Matemática Financeira: Juros Simples

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<p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia</p><p>Campus Ribeirão das Neves</p><p>Curso Superior de Administração</p><p>Disciplina de Matemática Financeira</p><p>Respostas – Capítulo 3: Juros Simples – Fórmulas Básicas</p><p>Seção Problemas Propostos (3.9)</p><p>1) Calcule o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda</p><p>recebida a partir da aplicação de um principal de R$ 10.000,00, com uma</p><p>taxa de juros 1% ao mês, regime de juros simples.</p><p>2) Calcule o principal que deve ser aplicado a juros simples, com uma ta-</p><p>xa de juros de 10% ao ano, para produzir um montante de R$ 10.000,00,</p><p>num prazo de 15 meses.</p><p>3) Um título com 123 dias a decorrer até seu vencimento está sendo ne-</p><p>gociado a juros simples, com uma taxa de rentabilidade de 1,3%ao mês.</p><p>Calcule o valor da aplicação que proporciona um valor de resgate de R$</p><p>1.000,00.</p><p>4) Um título com valor de resgate de R$ 1.000,00, com 80 dias a decorrer</p><p>até seu vencimento, está sendo negociado a juros simples, com uma taxa</p><p>de desconto “por fora” de 15% ao ano. Calcule:</p><p>a) Valor do principal (capital inicial) deste título;</p><p>b) O valor do desconto simples;</p><p>c) a rentabilidade mensal deste título, até seu vencimento.</p><p>5) Imagine que o título do Problema 4 seja vendido com a garantia de re-</p><p>compra num prazo de três dias, e que nesta operação de três dias seja</p><p>assegurada uma rentabilidade de 1,2% a.m.. Calcule:</p><p>a) O valor do título por ocasião da recompra;</p><p>b) a rentabilidade mensal e a taxa de desconto anual (“por fora”) desse</p><p>título para o seu prezo remanescente de 77 dias a decorrer até o seu ven-</p><p>cimento.</p><p>6) Um título com 92 dias a decorrer até o vencimento está sendo negocia-</p><p>do a juros simples, com uma taxa de desconto “por fora” de 12% a.a..</p><p>Calcule o valor da rentabilidade mensal desse título.</p><p>7) Um investidor aplicou um principal de R$ 1.000,00 para receber um</p><p>montante de R$ 1.300,00 no prazo de 36 meses. Calcule, no regime de ju-</p><p>ros simples:</p><p>a) a rentabilidade trimestral do investidor;</p><p>b) a taxa de desconto anual (“por fora”) que corresponde a rentabilidade</p><p>do item “a”.</p><p>8) Um banco comercial empresta R$ 15.000,00 a um cliente, pelo prazo de</p><p>três meses, com uma taxa de 1%a.m., juros simples cobrados antecipa-</p><p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia</p><p>Campus Ribeirão das Neves</p><p>Curso Superior de Administração</p><p>Disciplina de Matemática Financeira</p><p>damente. Dessa forma, o valor líquido liberado pelo banco é de R$</p><p>14.550,00, e o cliente deve pagar os R$ 15.000,00 no final do 3º mês. Além</p><p>disso o banco exige um saldo médio de R$ 1.500,00 ao longo de todo o</p><p>prazo de empréstimo. Calcule a taxa de rentabilidade mensal do banco</p><p>nessa operação, a juros simples.