Aula02

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<p>Bioestatística</p><p>Dr. Marcos Figueiredo</p><p>(mslfigueiredo@gmail.com)</p><p>Distribuição de probabilidades</p><p>mailto:mlsfigueiredo@gmail.com</p><p>Conceito</p><p>• Estatística: é a ciência que tem por objetivo</p><p>planejar, coletar, tabular, analisar e interpretar</p><p>informações e delas extrair conclusões que</p><p>permitam a tomada de decisões acertadas</p><p>mediante incertezas</p><p>Conceito</p><p>• Estatística: é a ciência que tem por objetivo</p><p>planejar, coletar, tabular, analisar e interpretar</p><p>informações e delas extrair conclusões que</p><p>permitam a tomada de decisões acertadas</p><p>mediante incertezas</p><p>Conceito</p><p>• Estatística: é a ciência que tem por objetivo</p><p>planejar, coletar, tabular, analisar e interpretar</p><p>informações e delas extrair conclusões que</p><p>permitam a tomada de decisões acertadas</p><p>mediante incertezas</p><p>• Probabilidades</p><p>Probabilidades</p><p>• Incerteza</p><p>• Grau de confiança em uma afirmação/situação</p><p>• Probabilidade é a chance que um evento aconteça</p><p>dentro todo o universo de possibilidades</p><p>• É o número que resulta da divisão do número de</p><p>casos favoráveis a um evento pelo número total de</p><p>casos possíveis</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>Probabilidades</p><p>• Probabilidade de um evento =</p><p>frequencia do evento</p><p># total de eventos</p><p>• P(x) =</p><p>𝑓</p><p>𝑝</p><p>Probabilidades</p><p>• Probabilidade de um evento =</p><p>frequencia do evento</p><p># total de eventos</p><p>• P(x) =</p><p>𝑓</p><p>𝑝</p><p>• Então:</p><p>➢ quantas vezes pode sair cara = 1</p><p>➢ número total de possibilidades = 2</p><p>Probabilidades</p><p>• Probabilidade de um evento =</p><p>frequencia do evento</p><p># total de eventos</p><p>• P(x) =</p><p>𝑓</p><p>𝑝</p><p>• Então:</p><p>➢ quantas vezes pode sair cara = 1</p><p>➢ número total de possibilidades = 2</p><p>• Probabilidade de sair cara =</p><p>1</p><p>2</p><p>= 0,5</p><p>Probabilidades</p><p>• Probabilidade de sair número múltiplo de 3</p><p>• Então:</p><p>➢ quantos vezes pode sair múltiplo de 3 = 2 (3 e 6)</p><p>➢ número total de possibilidades = 6</p><p>Probabilidades</p><p>• Probabilidade de sair número múltiplo de 3</p><p>• Então:</p><p>➢ quantos vezes pode sair múltiplo de 3 = 2 (3 e 6)</p><p>➢ número total de possibilidades = 6</p><p>• Probabilidade de sair múltiplo de 3 =</p><p>2</p><p>6</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>= 0,3333...</p><p>Probabilidades</p><p>• Probabilidade de sair número múltiplo de 3</p><p>• Então:</p><p>➢ quantos vezes pode sair múltiplo de 3 = 2 (3 e 6)</p><p>➢ número total de possibilidades = 6</p><p>• Probabilidade de sair múltiplo de 3 =</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>=</p><p>2</p><p>6</p><p>Adição de probabilidades</p><p>• Probabilidade de sair número múltiplo de 3</p><p>• Então:</p><p>➢ quantos vezes pode sair ímpar= 3 (1, 3 e 5)</p><p>➢ número total de possibilidades = 6</p><p>• Probabilidade de sair ímpar =</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>=</p><p>3</p><p>6</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>Adição de probabilidades</p><p>• Probabilidade de sair número múltiplo de 3</p><p>• Então:</p><p>➢ quantos vezes pode sair ímpar= 3 (1, 3 e 5)</p><p>➢ número total de possibilidades = 6</p><p>• Probabilidade de sair ímpar =</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>=</p><p>3</p><p>6</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>• “ou” significa adição</p><p>Probabilidades</p><p>• Suponhamos que uma urna contenha 4 bolas</p><p>brancas (B) e 6 bolas vermelhas (V), iguais em tudo</p><p>exceto na cor.