Polinomios

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<p>Algebra POLINOMIOS TEORÍA Y PRÁCTICA DE VARIABLE x : variable grado del : conficiente principal : CUZCAN Ing. CARLOS R.</p><p>ALGEBRA CARLOS NAKAMURA R. Ediciones UZCANO</p><p>POLINOMIOS GRADOS IMPRESO EN PERU AUTOR : CARLOS NAKAMURA R. COORDINADOR : ARMANDO QUISPE P. EDITOR : ENRIQUE J. CUZCANO PUZA Diagramación y Composición de Texto : SERVIGRAF Ediciones Norma Silva Ordinola Luzmila Leon Infante Los derechos autorales de ésta obra son propiedad del editor C COPYRIGHT 1999 Por Ediciones Cuzcano Prohibida la reproducción total o parcial de ésta obra por cualquier método de publicación y/o almacenamiento de información, tanto del texto como de logotipos y/o ilustraciones sin autorización escrita del Editor. Caso omiso se procederá a denunciar al infractor a la INDECOPI de acuerdo a ley 822 del código penal vigente. LIMA -</p><p>AGRADECIMIENTO A la Srta. Secretaria Infante por la esmerada labor dedicada en la elaboración del presente demás publicaciones.</p><p>MEZA BRAVO ELVIS</p><p>D E ste presente trabajo ha sido preparado para postulantes a diferentes Universidades y en especial a aquellos que postulan a la Universidad Nacional de El tema tratado en ésta obra , es sin duda uno de los más complicados del curso de Algebra, debido al para soluctonar Tos problemas en el cual el alumno encuentra ciertas dificultades, por el cual se han seleccionado una serie de problemas Resueltos y Propuestos de diferentes niveles y tipos. En los Problemas Resueltos se han aplicado diferentes métodos y artificios a fin de que el alumno no tenga inconvenientes cuando resuelva problemas de dicha magnitud del tema de Asi mismo, hay una buena cantidad de Problemas Propuestos de dicho tema en el cual el alumno reforzará su habilidad al resolverlos. A Quiero expresar mi agradecimiento a Ediciones Cuzcano por la confianza depositada en la de la presente obra. El Autor C Ediciones CANU</p><p>MEZA BRAVO ELVIS</p><p>EXPRESIONES ALGEBRAICAS DEFINICIONES PREVIAS : estudio desarrollo de tal o cuál fenómeno mate- mático y está representado (no siempre) por las EXPRESIÓN MATEMÁTICA primeras letras del abecedario etc Es aquel conjunto formado por números y/o letras Ejemplo : (constantes y/o variables) y que se encuentran li- V 3 e gadas por los diferentes operadores que repre- sentan a las distintas operaciones como la adición, NOTACIÓN MATEMÁTICA sustracción, potenciación Es aquella representación simbólica de una ex- y radicación . etc. presión matemática que nos permite diferenciar a Ejemplos : las variables de las constantes. * 2xy 2 P = 2 ax 2 bxy+ 3c 2 VARIABLE Nombre genérico Variables Constantes Es aquella magnitud que no presenta valor fijo frente al desarrollo o estudio de determinado problema matemático y que está representado (no EXPRESIONES ALGEBRAICAS siempre) por las últimas letras del abecedario : etc. ALGEBRAICA Ejemplo : Es aquel conjunto de variables y/o constantes que La temperatura del aire en el día. se encuentran ligadas entre sí a través de las opera- ciones de "adición, sustracción, multiplicación, CONSTANTE división, potenciación y para sus Aquella magnitud que adquiere un valor fijo, en el</p><p>MEZA BRAVO ELVIS Ediciones 8 ÁLGEBRA UZCANO variables en un número finito de veces. * La expresión algebraica siempre presentará a las variables formando parte de las bases y no en los exponentes * Ejemplos : * E(x,y) = * * 5 * xy es un término algebraico por- * que reduciendo sale el cual 2x tiene dos términos! * En conclusión para ver si una expresión algebraica es un término algebraico primeramente se tendrá * que reducir la expresión algebraica lo máximo. x+y * es algebraica PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO porque tienen términos! Todo término algebraico tiene tres partes dis- + + es algehraica porque la puestos en cualquier orden : variable aparece como exponente! I. Coeficiente o parte constante por sig- no y número ) Cualquier expresión que no cumpla con los requi- sitos mencionados se denomina expresión no alge- II. Variables ó parte variable braica o trascendente. III. Exponentes Ejemplos : Sea : Exponente 4 trascendental 5 x Expresión Coeficiente Variable parte variable Expresión trigonométrica Expresión exponencial 5 Coeficiente Número TÉRMINO ALGEBRAICO : Es aquella expresión algebraica en la cual apare- TÉRMINOS SEMEJANTES cen exclusivamente las diferentes operaciones al- gebraicas entre sus bases a excepción de la adición Dos más términos son semejantes cuando, no interesando la naturaleza de sus coeficientes, estos y sustracción. contienen