</p><p>9) Um investidor deseja depositar uma determinada importância de um</p><p>banco de investimento, para ter o direito de retirar R$ 10.000,00 no prazo</p><p>de três meses e R$ 10.000,00 no prazo de seis meses. Sabendo-se que</p><p>este banco remunera seus depósitos com uma taxa de 1,2% a.m., juros</p><p>simples, calcule o valor que deve ser depositado por este investidor, para</p><p>lhe garantir as retiradas desejadas e a rentabilidade prometida pelo ban-</p><p>co.</p><p>10) Uma empresa deseja descontar títulos num banco comercial que ope-</p><p>ra com uma taxa de desconto comercial de 1% a.m., juros simples. O pri-</p><p>meiro título tem um valor de R$ 10.000,00 e vencimento no prazo de 90</p><p>dias. O segundo título tem um valor de R$ 10.000,00 e vencimento no pra-</p><p>zo de 180 dias. Calcule o valor a ser creditado pelo banco na conta dessa</p><p>empresa, pelo desconto desse título.</p><p>11) Uma empresa obtém num banco comercial um empréstimo de R$</p><p>10.000,00, com uma taxa de 1,2% a.m. (desconto “por dentro”), juros sim-</p><p>ples, que pode ser liquidado no final de cada mês. Decorridos três meses,</p><p>essa empresa resolve liquidar esse empréstimo com recursos obtidos, no</p><p>banco, por meio de um novo empréstimo, com uma taxa de 1% ao mês,</p><p>também a juros simples. Decorridos alguns meses, a empresa decide li-</p><p>quidar o segundo empréstimo e verifica que o total de juros acumulados</p><p>nos dois empréstimos é de R$ 981,60. Calcule:</p><p>a) o valor do segundo empréstimo suficiente para liquidar o primeiro;</p><p>b) o valor do pagamento final para liquidar o segundo empréstimo;</p><p>c) o prazo do segundo empréstimo;</p><p>d) a taxa média mensal, a juros simples, paga pela empresa, consideran-</p><p>do os dois empréstimos em conjunto.</p><p>12) Um investidor deposita uma determinada importância numa institui-</p><p>ção financeira. No final de quatro meses, ao encerrar sua conta, verifica</p><p>que o montante acumulado até aquela data totaliza R$ 10.480,00. Esse</p><p>mesmo valor é então depositado em outra instituição financeira, por um</p><p>prazo de cinco meses. No final desse período, o montante acumulado na</p><p>segunda instituição é igual a R$ 11.108,80. Sabendo-se que as duas insti-</p><p>tuições operam com juros simples e remuneram seus depósitos com a</p><p>mesma taxa, calcule:</p><p>a) a taxa mensal de juros simples das duas instituições;</p><p>b) o valor do depósito inicial na primeira instituição.</p><p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia</p><p>Campus Ribeirão das Neves</p><p>Curso Superior de Administração</p><p>Disciplina de Matemática Financeira</p><p>Respostas:</p><p>1) Como o prazo está em semestres e a taxa em meses se faz importante mu-</p><p>dar a taxa em meses para sua proporcional em semestres (juros simples):</p><p>0,01 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>1 𝑚ê𝑠</p><p>6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 1𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒</p><p>0,01 . 6 = 1 . 