1. (2pt) As seguintes afirmacoes são verdadeiras? Justifique.

(a) (0.5pt) {(x, y, z) ∈ R3; z = 0} é subespaço vetorial de R3; RESPOSTA: A afirmação é VERDADEIRA, pois (0, 0, 0) certamente está em tal conjunto e além disso, se a, b ∈ R e (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) são tais que z1 = z2 = 0, então az1 + bz2 = 0, mostrando que
a(x1, y1, z1) + b(x2, y2, z2) = (ax1 + bx2, ay1 + by2, az1 + bz2) está em tal conjunto.

(b) (0.5pt) Se U e W são subespaços vetoriais de V, então U ∪ W é um subespaço vetorial de V;

RESPOSTA: A afirmação é FALSA. Considere por exemplo os subespaços vetoriais de R2 dados por U = {(x, 0), x ∈ R} e W = {(0, y), y ∈ R}.

Sua união é o conjunto U ∪ W = {(x, y) ∈ R2; xy = 0}, que não é subespaço vetorial de R2, pois (1, 0) e (0, 1) estão em U ∪ W, mas no entanto (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) /∈ U ∪ W.

(c) (0.5pt) O polinômio p(t) = t2 + 4t − 3 é combinação linear de p1(t) = t2 − 5, p2(t) = 2t2 − 3t + 2 e p3(t) = −t + 3;

RESPOSTA: A afirmação é VERDADEIRA. Escrevendo p(t) = ap1(t) + bp2(t) + 3p3(t), obtemos,
t2 + 4t − 3 = a(t2 − 5) + b(2t2 − 3t + 2) + c(−t + 3) = (a + 2b)t2 + (−3b − c)t + (−5a + 2b + 3c).

Igualando os coeficientes dos polinômios da igualdade acima, temos o sistema linear { a + 2b = 1; −3b − c = 4; −5a + 2b + 3c = −3 }.

Sob operações elementares, tal sistema é equivalente ao sistema linear { a + 2b = 1; −3b − c = 4; −c = 18 }.

E portanto a = −25/3, b = 14/3 e c = −18 é solução do sistema acima. Disso, p(t) = −25/3 p1(t) + 14/3 p2(t) − 18p3(t), mostrando a veracidade da afirmação.

(d) (0.5pt) Se {u, v, w} ⊂ V é L.I. então {v + u, u + w, v + w} é L.I.

RESPOSTA: A afirmação é VERDADEIRA, pois se a, b, c são escalares satisfazendo a(v + u) + b(u + w) + c(v + w) = 0V, então 0V = av + au + bu + bw + cv + cw = (a + b)u + (a + c)v + (b + c)w.

Sendo {u, v, w} L.I., devemos ter necessariamente a + b = a + c = b + c = 0 =⇒ a = b = c = 0, mostrando que {v + u, u + w, v + w} é L.I.