Derivada-Taxa-de-Variacao

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Taxa de Variac¸a˜o
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Taxa de Variac¸a˜o
Noc¸a˜o Intuitiva
Um certo mo´vel deslocou-se do ponto B para o ponto C conforme
ilustra a figura abaixo. Qual foi a velocidade me´dia nesse trajeto?
vm =
d1 − d0
t1 − t0 =
200 − 50
10 − 8 = 75 km/h
Taxa de Variac¸a˜o
Noc¸a˜o Intuitiva
Um certo mo´vel deslocou-se do ponto B para o ponto C conforme
ilustra a figura abaixo. Qual foi a velocidade me´dia nesse trajeto?
vm =
d1 − d0
t1 − t0 =
200 − 50
10 − 8 = 75 km/h
Taxa de Variac¸a˜o
Definic¸a˜o
Considere que uma grandeza y depende de uma outra grandeza x .
Suponha que quando x variar de x0 para x1 tivermos que y ira´
variar de y0 para y1. Temos que a taxa de variac¸a˜o de y em
relac¸a˜o a x sera´ dada por:
T =
y1 − y0
x1 − x0 .
Usando as notac¸o˜es ∆x = x1 − x0 e ∆y = y1 − y0, podemos
escrever a taxa de variac¸a˜o como:
T =
∆y
∆x
.
Taxa de Variac¸a˜o
Exerc´ıcios
Exemplo 1: A tabela abaixo representa o registro da temperatura a
cada hora, a partir da meia-noite, em certa cidade. Qual foi a taxa
de variac¸a˜o da temperatura de 6:00 h para 10:00 h?
t ◦C t ◦C t ◦C
0 10,2 8 9,5 16 12,2
1 10,1 9 10,1 17 13,1
2 10,0 10 10,3 18 14,0
3 9,1 11 10,4 19 13,6
4 9,2 12 10,9 20 13,0
5 9,1 13 11,0 21 12,0
6 9,0 14 11,1 22 10,3
7 9,2 15 11,8 23 10,0
T =
∆C
∆t
=
10, 3 − 9, 0
10 − 6 = 0, 325
◦C/h
Taxa de Variac¸a˜o
Exerc´ıcios
Exemplo 1: A tabela abaixo representa o registro da temperatura a
cada hora, a partir da meia-noite, em certa cidade. Qual foi a taxa
de variac¸a˜o da temperatura de 6:00 h para 10:00 h?
t ◦C t ◦C t ◦C
0 10,2 8 9,5 16 12,2
1 10,1 9 10,1 17 13,1
2 10,0 10 10,3 18 14,0
3 9,1 11 10,4 19 13,6
4 9,2 12 10,9 20 13,0
5 9,1 13 11,0 21 12,0
6 9,0 14 11,1 22 10,3
7 9,2 15 11,8 23 10,0
T =
∆C
∆t
=
10, 3 − 9, 0
10 − 6 = 0, 325
◦C/h
Taxa de Variac¸a˜o
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Considere que y e´ uma func¸a˜o de x , isto e´, y = f (x). A taxa de
variac¸a˜o de y em relac¸a˜o a x sera´ dada por
T =
∆y
∆x
=
f (x1) − f (x0)
x1 − x0 = tgα.
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Noc¸a˜o intuitiva
Considere que um mo´vel, inicialmente em repouso no ponto A,
desloca-se para o ponto B de modo que t segundos apo´s deixar o
ponto A ele tenha percorrido f (t) = 5t2 metros. Qual a velocidade
do mo´vel apo´s 4 segundos?
t0 t1 vm =
f (t1)−f (t0)
t1−t0
3,9 4 39,5
4 4,1 40,5
Parece razoa´vel dizer que a velocidade em 4 segundos e´ 40 m/s.
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Noc¸a˜o intuitiva
Considere que um mo´vel, inicialmente em repouso no ponto A,
desloca-se para o ponto B de modo que t segundos apo´s deixar o
ponto A ele tenha percorrido f (t) = 5t2 metros. Qual a velocidade
do mo´vel apo´s 4 segundos?
t0 t1 vm =
f (t1)−f (t0)
t1−t0
3,9 4 39,5
4 4,1 40,5
Parece razoa´vel dizer que a velocidade em 4 segundos e´ 40 m/s.
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Noc¸a˜o intuitiva
Considere que um mo´vel, inicialmente em repouso no ponto A,
desloca-se para o ponto B de modo que t segundos apo´s deixar o
ponto A ele tenha percorrido f (t) = 5t2 metros. Qual a velocidade
do mo´vel apo´s 4 segundos?
t0 t1 vm =
f (t1)−f (t0)
t1−t0
3,9 4 39,5
4 4,1 40,5
Parece razoa´vel dizer que a velocidade em 4 segundos e´ 40 m/s.
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Noc¸a˜o intuitiva
Temos que a velocidade me´dia no intervalo [t, 4] sera´ dada por
vm =
f (4) − f (t)
4 − t .