𝑥</p><p>𝑥 = 0,06 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒</p><p>Resolvendo obtemos que a taxa de 1% ao mês é proporcional à taxa de 6% ao</p><p>semestre.</p><p>Com isto, podemos identificar que C = VP = R$ 10.000,00; i = 6% a.s. ou 0,06</p><p>a.s.; n = t = 4 semestres. Com base na formula de juros simples e por substitui-</p><p>ção podemos resolver como segue:</p><p>𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 𝑡)</p><p>𝑉𝐹 = 𝑅$ 10.000 ∙ (1 + 0,06 ∙ 4)</p><p>𝑉𝐹 = 𝑅$ 10.000 ∙ (1 + 0,24)</p><p>𝑉𝐹 = 𝑅$ 10.000 ∙ (1,24)</p><p>𝑉𝐹 = 𝑅$ 12.400,00</p><p>2) Como o prazo está em meses e a taxa em anos se faz importante mudar a</p><p>taxa em meses para sua proporcional em semestres (juros simples):</p><p>0,1 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>1 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 1𝑎𝑛𝑜</p><p>0,1 . 1 = 12 . 𝑥</p><p>𝑥 =</p><p>0,1</p><p>12</p><p>= 0,00833 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠</p><p>Resolvendo obtemos que a taxa de 10% ao ano é proporcional à taxa de</p><p>0,833% ao mês.</p><p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia</p><p>Campus Ribeirão das Neves</p><p>Curso Superior de Administração</p><p>Disciplina de Matemática Financeira</p><p>Com isto, podemos identificar que M = VF = R$ 10.000,00; i = 0,833% a.m. ou</p><p>0,00833 a.m.; n = t = 15 meses. Com base na formula de juros simples e por</p><p>substituição podemos resolver como segue:</p><p>𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 𝑡)</p><p>𝑅$ 10.000 = 𝑉𝑃 ∙ (1 + 0,00833 ∙ 15)</p><p>𝑅$ 10.000 = 𝑉𝑃 ∙ (1 + 0,12495)</p><p>𝑅$ 10.000 = 𝑉𝑃 ∙ (1,12495)</p><p>𝑉𝑃 =</p><p>𝑅$ 10.000</p><p>(1,12495)</p><p>≅ 𝑅$8.889,28</p><p>3) Como o prazo está em dias e a taxa em meses se faz importante mudar a</p><p>taxa em meses para sua proporcional em dias (juros simples):</p><p>0,013 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>30 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>1 𝑑𝑖𝑎</p><p>𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 1 𝑚ê𝑠 = 30 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>0,013 . 1 = 30 . 𝑥</p><p>𝑥 =</p><p>0,013</p><p>30</p><p>= 0,000433 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎</p><p>Resolvendo obtemos que a taxa de 0,0433 % ao dia é proporcional à taxa de</p><p>1,3% ao mês.</p><p>Com isto, podemos identificar que M = VF = R$ 1.000,00; i = 0,0433% a.m. ou</p><p>0,00833 a.m.; n = t = 123 dias. Com base na formula de juros simples e por</p><p>substituição podemos resolver como segue:</p><p>𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 𝑡)</p><p>𝑅$ 1.000 = 𝑉𝑃 ∙ (1 + 0,000433 ∙ 123)</p><p>𝑅$ 1.000 = 𝑉𝑃 ∙ (1 + 0,053259)</p><p>𝑅$ 1.000 = 𝑉𝑃 ∙ (1,053259)</p><p>𝑉𝑃 =</p><p>𝑅$ 1.000</p><p>(1,053259)</p><p>≅ 𝑅$ 949,43</p><p>4.a) Como o prazo está em dias e a taxa em anos se faz importante mudar a</p><p>taxa em anos para sua proporcional em dias (juros simples):</p><p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia</p><p>Campus Ribeirão das Neves</p><p>Curso Superior de Administração</p><p>Disciplina de Matemática Financeira</p><p>0,15 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>360 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>1 𝑑𝑖𝑎</p><p>𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 1 𝑎𝑛𝑜 = 360</p><p>𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>0,15 . 