P1 - 2020 2 - 2S - Resolução

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<p>Prova 1 – MA-327 - Álgebra Linear – 22/10/2020</p><p>Nome: RA:</p><p>Atenção: Todas as respostas devem ser acompanhadas de justificativas. Respostas sem justificati-</p><p>vas não serão consideradas. .</p><p>1. (2pt)As seguintes afirmações são verdadeiras? Justifique.</p><p>(a) (0.5pt) {(x, y, z) ∈ R3; z = 0} é subespaço vetorial de R3; RESPOSTA: A afirmação</p><p>é VERDADEIRA, pois (0, 0, 0) certamente está em tal conjunto e além disso, se a, b ∈ R e</p><p>(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) são tais que z1 = z2 = 0, então az1 + bz2 = 0, mostrando que</p><p>a(x1, y1, z1) + b(x2, y2, z2) = (ax1 + bx2, ay1 + by2, az1 + bz2)</p><p>está em tal conjunto.</p><p>(b) (0.5pt) Se U e W são subespaços vetoriais de V , então U ∪ W é um subespaço</p><p>vetorial de V ;</p><p>RESPOSTA: A afirmação é FALSA. Considere por exemplo os subespaços vetoriais de R2</p><p>dados por</p><p>U = {(x, 0), x ∈ R} e W = {(0, y), y ∈ R}.</p><p>Sua união é o conjunto</p><p>U ∪W = {(x, y) ∈ R2;xy = 0},</p><p>que não é subespaço vetorial de R2, pois (1, 0) e (0, 1) estão em U ∪W , mas no entanto</p><p>(1, 0) + (0, 1) = (1, 1) /∈ U ∪W.</p><p>(c) (0.5pt) O polinômio p(t) = t2 + 4t − 3 é combinação linear de p1(t) = t2 − 5,</p><p>p2(t) = 2t2 − 3t+ 2 e p3(t) = −t+ 3;</p><p>RESPOSTA: A afirmação é VERDADEIRA. Escrevendo</p><p>p(t) = ap1(t) + bp2(t) + 3p3(t),</p><p>obtemos,</p><p>t2+4t−3 = a(t2−5)+b(2t2−3t+2)+c(−t+3) = (a+2b)t2+(−3b−c)t+(−5a+2b+3c).</p><p>Igualando os coeficientes dos polinômios da igualdade acima, temos o sistema linear</p><p>a + 2b = 1</p><p>− 3b − c = 4</p><p>−5a + 2b + 3c = −3</p><p>Sob operações elementares, tal sistema é equivalente ao sistema linear</p><p>a + 2b = 1</p><p>− 3b − c = 4</p><p>− c = 18</p><p>,</p><p>e portanto a = −25/3, b = 14/3 e c = −18 é solução do sistema acima. Disso,</p><p>p(t) = −25</p><p>3</p><p>p1(t) +</p><p>14</p><p>3</p><p>p2(t)− 18p3(t),</p><p>mostrando a veracidade da afirmação.</p><p>(d) (0.5pt) Se {u, v, w} ⊂ V é L.I. então {v + u, u+ w, v + w} é L.I.</p><p>RESPOSTA: A afirmação é VERDADEIRA, pois se a, b, c são escalares satisfazendo</p><p>a(v + u) + b(u+ w) + c(v + w) = 0V ,</p><p>então</p><p>0V = av + au+ bu+ bw + cv + cw = (a+ b)u+ (a+ c)v + (b+ c)w.</p><p>Sendo {u, v, w} L.I., devemos ter necessariamente</p><p>a+ b = a+ c = b+ c = 0 =⇒ a = b = c = 0,</p><p>mostrando que {v + u, u+ w, v + w} é L.I..</p><p>2. (2.5 pt) Considere as seguintes funções de R em C: f1(x) = 1, f2(x) = eix, f3(x) = e−ix,</p><p>g1(x) = 1, g2(x) = cos x e g3(x) = sinx.</p><p>(a) (0.8pt) Mostre que {f1, f2, f3} é um conjunto L.I.;</p><p>RESPOSTA: Se a, b, c ∈ C são tais que</p><p>af1(x) + bf2(x) + cf3(x) = 0, ∀x ∈ R,</p><p>então</p><p>a · 1 + b · eix + ce−ix = 0, ∀x ∈ R.</p><p>Em particular, considerando x e −x temos que{</p><p>a+ beix + ce−ix = 0</p><p>a+ be−ix + ceix = 0</p><p>,</p><p>o que nos dá (b− c)(eix− e−ix) = 0 para todo x ∈ R. Pelas identidades do item b), obtemos</p><p>então que (b− c)2i sinx = 0 implicando necessariamente que b = c.</p><p>Assim,</p><p>0 = a+ beix + ce−ix = a+ b(eix + e−ix) = a+ 2b cosx∀x ∈ R.</p><p>No entanto, como a função cosseno não é constante, a relação acima só é válida se, e só se,</p><p>a = b = 0 e portanto {f1, f2, f3} é L.I.