Derivada-Regra-de-LHospital

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Regra de L’Hospital
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Regra de L’Hospital
Introduc¸a˜o
Nesta aula vamos aprender uma te´cnica para calcular limites com
indeterminac¸o˜es do tipo 0/0 ou ∞/∞.
Regra de L’Hospital
Teorema
Sejam f e g diferencia´veis e g ′(x) 6= 0 para x pro´ximo de c
(exceto possivelmente em c).
Considere que
lim
x→c f (x) = 0 e limx→c g(x) = 0,
ou ainda que
lim
x→c f (x) =∞ e limx→c g(x) =∞.
Se lim
x→c
f ′(x)
g ′(x)
existe, enta˜o
lim
x→c
f (x)
g(x)
= lim
x→c
f ′(x)
g ′(x)
.
Regra de L’Hospital
Interpretac¸a˜o Geome´trica
(a) (b)
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule lim
x→1
ln x
x − 1.
Note que lim
x→1
ln x = 0 e lim
x→1
x − 1 = 0. Aplicando a Regra de
L’Hospital, obtemos
lim
x→1
ln x
x − 1 = limx→1
(ln x)′
(x − 1)′
= lim
x→1
1
x
1
= lim
x→1
1
x
= 1
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule lim
x→1
ln x
x − 1.
Note que lim
x→1
ln x = 0 e lim
x→1
x − 1 = 0.
Aplicando a Regra de
L’Hospital, obtemos
lim
x→1
ln x
x − 1 = limx→1
(ln x)′
(x − 1)′
= lim
x→1
1
x
1
= lim
x→1
1
x
= 1
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule lim
x→1
ln x
x − 1.
Note que lim
x→1
ln x = 0 e lim
x→1
x − 1 = 0. Aplicando a Regra de
L’Hospital, obtemos
lim
x→1
ln x
x − 1 = limx→1
(ln x)′
(x − 1)′
= lim
x→1
1
x
1
= lim
x→1
1
x
= 1
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule lim
x→1
ln x
x − 1.
Note que lim
x→1
ln x = 0 e lim
x→1
x − 1 = 0. Aplicando a Regra de
L’Hospital, obtemos
lim
x→1
ln x
x − 1 = limx→1
(ln x)′
(x − 1)′
= lim
x→1
1
x
1
= lim
x→1
1
x
= 1
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule lim
x→1
ln x
x − 1.
Note que lim
x→1
ln x = 0 e lim
x→1
x − 1 = 0. Aplicando a Regra de
L’Hospital, obtemos
lim
x→1
ln x
x − 1 = limx→1
(ln x)′
(x − 1)′
= lim
x→1
1
x
1
= lim
x→1
1
x
= 1
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule lim
x→+∞
−2x
ex
.
Note que lim
x→+∞−2x = −∞ e limx→+∞ e
x = +∞. Aplicando a
Regra de L’Hospital, obtemos
lim
x→+∞
−2x
ex
= lim
x→+∞
(−2x)′
(ex)′
= lim
x→+∞
−2
ex
= 0
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule lim
x→+∞
−2x
ex
.
Note que lim
x→+∞−2x = −∞ e limx→+∞ e
x = +∞.
Aplicando a
Regra de L’Hospital, obtemos
lim
x→+∞
−2x
ex
= lim
x→+∞
(−2x)′
(ex)′
= lim
x→+∞
−2
ex
= 0
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule lim
x→+∞
−2x
ex
.
Note que lim
x→+∞−2x = −∞ e limx→+∞ e
x = +∞. Aplicando a
Regra de L’Hospital, obtemos
lim
x→+∞
−2x
ex
= lim
x→+∞
(−2x)′
(ex)′
= lim
x→+∞
−2
ex
= 0
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule lim
x→+∞
−2x
ex
.
Note que lim
x→+∞−2x = −∞ e limx→+∞ e
x = +∞. Aplicando a
Regra de L’Hospital, obtemos
lim
x→+∞
−2x
ex
= lim
x→+∞
(−2x)′
(ex)′
= lim
x→+∞
−2
ex
= 0
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule lim
x→0+
xe
1
x .
Note que esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 0 · ∞.
Para podermos aplicar a Regra de L’Hospital devemos
primeiramente arruma´-lo. Faremos isso observando que
lim
x→0+
xe
1
x = lim
x→0+
e
1
x
1
x
.
Nessa arrumac¸a˜o o limite passou a apresentar uma indeterminac¸a˜o
do tipo ∞/∞. Portanto, podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
lim
x→0+
e
1
x
1
x
= lim
x→0+
(
e
1
x
)′
(
1
x
)′ = lim
x→0+
− 1
x2
e
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
e
1
x
= +∞
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule lim
x→0+
xe
1
x .
Note que esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 0 · ∞.
Para podermos aplicar a Regra de L’Hospital devemos
primeiramente arruma´-lo.
Faremos isso observando que
lim
x→0+
xe
1
x = lim
x→0+
e
1
x
1
x
.
