División de polinomios

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<p>Algebra DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS COCIENTES NOTABLES TEORÍA Y de conficientes f. del + del del CUZCAN CAALOS NAKAMURA R.</p><p>ÁLGEBRA homilde So maj mas y el major ! DIVISIÓN CARLOS NAKAMURA R. Editorial CUZCAN Aportando en la Difusión de la Ciencia y la Cultura</p><p>ÁLGEBRA DIVISIÓN Editorial CUZCAN en la Difusión de la Ciencia Cultura Composición Diagramación y Montaje : Editorial Cuzcano R.U.C. N°20510252021 Esta obra se terminó de imprimir en el mes de Junio del 2005 C EDITORIAL CUZCANO Derechos Reservados Prohibida la reproducción de esta obra por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de la Editorial. Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°2005-3365 Pedidos: Av. Alfonso Ugarte 1310 Of. 212 - Breña - Teléfono 458-5294 LIMA -</p><p>Éste presente trabajo ha sido preparado para postulantes a las diferentes Universidades y en especial para aquellos que postulan a la Universidad Nacional de Ingeniería. El tema tratado en ésta obra, es sin duda uno de los más complicados del curso de debido al análisis para solucionar los problemas en el cual el alumno encuentra ciertas dificultades, motivo por el cual se han seleccionado una serie de problemas resueltos y propuestos de diferentes niveles y tipos. En los problemas resueltos se han aplicado diferentes métodos y artificios a de que el alumno no tenga incon- veniente cuando resuelva problemas de dicha magnitud del tema de "División - Cocientes Notables". Asi mismo, hay una buena cantidad de problemas propuestos de dicho tema en el cual el alumno reforzará su habilidad al resolverlos. Quiero expresar mi agradecimiento a Editorial Cuzcano por la confianza depositada en la publicación de la presente obra. El autor</p><p>DIVISIÓN ALGEBRAICA Es aquella operación que tiene por finalidad hallar una expresión denominada cociente, dadas otras dos denominadas dividendo y divisor, tal que, el valor numérico del dividendo es igual al producto de los valores del divisor y el cociente, mas el valor numérico del resto para cualquier sistema de valores a sus letras. En resumen: + d(x) d (x) Donde: = Dividiendo * = Cociente * d(x) = Divisor = Resto o residuo A) EN CUANTO A LOS SIGNOS - La división de dos cantidades con signos iguales da por resultado una cantidad con signo positivo. - La división de dos cantidades de signos diferentes, da por resultado una cantidad con signo negativo. B) EN CUANTO A LOS EXPONENTES Para dividir dos monomios de igual base se colocará en el resultado, la base afectada de un exponente igual a la diferencia de los exponentes que se dividen.</p><p>CUZCANO 6 ÁLGEBRA Ejemplos: 10-8 m A desarrollaremos los tres casos de division que se presentan en Algebra: DIVISIÓN DE MONOMIOS Para dividir dos monomios, se dividen los signos (segun la ley de signos) luego se dividen los coeficientes y por las partes literales de acuerdo a la ley de exponentes (Ver fasciculo #1). ** ** II. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio separadamente entre el monomio divisor y se suman algebraicamente cada uno de resultados. Ejemplo: Dividir: : Procedemos a dividir cada término entre el divisor: : Observaciones Para efectuar cada una de las divisiones, se debe tener en cuenta dicho en I.</p><p>ÁLGEBRA 7 DIVISIÓN ALGEBRAICA III. DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS La división de polinomios es aplicable para: A) Polinomios de una sola variable. B) Polinomios homogeneos. Se debe tener en cuenta que los polinomios deben ser completos y ordenados en forma decreciente, con respecto a una letra llamada si faltase alguna variable se reemplazaran por CEROS. Para dividir dos se utilizan los siguientes métodos: 1.- METODO CLASICO o GENERAL 2. - METODO DE LOS COEFICIENTES SEPARADOS 3. - METODO DE HORNER 4. METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 5. METODO DE RUFFINI ESTUDIO DE CADA LOS MÉTODOS 1. MÉTODO CLÁSICO GENERAL Para dividir dos polinomios mediante método se debe tener en cuenta las siguientes reglas: a) Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una letra,solo letra o variable (en forma en caso falte uno o más términos, se completaran con CEROS. b) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtiene el primer término del cociente. c) El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se pasa con signo cambiado debajo de los términos del dividendo con su correspondiente semejante; al reducir se obtiene el primer resto parcial. d) Se baja el siguiente término del dividendo hasta el nivel primer resto parcial. Se divide el