Introdução à Derivada em Cálculo

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Click para uma maior imagem. Em cada ponto, a
derivada de é a tangente do ângulo
que a reta tangente à curva faz em relação ao
eixo das abscissas. A reta é sempre tangente à
curva azul; a tangente do ângulo que ela faz com
o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a
derivada é positiva quando verde, negativa
quando vermelha, e zero quando preta.
Derivada
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
No cálculo, a derivada em um ponto de uma função representa a taxa de variação
instantânea de em relação a neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que
representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo, a função aceleração é
a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto de 
representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto .[1][2] A função
que a cada ponto associa a derivada neste ponto de é chamada de função derivada de f(x).
Duas distintas notações são comumente utilizadas
para a derivada, o resultante de Leibniz e o outro a
partir de Joseph Louis Lagrange. 
Na notação de Leibniz, uma mudança infinitesimal
em x é denotada por dx, e a derivada de y em
relação a x é escrito .
sugerindo que a razão de duas quantidades
infinitesimais (A expressão acima é lido como "a
derivada de y em relação a x", "dy por dx", ou "dy
sobre dx". A forma oral dydx é usado
frequentemente em tom de conversa, embora possa
levar à confusão).
Na notação de Lagrange, a derivada em relação a x
de uma função F(x) é denotada f'(x) ou fx'(x), em
caso de ambiguidade da variável implicada pela
derivação. A notação de Lagrange é por vezes
incorretamente atribuída a Newton. 
Seja um intervalo aberto não-vazio e seja , , uma função de em . Diz-se
que função é derivável no ponto se existir o seguinte limite:[3]
Notação
Definição
https://pt.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:P%C3%A1gina_principal
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Graph_of_sliding_derivative_line.gif
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Entes_geom%C3%A9tricos_fundamentais#Coeficiente_angular
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Reta_tangente
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Curva
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Abscissa
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https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivo
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https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Zero
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:P%C3%A1gina_principal
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#cite_note-1
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#cite_note-2
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Nota%C3%A7%C3%A3o_de_Leibniz
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_aberto
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#cite_note-3
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#cite_note-3
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Uma animação que dá uma idéia
intuitiva da derivada, à medida que
o "balanço" de uma função muda
quando o argumento muda.
.
Se for esse o caso, o número real é chamado de derivada
da função no ponto . Notações equivalentes são:
.
Equivalentemente, escrevemos:
o que é obtido fazendo no limite acima. Desta
forma, define-se a função derivada de por:
para todo para o qual este limite existe.
Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu
domínio.
Segundo esta
definição, a
derivada de uma
função de uma
variável é definida
como um
processo de limite.
Considera-se a
inclinação da
secante, quando
os dois pontos de
intersecção com o
gráfico de f
convergem para
um mesmo ponto.
No limite, a
inclinação da
secante é igual à
da tangente.
Inclinação da secante ao gráfico de f
Inclinação da tangente à curva como a
derivada de f(x)
Seja f uma função real definida em uma vizinhança aberta de um número real a. 
Na geometria clássica, a linha tangente ao gráfico da função f em a foi a única linha que passou
pelo ponto (a, f(a)) que não encontrou o gráfico de f transversalmente, significando que a linha não
passou diretamente pelo gráfico.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:What_is_derivative_(animation).gif
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Limite
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Secante_(trigonometria)
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Tangente
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tangente
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Secante_calculo.svg
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Derivada.svg
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Vizinhan%C3%A7a_aberta
https://pt.wikipedia.org/wiki/Vizinhan%C3%A7a_aberta
O gráfico de uma função,
desenhadas em preto, e uma linha
tangente a essa função, elaborado
em vermelho. A inclinação da linha
tangente é igual a derivada da
função no ponto marcado.
O declive da secante ao gráfico de f, na imagem acima, que passa pelos pontos (x,f(x)) e
(x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:
.
Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I em R
contínua em a tal que
.
Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).
Funções com valores em R
Se for um intervalo de com mais do que um ponto e se for uma função de em , para
algum número natural , as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a
função
 (ou seja: uma função que a cada x do domínio em 
responde com uma coordenada no contradomínio em . Esta coordenada é
.
é derivável e
De facto, as propriedades acima descritas para o caso real
continuam válidas, excepto, naturalmente, as que dizem
respeito à monotonia de funções.