1 = 360 . 𝑥</p><p>𝑥 =</p><p>0,15</p><p>360</p><p>= 0,000417 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎</p><p>Resolvendo obtemos que a taxa de 0,0417 % ao dia é proporcional à taxa de</p><p>15% ao mês.</p><p>Com isto, podemos identificar que M = VF = R$ 1.000,00; i = 0,0417% a.d. ou</p><p>0,000417 a.d.; n = t = 80 dias. Com base na formula de juros simples e por</p><p>substituição podemos resolver como segue:</p><p>𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 ∙ (1 − 𝑑 ∙ 𝑡)</p><p>𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 ∙ (1 − 0,00041667 ∙ 80)</p><p>𝑉𝑃 = 𝑅$ 1000,00 ∙ (1 − 0,0333336)</p><p>𝑉𝑃 = 𝑅$1000,00 ∙ (0,9666664)</p><p>𝑉𝑃 ≅ 𝑅$ 966,67</p><p>4.b) O desconto comercial realizado pode ser calculado pela diferenças entre o</p><p>valor descontado (VP) e o valor já capitalizado (VF):</p><p>𝐷𝑓 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃 = 1000 − 966,67 = 𝑅$ 33,33</p><p>4.c) Sabendo o valor presente, valor futuro e o tempo de capitalização pode-</p><p>mos descobrir qual a taxa de capitalização deste investimento:</p><p>𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 ∙ (1 + 𝑡 ∙ 𝑖)</p><p>1000 = 966,67 ∙ (1 + 80 ∙ 𝑖)</p><p>1000</p><p>966,67</p><p>= 1 + 80 ∙ 𝑖</p><p>1,034479191 = 1 + 80 ∙ 𝑖</p><p>0,034479191 = 80 ∙ 𝑖</p><p>𝑖 =</p><p>0,034479191</p><p>80</p><p>≅ 0,0004309899𝑎. 𝑑. 𝑜𝑢 0,04309899%𝑎. 𝑑.</p><p>Considerando que a taxa ao dia é 0,04309899% podemos por proporção identi-</p><p>ficar a taxa ao mês:</p><p>0,0004309899 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>1 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>30 𝑑𝑖𝑎</p><p>𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 1 𝑚ê𝑠 = 30 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia</p><p>Campus Ribeirão das Neves</p><p>Curso Superior de Administração</p><p>Disciplina de Matemática Financeira</p><p>0,0004309899 . 30 = 1 . 𝑥</p><p>𝑥 = 0,0004309899 . 30 ≅ 0,01292968 𝑎. 𝑚. 𝑜𝑢 1,292968%𝑎. 𝑚.</p><p>5.a) Sabemos que para o total de 80 dias de aplicação tivemos:</p><p>𝑉𝑃 = 𝑅$ 966,67</p><p>𝑉𝐹 = 𝑅$1000,00</p><p>𝑖 = 0,01292968 𝑎. 𝑚.</p><p>𝑡 = 80 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>Assim para os 3 dias de aplicação podemos considerar as seguintes informa-</p><p>ções para capitalização de 3 dias:</p><p>𝑉𝑃 = 𝑅$ 966,67</p><p>𝑖 = 1,2%𝑎. 𝑚. = 0,012𝑎. 𝑚.</p><p>𝑡 = 3 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>Podemos converter a taxa “i” para dias por proporção:</p><p>0,012 𝑎. 𝑚.</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>30 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>1 𝑑𝑖𝑎</p><p>𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 1 𝑚ê𝑠 = 30 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>0,012 . 1 = 30 . 𝑥</p><p>𝑥 =</p><p>0,012</p><p>30</p><p>= 0,0004 𝑎. 𝑑. 𝑜𝑢 0,04%𝑎. 𝑑.