p><p>49</p><p>• Para aprofundar-se no estudo das EDOs, reforçando os conceitos de ordem, grau,</p><p>classe, operadores lineares, consulte o material “Equações Diferenciais Ordinárias”</p><p>elaborado pelo prof. Ulysses Sodré da Universidade Estadual de Londrina (UEL).</p><p>Disponível em: https://bit.ly/3u7uvGJ. Acesso em: 16 de fev. de 2021.</p><p>• Acesse o livro “Equações Diferenciais” de Bronson e Costa (2008) , consulte o capí-</p><p>tulo 01 para aprofundar seus conhecimentos sobre os conceitos das EDs e os ca-</p><p>pítulos 03, 04 e 05 para conhecer mais sobre as Equações diferenciais de primeira</p><p>ordem. Disponível em: https://bit.ly/3flBO9I. Acesso em: 16 de fev. de 2021.</p><p>BUSQUE POR MAIS</p><p>50</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>1. Das equações, qual não é linear?</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>2. Qual a ordem da equação diferencial?</p><p>a) 4.</p><p>b) 3.</p><p>c) 1.</p><p>d) 5.</p><p>e) 6.</p><p>3. A SG da EDO , onde . A solução particular que satisfaz a</p><p>condição será:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>4. Qual função é solução da EDO ?</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>5. A equação é uma solução de qual EDO?</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>6. Qual função abaixo é solução da EDO ?</p><p>51</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>7. Qual o grau da equação não linear ?</p><p>a) 1.</p><p>b) 3.</p><p>c) 2.</p><p>d) 5.</p><p>e) 6.</p><p>8. Das equações abaixo, qual é linear?</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>52</p><p>EQUAÇÕES DIFERENCIAIS</p><p>ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM</p><p>UNIDADE</p><p>05</p><p>53</p><p>Nesta unidade prosseguiremos com o estudo das Equações Diferenciais ordinárias,</p><p>porém, abordando os seguintes tópicos: Equações Separáveis ou redutíveis, Problema do</p><p>Valor inicial, Resolução envolvendo frações parciais.</p><p>5.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS</p><p>As Equações diferenciais Ordinárias (EDO) podem ser escritas:</p><p>Forma normal :</p><p>ou</p><p>Forma diferencial:</p><p>Cada forma determina métodos de resolução.</p><p>A EDO mais simples é a Equação de variáveis separáveis , EVS, assim denominada</p><p>por Leibnitz, pois são resolvidas colocando funções de x com dx e funções de y com dy.</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>Digamos é SEPARÁVEL, pois integrando,</p><p>temos</p><p>Muitas EDOs não são aparentemente separáveis, tornam-se separáveis através de</p><p>uma mudança simples de variáveis.</p><p>54</p><p>,pois o logaritimando deve ser positivo.</p><p>VAMOS PENSAR?</p><p>55</p><p>56</p><p>5.2 PROBLEMA DO VALOR INICIAL</p><p>Nas aplicações procuramos a solução particular y=y(x) que satisfaz uma dada con-</p><p>dição , digamos</p><p>57</p><p>58</p><p>5.3 RESOLUÇÃO ENVOLVENDO DECOMPOSI-</p><p>ÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS</p><p>Em geral, o número de frações parciais é igual ao grau do denominador. O grau do</p><p>Numerador de cada fração parcial é 1 grau menor do que o grau do termo considerado do</p><p>denominador da fração dada. Os casos Linear e Quadrático são principais, pois podemos</p><p>procurar escrever um polinômio de grau n > 2 como combinação de fatores lineares ou</p><p>quadráticos.</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>REGRA DE DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS</p><p>Se ocorrer no denominador:</p><p>• Fator ou Fatores Lineares</p><p>59</p><p>60</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>Vamos utilizar os conceitos a equação Modular:</p><p>Portanto:</p><p>61</p><p>5.4 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS</p><p>62</p><p>5.4.1 EQUAÇÕES REDUTÍVEIS À EQUAÇÃO DO</p><p>SEGUNDO GRAU</p><p>Considere a seguinte equação , qual é o número inteiro</p><p>positivo que representa a diferença entre x e y?