primer término del primer resto parcial entre el primer término del divisor, obteniendo el segundo término del cociente, luego procedemos en el paso anterior hasta obtener el segundo resto parcial. e) Se continua hasta bajar el término del dividendo y obtener un resto que sea a más de grado menos que el grado del divisor (resto de grado máximo) o en todo caso si la división es exacta, el resto será un polinomio identicamente nulo. Ejemplo 1 Efectuar la siguiente 6x7 + 6 + 2x2 + 2 2x4 + 5x2 2 + 4</p><p>CUZCANO 8 ÁLGEBRA Los grados de los polinamios cociente y residuo serán: VER PROPIEDADES Tomando la distribución adecuada, completando los y aplicando la regla enunciada, tendremos: PRIMER TERMINO DEL DIVIENDO PRIMER TERMINO DEL DIVISOR 7 5x6 - 21x5 + 0x3 2x2 + 0x + 2 - + - + + - PRIMER TERMINO DEL COCIENTE - PRIMER PARCIAL + - - SEGUNDO RESTO - + PARCIAL + TERCER RESTO + PARCIAL RESTO Ejemplo 2 Efectuar: Tomando la distribución adecuada y aplicando la regla - xy + - + + Cociente = -</p><p>ÁLGEBRA 9 DIVISIÓN ALGEBRAICA PROPIEDADES GENERALES DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS En base a los ejemplos anteriores enunciaremos las siguientes propiedades: A El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor. B El grado del residuo es siempre menor que el grado del divisor, su grado es una unidad menor que el grado del divisor (a excepción de los polinomios C El independiente del Dividendo estará determinado por el producto de los términos independientes del divisor y el cociente mas el término independiente del residuo. (R) D En la división de dos polinomios el cociente y el residuo también son polinomios pero el grado absoluto del dividendo es igual al grado absoluto del residuo. G.A (Dividendo) = G.A (Resto) Cuando hacemos: * hallamos suma de coeficientes del Cociente * hallamos el término independiente del Cociente. * R(1) hallamos la suma de coeficientes del Residuo. hallamos el término independiente del Residuo. 2. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES SEPARADOS Para dividir dos polinamios mediante éste método se opera con los coeficientes del dividendo y del divisor con sus respectivos signos en base a las reglas del método anterior. Se recomienda el uso, para división de polinomios de una sola variable o cuando se tenga dos polinomios con dos variables. La operación termina cuando se obtengan todos los términos del cociente que</p><p>CUZCANO 10 ÁLGEBRA como es igual a su grado más uno. El número máximo de términos que se obtenga en el residuo siempre será uno menos que el número de del divisor. Ejemplo 1: Efectuar: 9a8 + - - - 3a5 + 2a4b - - Observamos que el dividendo y el divisor son polinomios el cociente y el residuo resultantes serán polinomios cuyos grados relativos y absolutos respecto de "a" serán: = G.A (el mismo que el dividendo) Completando los términos que faltan y tomando la distribución de la division: - 15 + 3 Q RESTO Anadiendo la parte literal: + - + Ejemplo N° 2 Dividir los polinomios: + - 37y + 15 4y2 + 5y - 3 Aplicando el método de los coeficientes separados:</p><p>ÁLGEBRA 11 DIVISIÓN ALGEBRAICA 2 + 7 - 3 + 6 - 37 + 15 4 + - 15 + 9 - + 6 + 6 + + 6 16 + 0 - 37 16 - 10 - 25 + 15 + 2Q + 25 - 15 0 0 0 Anadiendo la parte literal: Q(y) = 3y3 3 - 2y 2 + 4y - 5 R(y) = CERO 3. MÉTODO DE HORNER Este método es un caso particular del método de los coeficientes separados y se emplea para la de polinomios de cualquier grado de una y dos variables , (asumiendo a una de ellas como tal y las demás hacen el papel de numeros constantes) teniendo en cuenta que los polinomios deben ser completos y ordenados en forma descendente con respecto a dicha variable llamada letra si falta alguna variable se reemplazará por ceros. Gráficamente: - Trazamos una linea horizontal y una línea vertical de la siguiente manera: C d Coeficientes del o DIVIDENDO CON SU PROPIO SIGNO CON PROPIO SIGNO e f i d i e i 1 S e n o t r e S CON SIGNO CAMBIADO - Los coeficientes del Dividendo se escriben con su propio signo arriba de la horizontal. - Los coeficientes del divisor se escriben en el lado izquierdo de la vertical, el primer coeficiente entre la horizontal y vertical con su propio signo, los demás coeficientes de signo. - Luego trazaremos otra linea vertical punteada separando tantos términos del Dividendo como términos tenga el divisor con signo cambiado contándolos a partir del extremo derecho del Dividendo y definiremos el cociente y el residuo.