Derivada Antiderivada

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Introduc¸a˜o
Em algumas situac¸o˜es na˜o conhecemos diretamente uma func¸a˜o,
mas apenas a sua taxa de variac¸a˜o.
Nesses casos, precisamos descobrir a func¸a˜o utilizando essa
informac¸a˜o.
Nesta aula estudaremos o conceito de antiderivada (ou primitiva)
de uma func¸a˜o.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Definic¸a˜o
Dizemos que F e´ uma antiderivada (ou primitiva) de f no intervalo
I , se
F ′(x) = f (x),
para todo x ∈ I .
Exemplo
A func¸a˜o F (x) = 13x
3 e´ uma antiderivada de f (x) = x2, pois
F ′(x) = f (x).
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Definic¸a˜o
Dizemos que F e´ uma antiderivada (ou primitiva) de f no intervalo
I , se
F ′(x) = f (x),
para todo x ∈ I .
Exemplo
A func¸a˜o F (x) = 13x
3 e´ uma antiderivada de f (x) = x2, pois
F ′(x) = f (x).
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Teorema
Se F e´ uma antiderivada de f no intervalo I , enta˜o
F + c ,
com c uma constante, e´ uma antiderivada de f .
Observac¸a˜o
Dizemos que F + c e´ uma fam´ılia de antiderivadas de f .
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Teorema
Se F e´ uma antiderivada de f no intervalo I , enta˜o
F + c ,
com c uma constante, e´ uma antiderivada de f .
Observac¸a˜o
Dizemos que F + c e´ uma fam´ılia de antiderivadas de f .
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Determine uma fam´ılia de antiderivadas de
f (x) = x2 − 1. Em seguida, determine a antiderivada g tal que
g(1) = 2.
Precisamos pensar em uma func¸a˜o F tal que
F ′(x) = x2 − 1.
Percebendo que
(
1
3x
3
)′
= x2 e (−x)′ = −1, temos que uma
fam´ılia de antiderivadas de f sera´
F (x) =
1
3
x3 − x + c .
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Determine uma fam´ılia de antiderivadas de
f (x) = x2 − 1. Em seguida, determine a antiderivada g tal que
g(1) = 2.
Precisamos pensar em uma func¸a˜o F tal que
F ′(x) = x2 − 1.
Percebendo que
(
1
3x
3
)′
= x2 e (−x)′ = −1, temos que uma
fam´ılia de antiderivadas de f sera´
F (x) =
1
3
x3 − x + c .
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Determine uma fam´ılia de antiderivadas de
f (x) = x2 − 1. Em seguida, determine a antiderivada g tal que
g(1) = 2.
Precisamos pensar em uma func¸a˜o F tal que
F ′(x) = x2 − 1.
Percebendo que
(
1
3x
3
)′
= x2 e (−x)′ = −1, temos que uma
fam´ılia de antiderivadas de f sera´
F (x) =
1
3
x3 − x + c .
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Precisamos agora determinar uma antiderivada g(x) = 13x
3− x + c
tal que g(1) = 2.
Ou seja, temos que resolver a equac¸a˜o
1
3
· 13 − 1 + c = 2.
E´ fa´cil notar que a soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o e´ c = 83 . Desse modo,
temos que
g(x) =
1
3
x3 − x + 8
3
.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Precisamos agora determinar uma antiderivada g(x) = 13x
3− x + c
tal que g(1) = 2. Ou seja, temos que resolver a equac¸a˜o
1
3
· 13 − 1 + c = 2.
E´ fa´cil notar que a soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o e´ c = 83 . Desse modo,
temos que
g(x) =
1
3
x3 − x + 8
3
.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Precisamos agora determinar uma antiderivada g(x) = 13x
3− x + c
tal que g(1) = 2. Ou seja, temos que resolver a equac¸a˜o
1
3
· 13 − 1 + c = 2.
E´ fa´cil notar que a soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o e´ c = 83 . Desse modo,
temos que
g(x) =
1
3
x3 − x + 8
3
.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Seja f (x) = xn, com n ∈ R \ {−1}. Prove que uma
fam´ılia de antiderivadas de f sera´ dada por F (x) =
1
n + 1
xn+1 + c .