</p><p>Com base nestas informações podemos calcular o valor capitalizado ao final de</p><p>3 dias:</p><p>𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 𝑡)</p><p>𝑉𝐹 = 966,67 ∙ (1 + 0,0004 ∙ 3)</p><p>𝑉𝐹 = 966,67 ∙ 1,0012 ≅ 𝑅$ 967,83</p><p>5.b) Primeiro podemos identificar qual a taxa de capitalização para os 77 dias</p><p>restantes sabendo as informações abaixo e usando a formula de capitalização</p><p>simples:</p><p>𝑉𝑃 = 𝑅$ 967,83</p><p>𝑉𝐹 = 𝑅$ 1000,00</p><p>𝑡 = 77 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>Assim, podemos obter a taxa de remuneração para este período:</p><p>𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 𝑡)</p><p>1000 = 967,83 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 77)</p><p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia</p><p>Campus Ribeirão das Neves</p><p>Curso Superior de Administração</p><p>Disciplina de Matemática Financeira</p><p>1000</p><p>967,83</p><p>= 1 + 𝑖 ∙ 7</p><p>1,03323931 = 1 + 𝑖 ∙ 77</p><p>0,03323931 = 𝑖 ∙ 77</p><p>𝑖 =</p><p>0,03323931</p><p>77</p><p>= 0,00043168𝑎. 𝑑.</p><p>Usando proporção podemos converter esta taxa para meses:</p><p>0,00043168𝑎. 𝑑.</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>1 𝑑𝑖𝑎</p><p>30 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 1 𝑚ê𝑠 = 30 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>0,00043168𝑎. 𝑑.∙ 30 = 1 ∙ 𝑥</p><p>𝑥 ≅ 0,01295038𝑎. 𝑚.</p><p>Em segundo lugar, podemos identificar qual a taxa de desconto comercial para</p><p>os 77 dias restantes em relação à capitalização dos 3 primeiros dias, sabendo</p><p>as informações abaixo e usando a formula de capitalização simples:</p><p>𝑉𝑃 = 𝑅$ 967,83</p><p>𝑉𝐹 = 𝑅$ 1000,00</p><p>𝑡 = 77 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>Assim, podemos obter a taxa de desconto para este período:</p><p>𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 ∙ (1 − 𝑑 ∙ 𝑡)</p><p>967,83 = 1000 ∙ (1 − 𝑑 ∙ 77)</p><p>967,83</p><p>1000</p><p>= 1 − 𝑖 ∙ 7</p><p>0,96783 = 1 − 𝑖 ∙ 77</p><p>𝑖 ∙ 77 = 0,03217</p><p>𝑖 =</p><p>0,03217</p><p>77</p><p>= 0,00041779 𝑎. 𝑑.</p><p>Usando proporção podemos converter esta taxa para anos:</p><p>0,00041779 𝑎. 𝑑.</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>1 𝑑𝑖𝑎</p><p>360 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 1 𝑎𝑛𝑜 = 360 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>0,00041779 𝑎. 𝑑.∙ 30 = 1 ∙ 𝑥</p><p>𝑥 ≅ 0,1504044 𝑎. 𝑑.</p><p>6) Considerando a aplicação em um título por 92 dias à taxa de 0,12 a.a., pri-</p><p>meiro seria interessante identificar a taxa proporcional ao dia:</p><p>0,12 𝑎. 𝑎.</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>360 𝑑𝑖𝑎</p><p>1 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 1 𝑎𝑛𝑜 = 360 𝑑𝑖𝑎𝑠</p><p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia</p><p>Campus Ribeirão das Neves</p><p>Curso Superior de Administração</p><p>Disciplina de Matemática Financeira</p><p>0,12 𝑎. 𝑎.∙ 1 = 360 ∙ 𝑥</p><p>𝑥 ≅ 0,0003333 𝑎. 𝑑.