exer_vet_prod_steinbruch

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<p>12 Geometria Vetores 13 a soma do vetor (que do está espaço, no conforme mostra a Neste caso, será um vetor u e V têm mesma direção e mesmo sentido. 0-0 c) e V são ortogonais (Fig. 1.7-c) e indica-se: V3 A C u Figura 1.6-b 0 B V Figura 1.7-c 1.7 de Dois Vetores Neste caso, o AOBC permite escrever: 0 ángulo de dois vetores não nulos (Fig. 1.7-a) é o ângulo 0 formado pelas semi retas OA e OB (Fig. 1.7-b) e tal que d) o vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. e) Se u é ortogonal a e um número real qualquer, u é ortogonal a mv. A f) o ângulo formado pelos vetores u e -V é o suplemento do ângulo de u e u u B 0 V 0 Figura 1.7-a Figura 1.7-b 1.8 Problemas Propostos Observações 1) Dados os vetores ev da figura, mostrar, num gráfico, um representante do vetor: têm a mesma direção sentidos</p><p>14 Geometria analitica CAPÍTULO 2) Dados os vetores como na figura, apresentar um um vetores: 2 b a c VETORES NO E NO 3) Sabendo que 0 ângulo entre os vetores u e V é de 60°, determinar o ângulo formado vetores: a) u e No Capítulo 1, estudamos os vetores do ponto de vista geométrico e, no caso, eles representados por um segmento de reta No presente capítulo, vamos mostrar eram 1.8.1 Resposta dos Problemas Propostos outra forma de representá-los: os segmentos orientados estarão relacionados com os sistemas uma de eixos cartesianos do plano e do espaço. ) a) 120° b) 120° c) 60° d) 60° 2.1 Decomposição de um Vetor no Plano Dados dois vetores 1 e não colineares, qualquer vetor dois pode ser decomposto segundo as direções de V1 e o problema consiste em determinar (coplanar com determinar vetores cujas direções sejam as de V1 e V2 e cuja soma seja Em outras palavras, iremos dois números reais e tais que: Exemplos 1) Dados os formar um vetores paralelogramo V1 e V2 não colineares e (arbitrário), a figura mostra como 6 possível portanto, em que os lados determinados pelos vetores e, a soma deles é o vetor que corresponde à diagonal desse 15</p><p>Geometria analitica 36 7) Dar as expressões das do ponto médio do Vetores no e no 37 2.8 Problemas Propostos Solução 1) Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor V = (2,-5), sabendo que sua origem é o ponto A(-1,3). M B A 2) Dados os vetores =(3,-1) e = (-1,2), determinar o vetor W tal que 0 ponto médio que AM=MB 3) Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e C(3,-1), calcular OA - AB, - e 4) ou: Dados os se existem números a e b tais que 1 M-A=B-M 5) Dados os vetores e = (-12,6), determinar e tal que 6) Dados os pontos A(-1,3), B(1,0), C(2,-1), determinar D tal que 7) Dados os pontos A(2,-3,1) e B(4,5,-2), determinar o ponto P tal que 8) Dados os pontos A(-1,2,3) e B(4,-2,0), determinar o ponto P tal que 9) Determinar o vetor V sabendo que portanto: 10) Encontrar os números a1 e tais que sendo 11) Determinar a e b de modo que os vetores e sejam paralelos. 12) Verificar se são colineares os pontos: a) 13) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3,1,-2), B(1,5,1) C(a,b,7).</p><p>Geometria 14) que pontos 15) Determinar do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto 3 2.8.1 Respostas dos Problemas Propostos PRODUTOS DE VETORES 3) 4 3.1 Produto Escalar Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores e se representa por u ao número real sim b) não 15) (-5,-1,-4) Oproduto escalar de u por também é indicado por e se escalar Exemplo Se tem-se 3.1.1 Problema Resolvido 1) Dados os e e os pontos A(4,-1,2) é determinar o Solução</p><p>90 Geometria Produtos de vetores 91 11) Obter um ponto P do eixo das abscissas dos pontos A(2, -3,1 e B(-2, 1,-1). Comparando verifica-se que: 12) Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o interno ao vértice B. 13) Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo cujo lado mede 10cm. Calcular o produto escalar dos vetores AB e AC. 3.16 Problemas Propostos 14) Os lados de um ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular 1) Dados os vetores e determinar modo que 15) Determinar os do triângulo de vértices A(2,1,3), e 2) Dados os pontos A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3), determinar o vetor tal 16) Sabendo que o entre os vetores e determinar m. 3) Determinar o vetor sabendo que 17) Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores 18) Dados os vetores determinar o valor de a para que o vetor seja ortogonal ao vetor 4) Dados os pontos A(1,2,3), B(-6,-2,3) e C(1,2,1), determinar o versor do 19) Determinar o vetor paralelo ao 20) Determinar o vetor ortogonal ao vetor e colinear ao vetor =(-6,4,-2). 