</p><p>CUZCANO 12 ÁLGEBRA En otras palabras podemos decir que el número de que se separan para el resto lo determina el grado del divisor, contándose de derecha a izquierda y las demás le pertenecen al cociente. (GRADO DEL DIVISOR) CON PROPIO SIGNO d # i t S o COCIENTE RESTO CON SIGNO CAMBIADO PROCEDIMIENTO PASO I - Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor el primer coeficiente del cociente. PASO II - El primer coeficiente del cociente multiplica a cada uno de los coeficientes del divisor con signo cambiado y los resultados se colocan debajo de los términos del Dividendo un lugar hacia la derecha. PASO III. - Se suman los términos de la segunda columna y el resultado se divide entre el primer del divisor el segundo término del cociente. PASO IV Luego se repiten los pasos II y III hasta obtener el término del cociente, con el cual se obtiene la fila del dividendo. PASO V LLegado éste momento se reducen las columas que faltan separando respectivamente el cociente y el resto en sus zonas respectivas. Ejemplo 1: Dividir: 2x6 + 5x 5 + 4 + 2x 3 + 10x2 + 10x - 3 X 3 + 2x2 2 + 3x - 4 1 2 5 10 2 10 10 -3 -2 4 -6 8 -3 -2 -3 4 +4 -4 -6 8 -6 -9 12 2 1 2 3 2 9 9</p><p>ÁLGEBRA 13 DIVISIÓN ALGEBRAICA Analisis de Grados: ; = 3 = 6-3 = 3 max + 2x + 3 + + 9 Ejemplo 2: Dividir: 6x5 + 7x4 - 18x3 + 10x2 + 7x - 9 3 6 7 -18 10 7 -9 1 2 0 -4 0 3 0 -6 -2 -5 0 10 2 3 -5 1 1 1 Análisis de Grados: ; = 3 2 max + - 5 La segunda raya vertical se traza contando tres espacios desde izquierda, pues el divisor es de tercer grado. Se debe colocar un CERO en el término "x" del divisor ya que éste no aparece. 4. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Este conciste en plantear el resultado con coeficientes desconocidos, basandose en la identidad fundamental de la Division Algebraica. D=dQ+R El cociente (Q) y residuo (R) se asúmen que son conocidos con coeficientes indeterminados para poder establecer la identidad.</p><p>CUZCANO 14 ÁLGEBRA Ejemplo: Dividir: - 17x2 + 5x - 3 3x3 + 4x2 - Análisis de Grados: son forma: de la (1) + dx + e * Sabemos que: para nuestro caso: (3x3+4x2 -2x-1) (ax+b) + (cx2+dx+e) D(x) d(x) ((x) R(x) * Realizando operaciones en el segundo miembro y agrupando convenientemente. Identificando coeficientes: ** ** -1 -3 2b+d ** -3 = Luego: a = 2 ; ; ; d = 1 ; y por tanto el cociente y el residuo serán: 2x-3 Este método sólo es aplicable para ciertos tipos de problemas, no es recomendable para usos generalizados.</p><p>ÁLGEBRA 15 DIVISIÓN ALGEBRAICA 5. MÉTODO DE RUFFINI Este método es un caso particular de la división por "HORNER" se emplea para divisores binomios de primer grado de la forma: [ax 0 y o transformables a primer grado. REGLAS A SEGUIR * Se verifica si el polinomio dividendo está completo y ordenado. Si faltara uno o más términos se completaran con ceros. * De existir dos o más variables, se asume a una de ellas como tal y las demas hacen el papel de números o constantes. PROCEDIMIENTO I) Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo; en forma paralela a éste paso se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y ésta se coloca en el ángulo inferior izquierdo del gráfico. D IVIDEN o x = N COCIENTE RESTO II) El primer término del cociente es igual al primer del dividendo. III) Luego este valor se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo del dividendo, se reduce y se obtiene el segundo término del cociente. IV) Se procede como en paso III, hasta llegar al término del dividendo, al reducir obtenemos el resto de la división el cual siempre será un valor numérico. Para un buen entendimiento de éste método lo dividiremos en dos casos. PRIMER CASO P(x) ax + b ; - Cuando el primer coeficiente del divisor es igual a la unidad, divisor de la forma (x + b).</p><p>CUZCANO 16 ÁLGEBRA Gráficamente : COCIENTE RESTO TERMINO INDEPENDIENTE DEL DIVISOR CON SIGNO CAMBIADO. Ejemplo 1 Dividir: - 2x2 + X - 5 entre - 2 Como el divisor es de primer grado aplicaremos el método de "Ruffini". I) Divisor = 0 x-2 = 0 = Término independiente del divisor. II) Llevando a la gráfica de Ruffini: -2 1 -5 2 2 0 2 1 0 1 -3 RESTO 2° 1° 0° (T.C) (T.L) (T.I) 1 R(x) que el grado del cociente es uno menor que el grado del dividendo. Ejemplo 2 5x4 - 20x 2 - 3 + Dividir: + 2 I) Divisor = 0</p><p>ÁLGEBRA 17 DIVISIÓN ALGEBRAICA II) Llevando a la gráfica de "Ruffini" 5 0 -20 -1 +3 -10 20 0 2 5 -10 0 -1 5 RESTO 3° 2° 1° 0° Término I (T.C) (T.L) (T.I) - 10x2 - 1 Nota No debemos olvidarnos de colocar un cero por cada Término que falte para completar el polinomio que constituye el dividendo. CASO ESPECIAL Podemos reconocerlo por que los exponentes del dividendo son exactos del exponente del divisor (binomio NO necesariamente de primer grado), dichos problemas se resolveran haciendo un cambio de variable. Ejemplo 1: 3x8 - 28x4 - 5x2 + 4 Dividir: x2 + 3 Resolución: - Colocando como potencias de tendremos: - - Haciendo el siguiente cambio de variable: x2 = y, se tendrá: 3y4 - 28y2 2 - 5y + 4 y + 3 - Ahora. aplicaremos el de Ruffini: I) Divisor = 0 y+3 = 0</p><p>CUZCANO 18 ÁLGEBRA II) Llevando a la gráfica: 3 0 -28 -5 +4 -9 27 3 6 3-9 -1 -2 10 RESTO 3° 2° 1° 0° 2 Pero: Reemplazando: - Ejemplo N° 2 Efectuar la siguiente 4x12 - 5 - Transformando a potencias de - Podemos evitar el cambio de variable, escribiendo los coeficientes de las potencias I) Divisor = 0 II) En la gráfica de Ruffini: 4 -9 +0 -4 -5 2 8 -2 -4 -16 4 -1 -2 -8 -21 Q RESTO - El grado del cociente será: Q° = = 9° y sus potencias disminuyen de tres en tres.