</p><p>A partir destas informações podemos usar a estrutura de desconto comercial</p><p>simples para chegar a rentabilidade mensal deste título:</p><p>∙ 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 ∙ (1 − 𝑡 ∙ 𝑛)</p><p>𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 ∙ (1 − 92 ∙ 0,0003333)</p><p>𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 ∙ 0,9693364</p><p>Sendo esta estrutura referente ao desconto comercial simples, podemos substi-</p><p>tui-la na estrutura de capitalização simples para identificar a taxa de rentabili-</p><p>dade:</p><p>𝑉𝐹 = 𝑉𝑃. (1 + 𝑡 ∙ 𝑖)</p><p>Substituindo o VP do desconto comercial simples temos:</p><p>𝑉𝐹 = 𝑉𝐹 ∙ 0,9693364 ∙ (1 + 92 ∙ 𝑖)</p><p>∙ 1 = 0,9693364 ∙ (1 + 92 ∙ 𝑖)</p><p>1</p><p>0,9693364</p><p>= 1 + 92 ∙ 𝑖</p><p>1,0316336 = 1 + 92 ∙ 𝑖</p><p>𝑖 =</p><p>0,0316336</p><p>92</p><p>= 0,00034384348𝑎. 𝑑.</p><p>Multiplicando-se por 30 para encontrar a taxa mensal temos:</p><p>𝑖 = 0,010315304𝑎. 𝑚.</p><p>7.a) Considerando as informações</p><p>𝑉𝑃 = 𝑅$ 1000,00</p><p>𝑉𝐹 = 𝑅$ 1300,00</p><p>𝑡 = 36 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 3 𝑎𝑛𝑜𝑠</p><p>Podemos calcular a taxa de rentabilidade trimestral pela formula de capitaliza-</p><p>ção simples:</p><p>𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 ∙ (1 + 𝑡 ∙ 𝑖)</p><p>𝑅$ 1300,00 = 𝑅$ 1000,00 ∙ (1 + 12 ∙ 𝑖)</p><p>1,3 = 1 + 12 ∙ 𝑖</p><p>0,3 = 12 ∙ 𝑖</p><p>𝑖 =</p><p>0,3</p><p>12</p><p>= 0,025 𝑎. 𝑡.</p><p>7.b) Considerando as informações</p><p>𝑉𝑃 = 𝑅$ 1000,00</p><p>𝑉𝐹 = 𝑅$ 1300,00</p><p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia</p><p>Campus Ribeirão das Neves</p><p>Curso Superior de Administração</p><p>Disciplina de Matemática Financeira</p><p>𝑡 = 36 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 12 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 = 3 𝑎𝑛𝑜𝑠</p><p>Podemos calcular a taxa de rentabilidade trimestral pela formula de capitaliza-</p><p>ção simples:</p><p>𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 ∙ (1 − 𝑡 ∙ 𝑑)</p><p>𝑅$ 1000,00 = 𝑅$ 1300,00 ∙ (1 − 3 ∙ 𝑑)</p><p>1000</p><p>1300</p><p>= 1 − 3 ∙ 𝑑</p><p>0,7692307692 = 1 − 3 ∙ 𝑑</p><p>3 ∙ 𝑑 = 0,2307692308</p><p>𝑑 ≅ 0,0769230769 𝑎. 𝑎.</p><p>8) Em primeiro lugar é preciso analisar as informações fornecidas e entender</p><p>que inicialmente temos:</p><p>𝑉𝑃1 = 𝑅$ 15.000,00</p><p>𝑖 = 0,01 𝑎. 𝑚.</p><p>𝑡 = 3 𝑚ê𝑠</p><p>Entretanto, os juros deste empréstimo devem ser pagos à vista no momento do</p><p>saque:</p><p>𝐽1 = 𝑉𝑃1 ∙ 𝑡 ∙ 𝑖</p><p>𝐽1 = 𝑅$ 15.000,00 ∙ 3 ∙ 0,01 = 𝑅$ 450,00</p><p>Como estes são pagos à vista, o saque VP2 =VP1-J1= R$15.000,00-R$ 450,00=</p><p>R$ 14.550,00, sendo que VF2=R$ 15.000,0 seria o pagamento final sem os ju-</p><p>ros que já foram pagos.</p><p>Em adição, o banco requer que R$ 1.500,00 seja mantido na conta ao longo do</p><p>empréstimo. Assim, é como se R$ 1.500,00 não estivessem disponíveis no ato</p><p>do saque e também já estivessem pagos no momento do pagamento (daqui a 3</p><p>meses).</p><p>Com isto, teríamos que o valor realmente disponível seria VP3=VP2-R$</p><p>1.500,00, e teríamos que pagar no 3º mês VF3=VF2-R$ 1.500,00. Ou seja,</p><p>VP3=R$ 13.050,00 e VF3=R$ 13500,00.