5) Verificar se são unitários os seguintes vetores: 21) Determinar o vetor colinear ao vetor tal que sendo 22) Provar que os pontos B(4,3,2) e C(-3,-2,1) são vértices de um 6) Determinar o valor de n para que o vetor unitário. 7) Seja o vetor Calcular m 23) Qual o valor de a para que os vetores ortogonais? 8) Dados os pontos A(1,0,-1), B(4,2,1) e 24) Verificar se existe reto no ABC, sendo A(2,1,3), B(3,3,5) e sendo 25) Os diretores de um vetor podem set de Justificar. 9) Dados os pontos e B(8,2m-1,m), determinar 26) Os de um vetor 7. Determinar 7. 10) Calcular o do de vértices A(0,1,2),</p><p>Produtos de vetores 93 92 Geometria 27) Determinar o vetor sabendo que é ortogonal ao 28) Sabe-se que 29) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor 30) Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor 31) o vetor é ortogonal aos e forma com o vetor J. Calcular sabendo que 32) Determinar o vetor ortogonal ao eixo que satisfaz as condições sendo 43) Dados os vetores 33) Determinar o vetor projeção do vetor na direção de 34) Qual o comprimento do vetor projeção de sobre o eixo dos x? 44) Dados os pontos A(2,-1,2), B(1,2,-1) e C(3,2,1) determinar o vetor 35) Se o vetor AB tem co-senos diretores e ângulos diretores co-senos e os diretores de BA? 45) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores sendo 36) Mostrar que se são vetores, tal que é ortogonal a então 46) 37) Mostrar que, se é ortogonal a é também ortogonal a Dados os vetores e mostrar que 38) Calcular o módulo dos vetores sabendo que entre é de 47) o valor de m para que o vetor = (1,2,m) seja simultaneamente ortogonal 39) Sabendo que e que formam um determinar 48) vetores e determinar 40) Determinar sabendo que 49) Determinar um vetor unitário simultaneamente e Nas mesmas condições, determinar um ortogonal vetor de aos módulo vetores 5. 41) o vetor y é ortogonal aos vetores a =(1,2,0) e e forma 50) um representante de cada um dos seguintes vetores: com eixo dos Determinar sabendo que 42) Dados os</p><p>51) Sabendo entre Produtos de vetores que = e 45° é ângulo 95 determinar vetor 52) Se o 63) Dados os vetores ortogonal ao vetor que satisfaz a 53) Dados os vetores a =(3,4,2) e obter um de sabendo que ao mesmo tempo ortogonal aos vetores 64) Demonstrar 54) Calcular 65) Sendo vetores do espaço, com a área do paralelogramo definido pelos vetores número real I tal que seja ortogonal a 55) e Mostrar que o cujos vértices são os pontos A(1,-2,3), D(2, 2, 1) é um paralelogramo e calcular sua área. b) mostrar que 56) Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos 66) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade. 67) Verificar se são coplanares os seguintes vetores: 57) Calcular a área do triângulo de vértices A(-1,0,2), B(-4, 1,1) e b) b) e C(1,2,0) 68) Verificar se são coplanares os pontos: c) a) A(1,1,1), B(-2,-1,-3), e D(-1,0,-2) d) A(-1,2,-2), B(2,3,-1) e C(0,1,1) A(1,0,2), B(-1,0,3), C(2,4,1) e D(-1,-2,2) 58) Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3,2,1) e uma c) A(2,1,3), B(3,2,4), C(-1,-1,-1) e D(0,1,-1) de 69) Para que valor de m os pontos A(m, 1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e 59) Calcular sabendo que A(x,1,1,), B(1,-1,0) e C(2,1,-1) são vértices coplanares? de área 2 29 70) Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: 60) Dado o triângulo de vértices A(0,1,-1), B(-2,0,1) e C(1,-2,0), altura relativa ao lado BC. 61) V tal V ortogonal ao eixo dos y e Determinar que seja e e 71) Sejam u W1 Dados os vetores Determinar o volume do paralelepípedo definido por W1, W2 e W3. 62) paralelo a W, que satisfaz à condição:</p><p>Geometria Produtos de vetores 97 72) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado 39) igual a 10. 40) 73) Os vetores de volume 42. Calcular e m. 41) (12,-6,4) 74) Dados A(1,-2,3), de os pontos pelos m para que AB, seja de AD. 20 unidades de volume o volume do vetores AC e b) (-1,-1,0) c) (-2,-2,2) 75) Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados: a) A(1,0,0), B(0, 1,0), e D(4,2,7) b) A(-1,3,2), B(0,1,-1), e Para este, 25) da altura traçada do vértice A. medida 3.16.1 Respostas dos Problemas Propostos 27) 1) 1=2 11) P(1,0,0) 28) 44) (12,-8,-12) 12) 45° 13) 50 30) 46) 14) 169 10 31) (2,7,1) 15) = 48) 49) Duas soluções para cada caso: -4 ou -5 42 ou 16) m=-4 e: 17) e ou 10)</p><p>$1) 61) (1,0,1) CAPITULO 52) 2 62) 4 15 53) ( 30 6 /30 3 ) 63) 54) ARETA 89 67) a) b) Sim, 56) 68) a) Sim; b) Não; 69) m=4 4.1 Equação Vetorial da Reta uma reta que passa pelo ponto A e tem a direção suficiente de um vetor não vetores nulo AP Para 71) 44 u.v. que um Seja ponto I P do espaço pertença à reta é necessário e que os e sejam colineares (Fig. 4.1), 72) 6 ou -4 AP=tv (4.1-1) 58) P-A=tv 59) 74) 6 ou 2 P A 10 8 y Figura 4.1 vem: P=A+tv 99</p>