</p><p>ÁLGEBRA 19 DIVISIÓN ALGEBRAICA - x6 - 2x3 - 8 R(x) = -21 Observacion # Cuando las potencias del dividendo son múltiplos de potencia del divisor binomio, se podrá aplicar el proceso anterior. E1 cociente será un polinomio en el cual sus potencias iran disminuyendo de acuerdo al exponente del divisor. s SEGUNDO CASO P(x) ax b ; - Cuando el primer coeficiente del divisor es diferente de la unidad, divisor de la forma ax b. - P(x) P(x) ax+b - DIVIDENDO divisor = 0 b = 0 = a COCIENTE RESTO FALSO a COCIENTE VERDADERO - Por lo tanto deducimos que: = cociente a R(x) = Resto : Dividir: 12x6 - 2x5 - 19x4 + 19x 3 - X - 7 3x - 2 I) Divisor = 0 3x-2)= 0 = 2 3</p><p>CUZCANO 20 ÁLGEBRA II) Llevando a la gráfica de Ruffini: (12) -2 -19 +19 0 -1 -7 8 4 -10 6 4 2 3 12 6 -15 9 6 3 -5 RESTO COEFICIENTE FALSO 3 4 2 -5 3 2 1 + - 5x3 + 3x2 + 2x + N° 2: Dividir: 12z 20 + 15 - - 1825 - 28 3z5 + 7 I) Transformando el Dividendo a potencias del divisor (CASO ESPECIAL) 12x4 + - - 18x - 28 3x + 7 II) Divisor = 0 III) Llevando a la gráfica de Ruffini (2do. CASO) 12 22 -14 -18 -28 7 -28 14 0 42 3 12 -6 0 -18 14 RESTO 3 4 2 0 -6 =</p><p>ÁLGEBRA 21 DIVISIÓN ALGEBRAICA * Expresandolo en función de = - 6 TEOREMA DEL RESTO (RENE DESCARTES) FINALIDAD El Teorema de Descartes o del Resto se utiliza con la finalidad de hallar el residuo en una sin efectuar la operación. LEMA 0 ENUNCIADO DE DESCARTES El resto de dividir un polinomio Racional y entero P(x) entre un divisor binomio de la forma: o cualquier otra expresión transformable a ésta se obtiene al calcular el valor numérico de: DEMOSTRACIÓN * HIPOTESIS TESIS R = Sabemos que: En nuestro caso: P(x) III (I) Aplicando el criterio de Descartes: ax+b = 0 = -b a (II) Reemplazando (II) en (I): b + R CERO De donde:</p><p>CUZCANO 22 ÁLGEBRA RECOMENDACIONES PARA HALLAR EL RESTO DE DIVISIÓN UTILIZANDO EL TEOREMA DEL RESTO A) Igualar el divisor a cero. B) Calcular un valor para C) El valor de se reemplaza en el dividendo y el valor obtenido es el resto de la división. Para un mejor estudio lo dividiremos en 3 casos: PRIMER CASO = I Ejemplo 1: Hallar el resto al dividir: 5x4 - 20x2 - + 3 2 Divisor = 0 x+2 0 Reemplazando en el dividendo: R(x) = 5(-2)4 - 20(-2)2 - (-2) + 3 Ejemplo Calcular el residuo de dividir: (x+a)7 - + 2a Divisor = 0 Reemplazando en el dividendo: = - SEGUNDO CASO P(x) ;</p><p>ÁLGEBRA 23 DIVISIÓN ALGEBRAICA Ejemplo 1: Hallar el resto de dividir: x8 - 2x4 - X + 2 * Expresando el dividendo en función de se tendrá: - para: x2+2 = 0 x2 = -2 (se despeja * Aplicando el Teorema del Resto: R(x) = (-2)4 - 2(-2)2 - 7(-2)+5 R(x) = 16 2(4) + R(x) = 16 - 8 + 14 + 5 R(x) = 27 Observacion En éste caso para aplicar el Teorema del Resto se busca en el dividendo las potencias del primer término del divisor, considerado como un binomio, para reemplazarlo por el segundo término con signo cambiado. Ejemplo Hallar el resto de dividir: 5x7 - 4x6 + 5x4 - 3x3 + 2x2 - 5x + 7 2 X + 2 * En éste caso los exponentes del dividendo no son ex exponente del divisor, siendo el divisor de segundo grado saldrá de primer grado. * Siguiendo los mi smos pasos del ejemplo #1: x2 + 2 = 0 * Buscando las potencias de x2 en el dividendo:</p><p>CUZCANO 24 ÁLGEBRA - 4(x2,3 + 5(x2,2 - + - 5x + 7 en el dividendo tendremos: * - + - 3(-2)x + 2(-2) - = + + 2(-2) - R(x) = -40x 32 + 20 + 6x - 4 - 5x + 7 = TERCER CASO Divisiones de la forma: P(x) 6 Ejemplo 1: Hallar el resto de dividir: 2x2 + + 2x5 - + 3 x2 + 1 * Por ser el divisor de 2° grado, el resto será de 1° grado, sabemos que: - (VER FASCICULO #3 DEL MISMO AUTOR) * Si observamos el divisor, veremos que es un factor de la expresión anterior y si multiplicamos por (x+1) tendremos un binomio que es una forma ya estudiada. * Si multiplicamos dividendo y divisor por (x+1), el cociente no se altera, pero el resto habra quedado multiplicado por (x+1). Para hallar el resto buscado dividiremos el resultado entre (x+1). = + 2x5 + 3 * Multiplicando por (x+1): aD = = + 2x5 x + 