la misma parte variable con los mis- Ejemplos : mos exponentes. * Ejemplo :</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 9 POLINOMIOS "Estos términos son semejantes más no lo serán * b+c+8=10 con b+c=2 Ejemplo Luego (B) (C) : A(x,y)+B(x,y) = Rpta. Podemos decir lo siguiente : * (A) (B)y(C) son términos semejantes CLASIFICACIÓN DE LAS (E) son términos semejantes EXPRESIONES ALGEBRAICAS * (A) y (D) no son términos semejantes Las expresiones algebraicas se pueden clasificar * (B) y (E) no son términos semejantes según la forma o naturaleza de sus exponentes y por su extensión o número de términos. Para sumar dos o más términos semejantes, se halla la suma algebraica de sus coeficientes y a dicho se Entera * Racional le afecta (multiplica) de la variable * Fraccionaria Ejemplo Según la naturaleza * Irracional : 7xy2 -xy2 del exponente son semejantes y se pueden reducir * Monomios Según el número de términos * Polinomios Rpta. Ejemplo : SEGÚN LA NATURALEZA DEL EXPONENTE Hallar la suma de los términos semejantes I. ALGEBRAICA RACIONAL (E.A.R.) : Es aquella expresión cuyas variables no esta afec- tadas de radicales o exponentes fraccionarios y que llevadas todas las variables al numerador se ven afectadas de exponentes enteros. A su vez estas Resolución expresiones se subdividen en : Si : ^ son semejantes se I.A. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL debe cumplir lo siguiente (E.A.R.E.) * a-5=3 Es donde llevadas todas sus variables al éstas se ven afectadas de expo- nentes enteros no negativos (positivos cero).</p><p>MEZA BRAVO ELVIS Ediciones 10 ÁLGEBRA UZCANO Ejemplos : * y 6 x+1 * 4 Q(x,y) * = 2x + xyz + 2 * OBSERVACIÓN Para clasificar una expresión algebraica en primer lugar éstas se deberán simplificar lo Hevando al numerador la variable mayor posible, llevando sus variables al nu- y (x4.y3) merador y a partir de analizar sus exponen- * tes. * 2 3 SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS Sería : * 5 2x 1/3 Expresión Algebraica de 1 término 3x-2+2 Expresión Algebraica de 2 términos I.B. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL FRACCIONARIA 3 Expresión Algebraica de 3 términos (E.A.R.F.) Es aquella donde llevadas todas sus variables al numerador , por lo menos una de ellas está afectada de un exponente entero negativo. Ejemplo : "Para "n" seria algebraica de "n" * exponente negativo POLINOMIO Se denomina así a aquella expresión algebraica ra- 2 (Reducciendo) cional entera o aquella suma de expresiones alge- y braicas racionales enteras (es decir sus exponentes 3x + 2 exponente son números enteros no negativos) negativo "Todo polinomio puede constar de uno más * = 2 + 3 (Reduciendo) monomios" Donde : +1 exponente negativo Constante monómica (Polinomio de grado cero) Monomio II. EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL (E.A.I) Binomio Es aquella donde por lo menos una de sus variables * Trinomio esta afectada de un exponente fraccionario o de un signo radical. "Engeneral para "n" monomios se llamaría Ejemplos : polinomio"</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 11 POLINOMIOS MONOMIO Es aquella expresión racional en la que se preveen son coeficientes solamente dos operaciones respecto a sus variables Variable que lo integran a saber , multiplicación y ele- vación a la potencia natural. Coeficiente principal Coeficiente final término independiente Ejemplo 5 Grado del polinomio. * x3y2 * xy 7 2 * - 3 VALOR NÚMERICO DE UN POLINOMIO Consiste en asignar a la variable variables un número definido tal que al reemplazar en la ex- NOTACIÓN DE UN POLINOMIO presión original se obtenga una cantidad definida. Es la representación de un polinomio mediante variables y constantes. Sirve para indicarnos en el Ejemplo : polinomio quién es la variable y quién es la cons- tante. Para ello se indica mediante un subíndice las Si: P(x)=3x2+4x+5 cantidades que varían. Para x=0: Un polinomio en variable x e y se puede repre- sentar Para Nombre genérico Para x=2: P Se lee : Para "P de x e el cual significa : P "P" depende de "P" está en función de x e y y además : son variables CAMBIO DE VARIABLE EN UN POLINOMIO constantes Consiste en reemplazar la variable de la expresión o polinomio, por una nueva variable o por un nuevo polinomio de tal manera que el polinomio resultante dependa (o quede en función) de dicho REPRESENTACIÓN DE UN POLINOMIO DE GRADO "n" EN VARIABLE "x" Ejemplo 1 : *</p><p>^ MEZA BRAVO ELVIS UZCANO 12 Si: Identificamos la variable en este ejemplo será (x-2) 2°) Asignamos a la variable la cantidad que se de- sea en este ejemplo será equivale x-2 > x-2 = 5 asignamos 3°) Del primer miembro se despeja la variable, así: x-2 = 5 -> = 7 Para 4°) Posteriormente se reemplaza el valor = 7) en el polinomio, así Ejemplo Sea : Calcular P(1) = 25x+35+7 Resolución = 25x+ 42 Según el procedimiento dado : x+7 = 1 = x+8 calcular F(5) Resolución Resolveremos este ejemplo de dos métodos : 1er método Ejemplo Sea : G(x-1) Resolución x+3 1 F(5)=5+10 Ejemplo 5 : Resolución x = 7 3x+1 3x = 3x-1 Es más recomendable aplicar el segundo método, x = 3 el cual mediante el ejemplo anterior te explicaré el procedimiento a seguir. 