</p><p>(b) (0.7pt) Mostre que cada gi pode ser escrito como combinação linear dos fi’s. Para</p><p>isto, utilize as identidades cosx = eix+e−ix</p><p>2</p><p>e sinx = eix−e−ix</p><p>2i</p><p>.</p><p>RESPOSTA: Das relações acima, obtemos que</p><p>g2(x) = cos x =</p><p>eix + e−ix</p><p>2</p><p>=</p><p>eix</p><p>2</p><p>+</p><p>e−ix</p><p>2</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>f2(x) +</p><p>1</p><p>2</p><p>f3(x)</p><p>e</p><p>g3(x) = sin x =</p><p>eix − e−ix</p><p>2i</p><p>=</p><p>eix</p><p>2i</p><p>− e−ix</p><p>2i</p><p>=</p><p>1</p><p>2i</p><p>f2(x)−</p><p>1</p><p>2i</p><p>f3(x)</p><p>(c) (1pt) Determine a matriz mudança de base Iβγ da base β = {f1, f2, f3} para a base</p><p>γ = {g1, g2, g3}.</p><p>RESPOSTA: Para se obter a matriz Iβγ , devemos escrever os elementos da base β como</p><p>combinação linear dos elementos da base γ. Mas pelas relações acima, temos que</p><p>f2(x) = eix = cosx+ i sinx = g2(x) + ig3(x)</p><p>e</p><p>f3(x) = e−ix = cosx− i sinx = g2(x)− ig3(x),</p><p>donde</p><p>Iβγ =</p><p> 1 0 0</p><p>0 1 1</p><p>0 i −i</p><p></p><p>3. Considere os subconjuntos não vazios de M2(R)</p><p>W1 =</p><p>{(</p><p>a b</p><p>c −a</p><p>)</p><p>; a, b, c ∈ R</p><p>}</p><p>e W2 =</p><p>{(</p><p>a 0</p><p>0 a</p><p>)</p><p>, a ∈ R</p><p>}</p><p>.</p><p>(a) (1pt) Mostre que W1 é subespaço vetorial de M2(R);</p><p>RESPOSTA: Note que W1 é não vazio, pois a matriz nula pertence a W1. Além disso, dados</p><p>α, β ∈ R,</p><p>A1 =</p><p>(</p><p>a1 b1</p><p>c1 −a1</p><p>)</p><p>e A2 =</p><p>(</p><p>a2 b2</p><p>c2 −a2</p><p>)</p><p>,</p><p>temos que</p><p>αA1 + βA2 = α</p><p>(</p><p>a1 b1</p><p>c1 −a1</p><p>)</p><p>+ β</p><p>(</p><p>a2 b2</p><p>c2 −a2</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>αa1 + βa2 αb1 + βb2</p><p>αc1 + βc2 −(αa1 + βb1)</p><p>)</p><p>,</p><p>mostrando que αA1 + βA2 ∈ W1 e portanto W1 é um subespaço vetorial de M2(R).</p><p>(b) (1pt) Assumindo que W2 é também subespaço vetorial, prove que</p><p>M2(R) = W1 ⊕W2.</p><p>RESPOSTA: Note que se A ∈ W1 ∩W2 então(</p><p>α 0</p><p>0 α</p><p>)</p><p>= A =</p><p>(</p><p>a b</p><p>c −a</p><p>)</p><p>,</p><p>donde b = c = 0 e a = α = −a donde a = b = c = 0 e 1 ∩W2 = {0}.</p><p>Além disso, temos que(</p><p>a b</p><p>c d</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>a− a+d</p><p>2</p><p>b</p><p>c d− a+d</p><p>2</p><p>)</p><p>︸ ︷︷ ︸</p><p>A1</p><p>+</p><p>(</p><p>a+d</p><p>2</p><p>0</p><p>0 a+d</p><p>2</p><p>)</p><p>︸ ︷︷ ︸</p><p>A2</p><p>.</p><p>É fácil ver que A2 ∈ W2. Por outro lado,</p><p>a− a+ d</p><p>2</p><p>=</p><p>2a− a− d</p><p>2</p><p>=</p><p>a− d</p><p>2</p><p>= −d− a</p><p>2</p><p>= −2d− a− d</p><p>2</p><p>= −</p><p>(</p><p>d− a+ d</p><p>2</p><p>)</p><p>,</p><p>mostrando que A1 ∈ W1 e portanto M2(R) = W1 ⊕W2.</p><p>4. (2.5pt) Considere v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (1, 1, 3,−1), v3 = (0, 0, 1, 0) e v4 = (0, 1, 0,−1)</p><p>em R4. Seja S = {v1, v2, v3, v4}.</p><p>(a) (1pt) Encontre uma base para o subespaço gerado por S e calcule sua dimensão.</p><p>RESPOSTA: Como V = [S] é gerado por S, podemos extrair uma base dentre os elementos</p><p>de S. Agora, note que</p><p>a(1, 0, 0, 0) + b(1, 1, 3,−1) + c(0, 0, 1, 0) = (0, 1, 0,−1)</p><p>nos dá o sistema linear homogêneo</p><p>a + b = 1</p><p>b = 1</p><p>3b + c = 0</p><p>− b = −1</p><p>,</p><p>que possui solução não trivial dada por (a, b, c) = (0, 1,−3) e portanto V = [{v1, v2, v3}].