</p><p>Vamos reescrever nossa equação:</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>Trinômio quadrado perfeito</p><p>Quadrado da soma de dois termos:</p><p>Quadrado da diferença de dois termos:</p><p>Trinômio quadrado perfeito, logo,</p><p>Podemos colocar o sinal negativo em evidência:</p><p>Fazendo x-y=B, temos:</p><p>Reduzimos a equação a uma equação do segundo grau, agora, vamos resolver essa equa-</p><p>ção:</p><p>Como fazemos para resolver equações do 2º grau? Para resolver uma equação do segundo</p><p>grau da forma , podemos utilizar duas fórmulas, o delta e a de Bhaskara.</p><p>VAMOS PENSAR?</p><p>63</p><p>Voltando ao artifício x-y=B, temos x-y=10 ou x-y=-9, como o exercício quer o inteiro</p><p>positivo, podemos concluir que x-y=10.</p><p>• No artigo “Aplicações das equações diferenciais na modelagem matemática</p><p>da dilatação/contração térmica de cabos da rede elétrica” de Miotto, Cargnelutti,</p><p>Machado (2013), você encontrará Aplicações das Equações diferenciais na mode-</p><p>lagem matemática. Disponível em: https://bit.ly/3m5tT1p. Acesso em: 16 de</p><p>fev. de</p><p>2021.</p><p>• Acesse o livro “Equações Diferenciais” de Bronson e Costa (2008) e consulte o ca-</p><p>pítulo 14. Nele você encontrará as aplicações das Equações diferenciais de segun-</p><p>da ordem. Disponível em: https://bit.ly/3flBO9I. Acesso em: 16 de fev. de 2021.</p><p>BUSQUE POR MAIS</p><p>64</p><p>1. (UFPR-Adaptada) A opção que representa a solução da equação , diferencial de</p><p>variáveis separáveis é:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>2. (UFPR-Adaptada) A opção que representa a solução da equação , diferencial de</p><p>variáveis separáveis é:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>3. (UFPR-Adaptada) Ao resolver o seguinte problema do valor inicial</p><p>, temos como solução:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>4. Considere a seguinte equação:</p><p>, sua solução será:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>5. A solução da equação é:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>65</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>7. (UFPEL-Adaptada) A solução geral da EDO é:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>8. (USERS) A solução da EDO</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>6. (UFPEL- Adaptada) A solução geral da EDO é igual a:</p><p>66</p><p>EQUAÇÕES DIFERENCIAIS</p><p>ORDINÁRIAS DE 2ª ORDEM</p><p>UNIDADE</p><p>06</p><p>67</p><p>Nesta unidade vamos abordar as equações exatas e fatores integrantes, bem como</p><p>as Equações diferenciais de segunda ordem. Vamos enunciar as transformadas de Laplace,</p><p>fazendo a abordagem com exemplos práticos.</p><p>6.1 EQUAÇÕES EXATAS E FATORES INTEGRANTES</p><p>Uma EDO na forma diferencial é exata, se existe uma função</p><p>u=u(x,y) tal que a diferencial total de u, sendo:</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>Para resolver uma equação exata:</p><p>Verifique se a equação é exata;</p><p>Escolha uma das duas relações</p><p>O resultado obtido numa das relações M ou N é substituído na outra relação para</p><p>obter a função u=u(x,y).</p><p>A solução Geral tem a forma u=(x,y) C_1.</p><p>Seja P uma equação não exata. Multiplicada por uma função ade-</p><p>quada chamada Fatores Integrantes, ela pode ser tornar exata.</p><p>Para encontrarmos o Fator Integrante podemos recorrer a dois métodos:</p><p>68</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>No processo de resolução devemos escolher uma das relações:</p><p>69</p><p>6.2 EQUAÇÕES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM</p><p>Uma Equação Diferencial Ordinária Linear de 2ª ordem tem a forma</p><p>, onde as funções f e g são chamadas coeficientes , e r são funções</p><p>contínuas num intervalo aberto (a.b).</p><p>A Equação Diferencial Ordinária Linear é Homogênea, quando r(x) =0, tem a forma</p><p>.