3x-1</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 13 POLINOMIOS FUNCIÓN IMPAR RACIONAL ENTERA (F.I.R.E.) II. PROPIEDAD Es aquella que no se posee término independiente, Si F(x) = ax entonces podemos afirmar además no contiene términos de grado par. que F(x) es una F.I.R.E. además Ejemplo : F(x)+F(-x)=0 : * * Ejemplos A) Si : = * entonces podemos afirmar que f(3x) REPRESENTACIÓN GENERAL DE UNA es una : FUNCIÓN IMPAR RACIONAL ENTERA : f(x) = ax RESPECTO A UNA VARIABLE = f(x-5) Sea : es una F.I.R.E. además f(x-5)=a(x-5) 8 f(x) = ax Donde : variable PROPIEDADES DE UNA F.I.R.E. DE PRIMER coeficiente principal GRADO RESPECTO A 2 VARIABLES último coeficiente I. Si: + f(x) ó f(y) es una F.I.R.E. además : Ejemplos de grado II. Se cumple que : F(x)=ax3+bx de 3er grado f(x) F.I.R.E de 5to grado es una F.I.R.E. III. y f(y) PROPIEDADES DE UNA F.I.R.E. DE PRIMER GRADO RESPECTO A UNA VARIABLE Ejemplo I. PROPIEDAD Si = en- f(0)=0 tonces podemos afirmar que F(x) es una f(4x) es una Además =</p><p>MEZA BRAVO ELVIS 14 ÁLGEBRA UZCANO Ejemplo 2 GRADO ABSOLUTO f(2x) Se determina sumando algebraicamente los expo- nentes de sus variables. = Ejemplo : entonces : es una F.I.R.E. G.R(x) donde : f(2x) es una 4 Ejemplo G.A Si OBSERVACIÓN entonces f(x) es una F.I.R.E. I. Este es el único polinomio cuyo donde grado es indefinido Ejemplo su grado es cero por ser una GRADOS DE POLINOMIOS constante II El grado de toda constante siempre es cero GRADO cte # 0. Es aquel exponente numérico (no variable) entero no negativo que afecta a una variable tomada como base. En otras palabras se denomina grado GRADOS DE UN POLINOMIO al exponente de variables pero no al exponente de constantes coeficientes. GRADO RELATIVO Esta indicado por el mayor exponente que afecta a la variable en uno de los términos del polinomio. CLASES DE GRADO : Existen dos clases de grado, que son : ⑆ A) Grado Relativo (G.R.) : Toma en considera- Asi El polinomio ción sólo a una de las variables. B) Grado Absoluto (G.A.) : Toma en considera- F = 3 - ción a todas sus variables a la vez. mayores exponentes GRADOS DE UN MONOMIO con respecto a de 5to grado con respecto a y de 4to grado GRADO RELATIVO con respecto a Z. de 3er grado Está indicado por el exponente de la variable al cual se hace mención : para ello la expresión debe estar previamente reducida simplificada. GRADO ABSOLUTO Así : el monomio es Lo determina el mayor grado que posee uno de los Con respecto a de 2do grado términos del Con respecto a y de 5to grado El polinomio Con respecto a Z de 8vo grado</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 15 POLINOMIOS = bx 10 12 3 POLINOMIOS ESPECIALES - Es el conjunto de polinomios que gozan de carac- variables G.R(x)=2 G.R(x)=10 terísticas especiales, llámese la ubicación de sus G.R(y)=3 G.R(y)=6 términos o por el comportamiento de los exponen- G.R(z)=0 G.R(z)=0 G.R(z)=0 tes que afectan a sus variables. MAYOR A. POLINOMIO ORDENADO RESPECTO A UNA VARIABLE P(x,y) = 22 Se denomina ordenado respecto a una variable (letra ordenatriz) a todo aquel polinomio Nota : cuyos exponentes van aumentando o dis- minuyendo de izquierda a derecha según en Estudiante, el polinomio tiene como variables que el orden sea creciente o decreciente respec- a "X" e "y" mas no a "z" por lo tanto nos tivamente. representa una constante que desde luego tiene grado Ejemplo : y 2 - V 3 A 4 + 3 3 A + 7y GRADOS EN OPERACIONES CON POLINOMIOS Con respecto a x está ordenado en forma decreciente Dados los polinomios P(x) de grado m y Q (x) de grado n siendo m > " Con respecto a y está ordenado en forma creciente Operación Procedimiento Grado Resultante Adición El grado de la suma o POLINOMIO COMPLETO RESPECTO A UNA resta es el del poli- VARIABLE nomio de mayor grado. Se denomina polinomio completo respecto a m una variable, a todo aquel polinomio que pre- : Sumamos los grados senta todos los exponentes de dicha variable m + n P(x).Q(x) de los factores. desde el mayor hasta el exponente cero (tér- mino independiente) de uno en uno sin impor- : Restamos el grado del m-n tarnos el