3) aR R' ad d' * Efectuando:</p><p>ÁLGEBRA 25 DIVISIÓN ALGEBRAICA 2x22 + 2x21 + 3x18 + + 2x6 + 2x5 - 2x + 3 * para: = * Buscando las potencias de * Para en el dividendo tendremos: R' = R' = R' = * como: R' = 6 Factorizando: Observacion Recordemos el siguiente principio: "Si al dividendo y al divisor se multiplican o dividen por una misma cantidad, el resto queda multiplicado o dividido por esa cantidad" vale decir: D dQ R = + k k k Ejemplo Calcular si el resto de la siguiente - + 3 es: 2x-3 x2+x+1</p><p>CUZCANO 26 ÁLGEBRA * Multiplicando el dividendo y divisor por (x-1), se (x2+x+1) * Operando: mx321 - + nx + 3x - 3 * Expresando en función de - + nx + 3x - 3 * Aplicando el Teorema del resto: = 0 * Reemplazando en el dividendo obtenemos el resto directamente. - - nx + nx + 3x - 3 + nx + 3x - 3 + + (m-3) (a) * Aplicamos Ruffini: -(m+n) (n+3) (m-3) 1 (m+n) (3-m) (m+n) 3-m 0 RESTO (B) * Estableciendo lo equivalencia entre (a y B) y el dato: obtenemos: * -m+3 = -3 * = 2 6 = 36+64 = 100 = 100</p><p>ÁLGEBRA 27 DIVISIÓN ALGEBRAICA CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA La Divisibilidad Algebraica tiene por objetivo determinar polinomios que no se conocen y calcular restos en divisiones donde el teorema del resto no se puede aplicar directamente. Para estudiar la divisibilidad algebraica, necesitaremos conocer los siguientes teoremas o principios fundamentales: I. un polinomio D(x) es divisible entre otro polinomio entonces existe otro polinomio tal que: Cuando dos polinomios son divisibles, entonces el resto es nulo (CERO) R(x) = 0 II. es divisible entre (x-a), entonces: = si, P(x) es divisible entre (x+b), entonces: P(-b) 0 III. es divisible independiente por y entonces P(x) es divisible por el producto: Es decir: Si: P(x) r = 0 P(x) r = 0 Entonces: P(x) r III 0 Nota: También se cumple el proceso inverso, osea si un polinomio P(x) es divisible por el producto entonces, P(x) es divisible por cada uno de sus factores. IV. Si al dividir un polinomio P(x) entre varias expresiones por separado nos da un mismo resto entonces al dividir dicho polinomio entre el producto de ellas nos arrojará como resto dicho resto Sea P(x) un polinomio cualquiera y:</p><p>MEZA BRAVO ELVIS CUZCANO 28 ÁLGEBRA P(x) (x+a) (x+b) P(x) (x+c) r = R Entonces: P(x) r = R AMIGO Recuerde que para determinar la suma de coeficientes de un polinomio entero en "x", por decir P (x) se hace: Suma de coeficientes = P(1) Y, para determinar el independiente de dicho polinomio se hace: Término Independiente = Ejemplo 1: Al dividir un P(x) de 3er. grado separadamente entre (x-1), (x+2) y (x-3) resulta como residuo en los 3 casos igual a 3. Si al dividir P(x) entre (x+1) se obtiene residuo 19, calcular el residuo de dividir P(x) (x-2) Resolución: * Dato: es de 3er. grado. Del enunciado: P(x) (x-1) = P(x) P(x) (x-3) Por el principio fundamental # III deducimos que: P(x) (x-3) * Por Identidad: LO LLAMAREMOS "a" + 3 TERCER GRADO TERCER GRADO GRADO CERO *</p><p>ÁLGEBRA 29 DIVISIÓN ALGEBRAICA Dato: P(-1) (-2)(1)(-4)a+3 = 8a+3 * Reemplazando (II) en (I): P(x) (x-1)(x+2)(x-3) 2 + 3 * Nos piden calcular el residuo de dividir: P(x) (x-2) = COCIENTES NOTABLES DEFINICIÓN Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente y el residuo de la división se obtienen sin mediar algoritmo correspondiente, sin necesidad de efectuar la operación. La división es exacta (esto es, el resto es nulo). Estos casos especiales son de la forma general: a Donde: a x,a son las bases * Condiciones que deben cumplir: a) Deben tener las bases iguales. b) Deben tener los exponentes iguales. 10 10 a X a</p><p>MEZA BRAVO ELVIS CUZCANO 30 ÁLGEBRA ESTUDIAREMOS CUANTOS DE LOS CASOS SON COCIENTES NOTABLES Existen cuatro casos de cocientes notables, que se determinan combinando convenientemente los signos; las cuales son: + an a n + xn ; ; ; a + a PRIMER CASO a A. CÁLCULO DEL RESTO Por el teorema del resto: R = = 0 R = 0 Esto indica que para cualquier valor entero de "n", será siempre exacta por lo tanto es un cociente notable. B. CÁLCULO DEL COCIENTE Efectuando la por el Método de Ruffini, donde previamente en el dividendo tendrá que completarse con ceros como términos falten. 