Diferença entre Fenômenos

Prévia do material em texto

<p>Derivadas efinição de Derivada D Agora que já conhecemos limites, estamos prontos para falarmos sobre derivadas. Derivada é uma palavra bonita e, talvez, nova para muitos de vocês, mas seu significado é bem simples: derivada é sinônimo de taxa de variação. Assim, falar sobre a derivada de uma função é se referir à sua taxa de variação. Por esse motivo, já sabíamos calcular algumas derivadas antes mesmo de aprendê-las, pois algumas são intuitivas. Observe os exemplos abaixo: Qual é derivada da função constante = Ao perguntarmos qual é a derivada da função f, estamos, na verdade, interessados em calcular a sua taxa de variação. A função, entretanto, é constante, invariável, como mostra seu gráfico: .A + f(x) = 10 EN 15 Entrada... f 10 5 -15 -10 -5 0 5 10 15</p><p>Por isso, sua derivada é zero. Uma casa de shows cobra cinquenta reais de entrada e mais 10 reais por bebida consumida. Como vimos na aula 4, a função que modela matematicamente esse contexto é f(x) = 50 + 10x, sendo X quantidade de bebida consumida. Qual é a derivada dessa função? Para responder a essa pergunta, precisamos lembrar que derivada é a taxa de variação. Nesse sentido, o que faz a função dos gastos variar é justamente a quantidade de bebidas consumidas. A entrada é invariável, custa R$ 50,00, não há discussão quanto a isso. que vai determinar gasto dessa pessoa é a quantidade de bebida consumida. Quantidade de Bebidas Total Gasto 1 60 2 70 3 80 4 90 5 100 Reparemos na variação do total gasto. A cada bebida consumida a mais, total de gastos aumenta em R$ 10,00. Este valor não é aleatório, é, justamente, o valor da bebida. Ou seja, a taxa de variação é de 10 unidades. Assim, a derivada da função f(x) = 50 + 10x é 10. É interessante notar que, na aula de função do primeiro grau, vimos que o coeficiente angular da função, o número que multiplica X é a taxa de variação da função. Por isso, o resultado é imediato:</p><p>A derivada de uma função do primeiro grau é seu próprio coeficiente angular Definição Geométrica de Derivada Temos desenhado abaixo gráfico de uma função que relaciona a produção de uma empresa e seu respectivo lucro. Lucro (L) Produção (P) 3 5 10 20 Para avaliarmos derivada dessa função, não é de todo estranho usarmos retas tangentes. Observe: Lucro (L) Produção (P) 3 5 10 20</p><p>Como podemos notar, a seta roxa representa um cenário de crescimento do uma taxa de variação positiva do lucro. A seta azul representa o momento em qu lucro se estabiliza antes de começar a cair. Por fim, a seta vermelha representa o cenário de queda do lucro, uma taxa de variação negativa deste. Com esse exemplo, queremos mostrar que a reta tangente ao gráfico de uma função possui um papel fundamental na derivada. Formalmente falando, temos: A derivada de uma função em um ponto P é igual ao coeficiente angular da reta tangente à função no ponto P. Para entender melhor essa definição de derivada, mas definir o que é a taxa de variação da função entre dois pontos. Seja uma função f e P(a,f(a)) e Q(x,f(x)) dois de seus pontos. A taxa de variação da função f entre os pontos P e Q é dada pela seguinte fórmula: A Taxa de Variação = : x-a y f(x)-f(a) P(a,f(a)) x-a 0 a À medida em que o ponto Q se aproxima de P, o segmento azul, que é secante à função, altera-se. Quando P e Q se encontram, a reta secante vira uma reta</p><p>tangente: y A t Q Q P Q 0 Para que P e Q se encontrem, as suas abscissas precisam ser iguais. Assim, a derivada de uma função em um ponto específico é o limite. A derivada de uma função em um denotada por é Se limite Onde queremos chegar é o que já dissemos anteriormente: a derivada de uma função em um ponto P é o coeficiente angular da reta tangente à função neste ponto P. Além disso, há três símbolos para designar a derivada de uma função: * f(x) * Sx * Sx</p><p>Cálculo de derivadas Já vimos algumas regras de derivação anteriormente. Vamos aprender algumas outras. Derivada da função constante: = Derivada da função de primeiro grau: Derivada da função polinomial: Se entao Esta regra é chamada de regra do tombo Por exemplo, se podemos facilmente calcular sua derivada pela regra do tombo:</p><p>Podemos, também, calcular a derivada de qualquer função pelo GeoGebra usando o comando derivada. EN + der Derivada Derivada ? Função Função Basta selecionar a função fe teremos sua derivada instantaneamente. EN = Derivada(f) Propriedades das derivadas Regra de multiplicação por constante:</p><p>Exemplo: Calcule a derivada da função Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Exemplo: Calcule a derivada da função = Regra do produto: Exemplo: Calcule a derivada da função</p><p>Regra do quociente: Exemplo: Calcule a derivada da função = = x4 Atividade Extra A definição formal de derivada como sendo o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico não é simples de ser entendida. Por isso, separamos um vídeo para não restar dúvida!</p><p>Bibliografia Flemming, D. M; Gonçalves, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração. São Paulo: Pearson Prentice Hall. 2006. Fernandes, D. B. Cálculo Diferencial. São Paulo: Pearson Prentice Hall. 2014. Stewart, James. Cálculo, volume I. São Paulo: Cengage Learning, 2013. In para exercício</p>