orden de su presentación. P(x)+Q(x) dividendo menos el grado del divisor. Ejemplo : Potenciación: Multiplicamos el gra- m k = 4 3 y I + 8x 2 - aby 4 , y 3 + 7x 4 do de la base por el exponente. Exponentes respecto a "x" : Radicación Dividimos el grado del m 3 1 0 2 4 , & radicando entre el in- k dice del radical. contiene todos los exponentes desde el hasta el 4</p><p>MEZA BRAVO ELVIS C UZCANO 16 ÁLGEBRA Término Independiente : T.I (x) * Mayor exponente : 3 Exponentes respecto a "y" : * Es completo y ordenado de grado 3 1 2 , 4 3 0 * , , # términos = 4 , # términos = G.R(x) + contiene todos los exponentes desde el hasta * = : el 4 Término Independiente : PROPIEDADES I. En todo polinomio completo de una sola varia- IV.En cualquier polinomio se cumple que su suma se cumple que el número de términos es de coeficientes se obtiene reemplazando a la variable o variables, con las cuales se está tra- igual al grado relativo aumentado en la unidad. bajando, por la unidad. # términos = Grado Relativo + 1 Coeficientes Ejemplo P + Con los mismos criterios el término Inde- es de tercer grado pendiente (T.I) lo obtenemos reemplazando a la(s) variable(s) por CERO. # términos = + 1 = 4 términos II. En todo polinomio completo y ordenado el menor exponente respecto a una variable es CERO, a éste término, INDE- V. En cualquier polinomio completo y ordenado, el PENDIENTE. grado de un término cualquiera es la media aritmética entre los grados de los términos que (variable) 0 lo rodean. Donde : T.I = Término Independiente Ejemplo : A = Constante III.En todo polinomio y ordenado de una sola variable en forma creciente o decreciente, la Lugar 2° diferencia (positiva) de grados entre dos térmi- 3° 4° 5° nos consecutivos cualesquiera siempre es uno. Generalizando Sea : 0 1 2 3 2 2do 3er 4to Donde término término término término = Grado del término de lugar k. Deducimos lo siguiente :</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 17 POLINOMIOS C. POLINOMIO Es aquel polinomio reducido donde todos sus 2cx + términos poseen el mismo grado absoluto. A "hemos completado los términos de dicho valor se le denomina grado de homo- grado tres y grado cero" geneidad. Todo polinomio homogeneo depen- derá de dos, tres o más variables. Se cumple Ejemplo = a=2 variables Grado de = homogeneidad b=3 D. POLINOMIOS IDENTICOS ( Nos piden calcular : - Dos polinomios reducidos, del mismo grado y con las mismas variables, serán idénticos si los coeficientes de sus términos semejantes en am- bos son iguales. E. POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO (=0) Todo polinomio reducido, é identicamente nulo Sea : debe tener todos sus coeficientes iguales a cero. = Sea Se dice que : = "P(x) Se dice P(x,y) 0 ó es identicamente + D ó si y solo sí : * * B=0 Si y solo * C=0 * * a=A * b=B * * Ejemplo : Encontrar los valores de "m" y "n" sabiendo Ejemplo : que el polinomio : Hallar a+b+c es identicamente nulo Solución : Solución Como son idénticos se cumple : Por condición :</p><p>MEZA BRAVO ELVIS 18 UZCANO ÁLGEBRA 2 - nxy2 y=0 - -> m+n = 20 (a) - - (B) Reduciendo previamente : Si el polinomio es identicamente nulo, se cum- 2m = 24 m=12 en : ple que cada uno de sus coeficientes deben ser n = 8 Rpta. iguales a CERO, de donde se tendrá :</p><p>CUZCA Ediciones CUZCANO CUZCA CUZCA IZCAN CUZCA PROBLEMA 1 Es idénticamente nulo. Dado el polinomio Calcular : M = C) 3 Hallar el grado relativo a "y" si el grado absoluto D) 4 E)N.A. es "x" es 18. A) 6 B)9 C) 12 PROBLEMA 5 D) 14 E) N.A. Siel polinomio PROBLEMA 2 es idénticamente nulo. Hallar el valor de Si el polinomio P (x,y) se verifica que la diferen- cia entre los grados relativos a "x" e "y" es 5 y L = además que el menor exponente de "y" es 3. Ha- B) 1 C) llar su grado absoluto. D) 3 E) 4 B) 20 C) 15 PROBLEMA 6 D) 18 En el siguiente polinomio homogéneo : PROBLEMA 3 = Hallar "n" de : calcular el valor de : 9b+24k A) 36 B) 40 C) 86 = D) 33 E) 48 es 272 A) 1 B) PROBLEMA 7 D) 4 E) PROBLEMA 4 Siel polinomio IR Determine el grado absoluto del monomio</p><p>MEZA BRAVO ELVIS Ediciones 20 ÁLGEBRA PROBLEMA 11 Calcular mn si el polinomio : D) 14 es de grado absoluto 20 PROBLEMA 8 A)71 B) 70 C) 68 En la expresión : D) 69 PROBLEMA 12 Los grados relativos a e "y" son respecti- vamente 7 y 4 según esto. Calcular el grado de : = B) 12 C) 13 Hallar D) 14 E) N.A. A) 4 C) 6 D) 2 PROBLEMA 9 PROBLEMA 13 Si el polinomio Señale el grado del polinomio entero ordenado en P(x,y,z) = forma estrictamente decreciente. es Homogéneo. A) C) 6 = D)4 (c+a)" A) PROBLEMA 14 D)4 E) 5 Si la expresión PROBLEMA 10 = es de grado 18, y los grados relativos a Que