Para provar que F e´ uma fam´ılia de antiderivadas de f basta
verificar se F ′(x) = f (x).
De fato, temos que
F ′(x) = (n + 1) · 1
n + 1
xn+1−1 + 0,
F ′(x) = xn.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Seja f (x) = xn, com n ∈ R \ {−1}. Prove que uma
fam´ılia de antiderivadas de f sera´ dada por F (x) =
1
n + 1
xn+1 + c .
Para provar que F e´ uma fam´ılia de antiderivadas de f basta
verificar se F ′(x) = f (x).
De fato, temos que
F ′(x) = (n + 1) · 1
n + 1
xn+1−1 + 0,
F ′(x) = xn.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Seja f (x) = xn, com n ∈ R \ {−1}. Prove que uma
fam´ılia de antiderivadas de f sera´ dada por F (x) =
1
n + 1
xn+1 + c .
Para provar que F e´ uma fam´ılia de antiderivadas de f basta
verificar se F ′(x) = f (x).
De fato, temos que
F ′(x) = (n + 1) · 1
n + 1
xn+1−1 + 0,
F ′(x) = xn.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Um mo´vel desloca-se em linha reta e sua velocidade
(em m/s) no tempo t e´ dada pela func¸a˜o v(t) = 4t + 5. Se em
t = 1 s a posic¸a˜o do mo´vel e´ s = 10 m, determine a sua posic¸a˜o
no tempo t.
Sabemos que a velocidade e´ a taxa de variac¸a˜o do espac¸o sobre o
tempo. Em outras palavras, temos que s ′(t) = v(t). Isso significa
que a func¸a˜o s e´ uma antiderivada da func¸a˜o v .
Utilizando o resultado do exerc´ıcio anterior, temos que
s(t) = 2t2 + 5t + c .
Sabemos que s(1) = 10. Dessa informac¸a˜o, e´ fa´cil obter que
c = 3. Portanto, temos que
s(t) = 2t2 + 5t + 3.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Um mo´vel desloca-se em linha reta e sua velocidade
(em m/s) no tempo t e´ dada pela func¸a˜o v(t) = 4t + 5. Se em
t = 1 s a posic¸a˜o do mo´vel e´ s = 10 m, determine a sua posic¸a˜o
no tempo t.
Sabemos que a velocidade e´ a taxa de variac¸a˜o do espac¸o sobre o
tempo. Em outras palavras, temos que s ′(t) = v(t). Isso significa
que a func¸a˜o s e´ uma antiderivada da func¸a˜o v .
Utilizando o resultado do exerc´ıcio anterior, temos que
s(t) = 2t2 + 5t + c .
Sabemos que s(1) = 10. Dessa informac¸a˜o, e´ fa´cil obter que
c = 3. Portanto, temos que
s(t) = 2t2 + 5t + 3.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Um mo´vel desloca-se em linha reta e sua velocidade
(em m/s) no tempo t e´ dada pela func¸a˜o v(t) = 4t + 5. Se em
t = 1 s a posic¸a˜o do mo´vel e´ s = 10 m, determine a sua posic¸a˜o
no tempo t.
Sabemos que a velocidade e´ a taxa de variac¸a˜o do espac¸o sobre o
tempo. Em outras palavras, temos que s ′(t) = v(t). Isso significa
que a func¸a˜o s e´ uma antiderivada da func¸a˜o v .
Utilizando o resultado do exerc´ıcio anterior, temos que
s(t) = 2t2 + 5t + c .
Sabemos que s(1) = 10. Dessa informac¸a˜o, e´ fa´cil obter que
c = 3. Portanto, temos que
s(t) = 2t2 + 5t + 3.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Um mo´vel desloca-se em linha reta e sua velocidade
(em m/s) no tempo t e´ dada pela func¸a˜o v(t) = 4t + 5. Se em
t = 1 s a posic¸a˜o do mo´vel e´ s = 10 m, determine a sua posic¸a˜o
no tempo t.