Nessa arrumac¸a˜o o limite passou a apresentar uma indeterminac¸a˜o
do tipo ∞/∞. Portanto, podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
lim
x→0+
e
1
x
1
x
= lim
x→0+
(
e
1
x
)′
(
1
x
)′ = lim
x→0+
− 1
x2
e
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
e
1
x
= +∞
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule lim
x→0+
xe
1
x .
Note que esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 0 · ∞.
Para podermos aplicar a Regra de L’Hospital devemos
primeiramente arruma´-lo. Faremos isso observando que
lim
x→0+
xe
1
x = lim
x→0+
e
1
x
1
x
.
Nessa arrumac¸a˜o o limite passou a apresentar uma indeterminac¸a˜o
do tipo ∞/∞. Portanto, podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
lim
x→0+
e
1
x
1
x
= lim
x→0+
(
e
1
x
)′
(
1
x
)′ = lim
x→0+
− 1
x2
e
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
e
1
x
= +∞
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule lim
x→0+
xe
1
x .
Note que esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 0 · ∞.
Para podermos aplicar a Regra de L’Hospital devemos
primeiramente arruma´-lo. Faremos isso observando que
lim
x→0+
xe
1
x = lim
x→0+
e
1
x
1
x
.
Nessa arrumac¸a˜o o limite passou a apresentar uma indeterminac¸a˜o
do tipo ∞/∞.
Portanto, podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
lim
x→0+
e
1
x
1
x
= lim
x→0+
(
e
1
x
)′
(
1
x
)′ = lim
x→0+
− 1
x2
e
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
e
1
x
= +∞
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule lim
x→0+
xe
1
x .
Note que esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 0 · ∞.
Para podermos aplicar a Regra de L’Hospital devemos
primeiramente arruma´-lo. Faremos isso observando que
lim
x→0+
xe
1
x = lim
x→0+
e
1
x
1
x
.
Nessa arrumac¸a˜o o limite passou a apresentar uma indeterminac¸a˜o
do tipo ∞/∞. Portanto, podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
lim
x→0+
e
1
x
1
x
= lim
x→0+
(
e
1
x
)′
(
1
x
)′ = lim
x→0+
− 1
x2
e
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
e
1
x
= +∞
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule lim
x→0+
xe
1
x .
Note que esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 0 · ∞.
Para podermos aplicar a Regra de L’Hospital devemos
primeiramente arruma´-lo. Faremos isso observando que
lim
x→0+
xe
1
x = lim
x→0+
e
1
x
1
x
.
Nessa arrumac¸a˜o o limite passou a apresentar uma indeterminac¸a˜o
do tipo ∞/∞. Portanto, podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
lim
x→0+
e
1
x
1
x
= lim
x→0+
(
e
1
x
)′
(
1
x
)′ = lim
x→0+
− 1
x2
e
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
e
1
x
= +∞
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Calcule lim
x→0+
xx .
Note que esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 00.
Para podermos aplicar a Regra de L’Hospital devemos
primeiramente arruma´-lo. Faremos isso observando que
L = lim
x→0+
xx
ln L = lim
x→0+
ln xx
ln L = lim
x→0+
x ln x
ln L = lim
x→0+
ln x
1
x
Nessa arrumac¸a˜o o limite passou a apresentar uma indeterminac¸a˜o
do tipo ∞/∞.
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Calcule lim
x→0+
xx .
Note que esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 00.
Para podermos aplicar a Regra de L’Hospital devemos
primeiramente arruma´-lo.
Faremos isso observando que
L = lim
x→0+
xx
ln L = lim
x→0+
ln xx
ln L = lim
x→0+
x ln x
ln L = lim
x→0+
ln x
1
x
Nessa arrumac¸a˜o o limite passou a apresentar uma indeterminac¸a˜o
do tipo ∞/∞.
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Calcule lim
x→0+
xx .
Note que esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 00.
Para podermos aplicar a Regra de L’Hospital devemos
primeiramente arruma´-lo. Faremos isso observando que
L = lim
x→0+
xx
ln L = lim
x→0+
ln xx
ln L = lim
x→0+
x ln x
ln L = lim
x→0+
ln x
1
x
Nessa arrumac¸a˜o o limite passou a apresentar uma indeterminac¸a˜o
do tipo ∞/∞.
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Calcule lim
x→0+
xx .
Note que esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 00.
Para podermos aplicar a Regra de L’Hospital devemos
primeiramente arruma´-lo. Faremos isso observando que
L = lim
x→0+
xx
ln L = lim
x→0+
ln xx
ln L = lim
x→0+
x ln x
ln L = lim
x→0+
ln x
1
x
Nessa arrumac¸a˜o o limite passou a apresentar uma indeterminac¸a˜o
do tipo ∞/∞.
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Calcule lim
x→0+
xx .
Note que esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 00.
Para podermos aplicar a Regra de L’Hospital devemos
primeiramente arruma´-lo. Faremos isso observandoque
L = lim
x→0+
xx
ln L = lim
x→0+
ln xx
ln L = lim
x→0+
x ln x
ln L = lim
x→0+
ln x
1
x
Nessa arrumac¸a˜o o limite passou a apresentar uma indeterminac¸a˜o
do tipo ∞/∞.