valor debe asignarse a "n" en la expresión son 3 números consecutivos (en ese orden). Cal- cular m.n.p. B) 22 C) 25 de modo que su grado absoluto excede en 9 al D) 23 E) N.A grado relativo de "y". A) 2 B) C) 1 PROBLEMA 15 D) 3 E) Si : =</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 21 POLINOMIOS Calcular : S 3 F GA = 2 5 2 A) 49 C) 52 D) 48 2 PROBLEMA 19 PROBLEMA 16 Señale el grado del binomio homogéneo : Calcular el grado del monomio : y + Sabiendo que el cuadrado del grado del monomio : A) 3 C) E) 1 PROBLEMA 20 Es igual a 4. Calcular la suma de coeficientes del siguiente poli- A) B) 2 C) 3 nomio homogéneo : D) 4 PROBLEMA 17 C) 40 by b Calcular : ab E) 407 si el polinomio : PROBLEMA 21 + Siendo : = es completo y ordenado en Un polinomio homogéneo de grado términos. Calcular : A) 2 C) 4 D) 1 (a+b+c)" PROBLEMA 18 C) 2 Señalar el grado de : E) PROBLEMA 22 Si: Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo : GA y</p><p>MEZA BRAVO ELVIS 22 ÁLGEBRA PROBLEMA 26 abc Calcular A = ( Si el monomio b + a S = A) 65 C) 60 es de grado 5. Calcular "a" D) 66 E) 64 A) 1/4 B) 1/3 C) 1/6 PROBLEMA 23 D)1/5 Si : PROBLEMA 27 Calcular el grado de : Calcular : Sabiendo que : A) - 3 C) 2 D)-4 E)-5 PROBLEMA 24 G.A-GR Dado : C) 16 D) 17 PROBLEMA 28 La suma polinomio Calcular "A+B+C" de grado cero. Determinar bajo esta condición el valor de Se verifica para todo "x". A) 3 C) 2 A) 23 B) 22 D) 5 C) 20 D) 24 E) N.A. PROBLEMA 25 PROBLEMA 29 Hallar el coeficiente de : Sabiendo que : Sabiendo que su grado absoluto es 10, y el grado Calcular : relativo a "x" es 7. A) -2 B) D)</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 23 POLINOMIOS 3 B) 12 C) 10 2 D) 14 PROBLEMA 34 PROBLEMA 30 Hallar la suma de coeficientes del siguiente poli- nomio : ¿Cual es el valor de "a" para que la expresión : = Sabiendo que es completo y ordenado respecto a sus dos variables. Sea de grado B) 4 C) 5 A) 6 B) C) 4 D) 7 E) 3 D) 5 E)N.A. PROBLEMA 35 PROBLEMA 31 Cuántos términos posee el polinomio ho- Si la suma de los grados absolutos de los términos mogéneo? de : = - Para que sea de grado 40, respecto a "y" A) 22 C) 19 es de D) 23 E) 21 A) 17 B) 15 C) 14 PROBLEMA 36 D) 16 E) 18 Hallar la suma de coeficientes del siguiente poli- PROBLEMA 32 Hallar el grado de : +m Siendo "m" un número a S = D) 4 E) N.A. Si A) 3 B) 4 C) 2 PROBLEMA 37 D) Si el grado de : es 13 y el grado PROBLEMA 33 de es 22. Calcular el grado de: Dado el polinomio ordenado y completo : A) 14 + + abc D) Hallar el término</p><p>MEZA BRAVO ELVIS UZCANO 24 ÁLGEBRA PROBLEMA 38 PROBLEMA 42 Halle la suma de coeficientes del polinomio Ho- Hallar el menor grado de homogeneidad en el mogéneo. siguiente polinomio = = B) 15 C) 12 A) 39 B) 40 C) 38 E)N.A. E)N.A. PROBLEMA 43 PROBLEMA 39 Sabiendo que el grado absoluto de : Determinar "k" de manera que la expresión sea de segundo grado. M(x,y,z) = es 30 3 Hallar el grado respecto a B) 12 C) 15 A) 8 C) 7 D) 6 PROBLEMA 44 PROBLEMA 40 Hallar el grado de : Calcular "n" si el monomio es de segundo grado. M(x,y,z) = 4bc 5ac 3 Si : M(x) = Vxn-2 a+b a = b+c b = C A)6 C) 10 D)4 E)N.A. PROBLEMA 45 PROBLEMA 41 Calcular "a" si : Si el polinomio es idénticamente nulo, hallar 4 A) 70 A) 5 B) 8 D) 90 D)6</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 25 POLINOMIOS PROBLEMA 46 Determinar la suma de coeficientes del polinomio : Calcular : P(x) = axa-4 A) 14 B) 10 si se sabe que es completo y ordenado. B)2 A) 4 D) 5 E) N.A. PROBLEMA 50 PROBLEMA 47 Calcular x para que la siguiente expresión : En la siguiente adición de monomios : sea de segundo grado + 4x" A) 3 D) 6 E) 7 Hallar : "a+b+c" A) 10 C) 8 PROBLEMA 51 D) 7 Encontrar el valor de a y b para que los siguien- PROBLEMA 48 tes polinomios sean idénticos : = Siendo : A) a B) de grado absoluto 41, y que la diferencia de los b=3 b=3 b=2 grados relativos a "x" e "y" es 2. D) b=4 b PROBLEMA 52 b-a m>n>0 y la expresión : A) 7 B)5 C) 3 E)N.A. m-n D) 6 PROBLEMA 49 2mn Dados los polinomios : es de grado nulo, calcular : A) 2 Además : D)6</p><p>MEZA BRAVO ELVIS 26 ÁLGEBRA PROBLEMA 53 PROBLEMA 56 Si el grado absoluto de la fracción : , son números naturales consecutivos tales que : ordenar decreciente- mente respecto de sus grados absolutos los mono a es nulo, el valor de la es: A) C)p+q A) UNI B) INU C) UIN D) 1 D) NUI E) NIU PROBLEMA 54 PROBLEMA 57 Si el Dado el polinomio homogéneo de grado UNO: + + ajxa + evalúe el grado de : Es homogéneo de 10° grado. ¿De que grado será el monomio : ? C) 1 A) 7 D) 33 PROBLEMA 58 PROBLEMA 55 Los grados relativos a y de: Los siguientes polinomios ^ Q = Son respectivamente de grados 8 y 6. Determine