▪ Seja um intervalo de R com mais doque um ponto, seja
 ∈ e seja uma função de em R derivável em .
Então é contínua em . O recíproco não é verdadeiro,
como se pode ver pela função módulo.
▪ Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja
 ∈ e sejam e funções de em R deriváveis em .
Então as funções ± , e (caso ≠ ) também são deriváveis em e:
▪ 
▪ 
Diferenciabilidade
Derivabilidade num ponto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tangent_to_a_curve.svg
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#/media/File:Secante_calculo.svg
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
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https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Contradom%C3%ADnio
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_mon%C3%B3tona
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua
▪ 
Em particular, se ∈ R, então . Resulta daqui e de se ter que a
derivação é uma aplicação linear.
▪ Sejam e intervalos de R com mais do que um ponto, seja ∈ , seja uma função de 
em derivável em e seja seja uma função de em R derivável em . Então o é
derivável em e
.
Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.
▪ Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja ∈ e seja uma função contínua
de em R derivável em com derivada não nula. Então a função inversa é derivável em
 e
Outra maneira de formular este resultado é: se está na imagem de e se for derivável em
 com derivada não nula, então
Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é
diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos
intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e,
portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um
segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de
(0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.
Gráfico de uma função derivável.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_da_cadeia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_da_cadeia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_inversa
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Differentiable_function.png
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Uma função diferenciável
Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie
o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.
Gráfico da função modular,
que não é derivável em .
Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio.
▪ Uma função derivável de em R é constante se e só se
a derivada for igual a em todos os pontos. Isto é uma
consequência do teorema da média.
▪ Uma função derivável de em R é crescente se e só se
a derivada for maior ou igual a em todos os pontos. Isto
também é uma consequência do teorema da média.
Uma função cuja derivada seja sempre maior que é
estritamente crescente. Uma observação importante é que
existem funções estritamente crescentes em que a derivada
assume o valor em alguns pontos. É o que acontece, por
exemplo com a função de R em R definida por .
Naturalmente, existem enunciados análogos para funções
decrescentes.
▪ Se for uma função derivável de em R, sendo um intervalo de R com mais do que um
ponto, então também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é:
se for uma função derivável de em R e se for um número real situado entre e
 (isto é, ≤ ≤ ou ≥ ≥ ), então existe algum ∈ tal que
. Este resultado é conhecido por teorema de Darboux.
Seja um intervalo de R com mais do que um ponto e seja uma função de em R. Diz-se que é
continuamente derivável ou de classe se for derivável e, além disso, a sua derivada for
contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um
exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é
Derivabilidade em todo o domínio
Funções continuamente deriváveis
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Polynomialdeg3.svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Polynomialdeg3.svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Module.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Module.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_valor_m%C3%A9dio
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_mon%C3%B3tona
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_valor_m%C3%A9dio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_valor_m%C3%A9dio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Darboux
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Darboux
pois o limite não existe; em particular, f' não é contínua em .
Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal
também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda
derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira
derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por:
e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:
ou alternativamente,
ou ainda
Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma função contínua, diz-se que f
é de classe Ck.
Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou
indefinidamente derivável ou ainda de classe C∞.
Se ∈ R, a função de R em R definida por é derivável em todos os pontos de R e a sua
derivada é igual a em todos os pontos, pois, para cada ∈ R:
.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir de R em R por , então é
contínua e, para cada e cada reais, tem-se
Derivadas de ordem superior
Exemplos
;
além disso, .
A função de R em R definida por é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada
é igual a em todos os pontos, pois, para cada ∈ R:
.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir de R em R por , então é
contínua e, para cada e cada reais, tem-se
;
além disso, .
A função de R em R definida por é derivável em todos os pontos de R e a sua
derivada no ponto ∈ R é igual a , pois:
.
Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir de R em R por , então
 é contínua e, para cada e cada reais, tem-se
;
além disso, .
A função módulo de R em R não é derivável em pois
No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em é igual a quando 
e é igual a quando .
Um ponto em que a segunda derivada de uma função muda de sinal é chamado de um ponto de
inflexão. Em um ponto de inflexão, a segunda derivada pode ser zero, como no caso do ponto de
inflexão x = 0 da função y = x³, ou ele pode deixar de existir, como é o caso do ponto de inflexão x
= 0 da função y = . Em um ponto de inflexão, uma função convexa passa a ser uma função
côncava, ou vice-versa.