1 + 0 + 0 + 0 a a a2 n-1 an 1 a a 2 a 0 RESIDUO Como se está dividiendo un polinomio de grado n entre uno de primer grado, el cociente resultante será de grado (n-1). Entonces: Para = + a + n-4_3 + an-1 ..... cualquier valor de "n" Ejemplos Calcular el cociente en forma directa de: a) X 4 - x3 2 2 = + + xa + a</p><p>ÁLGEBRA 31 DIVISIÓN ALGEBRAICA - 27y3 b) la forma adecuada: (2x)3 - (3y)3 = (2x)2 + (2x) + = + 6xy + 9y2 3 3 = [Ojo no es cociente notable porque los exponentes de las bases en el numerador no son enteros positivos] d) la forma adecuada: = + + + + + a 4b6 + e) a Dandole la forma adecuada: = [Ojo las bases son iguales, mas no los exponentes de las bases x3 - a en el numerador, por lo tanto no es un cociente notable] SEGUNDO CASO A. CÁLCULO DEL RESTO 0 Vemos que en este caso para cualquier valor de "n" el resto es siempre diferente de ceró por lo cual el cociente que se obtiene será siempre un cociente completo y nunca un cociente exacto. B. CÁLCULO DEL COCIENTE Análogamente aplicando la regla de Ruffini:</p><p>MEZA BRAVO ELVIS CUZCANO 32 ÁLGEBRA n-1 + + Luego el cociente completo es: X n + + a n-1 + a x-a Para cualquier valor de "n". IMPORTANTE Excluiremos el presente caso debido a que la división no es exacta en cosecuencia NO ES UN COCIENTE NOTABLE. TERCER CASO xn + A. CÁLCULO DEL RESTO = 0 Si: n = # par Cociente Completo Si: n = # impar 0 Cociente exacto B. CÁLCULO DEL COCIENTE Aplicando el método de Ruffini se obtiene: 1) Para n = # par: - - + n términos 0 Luego el cociente completo es: X n +a n = n-1 - n-3_2 - + n = #par a n-1 + X+a x+a 2) Para n = # impar: - + + a n términos</p><p>ÁLGEBRA 33 DIVISIÓN ALGEBRAICA Luego el cociente exacto es: n = #Impar = - + n-1 CUARTO CASO A. CÁLCULO DEL RESTO Si: par = - an = 0 [Cociente Si: n = # Impar = # 0 [Cociente B. CÁLCULO DEL COCIENTE Aplicando el de Ruffini, se obtiene: 1) Para Lugar par - a + - + ....... an-1 n términos Luego el cociente exacto es: n = #par - = xn-1 - xn-2, + - + an-1 2) Para n = # impar Lugar impar n-1 - - n términos # 0 Luego el cociente completo es: n = = - + - n-1 + + - El signo del término del cociente varfa por estar ocupando diferente lugar.</p><p>MEZA BRAVO ELVIS CUZCANO 34 DEL TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarroll de los cocientes notables sin necesidad de conocer los demás: Sabemos que: - = + n-2 n-3_2 n-4_3 + xa + an-1 a t1 t2 t3 t4 Donde: : : = ....... = n-69_68 a : en general: tk = X a ; signo * Donde k es el lugar pedido y n es el exponente de las bases en el numerador. "Osea el exponente de es igual al exponente común de las bases menos, el luga que ocupa y el de a que ocupa disminufdo en 1" Regla para el SIGNO A) Cuando el divisor es de la forma (x-a): Todos son positivos (+) B) Cuando el divisor es de la forma (x+a) y si: k = # impar (POSITIVO +) k = # par (NEGATIVO -) Ejemplos : a) - ax4 = - + - + -</p><p>ÁLGEBRA 35 DIVISIÓN ALGEBRAICA Dando la forma adecuada: = + - = + - d) Calcular el 5to. del desarrollo de: Resolución: * Dando la forma adecuada: * Aplicando la fórmula general: e) Encontrar el T22 del siguiente desarrollo. * Dando la forma de un cociente notable: Como el divisor es de la forma (x+a) el abuscar es par (k) signo negativo (-)</p><p>MEZA BRAVO ELVIS CUZCANO 36 ÁLGEBRA LEVES DE UN COCIENTE NOTABLE I Si la división tiene la forma que origina un cociente notable, el exponente que se repite en el dividendo indica el de términos del cociente. Ejemplo : (100) 100 - ** y # de términos del cociente = 100 X - 200 y 300 ** # términos = 50 x4 y6 del cociente II El cociente se caracteriza por ser completo, y ordenado respecto a sus bases; además de ser respecto a las mismas. III El primer término del desarrollo se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primero del divisor. IV Apartir del segundo término los exponentes de la primera base disminuyen de uno en uno, mientras que los de la segunda van aumentando de uno en uno. V Si el divisor es un binomio diferencia (x-a) todos los términos del cociente seran positivos; pero si es un binomio suma (x+a) los términos del cociente seran alternados (los de lugar impar positivos y los de lugar par negativos). VI Solo cuando "n" es impar, las bases del término central tendran igual exponente. Ejemplo : - a = x6 + 5 a + a + 5 6 X a + xa + a VII Para calcular un término cualquiera contando de derecha a izquierda, sólo basta con intercambiar las bases tanto en el numerador como en el denominador, para luego aplicar la fórmula del término general. Ejemplo : Calcular el término 35 contando a partir de derecha a izquierda del desarrollo de: 121 121 a * las bases de la siguiente manera: 121 121 a a</p><p>ÁLGEBRA 37 DIVISIÓN ALGEBRAICA # Luego: = Izquierda Derecha o tambien : = 34 a 86 VIII Si: un cociente notable Entonces se cumple : = m n = = Número de términos p q Ejemplo : n+1 200 - y original un cociente notable, calcular el valor de "n". Resolución: # Como origina un cociente notable: n+1 = 200 n+1 = (50)(2) 2 4 n = 100 - 1 n = 99</p><p>RESUMEN DE LOS CUATRO CASOS C.N. EXPRESADO CON COCIENTE DE CASO Condiciones para "n" COCIENTE NOTABLE NOTACIÓN TÉRMINO GENERAL SIGNOS SUMATORIA n Par impar Todos positivos = k=1 Observación Para todo "n" su desarrollo será : NO HAY = CONDICIÓN NO ES COCIENTE NOTABLE Con notación = k=1 x-a Será C.N. n Impar = Signos x+a k=1 Alternados - + Será C.N. n Par Signos = (+)Lugar (-)Lugar k=1 impar par x+a Alternados</p><p>ENUNCIADO DE LOS PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA N° 1 Hallar "m" sabiendo que: + 6x - 24 es divisible entre: A) 4 B) 3 C) 6 D) 7 PROBLEMA 2 Dividir por Ruffini: n - n y dar como respuesta la suma de coeficientes del cociente. 