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<p>SEMIGRUPOS LINEARES E NÃO LINEARES E</p><p>APLICAÇÕES</p><p>Marcelo Moreira Cavalcanti</p><p>Valéria Neves Domingos Cavalcanti</p><p>Universidade Estadual de Maringá</p><p>Departamento de Matemática</p><p>Maringá</p><p>2016</p><p>Ficha Catalográfica</p><p>Cavalcanti, Marcelo M. e Domingos Cavalcanti, Valéria N.</p><p>Semigrupos Lineares e Não Lineares e Aplicações/ Marcelo M. Cavalcanti e</p><p>Valéria Neves Domingos Cavalcanti/ Maringá:</p><p>UEM/DMA, 2016.</p><p>iii, 423p. il.</p><p>Livro Texto - Universidade Estadual de Maringá, DMA.</p><p>1. Semigrupos.</p><p>2. Aplicações As Equações Diferenciais Parciais.</p><p>- ii -</p><p>Conteúdo</p><p>1 Semigrupos Lineares 4</p><p>1.1 Um Repasse ao Cálculo Diferencial e Integral em Espaços de Banach . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.1.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>1.2 A Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21</p><p>1.3 Semigrupos de classe C0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>1.3.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37</p><p>1.5 O Teorema de Lumer-Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55</p><p>1.5.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</p><p>1.6 O Teorema de Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</p><p>1.6.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>1.7 Semigrupos Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76</p><p>1.7.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78</p><p>1.8 Semigrupos Anaĺıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78</p><p>1.8.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101</p><p>1.9 Propriedades Espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101</p><p>1.9.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106</p><p>2 O Problema de Cauchy Abstrato 107</p><p>2.1 O Problema Homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107</p><p>2.2 Formas Sesquilineares e Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116</p><p>- 1 -</p><p>Conteúdo</p><p>2.2.1 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121</p><p>2.3 O Problema Não Homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128</p><p>2.4 O Problema Não Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135</p><p>3 Equações de Evolução 145</p><p>3.1 Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145</p><p>3.1.1 Condição de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145</p><p>3.1.2 Condição de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149</p><p>3.2 Equação da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152</p><p>3.2.1 Condição de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152</p><p>3.2.2 Condição de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153</p><p>3.3 Equação de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156</p><p>3.4 Equações Não Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161</p><p>4 Semigrupos Não Lineares 168</p><p>4.1 Operador Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168</p><p>4.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191</p><p>5 Operadores Monótonos e Acretivos 196</p><p>5.1 Operadores Monótonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212</p><p>5.3 Operadores Acretivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235</p><p>5.4 Operadores Máximo Acretivos e m-Acretivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251</p><p>5.5 Secções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273</p><p>5.6 Perturbação de Operadores Acretivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282</p><p>5.7 Semigrupos lineares de contrações: Teoria de Hille-Yosida e algumas aplicações . . . . . . 291</p><p>5.7.1 Operadores m-acretivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291</p><p>5.7.2 Operadores acretivos e aplicações dualidade: soma de operadores acretivos . . . . 297</p><p>5.7.3 Restrição e Extrapolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297</p><p>- 2 -</p><p>Conteúdo</p><p>5.7.4 Espaços de Hilbert e Operadores Auto-adjuntos e Anti-adjuntos . . . . . . . . . . 303</p><p>5.7.5 Exemplos de operadores m-acretivos e Operadores Diferenciais Parciais . . . . . . 313</p><p>5.8 O Teorema de Hille-Yosida-Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328</p><p>5.8.1 O Semigrupo gerado por −A, onde A é um operador m-Acretivo . . . . . . . . . . 328</p><p>5.8.2 Semigrupos e seus Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332</p><p>5.8.3 Propriedades de Regularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337</p><p>5.8.4 Soluções Fracas e Extrapolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338</p><p>5.8.5 Grupo de Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340</p><p>5.8.6 Semigrupos Anaĺıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347</p><p>5.8.7 Exemplos de semigrupos gerador por operadores diferenciais parciais. . . . . . . . 