Sabemos que a velocidade e´ a taxa de variac¸a˜o do espac¸o sobre o
tempo. Em outras palavras, temos que s ′(t) = v(t). Isso significa
que a func¸a˜o s e´ uma antiderivada da func¸a˜o v .
Utilizando o resultado do exerc´ıcio anterior, temos que
s(t) = 2t2 + 5t + c .
Sabemos que s(1) = 10. Dessa informac¸a˜o, e´ fa´cil obter que
c = 3. Portanto, temos que
s(t) = 2t2 + 5t + 3.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Qual e´ a acelerac¸a˜o constante necessa´ria para
aumentar a velocidade de um carro de 30 km/h para 50 km/h em
5 s?
Sabemos que a acelerac¸a˜o e´ a taxa de variac¸a˜o da velocidade sobre
o tempo. Em outras palavras, temos que v ′(t) = a(t). Isso
significa que a func¸a˜o v e´ uma antiderivada da func¸a˜o a.
Ja´ que a acelerac¸a˜o deve ser constante, isto e´, a(t) = k , temos que
v(t) = kt + c .
Supondo que v(0) = 30 e v
(
5
3.600
)
= 50, e´ fa´cil obter que
c = 30 e k = 14.400. Portanto, devemos ter uma acelerac¸a˜o
constante de 14.400 km/h2.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Qual e´ a acelerac¸a˜o constante necessa´ria para
aumentar a velocidade de um carro de 30 km/h para 50 km/h em
5 s?
Sabemos que a acelerac¸a˜o e´ a taxa de variac¸a˜o da velocidade sobre
o tempo. Em outras palavras, temos que v ′(t) = a(t). Isso
significa que a func¸a˜o v e´ uma antiderivada da func¸a˜o a.
Ja´ que a acelerac¸a˜o deve ser constante, isto e´, a(t) = k , temosque
v(t) = kt + c .
Supondo que v(0) = 30 e v
(
5
3.600
)
= 50, e´ fa´cil obter que
c = 30 e k = 14.400. Portanto, devemos ter uma acelerac¸a˜o
constante de 14.400 km/h2.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Qual e´ a acelerac¸a˜o constante necessa´ria para
aumentar a velocidade de um carro de 30 km/h para 50 km/h em
5 s?
Sabemos que a acelerac¸a˜o e´ a taxa de variac¸a˜o da velocidade sobre
o tempo. Em outras palavras, temos que v ′(t) = a(t). Isso
significa que a func¸a˜o v e´ uma antiderivada da func¸a˜o a.
Ja´ que a acelerac¸a˜o deve ser constante, isto e´, a(t) = k , temos que
v(t) = kt + c .
Supondo que v(0) = 30 e v
(
5
3.600
)
= 50, e´ fa´cil obter que
c = 30 e k = 14.400. Portanto, devemos ter uma acelerac¸a˜o
constante de 14.400 km/h2.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Qual e´ a acelerac¸a˜o constante necessa´ria para
aumentar a velocidade de um carro de 30 km/h para 50 km/h em
5 s?
Sabemos que a acelerac¸a˜o e´ a taxa de variac¸a˜o da velocidade sobre
o tempo. Em outras palavras, temos que v ′(t) = a(t). Isso
significa que a func¸a˜o v e´ uma antiderivada da func¸a˜o a.
Ja´ que a acelerac¸a˜o deve ser constante, isto e´, a(t) = k , temos que
v(t) = kt + c .
Supondo que v(0) = 30 e v
(
5
3.600
)
= 50, e´ fa´cil obter que
c = 30 e k = 14.400. Portanto, devemos ter uma acelerac¸a˜o
constante de 14.400 km/h2.
Antiderivada de uma Func¸a˜o
Tabela Ba´sica
Utilizando o conhecimento da tabela ba´sica de derivadas
constru´ıda em aula anterior, podemos criar uma tabela ba´sica de
antiderivadas.
Func¸a˜o Antiderivada
xn, com n 6= −1 1
n + 1
xn+1
1
x
ln |x |
ax , com a > 0 e a 6= 1 1
ln a
ax
sen x − cos x
cos x sen x