Ja´ a velocidade me´dia no intervalo [4, t] sera´ dada por
vm =
f (t) − f (4)
t − 4 .
Note que essas duas expresso˜es sa˜o equivalentes:
vm =
f (4) − f (t)
4 − t =
−[f (t) − f (4)]
−(t − 4) =
f (t) − f (4)
t − 4 = vm.
Fazendo t aproximar-se de 4, a velocidade sera´ dada pelo limite
v = lim
t→4
f (t) − f (4)
t − 4
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Noc¸a˜o intuitiva
Temos que a velocidade me´dia no intervalo [t, 4] sera´ dada por
vm =
f (4) − f (t)
4 − t .
Ja´ a velocidade me´dia no intervalo [4, t] sera´ dada por
vm =
f (t) − f (4)
t − 4 .
Note que essas duas expresso˜es sa˜o equivalentes:
vm =
f (4) − f (t)
4 − t =
−[f (t) − f (4)]
−(t − 4) =
f (t) − f (4)
t − 4 = vm.
Fazendo t aproximar-se de 4, a velocidade sera´ dada pelo limite
v = lim
t→4
f (t) − f (4)
t − 4
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Noc¸a˜o intuitiva
Temos que a velocidade me´dia no intervalo [t, 4] sera´ dada por
vm =
f (4) − f (t)
4 − t .
Ja´ a velocidade me´dia no intervalo [4, t] sera´ dada por
vm =
f (t) − f (4)
t − 4 .
Note que essas duas expresso˜es sa˜o equivalentes:
vm =
f (4) − f (t)
4 − t =
−[f (t) − f (4)]
−(t − 4) =
f (t) − f (4)
t − 4 = vm.
Fazendo t aproximar-se de 4, a velocidade sera´ dada pelo limite
v = lim
t→4
f (t) − f (4)
t − 4
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Noc¸a˜o intuitiva
Temos que a velocidade me´dia no intervalo [t, 4] sera´ dada por
vm =
f (4) − f (t)
4 − t .
Ja´ a velocidade me´dia no intervalo [4, t] sera´ dada por
vm =
f (t) − f (4)
t − 4 .
Note que essas duas expresso˜es sa˜o equivalentes:
vm =
f (4) − f (t)
4 − t =
−[f (t) − f (4)]
−(t − 4) =
f (t) − f (4)
t − 4 = vm.
Fazendo t aproximar-se de 4, a velocidade sera´ dada pelo limite
v = lim
t→4
f (t) − f (4)
t − 4
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Noc¸a˜o intuitiva
v = lim
t→4
f (t) − f (4)
t − 4
= lim
t→4
5t2 − 5 · 42
t − 4
= lim
t→4
5(t2 − 42)
t − 4
= lim
t→4
5���
�(t − 4)(t + 4)
���
�(t − 4)
= lim
t→4
5(t + 4)
= 5(4 + 4) = 40
A velocidade apo´s 4 segundos e´ 40 m/s.
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Noc¸a˜o intuitiva
v = lim
t→4
f (t) − f (4)
t − 4
= lim
t→4
5t2 − 5 · 42
t − 4
= lim
t→4
5(t2 − 42)
t − 4
= lim
t→4
5���
�(t − 4)(t + 4)
���
�(t − 4)
= lim
t→4
5(t + 4)
= 5(4 + 4) = 40
A velocidade apo´s 4 segundos e´ 40 m/s.
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Noc¸a˜o intuitiva
v = lim
t→4
f (t) − f (4)
t − 4
= lim
t→4
5t2 − 5 · 42
t − 4
= lim
t→4
5(t2 − 42)
t − 4
= lim
t→4
5���
�(t − 4)(t + 4)
���
�(t − 4)
= lim
t→4
5(t + 4)
= 5(4 + 4) = 40
A velocidade apo´s 4 segundos e´ 40 m/s.
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Noc¸a˜o intuitiva
v = lim
t→4
f (t) − f (4)
t − 4
= lim
t→4
5t2 − 5 · 42
t − 4
= lim
t→4
5(t2 − 42)
t − 4
= lim
t→4
5���
�(t − 4)(t + 4)
���
�(t − 4)
= lim
t→4
5(t + 4)
= 5(4 + 4) = 40
A velocidade apo´s 4 segundos e´ 40 m/s.
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Noc¸a˜o intuitiva
v = lim
t→4
f (t) − f (4)
t − 4
= lim
t→4
5t2 − 5 · 42
t − 4
= lim
t→4
5(t2 − 42)
t − 4
= lim
t→4
5���
�(t − 4)(t + 4)
���
�(t − 4)
= lim
t→4
5(t + 4)
= 5(4 + 4) = 40
A velocidade apo´s 4 segundos e´ 40 m/s.
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Noc¸a˜o intuitiva
v = lim
t→4
f (t) − f (4)
t − 4
= lim
t→4
5t2 − 5 · 42
t − 4
= lim
t→4
5(t2 − 42)
t − 4
= lim
t→4
5���
�(t − 4)(t + 4)
���
�(t − 4)
= lim
t→4
5(t + 4)
= 5(4 + 4) = 40
A velocidade apo´s 4 segundos e´ 40 m/s.