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 4: Calcule lim
x→0+
xx .
Note que esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 00.
Para podermos aplicar a Regra de L’Hospital devemos
primeiramente arruma´-lo. Faremos isso observando que
L = lim
x→0+
xx
ln L = lim
x→0+
ln xx
ln L = lim
x→0+
x ln x
ln L = lim
x→0+
ln x
1
x
Nessa arrumac¸a˜o o limite passou a apresentar uma indeterminac¸a˜o
do tipo ∞/∞.
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Aplicando a Regra de L’Hospital, temos que
ln L = lim
x→0+
ln x
1
x
ln L = lim
x→0+
(ln x)′(
1
x
)′
ln L = lim
x→0+
1
x
− 1
x2
ln L = lim
x→0+
−x
ln L = 0
L = 1
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Aplicando a Regra de L’Hospital, temos que
ln L = lim
x→0+
ln x
1
x
ln L = lim
x→0+
(ln x)′(
1
x
)′
ln L = lim
x→0+
1
x
− 1
x2
ln L = lim
x→0+
−x
ln L = 0
L = 1
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Aplicando a Regra de L’Hospital, temos que
ln L = lim
x→0+
ln x
1
x
ln L = lim
x→0+
(ln x)′(
1
x
)′
ln L = lim
x→0+
1
x
− 1
x2
ln L = lim
x→0+
−x
ln L = 0
L = 1
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Aplicando a Regra de L’Hospital, temos que
ln L = lim
x→0+
ln x
1
x
ln L = lim
x→0+
(ln x)′(
1
x
)′
ln L = lim
x→0+
1
x
− 1
x2
ln L = lim
x→0+
−x
ln L = 0
L = 1
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Aplicando a Regra de L’Hospital, temos que
ln L = lim
x→0+
ln x
1
x
ln L = lim
x→0+
(ln x)′(
1
x
)′
ln L = lim
x→0+
1
x
− 1
x2
ln L = lim
x→0+
−x
ln L = 0
L = 1
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 5: Calcule lim
x→0
ex − (x + 1)
x2
.
Esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0. Aplicando
a Regra de L’Hospital, obtemos
lim
x→0
ex − (x + 1)
x2
= lim
x→0
[ex − (x + 1)]′
(x2)′
= lim
x→0
ex − 1
2x
Novamente, temos uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0. Aplicando a
Regra de L’Hospital pela segunda vez, obtemos
lim
x→0
ex − 1
2x
= lim
x→0
(ex − 1)′
(2x)′
= lim
x→0
ex
2
=
1
2
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 5: Calcule lim
x→0
ex − (x + 1)
x2
.
Esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0. Aplicando
a Regra de L’Hospital, obtemos
lim
x→0
ex − (x + 1)
x2
= lim
x→0
[ex − (x + 1)]′
(x2)′
= lim
x→0
ex − 1
2x
Novamente, temos uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0. Aplicando a
Regra de L’Hospital pela segunda vez, obtemos
lim
x→0
ex − 1
2x
= lim
x→0
(ex − 1)′
(2x)′
= lim
x→0
ex
2
=
1
2
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 5: Calcule lim
x→0
ex − (x + 1)
x2
.
Esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0. Aplicando
a Regra de L’Hospital, obtemos
lim
x→0
ex − (x + 1)
x2
= lim
x→0
[ex − (x + 1)]′
(x2)′
= lim
x→0
ex − 1
2x
Novamente, temos uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0. Aplicando a
Regra de L’Hospital pela segunda vez, obtemos
lim
x→0
ex − 1
2x
= lim
x→0
(ex − 1)′
(2x)′
= lim
x→0
ex
2
=
1
2
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 5: Calcule lim
x→0
ex − (x + 1)
x2
.
Esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0. Aplicando
a Regra de L’Hospital, obtemos
lim
x→0
ex − (x + 1)
x2
= lim
x→0
[ex − (x + 1)]′
(x2)′
= lim
x→0
ex − 1
2x
Novamente, temos uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0. Aplicando a
Regra de L’Hospital pela segunda vez, obtemos
lim
x→0
ex − 1
2x
= lim
x→0
(ex − 1)′
(2x)′
= lim
x→0
ex
2
=
1
2
Regra de L’Hospital
Exerc´ıcio
Exemplo 5: Calcule lim
x→0
ex − (x + 1)
x2
.
Esse limite apresenta uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0. Aplicando
a Regra de L’Hospital, obtemos
lim
x→0
ex − (x + 1)
x2
= lim
x→0
[ex − (x + 1)]′
(x2)′
= lim
x→0
ex − 1
2x
Novamente, temos uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0. Aplicando a
Regra de L’Hospital pela segunda vez, obtemos
lim
x→0
ex − 1
2x
= lim
x→0
(ex − 1)′
(2x)′
= lim
x→0
ex
2
=
1
2