Encontrar a Fração Geratriz de uma dízima periódica sem uso direto da álgebra

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Encontrar a Fração Geratriz de uma d́ızima periódica
Exemplo: Converta as d́ızimas periódicas abaixo para a forma fracionária
(ache a fração geratriz)
(I) 2, 0232323...
1° passo: temos que observar que a d́ızima acima contém um número ”intruso”
(não faz parte do peŕıodo). Logo, é uma d́ızima periódica composta, o que
exige mais cuidado na hora de fazer a conversão
2° passo: Lembrando que a ideia de pegar o número inteiro sem v́ırgula aqui
não funciona, já que ele possui infinitas casas decimais.
Para isso temos que usar uma outra estratégia.
O nosso ”pulo do gato” é tentar eliminar elas infinitas casas decimais, pois só
assim vamos conseguir pegar o número inteiro sem v́ırgula.
Para isso podeŕıamos fazer uma subtração, mas não pode ser o número
2,0232323... com ele mesmo, senão zeraria o nosso número que sabemos que é
diferente de zero
O que temos que fazer é tentar deixar parecido com a d́ızima simples com o
peŕıodo logo após a v́ırgula, para isso podemos correr a v́ırgula uma vez para a
direita, ficando 20,232323...
Sabemos que 2,0232323... é o mesmo que 2,0232323... × 10
3° passo: Agora temos que tentar subtrair 20,232323... por outro número que
elimine todo o peŕıodo (números que se repetem) após a v́ırgula, mas se
usarmos a d́ızima original isso não acontece
O que a gente pode fazer é tentar movimentar a v́ırgula para a direita de
forma que o peŕıodo fique logo após ela. Se a gente, pegar a d́ızima
2,0232323... e correr a v́ırgula três casas decimais à direita, esse número é
encontrado, pois resulta em 2023,2323..., que é o mesmo que 2023,232323... já
que é uma d́ızima periódido e o 23 se repete infinitamente
Também repare que 2023,232323...=2,0232323... × 1000 (já que movemos três
casas decimais para a direita)
4° passo: Agora é só fazermos o maior menos o menor entre 20,232323... e
2023,232323... e essa diferença vai ser o nosso numerador:
1
2023,232323...-20,232323...=2003 (numerador da fração geratriz)
5° passo: Já entre 10 e o 1000 que encontramos como resultado dos
deslocamentos da v́ırgula, também fazemos a subtração do maior pelo menor e
o resultado será o nosso denominador:
1000-10=990 (nosso denominador)
6° passo: Agora é só juntar tudo em uma fração:
2023,232323...−20,232323...
1000−10 =
2023
990
Logo, 2023990 é a nossa fração geratriz da d́ızima periódica 2,0232323...,
lembrando que ainda podemos simplificá-la
2