</p><p>Se f e g são funções constantes tais como f(x)=a e g(x)=b, onde a e b são números</p><p>reais , a equação é dita Equação Diferencial Ordinária Linear de Segunda</p><p>Ordem à Coeficientes Constantes.</p><p>O estudo das Equações Lineares de 2ª Ordem depende de um importante resultado para</p><p>estruturar o desenvolvimento do raciocínio na pesquisa das soluções.</p><p>VAMOS PENSAR?</p><p>Vamos enunciar o Teorema Fundamental das Equações Homogêneas: TFH</p><p>Sejam soluções quaisquer da Equação Diferencial Ordinaria Li-</p><p>near Homogênea.</p><p>70</p><p>Sejam números reais não, simultaneamente, nulos. Então, a combinação line-</p><p>ar.</p><p>também é soluçai da Equação Diferencial Ordinaria Linear Ho-</p><p>mogênea.</p><p>6.2.1 SOLUÇÃO GERAL DE UMA EQUAÇÃO</p><p>LINEAR DE SEGUNDA ORDEM</p><p>Uma equação Diferencial Ordinária Linear Homogênea de segunda ordem à coefi-</p><p>cientes constantes é toda equação na forma:</p><p>A solução geral da equação uma solução de:</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>A Solução geral de uma equação Diferencial Ordinária Linear Homogênea à co-</p><p>eficientes constantes</p><p>71</p><p>72</p><p>Para encontrar informações sobre os números complexos, como surgiram, sua</p><p>forma algébrica, geométrica e trigonométrica.</p><p>Acesse: https://bit.ly/3m6JzS1. (Acesso em: 16 de fev. de 2021).</p><p>BUSQUE POR MAIS</p><p>73</p><p>6.3 PROBLEMA DO VALOR INICIAL</p><p>Resolver a um problema do valor inicial para uma Equação Ordinária Linear de se-</p><p>gunda ordem é encontrar a solução particular que satisfaz (17):</p><p>74</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>Resolução de um sistema pelo método da Adição</p><p>Para resolver um sistema utilizando o método da adição, pelo menos uma das</p><p>equações deve ser multiplicada por um escalar real de modo que, após a soma das</p><p>equações apenas uma das variáveis seja efetivamente a incógnita do problema.</p><p>Exemplo,</p><p>Para resolver esse sistema, vamos multiplicar a segunda equação por -2, a fim de</p><p>eliminarmos a variável y.</p><p>Depois ao encontrar x é só substituir que encontramos y.</p><p>Resolvendo o sistema pelo método da adição , encontramos</p><p>A solução particular será:</p><p>6.4 PROBLEMAS DE VALOR DO CONTORNO</p><p>Para resolver um problema do valor do contorno, para uma EDOL(2) é resolver um</p><p>problema em que a variável dependente y e sua derivada são definidas em pontos diferen-</p><p>tes.</p><p>75</p><p>76</p><p>6.5 TRANSFORMADA DE LAPLACE</p><p>A transformada de Laplace (19) tem por objetivo transformar uma função f(t) em ou-</p><p>tra F(s) mediante a uma integral específica.</p><p>Onde é chamado de núcleo da transformada. Para transformarmos uma função</p><p>f(t) em outra F(s), vamos recorrer a tabela da transformada.</p><p>FIQUE ATENTO</p><p>77</p><p>78</p><p>79</p><p>• Para aprofundar seus conhecimentos sobre as transformadas de Laplace, con-</p><p>sulte o material do prof. Ulysses Sodré. Disponível em: https://bit.ly/31vyQai. Acesso</p><p>em: 16 de fev. de 2021.</p><p>• Consulte o capítulo 14 do livro “Equações Diferenciais” de Bronson e Costa (2008).</p><p>Nele você encontrará as aplicações das Equações diferenciais de segunda ordem.</p><p>Disponível em: https://bit.ly/3flBO9I. Acesso em: 16 de fev. de 2021.</p><p>BUSQUE POR MAIS</p><p>80</p><p>1. A solução da equação é:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>2. A solução particular da equação .</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>3. A solução particular da equação</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>4. Determinar o valor de de acordo com a condição dada: e uma raiz da</p><p>equação característica é -3.