1 A) n B) (n-1) C) (n2-1) D) (n-2) PROBLEMA N° 3 El residuo que se obtiene al dividir: (2x 2n+3-2x3+4) entre (x2-1) es: A) 6 B) 5 C) 2 D) 1 E).4 PROBLEMA N° 4 Hallar el valor de (ab) si la división es exacta: 4 + 4x + 3 A) 81 B) 82 C) 83 D) 84 E).80 PROBLEMA 5 Calcular el resto:</p><p>MEZA BRAVO ELVIS CUZCANO 40 ÁLGEBRA x6 + 5 + + + 7 A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 PROBLEMA 6 Halle Usted el resto: x2+x+1 A) 2x+3 B) 2x C) 3+2x D) 3x E) 2+3 PROBLEMA 7 Calcular el resto de la siguiente 3x5 + + 3x - 7 x2 - A) 97x+60 B) 59x-70 C) 70x+58 D) 98x+59 E) 9x+5 PROBLEMA 8 Al dividir: entre (x-1); el resto que se obtiene es 5. Hallar la suma de los coeficientes del cociente. A) 17 B) 16 D) 14 E) 13 PROBLEMA 9 Calcular el resto al dividir: + 2 A) 8 B) 7 D) 4 E) 6 PROBLEMA 10 El resto de la ; Es igual a-16 cuando "y" es igual a: + A) 3 B) 2 C) 1 D) 5 E) 6</p><p>ÁLGEBRA 41 DIVISIÓN ALGEBRAICA PROBLEMA Sabiendo que el resto de la siguiente es = Calcular los valores de A) m = 20 B) m = 19 E) N.A. n = 13 n = 13 p = 15 PROBLEMA 12 Calcular A-B si la es 4x2-5x-3 A) 5 B) 6 D) 8 E).9 PROBLEMA 13 Calcular M+Nsi la Mx4 + Nx 3 + 21x2 - X 12 no deja resto 2x2 + 4x 3 A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 PROBLEMA 14 Calcular: M+N+P si la Mx4 + + (M+N+P)x2 + (N+P)x - (M+N) es exacta: + A) 3 B) 1 D) 7 E).9 PROBLEMA 15 En la siguiente division exacta: ; el cociente m(x2+1)+px la forma mx + n: Hallar el valor de "m". A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1</p><p>MEZA BRAVO ELVIS CUZCANO 42 ÁLGEBRA PROBLEMA N° 16 el resto de la - tiene como resto a: 2xy3+3y4, calcular: = A) 0 B) -5 C) 4 D) -2 E).-3 PROBLEMA N° 17 En la siguiente + 5px - q Se obtiene un cociente en el que los coeficientes de sus términos van aumentando de 2 en 2 unidades a partir del primero: Calcular: A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 PROBLEMA N° 18 Si la division: Mx5 + (N-6)x2 + 2Nx - N da un cociente, que evaluado para = 2, es 39. Además M y N son enteros y positivos, calcular A) 2 B) 4 C) 3 D) 8 PROBLEMA 19 Determinar "M" y "N" de manera que el sea divisible - 3x + 5 A) 14 y 13 B) 15 y 16 C) 13 y 12 D) 16 y 15 E) N.A. PROBLEMA 20 Al dividir: + Bx + 2) se obtuvo como resto: (Bx2 Cx).</p><p>ÁLGEBRA 43 DIVISIÓN ALGEBRAICA Calcular el valor de "C". A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 1 PROBLEMA 21 Calcular el valor de "A" y "B" si la siguiente 3x5 - 48x2 Ax + B - + 8 deja como residuo -5x + 2 A) -54;200 B) -53;194 C) D) 53;194 E) 53;-194 PROBLEMA 22 Si la siguiente división: + Bx2 + + A Ax2 + Bx + A da por resto: Determinar: B A) -2 B) 4 C) -3 D) 3 E).5 PROBLEMA N° 23 Que valor debe tener "k" para que el polinomio: + + - x3 + 2(8+k)x2 + 6x - 18, sea divisible por A) 2 C) 3 D) -3 E) 4 PROBLEMA 24 Si al dividir: 12x4 + + Nx2 + 25x - 15 entre un polinomio de segundo grado, se obtuvo como cociente 4x2 + 3x - 2 y como residuo, 6x 5 Calcular: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 PROBLEMA 25 Si las divisiones:</p><p>MEZA BRAVO ELVIS CUZCANO 44 ÁLGEBRA 2x3 + 2 + y X - M tienen igual cociente y son divisiones exactas. Calcular: + A) 30 B) 220 C) 52 D) 27 E) 58 PROBLEMA N° 26 Si la división: Ax2 + Bx2 + Cx + D es exacta. Calcular el valor de A) 1 B) 4 C) 36 D) 4 PROBLEMA 27 Si el polinomio 2 es divisible por (x2-1); Hallar el resto de dividir dicho polinomio entre: x2 - A) UNO B) CERO C) DOS D) TRES E)CUATRO PROBLEMA N° 28 Si división de: entre: x3-8x+2 es exacta, evaluar: = A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 PROBLEMA 29 En el siguiente esquema de Horner: 1 3 A 5 B Hallar: A kp -B L8 k M A) 4 B) 6 C) 7 D) 5 E)-4</p><p>ÁLGEBRA 45 DIVISIÓN ALGEBRAICA PROBLEMA 30 Al efectuar la Nx4 + - 7 Se observa que la suma algebraica de los coeficientes del cociente y el resto es cero. Hallar el valor del resto. A) 15 B) -3N C) 4N D) -4 E).N.A. PROBLEMA N° 31 Calcular el resto en: 2x5 + + + 2x + A) 4/2 B) D) 313 E) PROBLEMA 32 Calcular el valor "n" en la siguiente división exacta: + + xyz A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 PROBLEMA 33 