</p><p>Por outro lado,</p><p>a(1, 0, 0, 0) + b(1, 1, 3,−1) + c(0, 0, 1, 0) = (0, 0, 0, 0),</p><p>nos fornece o sistema linear homogêneo</p><p>a + b = 0</p><p>b = 0</p><p>3b + c = 0</p><p>− b = 0</p><p>,</p><p>que só possui solução trivial a = b = c = 0. Portanto, {v1, v2, v3} gera V e é L.I. e é</p><p>portanto uma base de V . Em particular, dimV = 3.</p><p>(b) (0.5pt) Complete a base acima a uma base de R4</p><p>RESPOSTA: Tome (0, 1, 0, 0) e como acima, considere a, b, c ∈ R satisfazendo</p><p>a(1, 0, 0, 0) + b(1, 1, 3,−1) + c(0, 0, 1, 0) = (0, 1, 0, 0). (1)</p><p>Assim como acima, obtemos o sistema</p><p>a + b = 0</p><p>b = 1</p><p>3b + c = 0</p><p>− b = 0</p><p>.</p><p>Que não admite solução uma vez que devemos ter pela segunda e quarta equação que b = 1 e</p><p>b = 0. Portanto, não existem a, b, c ∈ R satisfazendo a equação (1), ou seja, (0, 1, 0, 0) /∈ V</p><p>e portanto S ∪ {(0, 1, 0, 0)} é L.I. Como dimR4 = 4 devemos necessariamente ter que</p><p>{(1, 0, 0, 0), (1, 1, 3,−1), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0)}</p><p>é uma base de R4.</p><p>(c) (1pt) Seja U = [{v1, v2}] e W = [{v3, v4}]. Verifique que dim(U) = dim(W ) = 2.</p><p>Calcule dim(U ∩W ) sem encontrar U ∩W .</p><p>RESPOSTA: Como U = [{v1, v2}] devemos mostrar que {v1, v2} é L.I.. Se tal conjunto</p><p>fosse L.D. existiria a ∈ R tal que v1 = av2, ou seja,</p><p>(1, 0, 0, 0) = a(1, 1, 3,−1) e terı́amos em particular a = 1 e a = 0.</p><p>Portanto, {v1, v2} é L.I. e dimU = 2. Analogamente, {v3, v4} é L.I. e portanto dimW = 2.</p><p>Por outro lado, S = {v1, v2, v3, v4} é um conjunto gerador de U+W e portanto U+W = [S]</p><p>e pelos itens anteriores, dim(U +W ) = 3. Como</p><p>dim(U +W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ),</p><p>obtemos que dim(U ∩W ) = 1.</p><p>5. (1pt) Seja {u1, u2, . . . , un} base de um espaço vetorial V de dimensão n. Considerando a</p><p>transformação linear T : V → V definida por</p><p>T (u1) = u2 + u3 + · · ·+ un</p><p>T (u2) = u3 + u4 + · · ·+ un</p><p>...</p><p>T (un−2) = un−1 + un</p><p>T (un−1) = un</p><p>T (un) = 0</p><p>mostre que T n(u) = 0V para todo u ∈ V , mas T n−1(u) 6= 0V para algum u ∈ V .</p><p>RESPOSTA: Sendo {u1, . . . , un} base de V , dado u ∈ V podemos escrever u = α1u1 +</p><p>α2u2 + · · ·+ αnun. Por linearidade, temos que</p><p>T n(u) = α1T</p><p>n(u1) + α2T</p><p>n(u2) + · · ·+ αnT</p><p>n(un).</p><p>Dessa maneira, para mostrar que T n(u) = 0V é suficiente mostrar que T n(uj) = 0V para</p><p>todo j = 1, . . . , n. Além disso, se k</p><p>T n−1(u1) = T n−2(T (u1)) = T n−2</p><p>(</p><p>n∑</p><p>j=2</p><p>uj</p><p>)</p><p>=</p><p>n∑</p><p>j=2</p><p>T n−2(uj) = T n−2(u2)</p><p>Analogamente, T n−3(uj) = 0V se j ≥ 4 e portanto</p><p>T n−2(u2) = T n−3(T (u2)) = T n−3</p><p>(</p><p>n∑</p><p>j=3</p><p>uj</p><p>)</p><p>=</p><p>n∑</p><p>j=3</p><p>T n−3(uj) = T n−3(u3).</p><p>Repetindo o mesmo processo, obtemos que</p><p>T n−1(u1) = T n−2(u2) = T n−3(u3) = · · · = T 2(un−2) = T (un−1) = un 6= 0V ,</p><p>onde a última igualdade vem do fato de que {u1, . . . , un} é base de V . Assim T n−1(u1) 6= 0V</p><p>como querı́amos.</p><p>Boa Prova!</p>