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>5. A transformada de Laplace da função: é:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>81</p><p>6. A transformada de Laplace da função é:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>7. A solução geral da equação é:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>8. As raízes da equação característica</p><p>;</p><p>a) 0 e 2</p><p>b) -1 e 1</p><p>c) 3 e 4</p><p>d) -1 e -2</p><p>e) 2 e 6</p><p>82</p><p>RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO</p><p>UNIDADE 1</p><p>UNIDADE 3</p><p>UNIDADE 5</p><p>UNIDADE 2</p><p>UNIDADE 4</p><p>UNIDADE 6</p><p>QUESTÃO 1 A</p><p>QUESTÃO 2 B</p><p>QUESTÃO 3 C</p><p>QUESTÃO 4 E</p><p>QUESTÃO 5 C</p><p>QUESTÃO 6 C</p><p>QUESTÃO 7 E</p><p>QUESTÃO 8 E</p><p>QUESTÃO 1 A</p><p>QUESTÃO 2 C</p><p>QUESTÃO 3 D</p><p>QUESTÃO 4 B</p><p>QUESTÃO 5 A</p><p>QUESTÃO 6 A</p><p>QUESTÃO 7 C</p><p>QUESTÃO 8 D</p><p>QUESTÃO 1 C</p><p>QUESTÃO 2 A</p><p>QUESTÃO 3 C</p><p>QUESTÃO 4 C</p><p>QUESTÃO 5 C</p><p>QUESTÃO 6 A</p><p>QUESTÃO 7 C</p><p>QUESTÃO 8 C</p><p>QUESTÃO 1 C</p><p>QUESTÃO 2 D</p><p>QUESTÃO 3 B</p><p>QUESTÃO 4 A</p><p>QUESTÃO 5 D</p><p>QUESTÃO 6 A</p><p>QUESTÃO 7 B</p><p>QUESTÃO 8 D</p><p>QUESTÃO 1 C</p><p>QUESTÃO 2 A</p><p>QUESTÃO 3 D</p><p>QUESTÃO 4 A</p><p>QUESTÃO 5 B</p><p>QUESTÃO 6 A</p><p>QUESTÃO 7 C</p><p>QUESTÃO 8 E</p><p>QUESTÃO 1 A</p><p>QUESTÃO 2 B</p><p>QUESTÃO 3 C</p><p>QUESTÃO 4 D</p><p>QUESTÃO 5 E</p><p>QUESTÃO 6 E</p><p>QUESTÃO 7 C</p><p>QUESTÃO 8 B</p><p>83</p><p>BASSANEZI, R. C.; FERREIRA JR., W. C. Equações Diferenciais com Aplicações. São Paulo:</p><p>Harbra, 1988.</p><p>BELINI, M. M. A razão áurea e a sequência de Fibonacci. 2015. 86 f. Dissertação (Mestrado</p><p>em Ciências) - Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São</p><p>Paulo, São Carlos, 2015. Disponível em: https://bit.ly/3cvpmlY. Acesso em: 12 de fev. de 2021.</p><p>BRONSON, R. Moderna Introdução às Equações Diferenciais. São Paulo: McGraw-Hill do</p><p>Brasil, 1977.</p><p>BRONSON, R.; COSTA, G. B. Equações Diferenciais. Tradução de Fernando Henrique</p><p>Silveira. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2008.</p><p>CULLEN, M. R.; ZILL, D. G. Equações Diferenciais. São Paulo: Pearson, 2001.</p><p>DANTE, L. R. Matemática. 1. ed. São Paulo: Ática, v. Único, 2005.</p><p>FERREIRA, A. S.; ZUIN, E. D. S. L.; OLIVEIRA, L. M. L. P. R. D. A derivada e suas diferentes</p><p>abordagens: uma proposta para a introdução do seu conceito. (Guia para o professor</p><p>de cálculo diferencial e integral). Pontíficia Universidade Católica de Minas Gerais, Belo</p><p>Horizonte, 40 p., 2017. Disponível em: https://bit.ly/3rA17qO. Acesso em: 19 de fev. de 2021.</p><p>FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6.</p><p>ed. rev. ampl. São Paulo: Prentice Hall, 2006.</p><p>MIOTTO, C. M.; CARGNELUTTI, J.; MACHADO, V. M. Aplicações das equações diferenciais na</p><p>modelagem matemática da dilatação/contração térmica de cabos</p><p>da rede elétrica. In: I</p><p>Semana da Matemática da UTFPR - Perspectivas do Ensino e da Pesquisa em Matemática,</p><p>Toledo. Anais [...]. Toledo: UTFPR, 2013. Disponível em: https://bit.ly/3m5tT1p.</p><p>PENNEY, D. E.; EDWARDS JR., C. H. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução de Alfredo</p><p>Alves de Farias. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 1997.</p><p>ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. Tradução de Claus Ivo Doering. 3. ed. Porto Alegre:</p><p>Bookman, 2018.</p><p>SALAS, S. L.; ETGEN, G. J.; HILLE, E. Cálculo. Tradução de Alessandra Bosquilha. 9. ed. Rio de</p><p>Janeiro: LTC, v. I, 2005.</p><p>SILVA, P. S. D. D. Cálculo Diferencial e Integral. 1. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.</p><p>STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, v. I, 2013.</p><p>ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações Diferenciais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books,</p><p>2001.</p><p>REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>84</p><p>graduacaoead.faculdadeunica.com.br</p>