Avaliação I - Individual - Cálculo Diferencial e Integral II

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<p>11/10/2024, 13:28 Avaliação Individual A+ Alterar modo de visualização Peso da Avaliação 2,00 Prova 89230752 Qtd. de Questões 10 Acertos/Erros 10/0 Nota 10,00 1 O cálculo integral desempenha um papel fundamental em uma ampla gama de disciplinas, desde a física e a engenharia até a economia e as ciências naturais. Sua versatilidade e poder analítico permitem modelar e resolver problemas complexos que envolvem taxas de variação e acumulação contínua. Ele abrange dois aspectos principais: as integrais definidas e as indefinidas. Sobre exposto, analise as sentenças a seguir: I. Uma integral definida tem limites de integração, enquanto uma integral indefinida não os tem. II. A integral tem como princípio, encontrar uma função cuja derivada seja igual à função original. III. Um indicador que podemos usar para definir se a integral é definida ou indefinida, é diferencial de integração, presente no final da integral. IV. As integrais indefinidas, resultam em uma família de funções cuja derivada é igual à função original. É correto que se afirma em: A II, III e IV, apenas. B II e III, apenas. C I, II, III e IV. D III, apenas. E I, II e IV, apenas. 2 As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, exponenciação e logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação. Assim, dada a derivada de uma função, processo que consiste em achar a função que a originou, ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação. Baseado nisso, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f(x) 3x2 6x + 2 para todo X e com I. II. f(x) III. f(x) IV. f(x) 3x2 É correto apenas que se afirma em A I. apenas. B II, apenas. C about:blank 1/6</p><p>11/10/2024, 13:28 Avaliação Individual II, apenas. D II e IV, apenas. E II e III, apenas. 3 Frações parciais são uma técnica fundamental no cálculo integral, utilizada para decompor uma fração em uma soma de frações mais simples. Esse método é especialmente útil para integrar funções racionais do tipo f(x) p(x)/q(x), tornando-as mais fáceis de serem manipuladas e integradas. Através da decomposição em frações parciais, é possível resolver integrais que seriam difíceis ou impossíveis de serem calculadas de outra forma. Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. Considerando polinômio q(x) este será decomposto em quatro partes. PORQUE II. O polinômio q(x) apresenta um fator linear e um fator quadrático irredutível que se repete por três vezes. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta: A As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. B A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa C As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. D As asserções I e II são falsas. E A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira. 4 Em situações em que uma função possui partes de sua representação gráfica acima e abaixo do eixo das abscissas, surge um conceito crucial denominado "saldo de área". Este conceito implica que ao calcular a integral de tal função em um intervalo de integração, resultado não apenas representa a área total sob gráfico, mas também considera a diferença entre as áreas acima e abaixo do eixo das abscissas. Desta forma, analise a representação gráfica de uma função f e sendo a, C e d, as áreas positivas desta função nos respectivos intervalos (-3, -1), (-1, 2), (2, 4) e (4, 6): about:blank 2/6</p><p>11/10/2024, 13:28 Avaliação Individual 3 2 a 1 C 3 -2 0 1 2 3 4 5 6 -1 b d -2 -3 Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. I. A integral definida de -3 até 6 desta função, apresentará como resultado, a soma de a+b+c+d PORQUE II. Ao calcular a área da curva no intervalo de -3 até 6, devemos separar cálculo em quatro partes, respeitando as partes acima e abaixo do eixo das abscissas. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta: A A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa. B As asserções I e II são falsas. C A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira. D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 5 A resolução de integrais requer a aplicação meticulosa de métodos analíticos e estratégias de simplificação, visando encontrar soluções que capturem com precisão os aspectos fundamentais das funções em estudo, sendo uma habilidade essencial em diversas áreas da matemática e ciências aplicadas. Portanto, utilizando das técnicas e métodos desenvolvidos no estudo das integrais, assinale entre as opções a seguir, qual delas apresenta a primitiva da função f(x) = 4xex2 A 2ex2 + C. B C 2xex2 D E + about:blank 3/6</p><p>11/10/2024, 13:28 Avaliação Individual 6 No estudo do cálculo integral, destaca-se método de integração por partes, derivado do princípio da derivação do produto de funções. Este método, em suma, envolve a transformação da integração de uma função complexa em duas ou mais integrais mais simples, tornando mais acessível processo de resolução. Sendo a integral analise as opções que apresentam argumentos válidos, sobre a resolução dessa integral pelo método de integração por partes: I. Devemos assumir inicialmente II. Necessitaremos utilizar por três vezes método para resolver a integral. III. Na segunda vez que aplicamos método, devemos utilizar dx. IV. A integral de deve ser resolvido pelo método da substituição. É correto que se afirma em: A II e III, apenas. B II, apenas. C II e IV, apenas. D IV, apenas. E I, III e IV, apenas. 7 No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas da física, como na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. Para resolver estas integrais, podemos recorrer a alguns métodos de resolução. Um deles é método da integração por substituição. I. devemos usar II. dx, devemos usar = 2x. devemos usar u = devemos usar = 2x Sobre exposto, analise as sentenças a seguir: É correto que se afirma em: A II e III, apenas. B I, III e IV, apenas. C II, III e IV, apenas. D II, apenas. about:blank 4/6</p><p>11/10/2024, 13:28 Avaliação Individual E I, II e IV, apenas. 8 O método da substituição trigonométrica, como indica seu nome, envolve a substituição de um termo na expressão original por uma função trigonométrica adequada. Esse método se assemelha ao método de substituição padrão, mas com uso específico de funções trigonométricas para simplificar a integração. Em certos casos, é possível utilizar qualquer uma das duas substituições, porém, no caso das trigonométricas, estas apresentam estruturas peculiar e padronizada. Desta forma, utilizando destas ideias, analise as opções que apresentam argumentos válidos, sobre a resolução da integral a seguir: 3x I. Está integral em particular, é um caso em que podemos aplicar qualquer um dos casos de substituição. II. Para resolver pela substituição trigonométrica, devemos adotar inicialmente X = 2sen(y). III. É possível resolver, substituindo de forma simples IV. O método da substituição padrão falha, pois, ao derivar uma escolha apropriada para u, a integral não é simplificada. É correto que se afirma em: A II e IV, apenas. B I, II e III, apenas. C I e IV, apenas. D II e III, apenas. E II, apenas. 9 No estudo do cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos empregados para encontrar antiderivadas de funções. Entre as técnicas mais reconhecidas estão a integração por substituição, por partes e por frações parciais. Especificamente, a técnica de integração por substituição envolve a aplicação da mudança de variáveis u - g(x), facilitando a obtenção de uma integral imediata para resolver problema. Por exemplo, considere a integral dx Dessa forma, a partir dessa integral, identifique a alternativa correta que propõe a melhor substituição a ser utilizada: A B C D E about:blank 5/6</p><p>11/10/2024, 13:28 Avaliação I - Individual 10 Em certo momento da aula, professor desafiou os alunos a identificarem uma estratégia para resolver a integral apresentada a seguir Aluno A: A integral pode ser resolvida, utilizando a integral por partes, sendo e Aluno B: A integral pode ser resolvida, substituindo 3x3 por u, no método por substituição. Aluno C: A integral pode ser resolvida, dividindo a integral em duas partes, podemos integrar separadamente x2 e Analisando as propostas de resolução dos alunos A, B e C, assinale a alternativa correta: A Apenas o aluno A está correto. B Apenas aluno C está correto. C Apenas aluno B está correto. D Os alunos A e B estão corretos. E Os alunos A e C estão corretos. Imprimir about:blank 6/6</p>