Suman además P es de grado 5 respecto de la suma del grado relativo a x de P más el grado relativo a y de Q. ¿Cuál es el grado absoluto de C) 13 A) 8 D) 14 D)5 E) 4</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 27 POLINOMIOS PROBLEMA 59 PROBLEMA 62 Si el monomio Si : 3n ax 5 bx2 Son términos semejantes indicar el coeficiente de : 4 cx4 3 A) 10 B) 11 C) 12 dx5 D) 13 E) 14 PROBLEMA 63 es de grado Calcular "n" Siendo : A) 3 C) 9 P = D) 72 Un polinomio homogéneo de grado de homogenei- dad Encontrar el valor numérico de : PROBLEMA 60 Si se cumple que : P(x) 0 a" donde Calcular (m+n) A) 5 C) 2 E)-7 PROBLEMA 64 PROBLEMA 61 Dados los polinomios : Si : Además : G.A. de P es 20 y el G.R. de "y" en Q es 10. Calcular el G.A. de Q. B) 16 C) 14 P D) 17 E) 15 F(x) PROBLEMA 65 A) 1 C) 5 Sabiendo que se E) 4</p><p>MEZA BRAVO ELVIS UZCANO 28 y además PROBLEMA Si los polinomios A = B = Hallar f(x) y como una aplicación determinar el valor de f(2). Son idénticos. Encontrar los valores de dando la suma de a+b. C) 3 A)-7 PROBLEMA 66 Hallar el número de términos en : PROBLEMA 70 = +... Si : Si es completo : Se cumple para todo número real "x", los valores A) reales de "a" son : D) 4 A)-2 y 3 PROBLEMA 67 Si el polinomio homogéneo Es ordenado y completo con respecto a "a". Cal- Determine el valor de "k" si la expre sión : cular (m+n) si es de décimo grado en "a" y quinceavo grado en "b". A) 10 C) 11 = D) 13 nos representa un polinomio Donde además PROBLEMA 68 A) Clasificar la siguiente expresión D)-4 PROBLEMA 72 Se conoce que el polinomio A) E.A.R.E. B) E.A.R.F. 4x" C) E.A.I. es homogéneo ordenado y completo respecto de D) No es expresión algebraica según esto. ¿Cuánto vale a E) No es un polinomio</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 29 POLINOMIOS A) 14 B) 13 C) 12 PROBLEMA 77 D) 11 Calcular A.B sabiendo que : PROBLEMA 73 x3 + - 1 (x+1) B) C) 2 Hallar k, si se cumple la siguiente igualdad : A)6 B) 8 PROBLEMA 78 E) 10 Dado el polinomio P(x) completo y ordenado descendentemente. Hallar PROBLEMA 74 Dado el polinomio homogéneo A) 10 B) 8 Calcular el producto de sus coeficientes E)N.A. PROBLEMA 79 A) 72,421 B) 63,089 C) D) 530 E) 2232 Dado el polinomio homogéneo : PROBLEMA 75 Si la suma de todos los exponentes del polinomio Dado : es 54. de A = a+b+c+d+e - A) 23 B) 24 C) 25 Calcular el valor de : PROBLEMA 80 A) 20 B) 21 C) 21 Si : = D) - 20 E) 19 Calcular P 2 1 + 1 + 2 + PROBLEMA 76 B) 1/5 Si se multiplica n polinomios de grado n cada uno, y se sabe que el resultado es un polinomio E) 1/2 completo, entonces el número de términos del poli- PROBLEMA 81 nomio producto es : A) 0 Dar el valor de x en la expresión : D)</p><p>MEZA BRAVO ELVIS Ediciones 30 ÁLGEBRA 5 7-1 PROBLEMA 85 7 Si : Sabiendo que el grado absoluto de la misma es Calcular : cero. A) 76/9 M D) 8/93 E) 5/72 A)-x PROBLEMA 82 En un polinomio P (x,y) homogéneo y completo PROBLEMA 86 en x e y la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál es su grado de Calcular : que: B) 12 B) D) 4x2-5x-1 PROBLEMA 83 - Si se cumple que Si : Hallar : x+1 F(1-y) Calcular : F[F(x)] C) 3y Sabiendo además E)2-y A)x2 C) 2x PROBLEMA 84 PROBLEMA 88 Si : y además : - 2 Calcular el cociente del coeficiente del término lin- Calcular eal entre el término independiente de : 3 A)4 C) 1 -</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 31 POLINOMIOS PROBLEMA 89 Si: Es idénticamente nulo. Halle : A) 3 C)4 PROBLEMA 90 Calcula el coeficiente del monomio an Si los grados relativos a "x" e "y" son iguales a y el grado absoluto es D)V2 PROBLEMA 91 Dado los polinomios, idénticos : Determine Si: D)-3 PROBLEMA 92 En el polinomio completo y ordenado : = n Calcular a+b+c A) 5 2 E) 1 PROBLEMA 93 Si el = axa" es homogéneo. Hallar la suma de coeficientes. A) 5 C)9 D) 10</p><p>MEZA BRAVO ELVIS 32 ÁLGEBRA PROBLEMA 94 Calcular "n" en el polinomio dado : Además el término independiente más 9 veces la suma de coeficientes es igual a cero A) I B) 2 D) 4 PROBLEMA 95 Determine el grado del producto : A) 3025 B) 3045 C) 385 D) 3036 E) 3410 PROBLEMA 96 Determinar el valor de "m" si la expresión : nos representa un polinomio homogéneo donde a</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 33 POLINOMIOS PROBLEMA 99 Sabiendo que el grado relativo a "y" en el monomio = es mínimo . Calcular A) 3 B)5 C) D)9 E) 11 PROBLEMA 100 Hallar el grado de sabiendo que la suma de sus coeficientes excede en la unidad al duplo de su término independiente. Siendo : - A) 2 B) 4 C) 6 D) 10 E) 12 PROBLEMA 101 Siendo la : expresión M = es de quinto grado. Cual será el grado de este otro polinomio. A) 16 B) 18 C) 4 D) 6 E) n PROBLEMA 102 En el polinomio : Entonces G.A. = ?? A) 19 B) 20 D) 3 PROBLEMA 103 Siel G.A. de : la expresión M(x,y,z) = es 18. Determine su coeficiente sabiendo que los grados relativos respecto a : : son consecu- tivos (en ese orden). A) 24 B)9 E) 12 PROBLEMA 104 Hallar el grado de polinomios sabiendo que el grado es 17 y el grado es 23.