</p><p>• Iremos sortear 2 bolas em momentos distintos,</p><p>tendo o cuidado de repor a bola sorteada na urna</p><p>após o primeiro sorteio.</p><p>• Amostra de tamanho 2, com reposição (garantindo</p><p>que todas as bolas terão igual probabilidade de</p><p>sorteio).</p><p>Probabilidades</p><p>• Qual a probabilidade de sortearmos uma bola</p><p>branca seguida de uma bola vermelha?</p><p>Probabilidades</p><p>• Qual a probabilidade de sortearmos uma bola</p><p>branca seguida de uma bola vermelha?</p><p>B B B B V V V V V V</p><p>B</p><p>B</p><p>B</p><p>B</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>Probabilidades</p><p>• Qual a probabilidade de sortearmos uma bola</p><p>branca seguida de uma bola vermelha?</p><p>B B B B V V V V V V</p><p>B BB BB BB BB BV BV BV BV BV BV</p><p>B BB BB BB BB BV BV BV BV BV BV</p><p>B BB BB BB BB BV BV BV BV BV BV</p><p>B BB BB BB BB BV BV BV BV BV BV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>Probabilidades</p><p>• Qual a probabilidade de sortearmos uma bola</p><p>branca seguida de uma bola vermelha?</p><p>B B B B V V V V V V</p><p>B BB BB BB BB BV BV BV BV BV BV</p><p>B BB BB BB BB BV BV BV BV BV BV</p><p>B BB BB BB BB BV BV BV BV BV BV</p><p>B BB BB BB BB BV BV BV BV BV BV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>Probabilidades</p><p>• Qual a probabilidade de sortearmos uma bola</p><p>branca seguida de uma bola vermelha?</p><p>• P (B e V) =</p><p>24</p><p>100</p><p>= 0,24</p><p>Probabilidades</p><p>• Qual a probabilidade de sortearmos uma bola</p><p>branca seguida de uma bola vermelha?</p><p>• P (B e V) =</p><p>24</p><p>100</p><p>= 0,24</p><p>• Mas, sem desenhar...</p><p>Regra da multiplicação</p><p>• Qual a probabilidade de sortearmos uma bola</p><p>branca seguida de uma bola vermelha?</p><p>• P (B) =</p><p>4</p><p>10</p><p>• P (V) =</p><p>6</p><p>10</p><p>• P (B) x P (V) =</p><p>4</p><p>10</p><p>x</p><p>6</p><p>10</p><p>=</p><p>24</p><p>100</p><p>= 0,24</p><p>• “e” significa multiplicação</p><p>Probabilidades</p><p>• Outras regras que não nos interessam no momento</p><p>• Condicional (arranjos e combinações)</p><p>Mas, o que nos interessa?</p><p>• Como estas probabilidades se distribuem?</p><p>• E afinal, o que é uma distribuição de probabilidades?</p><p>Mas, o que nos interessa?</p><p>• Como estas probabilidades se distribuem?</p><p>• E afinal, o que é uma distribuição de probabilidades?</p><p>• Imaginemos um conjunto finito de valores de forma</p><p>tal que a cada valor corresponda uma determinada</p><p>probabilidade.</p><p>• Se X é uma variável, e se a probabilidade associada a</p><p>ela for P (X) = p, então:</p><p>Distribuição de probabilidades</p><p>• Se X é uma variável, e se a probabilidade associada a</p><p>ela for P (X) = p, então:</p><p>X X1 X2 X3 Xi Xn</p><p>P (X) = p1 p2 p3 pi pn</p><p>Distribuição de probabilidades</p><p>• Se X é uma variável, e se a probabilidade associada a</p><p>ela for P (X) = p, então:</p><p>ou, mais realisticamente:</p><p>X X1 X2 X3 Xi Xn</p><p>P (X) = p1 p2 p3 pi pn</p><p>X 0 V 1 V 2 V</p><p>P (X) =</p><p>Probabilidades</p><p>B B B B V V V V V V</p><p>B BB BB BB BB BV BV BV