</p><p>Com base nestas informações podemos calcular a taxa de rentabilidade men-</p><p>sal do banco como segue:</p><p>𝑉𝐹3 = 𝑉𝑃3 ∙ (1 + 𝑡 ∙ 𝑖)</p><p>𝑅$ 13500 = 𝑅$ 13050 ∙ (1 + 3 ∙ 𝑖)</p><p>13500</p><p>13050</p><p>= 1 + 3 ∙ 𝑖</p><p>3 ∙ 𝑖 = 0,0344827586</p><p>𝑖 =</p><p>0,0344827586</p><p>3</p><p>= 0,01149425 𝑎. 𝑎.</p><p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia</p><p>Campus Ribeirão das Neves</p><p>Curso Superior de Administração</p><p>Disciplina de Matemática Financeira</p><p>9) Primeiro é preciso entender que o valor total depositado será a soma do va-</p><p>lor presente (ou valor descontado racionalmente) de ambas as retiradas futu-</p><p>ras, sob a consideração do tempo até sua retirada (tempo de aplicação) e a</p><p>taxa de juros de remuneração. Assim, temos:</p><p>𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1 + 𝑉𝑃2</p><p>Onde VP1 se refere ao investimento com retirada em 3 meses e VP2 se refere</p><p>ao investimento com retirada em 6 meses. Em adição, podemos considerar as</p><p>informações específicas para os investimentos.</p><p>- Investimento com o primeiro saque:</p><p>𝑉𝐹1 = 𝑅$ 10.000,00 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>𝑡1 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>𝑖1 = 0,012𝑎. 𝑚.</p><p>- Investimento com o segundo saque:</p><p>𝑉𝐹2 = 𝑅$10.000,00 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>𝑡2 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>𝑖2 = 0,012𝑎. 𝑚.</p><p>Com base nestas informações podemos calcular VP1 e VP2, como segue:</p><p>𝑉𝑃1 =</p><p>𝑉𝐹1</p><p>(1 + 𝑖1 ∙ 𝑡1)</p><p>=</p><p>10.000</p><p>(1 + 0,012 ∙ 3)</p><p>=</p><p>10.000</p><p>1,036</p><p>≅ 𝑅$ 9.652,51</p><p>𝑉𝑃2 =</p><p>𝑉𝐹2</p><p>(1 + 𝑖2 ∙ 𝑡2)</p><p>=</p><p>10.000</p><p>(1 + 0,012 ∙ 6)</p><p>=</p><p>10.000</p><p>1,036</p><p>≅ 𝑅$ 9.328,36</p><p>Então, podemos concluir que:</p><p>𝑉𝑃 = 𝑅$ 9.652,51 + 𝑅$ 9.328,36 = 𝑅$ 18.980,87</p><p>10) Em primeiro lugar é necessário entender que o valor total a ser creditado se</p><p>refere ao valor presente (ou descontado comercialmente) de ambos os títulos a</p><p>serem descontados. Ou seja:</p><p>𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1 + 𝑉𝑃2</p><p>Em adição, com base nas informações de cada título podemos calcular VP1 e</p><p>VP2, como segue:</p><p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia</p><p>Campus Ribeirão das Neves</p><p>Curso Superior de Administração</p><p>Disciplina de Matemática Financeira</p><p>- Título 1 a ser descontado comercialmente à juros simples:</p><p>𝑉𝐹1 = 𝑅$ 10.000,00</p><p>𝑡1 = 90 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>𝑑1 = 0,01. 𝑎. 𝑚.</p><p>𝑉𝑃1 = 𝑉𝐹1 ∙ (1 − 𝑑1 ∙ 𝑡1)</p><p>𝑉𝑃1 = 10.000 ∙ (1 − 0,001 ∙ 3)</p><p>𝑉𝑃1 = 10.000 ∙ 0,97 = 𝑅$ 9.700,00</p><p>- Título 2 a ser descontado comercialmente à juros simples:</p><p>𝑉𝐹2 = 𝑅$ 10.000,00</p><p>𝑡2 = 180 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>𝑑2 = 0,01. 𝑎. 𝑚.