</p><p>MEZA BRAVO ELVIS 34 A)4:5 B) 6:9 C)4;6 D) 6:19 E) PROBLEMA 105 Al resulta un polinomio de grado 13. Calcular el valor de "n" A) 2 D) 15 PROBLEMA 106 Si el grado del monomio : es será el de esta otra grado expresión : A) C)7 E) 10 PROBLEMA 107 Si la suma de los grados absolutos de los términos del polinomio P(x,y) es Hallar el valor de A) 12 D) 17 PROBLEMA 108 Hallar el grado de : A) PROBLEMA 109 Si: Calcular el valor de : A = A) 15 B) 16 D) 64</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 35 POLINOMIOS PROBLEMA 110 Siendo : = Calcular el valor de x que verifique la condición : + E) N.A. 2 2 PROBLEMA 111 Si: Calcular : E = A) 1 B) 2 C) 8 D)-8 PROBLEMA 112 Determine el cuadrado del grado absoluto del monomio A) 18 B) 144 C) 169 D) 324 PROBLEMA 113 El polinomio es completo y ordenado : Hallar (a+b+c) A) 14 C) 16 D) 10 E) 4 PROBLEMA 114 Calcular la suma de coeficientes : = sabiendo que es cuádruple de su término A) B) (24)2-16 PROBLEMA 115 Sean Calcular el término independiente de H A) 10 D) E) 8</p><p>MEZA BRAVO ELVIS 36 ÁLGEBRA PROBLEMA 116 El grado de : es 43 Hallar su término independiente A) D) 17 E) N.A. PROBLEMA 117 Calcular el término independiente del polinomio : Sabiendo que es un sesenta y cuatro avo de su suma de coeficientes A) 12 B) 13 C) 15 D) 16 E) 17 PROBLEMAS 118 Dado : = m n Hallar el grado de : P(x,y,z) = [ ]' A) 15 B)2 C) 3 D) PROBLEMA 119 Siendo P(x,y) un polinomio, donde : Calcule el grado absoluto mínimo que puede tomar : P(x,y) A) 12 D) 16 E) 17 PROBLEMA 120 Si se cumple la relación : = a-3b+c = -3a+b+c a-3b+c - 3a+b+c a+b - 3c Siendo (a+b+c) un número comprendido entre 180 y 318, calcule el grado relativo a "x" del polinomio : = Sabiendo que éste posee un grado absoluto mínimo A) 50 B) 60 E) 10</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 37 POLINOMIOS PROBLEMA 121 Calcular el valor de si : A) 29 B) 30 E) 25 PROBLEMA 122 Clasifique la siguiente expresión algebraica : + yz y-6 A) Expresión Algebraica Racional Fraccionario (E.A.R.F.) B) Expresión Algebraica Irracional (E.A.I) C) Expresión Algebraica Irracional Fraccionario (E.A.I.F.) D) Expresión Algebraica Fraccionario (E.A.F.) E) Expresión Algebraica Racional Entera (E.A.R.E.) PROBLEMA 123 Hallar el valor de (2B+3C) = 6 ^ + C x+b idénticos. A) 2 C) 1 D) 4 PROBLEMA 124 cuántos términos consta el siguiente polinomio ? 3 + 3 + sabiendo que es homogéneo y de grado 20 respecto de a. A) 10 B) 15 E) 30 PROBLEMA 125 La suma de los grados absolutos de todos los términos de un polinomio entero, homogéneo y completo de dos variables es 132 según ésto. ¿Cuál es su grado A) 10 C) 12 D) El polinomio no existe E) Faltan Datos</p><p>MEZA BRAVO ELVIS C 38 ÁLGEBRA PROBLEMA 126 Considerando al polinomio : como homogéneo. ¿Cuál es la suma de sus A) PROBLEMA 127 Dado el = (b-4) La suma de grados absolutos de los términos del polinomio R (x,y)es(a2+2). Calcular A) 4 B)6 C)5 D)8 PROBLEMA 128 De : las siguientes expresiones = M(x,y,z) = El polinomio P(x,y,z) es homogéneo. Por lo tanto podemos afirmar que el grado del monomio A) 4 C)2 D) 1 PROBLEMA 129 El valor de : es independiente de siendo igual a UNO. Calcular el grado de : A) E) 2 PROBLEMA 130 Calcular el grado (n-1) factores</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 39 POLINOMIOS B) 6 D) n(n+1)(n2+4) E) 6 4 PROBLEMA 131 Si: = Es un polinomio idénticamente nulo. b+r A) 2 B) 4 D)-2 PROBLEMA 132 Dado el polinomio homogéneo y de grado CERO: Calcular el grado suponiendo que A) B)B C)B2 PROBLEMA 133 Si los = y Son idénticos. 1-k D) PROBLEMA 134 Si la suma de los monomios : = ^ da un polinomio homogéneo. Calcular: : siendo A) 2 B)3 D)-3 E) PROBLEMA 135 Se términos Hállese P(-n) A)n3 C)</p><p>MEZA BRAVO ELVIS 40 ÁLGEBRA PROBLEMA 136 Indicar cuanto vale la suma de todos los coeficientes del : A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 PROBLEMA 137 Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo. Halle el valor numérico de : ; A)-2 C) 12 E)-5 PROBLEMA 138 Dados los polinomios donde el grado absoluto de P es 14 y el menor exponente el polinomio Q es 10. Indicar cual es el grado absoluto del polinomio Q. P = A) 21 C) 23 D) 24 E) 25 PROBLEMA 139 Si los polinomios Son idénticos, sabiendo además que m son mayores que uno. Calcular : = A) 120 E) 38 PROBLEMA 140 Dado el polinomio homogéneo Determinar el polinomio G(x,y) que debe agregarse a P(x,y) para que el polinomio resultante sea un polinomio homogéneo y completo, tal que la suma de sus coeficientes sea 7 y su valor numérico para sea 4.