Ponto de inflexão
Pontos críticos, estacionários ou singulares
https://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_de_inflex%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_de_inflex%C3%A3ohttps://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_de_inflex%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_de_inflex%C3%A3o
Pontos onde a derivada da função é igual a chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem
cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive
da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos
. Estes pontos podem acontecer:
1. onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais
da função
2. onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da
função
3. em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função
muda. Um exemplo típico é a função : no ponto a função tem um ponto de
inflexão (horizontal).
4. em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo
típico é a função 
5. em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o
ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é
a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.
Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar gráficos de funções.
A derivada de uma função pode, em princípio, ser calculado a partir da definição, considerando o
quociente de diferença, e computar o seu limite. Na prática, uma vez que as derivadas de algumas
funções simples são conhecidos, as derivadas de outras funções são mais facilmente calculado
usando regras para a obtenção de derivadas de funções mais complicadas das mais simples.
A maioria dos cálculos de derivadas, eventualmente, exige a tomada da derivada de algumas
funções comuns. A seguinte lista incompleta é de algumas das funções mais frequentemente
utilizadas de uma única variável real e seus derivados. 
Alguns exemplos de derivadas notáveis são:
▪ A função exponencial natural y = ex = exp(x) cuja derivada é igual a si mesma, isto é:
▪ A função logaritmo natural y = ln(x):
Estes dois fatos não são independentes. De fato, como o logaritmo natural é a inversa da função
exponencial, resulta da igualdade e da fórmula para a derivada da inversa que
Derivadas notáveis
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_de_inflex%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_de_inflex%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_de_inflex%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_de_inflex%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_constante
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_constante
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fico_de_uma_fun%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fico_de_uma_fun%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_exponencial_natural
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_exponencial_natural
https://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_natural
https://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_natural
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#Derivabilidade_num_ponto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#Derivabilidade_num_ponto
Reciprocamente, supondo-se que, para cada , , então
▪ Também são notáveis as derivadas das funções trigonométricas:
▪ E funções Funções trigonométricas inversas:
Neste último caso, as derivadas resultam das fórmulas para as derivadas das funções
trigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversa e a fórmula fundamental da
trigonometria.
Em muitos casos, a aplicação direta do quociente de diferença de Newton pode ser evitado usando
regras de diferenciação, evitando complicados cálculos de limite. Algumas das regras mais básicas
são as seguintes:
▪ Regra da constante: se f(x) é constante, então:
▪ Regra da soma:
Regras para funções combinadas
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricas
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricas
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricas_inversas
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_trigonom%C3%A9tricas_inversas
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#Derivabilidade_num_ponto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#Derivabilidade_num_ponto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria#F%C3%B3rmula_fundamental_da_trigonometria_e_seus_corol%C3%A1rios
https://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria#F%C3%B3rmula_fundamental_da_trigonometria_e_seus_corol%C3%A1rios
https://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria#F%C3%B3rmula_fundamental_da_trigonometria_e_seus_corol%C3%A1rios
https://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria#F%C3%B3rmula_fundamental_da_trigonometria_e_seus_corol%C3%A1rios
para todas as funções f e g e todos os números reais e 
▪ Regra do produto:
para todas as funções f e g. Por conseguinte, isso significa que a derivada de uma constante vezes
uma função é a constante vezes a derivada da função
▪ Regra do quociente:
para todas as funções f e g, em que g ≠ 0.
▪ Regra da cadeia:
Se 
então:
A derivada de 
é 
As derivadas conhecidas de funções elementares sen(x) e , assim como a
constante 7, também foram usadas. 
Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for um ponto
não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros elementos de A), então as
duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades
acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à
monotonia de funções.
Exemplo de uso
Funções de uma variável complexa
https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_do_produto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_do_produto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_do_quociente
https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_do_quociente
https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_da_cadeia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_da_cadeia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_mon%C3%B3tona
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_mon%C3%B3tona
Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito
de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a
definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da
posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:
▪ Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) v é a
derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
▪ Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.
Posto de outro modo:
Por exemplo, se a posição de um objecto é s(t) = −16t² + 16t + 32, então a velocidade do objecto é
s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32. Uma forma de enunciar a segunda lei de
Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear do objecto.