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Definic¸a˜o
Considere que uma grandeza y e´ uma func¸a˜o da grandeza x , isto
e´, y = f (x). Temos que a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de y no
ponto a sera´ dada por
Ti = lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a .
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel h = x − a, temos que esse limite e´
equivalente a
Ti = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h
.
Observac¸a˜o
Usando as notac¸o˜es ∆x = x − a e ∆y = f (x) − f (a), podemos
escrever a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea como:
Ti = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Definic¸a˜o
Considere que uma grandeza y e´ uma func¸a˜o da grandeza x , isto
e´, y = f (x). Temos que a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de y no
ponto a sera´ dada por
Ti = lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a .
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel h = x − a, temos que esse limite e´
equivalente a
Ti = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h
.
Observac¸a˜o
Usando as notac¸o˜es ∆x = x − a e ∆y = f (x) − f (a), podemos
escrever a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea como:
Ti = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Ti = lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a = lim∆x→0
∆y
∆x
= tgβ.
Taxade Variac¸a˜o Instantaˆnea
Exerc´ıcios
Exemplo 2: Determine a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o
f (x) = −x2 + 4x no ponto (1, f (1)).
Da Geometria Anal´ıtica, sabemos que a reta passando pelo ponto
(x0, y0) e com coeficiente angular (ou inclinac¸a˜o) m e´ dada por
y − y0 = m(x − x0).
Neste exerc´ıcio temos que (x0, y0) = (1, f (1)) = (1, 3) e m e´ a
taxa de variac¸a˜o instantaˆnea em 1. Desse modo, precisamos
resolver o limite
m = lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1 .
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Exerc´ıcios
Exemplo 2: Determine a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o
f (x) = −x2 + 4x no ponto (1, f (1)).
Da Geometria Anal´ıtica, sabemos que a reta passando pelo ponto
(x0, y0) e com coeficiente angular (ou inclinac¸a˜o) m e´ dada por
y − y0 = m(x − x0).
Neste exerc´ıcio temos que (x0, y0) = (1, f (1)) = (1, 3) e m e´ a
taxa de variac¸a˜o instantaˆnea em 1. Desse modo, precisamos
resolver o limite
m = lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1 .
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Exerc´ıcios
Exemplo 2: Determine a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o
f (x) = −x2 + 4x no ponto (1, f (1)).
Da Geometria Anal´ıtica, sabemos que a reta passando pelo ponto
(x0, y0) e com coeficiente angular (ou inclinac¸a˜o) m e´ dada por
y − y0 = m(x − x0).
Neste exerc´ıcio temos que (x0, y0) = (1, f (1)) = (1, 3) e m e´ a
taxa de variac¸a˜o instantaˆnea em 1. Desse modo, precisamos
resolver o limite
m = lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1 .
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Exerc´ıcios
m = lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1
= lim
x→1
(−x2 + 4x) − (−12 + 4 · 1)
x − 1
= lim
x→1
−x2 + 4x − 3
x − 1
= lim
x→1
−����(x − 1)(x − 3)
���
�(x − 1)
= lim
x→1
−(x − 3)
= −(1 − 3)
= 2
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Exerc´ıcios
m = lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1
= lim
x→1
(−x2 + 4x) − (−12 + 4 · 1)
x − 1
= lim
x→1
−x2 + 4x − 3
x − 1
= lim
x→1
−����(x − 1)(x − 3)
���
�(x − 1)
= lim
x→1
−(x − 3)
= −(1 − 3)
= 2
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Exerc´ıcios
m = lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1
= lim
x→1
(−x2 + 4x) − (−12 + 4 · 1)
x − 1
= lim
x→1
−x2 + 4x − 3
x − 1
= lim
x→1
−����(x − 1)(x − 3)
���
�(x − 1)
= lim
x→1
−(x − 3)
= −(1 − 3)
= 2
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Exerc´ıcios
m = lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1
= lim
x→1
(−x2 + 4x) − (−12 + 4 · 1)
x − 1
= lim
x→1
−x2 + 4x − 3
x − 1
= lim
x→1
−����(x − 1)(x − 3)
���
�(x − 1)
= lim
x→1
−(x − 3)
= −(1 − 3)
= 2
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Exerc´ıcios
m = lim
x→1
f (x) − f (1)
x − 1
= lim
x→1
(−x2 + 4x) − (−12 + 4 · 1)
x − 1
= lim
x→1
−x2 + 4x − 3
x − 1
= lim
x→1
−����(x − 1)(x − 3)
���
�(x − 1)
= lim
x→1
−(x − 3)
= −(1 − 3)
= 2
Taxa de Variac¸a˜o Instantaˆnea
Exerc´ıcios
Como m = 2 e (x0, y0) = (1, 3) temos que a reta tangente ao
gra´fico da func¸a˜o no ponto dado sera´
y − 3 = 2(x − 1),
ou ainda,
y = 2x + 1.