Calcular el residuo al dividir: [x(x2-1) (x+4) (x+5) (x+6) + 7012 x2 + 5x - 3 A) 49 B) 48 C) 47 D) 46 E).45 PROBLEMA Calcular el resto en la siguiente división: + + + 10x + 2 A) 5x B) 4x+1 C) -5x+6 D) 3x+2 E) 8x+3</p><p>MEZA BRAVO ELVIS CUZCANO 46 ÁLGEBRA PROBLEMA 35 Hallar ab si el polinomio: 100 + ax + b es divisible entre (x+1)2 A) 9900 B) 8100 C) 9800 D) 8900 E).N.A. PROBLEMA 36 Hallar el resto al dividir: - + x2 + 4x + 5 A) x+2 B) 2x+1 D) x+1 E) x-1 PROBLEMA 37 Cual es el resto de la división: A) x-2 B) x+2 D) x+1 E).N.A PROBLEMA 38 (x-1) 500 + x(x+1)(x-2)(x-3) x2 Determine el resto de: x2 - 2x + 2 A) 0 D) -2x+13 C) -4x-12 D) 3x+15 PROBLEMA 39 Hallar un polinomio de 4to grado en variable "x", que de como residuo 2x al dividirlo por (x-1)2 y dé como residuo 3x al dividirlo por A) B) C) D) E) N.A. PROBLEMA 40 Sabiendo que el polinomio cuando se divide entre arroja un polinomio 2</p><p>ÁLGEBRA 47 DIVISIÓN ALGEBRAICA Si = = ...... = 0, Determinar el valor numérico A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E).2 PROBLEMA Encontrar el valor de "k" para que el polinomio: sea divisible entre: A) 1 B) 3 C) 6 D) E) 4 PROBLEMA 42 Calcule la suma de coeficientes del cociente de dividir: Si: + + + (b-c)x + (c-a) A) 7 B) 8 D) 10 PROBLEMA 43 Hallar el polinomio de grado cero que se obtiene como residuo de dividir: + + + A) 4 B) 3 D) -2 3 PROBLEMA N° 44 Encontrar la relación necesaria por cumplirse de que el + 2B(A-B)x2 + 4ABx + B(2B-A) sea divisible entre: A) 0 C) -1 D) 3 PROBLEMA 45 Calcular el resto y la suma de coeficientes del cociente en la siguiente división: + 2mx 3 + (m-1)x + 7m</p><p>MEZA BRAVO ELVIS 48 ÁLGEBRA B) * 13m + + 13m + 3 + 12 + 2 PROBLEMA 46 Hallar el resto en: + Siendo "n" un número entero positivo. A) 0 B) 1 D) 3 PROBLEMA Calcular un valor de: y+n para que el residuo de dividir: sea A) 0 B) 2 D) -5 E).7 PROBLEMA N° 48 Al dividir entre (x-1) y (x2-1) los restos que se obtuvieron fueron 14 y (bx+c) respectivamente. Calcular a+b+c. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 PROBLEMA 49 Hallar el resto en: A) 3x B) 6x+8 C) 3x+5 D) 2x-7 E).N.A PROBLEMA 50 Si la división de: P(x) 2mx 5 + + 9mnx2 + mnpx n2</p><p>ÁLGEBRA 49 DIVISIÓN ALGEBRAICA entre es exacta calcular el valor de H = p(9-m) E):N.A PROBLEMA N° 51 Al dividir un P(x) entre el producto (x+1)(x-2)(x+3) el resto obtenido es 2 Encontrar son los restos que se obtienen al dividir P(x) entre: A) x+1 B) x-2 C) x+3 7 14 -13 -8 7 A) -3 B) 13 C) 12 D) 13 E).-5 12 -15 15 15 25 PROBLEMA 52 Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3) se obtuvo por residuo -5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. Encontrar el residuo de dividir (x) entre (x-1). A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 PROBLEMA 53 Un polinomio de cuarto grado es divisible entre (x+2) tiene rafz cuadrada exacta. Al dividirlo entre (x-2) y (x+1) los restos obtenidos son iguales a 16. Calcular la suma de sus coeficientes. A) 36 B) 37 C) 38 D) 39 E) 40 PROBLEMA 54 Determinar un polinomio P(x) de 5° grado que sea divisible entre (2x4-3) y que al dividirlo separadamente entre (x+1) y (x-2) los restos obtenidos sean respect ivamente 7 y 232. A) 12x5-3x4-15x+6 B) 10x5-4x415x+6 C) 12x5-4x4-15x+6 D) 10x5-4x4-15x+7 E) 10x5-3x4-15x+6 PROBLEMA N° 55 Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x+3), (x+2) y (x-5), se obtenga siempre el mismo residuo (-6) y al dividirlo entre (x+1) el resto sea -42.</p><p>MEZA BRAVO ELVIS CUZCANO 50 ÁLGEBRA A) B) 3 C) D) E) -3x3+57x-59 PROBLEMA N° 56 Un polinomio entero en "X" de tercer grado se anula para = 7 y para y al dividirlo entre x-10 da como residuo 39 si el primer coeficiente polinomio es 3. Hallar el resto de dividirlo entre x-8. A) 52 B) 53 C) 54 D) 55 E) 56 PROBLEMA 57 dividir un polinomio P(x) separadamente entre (x-a) y (x-b) los restos obteridos son (2b+a) y (2a+b) respectivamente. Hallar el residuo de dividir entre 2 A) -x+2(a+b) B) x+2(a+b) C) (a-b) D) x-2(a+b) E) PROBLEMA 58 Un polinomio de grado "n" y variable es divisible entre y tiene por término independiente 2. Además dicho polinomio en 9 es divisible entre x-1 y disminuido en 388 es divisible entre (x-2). Calcular el valor de "n". A) 3 B) 4 D) 6 PROBLEMA 59 Cual es la de coeficientes de un P(x) si se sabe que es de tercer grado, cuyo primer coeficiente es la unidad y es divisible entre (x-2) (x+1) y carece de Término cuadrático. A) 2 B) -5 C) -4 D) 8 PROBLEMA 60 Determinar el resto de la división por de un polinamio P que dividido por 2 da como resto (1-x) y que dividido por (x) (x2+x+1) da como resto 3x+5. Calcular la suma de los coeficientes del polinomio buscado (Resto)</p>