Em dimensão 1, as derivadas são pensadas como números pois, nesta dimensão, um número e uma
transformação linear são a mesma coisa. Entretanto, para dimensões maiores, as derivadas
necessitam ser tratadas como transformações lineares.[4]
Uma função vetorial y(t) de uma variável real de uma variável real envia números reais de vetores
em algum espaço vetorial. A função vetorial pode ser dividido em suas funções coordenadas
y1(t), y2(t),...,yn(t), significando que y(t) = ( (t), ..., (t)). Isto inclui, por exemplo, curvas
paramétricas em R² ou R³.
As funções de coordenadas são funções de valores reais, de modo que a definição acima de
derivada aplica-se a eles. A derivada de y (t) é definida como sendo o vetor, chamado o vetor
tangente, cujas coordenadas são as derivadas das funções de coordenadas. Isto é, 
equivalentemente, 
 se o limite existe.
A subtração no numerador é a subtração de vetores, não escalares. Se a derivada de y existe para
Física
Derivadas em maiores dimensões
Derivadas de funções vetoriais
https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Acelera%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Acelera%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Newton
https://pt.wikipedia.org/wiki/Newton
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quantidade_de_movimento_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quantidade_de_movimento_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%B5es_lineares
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#cite_note-FOOTNOTELima1981Pref%C3%A1cio-4
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_vectorial
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_param%C3%A9trica
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Vetor_(matem%C3%A1tica)
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cada valor de t, então y' é outra função vetorial. 
Se , ..., é a base padrão para , então y (t) também pode ser escrito como (t) + ... + (t)
. Se assumirmos que a derivada de uma função vetorial mantém a propriedade da linearidade,
então a derivada de y (t) deve ser
porque cada um dos vetores de base é uma constante. 
Esta generalização é útil, por exemplo, se y (t) é o vetor de posição de uma partícula no tempo t; em
seguida, o derivado y '(t) é o vetor de velocidade da partícula no tempo t. 
Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada
parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma
determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixadas. No gráfico, é usada para determinar
a variação da função em um determinado eixo. Derivadas parciais são representadas como, por
exemplo, ∂z/∂x, sendo x a variável fixada sobre uma função em z.
Suponha que f é uma função que depende mais de uma variável, por exemplo, 
f pode ser reinterpretado como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras
variáveis: 
Em outras palavras, cada valor de x escolhe uma função, denotando , que é uma função de um
número real. Ou seja, 
Uma vez que um valor de x é escolhido, digamos a, então f(x,y) determina a função que envia y
a a2+ay+y2: 
Nesta expressão, a é uma constante, e não uma variável, de modo que é uma função de uma
única variável real. Consequentemente, a definição da derivada para uma função de uma variável
aplica-se: 
O procedimento acima pode ser realizada por qualquer escolha de a. Montando as derivadas
Derivadas parciais
https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial
juntas em uma função, dá uma função que descreve a variação de f na direção y: 
Esta é a derivada parcial de f em relação a y. Aqui, ∂ é o símbolo derivada parcial. 
Em geral, a derivada parcial de uma função f ( , ..., ) na direção de , no ponto ( ..., ) é
definido como sendo: 
Na diferença de quociente acima, todas as variáveis, exceto , são mantidos fixos. Essa escolha de
valores fixos determina uma função de uma variável. 
{
e por definição, 
Em outras palavras, as diferentes opções de classificar uma família de funções de uma variável tal
como no exemplo acima. Esta expressão também mostra que o cálculo das derivadas parciais reduz
para o cálculo dos derivados de uma variável. 
Um exemplo importante de uma função de várias variáveis é o caso de uma função de valor escalar
f ( , ..., ) em um domínio no espaço Euclidiano (por exemplo, em R² ou R²). Neste caso, f
tem uma derivada parcial ∂f / ∂xj em relação a cada variável . No ponto a, estas derivadas
parciais definem o vetor 
Este vetor é denominado gradiente de f em a. Se f é diferenciável em todos os pontos em algum
domínio, então o gradiente é uma função vetorial ∇f que leva o ponto a para o vetor ∇f(a). 
Consequentemente, o gradiente determina um campo vetorial.