BV BV BV</p><p>B BB BB BB BB BV BV BV BV BV BV</p><p>B BB BB BB BB BV BV BV BV BV BV</p><p>B BB BB BB BB BV BV BV BV BV BV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>V VB VB VB VB VV VV VV VV VV VV</p><p>Distribuição de probabilidades</p><p>• Se X é uma variável, e se a probabilidade associada a</p><p>ela for P (X) = p, então:</p><p>ou, mais realisticamente:</p><p>X X1 X2 X3 Xi Xn</p><p>P (X) = p1 p2 p3 pi pn</p><p>X 0 V 1 V 2 V</p><p>P (X) = 0,16 0,48 0,36</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>C K</p><p>C CC CK</p><p>K KC KK</p><p>• Se jogarmos uma moeda duas vezes:</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>KK CCCK</p><p>KC</p><p>• Se jogarmos uma moeda duas vezes:</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>KK CCCK</p><p>KC</p><p>0 Cara 1 Cara 2 Cara</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>KK CCCK</p><p>KC</p><p>0,25 0,5 0,25</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>CC CK KC KK</p><p>C CCC CCK CKC CKK</p><p>K KCC KCK KKC KKK</p><p>• Se jogarmos uma moeda três vezes:</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>• Se jogarmos uma moeda três vezes:</p><p>X 0 C 1 C 2 C 3 C</p><p>P (X) = 1/8</p><p>CC CK KC KK</p><p>C CCC CCK CKC CKK</p><p>K KCC KCK KKC KKK</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>• Se jogarmos uma moeda três vezes:</p><p>X 0 C 1 C 2 C 3 C</p><p>P (X) = 1/8 3/8</p><p>CC CK KC KK</p><p>C CCC CCK CKC CKK</p><p>K KCC KCK KKC KKK</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>• Se jogarmos uma moeda três vezes:</p><p>X 0 C 1 C 2 C 3 C</p><p>P (X) = 1/8 3/8 3/8</p><p>CC CK KC KK</p><p>C CCC CCK CKC CKK</p><p>K KCC KCK KKC KKK</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>• Se jogarmos uma moeda três vezes:</p><p>X 0 C 1 C 2 C 3 C</p><p>P (X) = 1/8 3/8 3/8 1/8</p><p>CC CK KC KK</p><p>C CCC CCK CKC CKK</p><p>K KCC KCK KKC KKK</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>• Se jogarmos uma moeda três vezes:</p><p>0 Cara 1 Cara 2 Cara 3 Cara</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>• Se jogarmos uma moeda quatro vezes:</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>• Se jogarmos uma moeda quatro vezes:</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>Distribuição binomial</p><p>• Os valores de X sempre são inteiros</p><p>• Os eventos (“cara”/”coroa”) são independentes e</p><p>mutuamente excludentes</p><p>• As probabilidades pressupõem reposição</p><p>• A ordem em que os elementos aparecem no grupo</p><p>não tem importância</p><p>Binômio de Newton</p><p>C K</p><p>C CC CK</p><p>K KC KK</p><p>C² + 2 CK + K²</p><p>Binômio de Newton</p><p>C K</p><p>C CC CK</p><p>K KC KK</p><p>C² + 2 CK + K² (C + K)²</p><p>Binômio de Newton</p><p>(C + K)³ C³ + 3C²K + 3CK² + K³</p><p>Binômio</p><p>de Newton</p><p>(C + K)³ C³ + 3C²K + 3CK² + K³</p><p>(C + K)5 C5 + 5C4K + 10C³K² + 10C²K³ + 5CK4 + K5</p><p>Binômio de Newton</p><p>(C + K)³ C³ + 3C²K + 3CK² + K³</p><p>(C + K)5 C5 + 5C4K + 10C³K² + 10C²K³ + 5CK4 + K5</p><p>(f + s)n</p><p>Binômio de Newton</p><p>(C + K)³ C³ + 3C²K + 3CK² + K³</p><p>(C + K)5 C5 + 5C4K + 10C³K² + 10C²K³ + 5CK4 + K5</p><p>(f + s)n</p><p>fracasso</p><p>Binômio de Newton</p><p>(C + K)³ C³ + 3C²K + 3CK² + K³</p><p>(C + K)5 C5 + 5C4K + 10C³K² + 10C²K³ + 5CK4 + K5</p><p>(f + s)n</p><p>sucesso</p><p>Binômio de Newton</p><p>(C + K)³ C³ + 3C²K + 3CK² + K³</p><p>(C + K)5 C5 + 5C4K + 10C³K² + 10C²K³ + 5CK4 + K5</p><p>(f + s)n</p><p>Repetições do evento (“tamanho da amostra”)</p><p>Binômio de Newton</p><p>C5 + 5C4K + 10C³K² + 10C²K³ + 5CK4 + K5</p><p>Binômio de Newton</p><p>(C + K)³ C³ + 3C²K + 3CK² + K³</p><p>(C + K)5 C5 + 5C4K + 10C³K² + 10C²K³ + 5CK4 + K5</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>• Qual a probabilidade de tirarmos 3 “caras” em 8</p><p>jogadas de uma moeda?