</p><p>𝑉𝑃2 = 𝑉𝐹2 ∙ (1 − 𝑑2 ∙ 𝑡2)</p><p>𝑉𝑃2 = 10.000 ∙ (1 − 0,001 ∙ 6)</p><p>𝑉𝑃2 = 10.000 ∙ 0,94 = 𝑅$ 9.400,00</p><p>Com isto, podemos somar estes valores para determinar o valor a ser recebido:</p><p>𝑉𝑃 = 𝑅$ 9.700,00 + 𝑅$ 9.400,00 = 𝑅$ 19.100,00</p><p>11) Em primeiro lugar é fundamental estruturar as informações de modo a faci-</p><p>litar a análise antes da resolução dos problemas, identificando principalmente o</p><p>que sabemos e o que não sabemos:</p><p>1º 𝐸𝑚𝑝𝑟é𝑠𝑡𝑖𝑚𝑜:</p><p>𝑉𝑃1 = 𝑅$ 10.000,00</p><p>𝑖1 = 𝑑1 = 0,012 𝑎. 𝑚.</p><p>𝑡1 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>𝑉𝐹1 =?</p><p>2º 𝐸𝑚𝑝𝑟é𝑠𝑡𝑖𝑚𝑜:</p><p>𝑉𝐹1 = 𝑉𝑃2 =?</p><p>𝑖2 = 𝑑2 = 0,01 𝑎. 𝑚.</p><p>𝑡2 =?</p><p>𝑉𝐹2 =?</p><p>𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠:</p><p>𝐽 = 𝐽1 + 𝐽2 = 𝑅$ 981,60</p><p>a)</p><p>𝑉𝐹1 = 𝑉𝑃1 ∙ (1 + 𝑡1 ∙ 𝑖1)</p><p>𝑉𝐹1 = 𝑅$ 10.000 ∙ (1 + 3 ∙ 0,012)</p><p>𝑉𝐹1 = 𝑅$ 10.000 ∙ (1,036) = 𝑅$ 10.360,00</p><p>𝐽1 = 𝑉𝐹1 − 𝑉𝑃1 = 𝑅$ 360,00</p><p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia</p><p>Campus Ribeirão das Neves</p><p>Curso Superior de Administração</p><p>Disciplina de Matemática Financeira</p><p>b)</p><p>𝑉𝐹2 = 𝑉𝑃2 + 𝐽2 = 𝑉𝑃2 + 𝐽 − 𝐽1</p><p>𝑉𝐹2 = 𝑅$ 10.360 + 981,60 − 360 = 𝑅$10.981,60</p><p>𝐽2 = 𝑉𝐹2 − 𝑉𝑃2 = 𝑅$ 621,60</p><p>c)</p><p>𝐽2 = 𝑉𝑃2 ∙ 𝑖2 ∙ 𝑡2</p><p>𝑅$ 621,60 = 𝑅$ 10.360,00 ∙ 0,01 ∙ 𝑡2</p><p>𝑡2 =</p><p>𝑅$ 621,60</p><p>𝑅$ 103,60</p><p>= 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>d) Neste caso é preciso reestruturar as informações para a resolução do pro-</p><p>blema:</p><p>𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1 = 𝑅$ 10.000,00</p><p>𝑉𝐹 = 𝑉𝐹2 = 𝑅$ 10.981,60</p><p>𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2 = 3 + 6 = 9𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>𝑖 = 𝑑 =? 𝑎. 𝑚.</p><p>E a partir destas realizar a resolução com base na formula de capitalização</p><p>simples:</p><p>𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 𝑡)</p><p>10.981,60 = 10.000 ∙ (1 + 𝑖 ∙ 9)</p><p>10.981,60</p><p>10.000</p><p>= 1 + 𝑖 ∙ 9</p><p>1,09816 = 1 + 𝑖 ∙ 9</p><p>𝑖 =</p><p>0,09816</p><p>9</p><p>≅ 0,01090667 𝑎. 𝑚.</p><p>12) Como é em investimento em duas etapas (2 momentos) é importante iden-</p><p>tificar as informações referentes à estes momentos:</p><p>𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1</p><p>𝑉𝐹1 = 𝑅$ 10.480,00</p><p>𝑉𝑃1 =?</p><p>𝑡1 = 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>𝑖1 = 𝑖2 =?</p><p>𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2</p><p>𝑉𝑃 = 𝑉𝐹1 = 𝑅$ 10.480,00</p><p>𝑉𝐹2 = 𝑅$ 11.108,80</p><p>𝑡2 = 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠</p><p>𝑖1 = 𝑖2 =?</p><p>a) Resolvendo temos:</p><p>𝑉𝐹2 = 𝑉𝑃2 ∙ (1 + 𝑖2 ∙ 𝑡2)</p><p>𝑅$ 11.108,80 = 𝑅$ 10.480,00 ∙ (1 + 𝑖2 ∙ 5)</p><p>Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia</p><p>Campus Ribeirão das Neves</p><p>Curso Superior de Administração</p><p>Disciplina de Matemática Financeira</p><p>𝑅$ 11.108,80</p><p>𝑅$ 10.480,00</p><p>= 1 + 𝑖2 ∙ 5</p><p>1,06 = 1 + 𝑖2 ∙ 5</p><p>𝑖2 =</p><p>0,06</p><p>5</p><p>= 0,012 𝑎. 𝑚.</p><p>b) Resolvendo temos:</p><p>𝑉𝐹1 = 𝑉𝑃1 ∙ (1 + 𝑖1 ∙ 𝑡1)</p><p>𝑅$ 10.480,00 = 𝑉𝑃1 ∙ (1 + 0,012 ∙ 4)</p><p>𝑉𝑃1 =</p><p>𝑅$ 10.480,00</p><p>1 + 0,012 ∙ 4</p><p>=</p><p>𝑅$ 10.480,00</p><p>1,048</p><p>= 𝑅$ 10.000,00</p>