Se f é uma função com valores reais em , então a derivada parcial de f mede a sua variação na
direção dos eixos das coordenadas. Por exemplo, se f é uma função de x e y, então sua derivada
parcial mede a variação em f na direção x e na direção y. Contudo, elas (derivadas parciais) não
medem diretamente a variação de f em qualquer outra direção, tal como aquela ao longo da linha
diagonal y=x. Estas são medidas usando-se as derivadas direcionais. Escolha um vetor: 
Derivadas direcionais 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gradiente
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gradiente
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_vetorial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_vetorial
A derivada direcional de f na direção de v no ponto x é o limite 
Em alguns casos pode ser mais fácil computar ou estimar a derivada direcional depois de mudar o
comprimento do vetor. Frequentemente isso é feito para transformar o problema numa
computação de uma derivada direcional na direção de um vetor unitário. Para ver como isso
funciona, suponha v = λu. Substitua h = k/λ no quociente da diferença. 
O quociente da diferença torna-se: 
Isso é λ vezes o quociente da diferença para a derivada direcional de f no que diz respeito a u. Além
disso, tomar o limite como h tendendo a zero é o mesmo que tomar o limite como k tendendo a
zero, pois h e k são múltiplos um do outro. 
Portanto, Dv(f) = λDu(f). Devido a essa propriedade de redirecionamento, derivadas direcionais
são frequentemente consideradas apenas para vetores unitários. 
Se todas as derivadas parciais de f existem e são contínuas em x, então elas determinam a derivada
direcional de f na direção de v pela fórmula: 
Essa é a consequência da definição de derivada total. Diz-se que a derivada direcional é linear em v,
significando que D + (f) = D (f) + D (f). 
A mesma definição também é aplicável quando f é a função com valores em . . A definição
acima é aplicada a cada componente dos vetores. Nesse caso, a derivada direcional é um vetor em 
.
Sejam um aberto de , e uma função. Dizemos que é diferenciável
quando existem uma transformação linear e uma função
 dada por tais que
.
Neste caso, a aplicação é chamada de derivada da função no ponto e denotada por .
Em outras palavras
Derivadas de aplicações
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear
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1. Se , e , então
2. Se , e então
3. Se , e então
4. Se , e então
1. STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
4ªa edição. ISBN 85-221-0236-8. Página 159.
2. Anton, Howard (2009). Cálculo - Volume 1 8 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788560031634
3. STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
4ªa edição. ISBN 85-221-0236-8. Página 156.
4. Lima 1981, Prefácio.
▪ Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
▪ Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e
Aplicada. Rio de Janeiro: Institutode Matemática Pura e Aplicada
▪ Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste
Gulbenkian, 1981
▪ Ricieri, A. P., Derivada Fracionária, Transformada de Laplace e outros bichos, Prandiano,
1993, S. José dos Campos - SP - Brasil.
▪ Cálculo Diferencial e Integral
▪ Cálculo fracionário
▪ Derivada simétrica, Diferenciação automática, Diferenciação numérica
Exemplos
Referências
Bibliografia
Ver também
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/8522102368
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https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9788560031634
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada#CITEREFLima1981
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Elon_Lages_Lima
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https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_fracion%C3%A1rio
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_fracion%C3%A1rio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada_sim%C3%A9trica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada_sim%C3%A9trica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Diferencia%C3%A7%C3%A3o_autom%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Diferencia%C3%A7%C3%A3o_autom%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Diferencia%C3%A7%C3%A3o_num%C3%A9rica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Diferencia%C3%A7%C3%A3o_num%C3%A9rica
▪ Diferintegral
▪ Classe de diferenciabilidade
▪ Linearização
▪ Tabela de derivadas
▪ Técnicas para diferenciação
▪ «Rei da Derivada - Torneio inventado pelo prof. Ricardo Fragelli para ensino de derivadas» (htt
p://www.reidaderivada.com)
▪ «Cálculo diferencial para funções trigonométricas» (http://www.dme.ufcg.edu.br/sites_pessoais
/professores/Marco/trigono.pdf) (PDF)
▪ «tese de Engenharia Mecânica aplicando derivadas fracionárias» (http://www.ppgem.ct.utfpr.e
du.br/ppgem/dissertacoes/CECCON,%20Estevan%20Rodrigo.pdf) (PDF)
▪ «Equações generalizadas de difusão (aplica derivadas parciais fracionárias)» (http://www.sciel
o.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0102-47442005000200011)
▪ «Calcular derivada passo a passo» (https://www.calculatored.com/math/calculus/derivative-cal
culator)
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Ligações externas
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http://www.ppgem.ct.utfpr.edu.br/ppgem/dissertacoes/CECCON,%20Estevan%20Rodrigo.pdf
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