</p><p>(f + s)8 e procurar o termo correspondente a (X = 3)</p><p>B (8; 0,5). Calcular P (X = 3)</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>B (8; 0,5). Calcular P (X = 3)</p><p>C8 + 8C7K + 28C6K² + 56C5K³ + 70C4K4 + 56C³K5 + 28C²K6 + 8CK7 + K8</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>B (8; 0,5). Calcular P (X = 3)</p><p>C8 + 8C7K + 28C6K² + 56C5K³ + 70C4K4 + 56C³K5 + 28C²K6 + 8CK7 + K8</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>P (X = 3) = 56C³K5 = 56 (0,5)³ (0,5)5 = 0,2187472</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>P (X = 3) = 56C³K5 = 56 (0,5)³ (0,5)5 = 0,2187472</p><p>Distribuição binomial</p><p>• Média: m = nC = 8 * 0,5 = 4 caras</p><p>• Variância s2 = nCK = 8 * 0,5 * 0,5 = 2 caras²</p><p>• Desvio padrão = s = 2 caras² = 1,4 caras</p><p>E daí?</p><p>Distribuição binomial</p><p>• Os valores de X sempre são inteiros</p><p>• Os eventos (“cara”/”coroa”) são independentes e</p><p>mutuamente excludentes</p><p>• As probabilidades pressupõem reposição</p><p>• A ordem em que os elementos aparecem no grupo</p><p>não tem importância</p><p>Distribuição binomial</p><p>• Os valores de X sempre são inteiros</p><p>• Os eventos (“cara”/”coroa”) são independentes e</p><p>mutuamente excludentes</p><p>• As probabilidades pressupõem reposição</p><p>• A ordem em que os elementos aparecem no grupo</p><p>não tem importância</p><p>• Em ecologia, o que isso significa?</p><p>Distribuição binomial</p><p>• Número de indivíduos que sobrevivem a partir de</p><p>uma amostra inicial</p><p>• Número de animais parasitados</p><p>• Número de sementes predadas</p><p>• Atenção: não necessariamente p = 0,5</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>• Qual a probabilidade de tirarmos 3 “caras” em 8</p><p>jogadas de uma moeda, sendo que esta moeda é</p><p>viciada (1 C para cada 2 K)?</p><p>B (8; 0,3333). Calcular P (X = 3)</p><p>Coroa (K) Cara (C)</p><p>• Qual a probabilidade de tirarmos 3 “caras” em 8</p><p>jogadas de uma moeda, sendo que esta moeda é</p><p>viciada (1 C para cada 2 K)?</p><p>B (8; 0,3333). Calcular P (X = 3)</p><p>P (X = 3) = 56C³K5 = 56 (0,3333)³ (0,6667)5 = 0,273115</p><p>Distribuições discretas</p><p>• Os valores de X sempre são inteiros</p><p>• Binomial</p><p>Distribuições discretas</p><p>• Os valores de X sempre são inteiros</p><p>• Binomial</p><p>• Poisson</p><p>• Binomial negativa</p><p>• Geométrica</p><p>Distribuição de Poisson</p><p>• É uma distribuição binomial sem limite máximo</p><p>• Valores muito maiores que a média são muito</p><p>improváveis</p><p>• Se não esperar um “teto”, utilizar Poisson</p><p>• Variância/média ≈ 1</p><p>• Exemplos: Número de espécies em uma amostra;</p><p>número de presas capturadas por unidade de</p><p>tempo</p><p>Distribuição binomial negativa</p><p>• Lógica semelhante a binomial</p><p>• Número de falhas até haver um número</p><p>predeterminado de acertos</p><p>• Superdispersão dos dados (Variância/média > 1)</p><p>• Comum em processos agregados</p><p>• Número de parasitas em hospedeiros; número de</p><p>sementes por unidade de área</p><p>Distribuição geométrica</p><p>• Caso particular de binomial negativa</p><p>• Número de tentativas até ocorrer a primeira falha</p><p>• Exemplo: duração da vida de um organismo,</p><p>medida em unidade de tempo discreta</p><p>Distribuições contínuas</p><p>• Nem todos os processos são discretos</p><p>• Massa corporal, pH de amostras, O2 dissolvido tem</p><p>valores contínuos.