</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 41 POLINOMIOS PROBLEMA 141 Calcular los valores que deben tener respectivamente, para que el siguiente polinomio sea idénticamente nulo : - A)-2,5,2,0,8 PROBLEMA 142 La suma de los grados del primer y último término de un polinomio P ordenado crecientemente y completo con respecto a cualquiera de las variables es 100. Calcular el grado del término 21. A) 20 B) 21 C) 40 E) 42 PROBLEMA 143 Si: Donde: PROBLEMA 144 Dado : Hallar sabiendo que es homogéneo , completo , ordenado y de términos respecto a "z". A) 61 B) 62 E) 65 PROBLEMA 145 Si el grado del producto de 3 polinomios completos P(x) y de (2n-2) términos y (3n+8) términos respectivamente es 200. Calcular el valor de A) 20 B)21 C) 22 D) 23 E) 24</p><p>MEZA BRAVO ELVIS CUZCA ZCA Ediciones ZCA ZCA IZCANe CUZCANO CUZCA RESOLUCIÓN 1 G.A = 24 = 2a-1+b+5 b=4 Rpta.: B Luego : RESOLUCIÓN 4 Si 9 0 Rpta.: B bc+ab+6n= 0 (B) RESOLUCIÓN 2 ac-bc+9= 0 Datos : n2+6n+9 - = - m+n+5-(m+2)=5 a=y = ac-bc+9 Además Menor Exp. de y es m=7 Reemplazando G.A M = G.A 17 Rpta.: A (a+c)b M = = RESOLUCIÓN 3 ac ac b Hacemos un cambio de variable : 2ac = 2 Rpta.: B Grado de</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 43 POLINOMIOS Comprobando : P(x) es idénticamente nulo, entonces : a+b-4 = - 12=0 Reemplazando en a: a=6 4a+9b-9+c= 0 Rpta.: E RESOLUCIÓN 7 Reemplazando : a=b=c=k Rpta.: El grado de: RESOLUCIÓN 6 2&2 = Es Homogéneo ; entonces : se debe (bk)b = Igualando Rpta.: B RESOLUCIÓN Artificio De la expresión : Identificando valores (por tanteo) :</p><p>MEZA BRAVO ELVIS 44 ÁLGEBRA Reemplazando en = = + Rpta.: B Hacemos el siguiente artificio : RESOLUCIÓN 10 = G.A (2n+1)n G.R G.A-G.R = 9 = = n2=9 n=3 + Rpta.: D RESOLUCIÓN 11 Del GA(p)=m+n+1 G.A. = m+n+1 = 20 Rpta.: A = RESOLUCIÓN 9 Si es homogéneo se debe cumplir lo Rpta.: B RESOLUCIÓN 12 = Sea se tiene</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 45 POLINOMIOS 3k = 18 entonces m+n=5 Sumando miembro a miembro : 3 n+p=6 2(m+n+p) = 18 p+m=7 RESOLUCIÓN 13 Resolviendo : Debido a que es ordenado decrecientemente : mnp = 3.2.4 : mnp = 24 (I) (II) Rpta.: A De (I) : RESOLUCIÓN 15 Efectuando : De (II) : = = de donde Reemplazando 4>a>2 G.P. = 12-2(3) G.P. = 6 Rpta.: C RESOLUCIÓN 14 Del monomio Rpta.: B GR RESOLUCIÓN 16 Dato : Dato : 2 Debido a que los grados relativos son consecutivos a+b veamos:</p><p>MEZA BRAVO ELVIS 46 ÁLGEBRA a-b=6 b=4 0 = Reemplazando El grado de es 4 = 48 Rpta.: D Rpta.: D RESOLUCIÓN 17 RESOLUCIÓN 19 Por ser homogéneo : Se Número de términos = = GP = 2 Rpta.: B = 16 RESOLUCIÓN 20 a=2 Por ser homogéneo : en (a) : b=4 = a+2b = 2n2 + 42 en la expresión a calcular : V2(4)V4 = 2 Rpta.: A RESOLUCIÓN 18 : a>b a+2b = 50 Suma de coeficientes 8(a+2b)+7 2) [ de coef. = 407 a-b Rpta.: E 3</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 47 POLINOMIOS RESOLUCIÓN 21 = Por ser homogéneo , se cumple (II) en (I) : a+b+4=a+c+4 b=c en (III) : a+c+4=b+c+4 Reemplazado en a+b+4=b+c+4 Reemplazando Rpta.: B RESOLUCIÓN 24 (a+a+a)" (3a)" Efectuando ambos polinomios, tenemos P(x) = 3 3 3" Sumando miembro a miembro Rpta.: D RESOLUCIÓN 22 Como P(x)+Q(x) es de grado cero, esto in- Como es Nulo : dica : que los coeficientes que acompañan a la va- a+c-3abc = 0 riable son ceros: Sumando ac+a+2b=0 =0 b+c=7abc a+b+c=8abc Reemplazando A = ( abc 8abc Rpta.: A=64 RESOLUCIÓN 25 Rpta.: E Del monomio : RESOLUCIÓN 23 = GR (x) = 3m+2n Dato Polinomios idénticos : E° = 10 de donde : b=a-b 2b = a (II) = 7</p><p>MEZA BRAVO ELVIS 48 ÁLGEBRA Resolviendo RESOLUCIÓN 28 m=1 el coeficiente Sea : (1)"9" -> C=8 A=1 : Coeficiente = -> B=15 Rpta.: D RESOLUCIÓN 26 En el monomio : a RESOLUCIÓN 29 Efectuando De donde : b-c=c-a . : Rpta.:A a=c RESOLUCIÓN 27 b=a sea: Del monomio a=b=c=k k-2k-3k De la Sumando miembro a miembro a+b+c-b=12 2 (a+b+c) = 13 Rpta.: C a+b+c-c=13 a+b+c = 18 RESOLUCIÓN 30 Por lo tanto : De la expresión</p><p>CARLOS NAKAMURA R. 49 POLINOMIOS = grado de A) Condición a a = 64 pero = Reemplazando : 0 a X -5 a (2a+13)(a-5)=0 Rpta.: B 13 2 RESOLUCIÓN 33 Por ser completo : Rpta.: D = 2a+26+2 = RESOLUCIÓN 31 (I) (II) (III) Del polinomio : = 27 (a) Dato : bb=4 b=2 De m = El término independiente es de donde Rpta.: B RESOLUCIÓN 34 n=17 Como es completo y ordenado a sus 2 variables. Rpta.: A Suma de coeficientes : RESOLUCIÓN 32 a+bc+d = a+bc+d= 5 Del monomio : Rpta.: C</p>