</p><p>• Gaussiana (ou normal) e Log-normal</p><p>• Gamma</p><p>• Exponencial</p><p>Distribuição Gaussiana (ou normal)</p><p>• Curva em forma de sino, mas não qualquer curva</p><p>• Infinitas curvas para cada X</p><p>• Infinitas curvas para cada desvio padrão</p><p>Distribuição Gaussiana (ou normal)</p><p>Distribuição Gaussiana (ou normal)</p><p>• Forma básica da curva tem m = 0 e s = 1</p><p>• Muitas distribuições (binomial, Poisson, binomial</p><p>negativa, gamma) se tornam quase normais em</p><p>algum momento, mas nem sempre.</p><p>• Análoga a distribuição binomial em suas</p><p>características</p><p>• Exemplos: massa corporal em populações, pH</p><p>Distribuição Gaussiana (ou normal)</p><p>• 1 desvio padrão = 68,26%</p><p>• 2 desvios padrão = 95,44%</p><p>• 3 desvios padrão = 99,74%</p><p>• Intervalo de confiança de 95% = 1,96 desvio padrão</p><p>Distribuição Gamma</p><p>• Análoga a distribuição binomial negativa em suas</p><p>características</p><p>• Raramente usada</p><p>• Superdispersão dos dados (Variância/média > 1)</p><p>• Distribuição de intervalos de tempo até que um</p><p>certo número de eventos aconteça.</p><p>Distribuição Gamma</p><p>• Distribuição de intervalos de tempo até que um</p><p>certo número de eventos aconteça. Ex: número de</p><p>dias que se passarão até acontecerem 3 mortes em</p><p>uma população, dado que a sobrevivência média é</p><p>de 2 dias.</p><p>• Exemplos: qualquer variável que possa ter grande</p><p>coeficiente de variação e valores negativos não</p><p>façam sentido: concentração de nitrogênio,</p><p>intensidade de luz</p><p>Distribuição Exponencial</p><p>• Análoga a distribuição geométrica</p><p>• Tempo de espera para que um evento aconteça,</p><p>dado que ele tem probabilidade constante de</p><p>acontecer</p><p>• Caso especial da distribuição gamma (quando</p><p>evento ocorre apenas 1 vez)</p><p>• Exemplo: intervalo de tempo até a próxima chuva,</p><p>até o próximo avistamento de uma espécie</p><p>Distribuição Log-normal</p><p>• Caso particular da distribuição normal</p><p>Distribuição Log-normal</p><p>• Caso particular da distribuição normal</p><p>• Quando dados são transformados em logaritmo,</p><p>vira uma distribuição normal</p><p>• Interação multiplicativa de variáveis independentes</p><p>e aleatórias</p><p>• Exemplos: Distribuição geográfica de espécies,</p><p>tamanho (massa) de espécies, abundância vs.</p><p>Frequência em comunidades de plantas, e muito</p><p>mais</p><p>A grande questão</p><p>• Qual distribuição devo ajustar aos meus dados?</p><p>A grande questão</p><p>• Qual distribuição devo ajustar aos meus dados?</p><p>• Evento discreto ou contínuo?</p><p>• Qual o volume de amostras?</p><p>• Mas no fundo...</p><p>A grande questão</p><p>• Qual distribuição devo ajustar aos meus dados?</p><p>• Evento discreto ou contínuo?</p><p>• Qual o volume de amostras?</p><p>• Mas no fundo, ajuste de distribuições é uma arte</p><p>• Existem muitas distribuições, mas as que mais</p><p>importam: Normal, log-normal, Poisson, binomial</p><p>negativa</p>