349</p><p>6 Semigrupos Não-Lineares e Equação de Evolução 352</p><p>6.1 Semigrupo não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352</p><p>6.2 Fórmula Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352</p><p>6.3 Problema de Cauchy Abstrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365</p><p>6.4 Exerćıcio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419</p><p>6.5 Exercicio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432</p><p>7 Apêndice 447</p><p>7.1 Semigrupos de Classe C0 e Solução Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447</p><p>Referências bibliográficas 456</p><p>Índice Remissivo 461</p><p>- 3 -</p><p>Caṕıtulo 1</p><p>Semigrupos Lineares</p><p>1.1 Um Repasse ao Cálculo Diferencial e Integral em Espaços</p><p>de Banach</p><p>Nesta seção faremos uma recordação de alguns resultados preliminares referentes ao Cálculo Di-</p><p>ferencial e Integral em Espaços de Banach que serão de suma importância no decorrer deste texto.</p><p>Comecemos pelo conceito de séries em espaços de Banach. No decorrer desta seção, E representará um</p><p>espaço de Banach com norma ∥ · ∥.</p><p>Definição 1.1 Seja (xn) uma sequência em E. A partir dela, formamos uma nova sequência (sn) cujos</p><p>elementos são as somas</p><p>s1 = x1, s2 = x1 + x2, sn = x1 + · · ·+ xn,</p><p>que chamaremos as reduzidas ou somas parciais da série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>xn. Se existir o limite</p><p>s = lim sn = lim</p><p>n→∞</p><p>(x1 + · · ·+ xn),</p><p>diremos que a série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>xn é convergente e o limite s será chamado a soma da série. Se a sequência</p><p>de reduzidas não convergir, diremos que a série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>xn é divergente. Dizemos que uma série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>xn é</p><p>absolutamente convergente em E se</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>∥xn∥ converge.</p><p>Proposição 1.2 Toda série</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>xn absolutamente convergente é convergente.</p><p>Demonstração: Seja sn =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>xk, n ∈ N, a sequência das somas parcias</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>tn−1e−(λ−ω)t dt =</p><p>(n− 1)!</p><p>(λ− ω)n</p><p>. (1.4.97)</p><p>Com efeito, para n = 1, temos∫ ∞</p><p>0</p><p>e−(λ−ω)t dt =</p><p>1</p><p>λ− ω</p><p>.</p><p>Suponhamos que (1.4.97) se verifique para n e provemos indutivamente para n+ 1. De fato, para</p><p>- 45 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>todo b > 0, temos, integrando por partes, que∫ b</p><p>0</p><p>tne−(λ−ω)t dt =</p><p>[</p><p>tn</p><p>e−(λ−ω)t</p><p>−(λ− ω)</p><p>]t=b</p><p>t=0</p><p>−</p><p>∫ b</p><p>0</p><p>ntn−1 e</p><p>−(λ−ω)t</p><p>−(λ− ω)</p><p>dt</p><p>=</p><p>[</p><p>tn</p><p>e−(λ−ω)t</p><p>−(λ− ω)</p><p>]t=b</p><p>t=0</p><p>+</p><p>n</p><p>λ− ω</p><p>∫ b</p><p>0</p><p>tn−1e−(λ−ω)t dt.</p><p>Tomando-se o limite na última identidade quando b→ +∞ resulta da hipótese indutiva que∫ ∞</p><p>0</p><p>tne−(λ−ω)t dt =</p><p>n</p><p>λ− ω</p><p>(n− 1)!</p><p>λ− ω</p><p>=</p><p>n!</p><p>(λ− ω)n+1</p><p>,</p><p>o que prova o desejado em (1.4.97). Resulta de (1.4.96) e (1.4.97) que</p><p>∥R(λ,A)nx∥ ≤ M</p><p>(λ− ω)n</p><p>∥x∥, para todo x ∈ X,</p><p>ou seja,</p><p>∥R(λ,A)n∥L(X) ≤</p><p>M</p><p>(λ− ω)n</p><p>,</p><p>o que prova a necessidade.</p><p>(2) Suficiência.</p><p>Suponhamos, agora, que existam números reais M e ω tais que para cada real λ > ω tenhamos</p><p>λ ∈ ρ(A) e ∥R(λ,A)n∥L(X) ≤</p><p>M</p><p>(λ− ω)n</p><p>, para todo n ∈ N, (1.4.98)</p><p>e, além disso, que A seja fechado e densamente definido. Para cada λ > ω, definimos:</p><p>Bλ := λ2R(λ,A)− λI. (1.4.99)</p><p>O operador definido em (1.4.99) é conhecido como aproximação de Yosida de A. Como λ ∈ ρ(A),</p><p>temos que R(λ,A) é cont́ınuo e consequentemente Bλ também o é. Provaremos, a seguir, que a função</p><p>exponencial etBλ converge, quando λ→∞, à um semigrupo de classe C0 cujo gerador infinitesimal é A.</p><p>A demostração consiste de algumas etapas.</p><p>1a etapa. Vamos mostrar, inicialmente, que</p><p>lim</p><p>λ→∞</p><p>Bλx = Ax, para todo x ∈ D(A). (1.4.100)</p><p>Com efeito, seja x ∈ D(A). Então,</p><p>R(λ,A)(λI −A)x = x,</p><p>e, consequentemente</p><p>λR(λ,A)x− x = R(λ,A)Ax. (1.4.101)</p><p>De (1.4.98) e (1.4.101) vem então que</p><p>∥λR(λ,A)x− x∥ = ∥R(λ,A)Ax∥ ≤ M</p><p>λ− ω</p><p>∥Ax∥.</p><p>- 46 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>Como a expressão à direita da última desigualdade converge para zero quando λ→∞, deduzimos</p><p>lim</p><p>λ→∞</p><p>λR(λ,A)x = x, para todo x ∈ D(A). (1.4.102)</p><p>Provaremos, a seguir, que a convergência em (1.4.102) se dá, na verdade, para todo x ∈ X. Notemos</p><p>inicialmente que de (1.4.98)</p><p>∥R(λ,A)∥L(X) ≤</p><p>M</p><p>λ− ω</p><p>,</p><p>e, desta forma,</p><p>∥λR(λ,A)∥L(X) ≤</p><p>|λ|</p><p>λ− ω</p><p>M. (1.4.103)</p><p>Como |λ|</p><p>λ−ω → 1 quando λ → ∞, vem que |λ|M</p><p>λ−ω → M quando λ → ∞. Resulta dáı pelo fato de</p><p>M > 0, a existência de η > 0 tal que se λ > η tem-se∣∣∣∣ |λ|Mλ− ω</p><p>−M</p><p>∣∣∣∣ η,</p><p>ou seja,</p><p>∥λR(λ,A)∥L(X) η. (1.4.104)</p><p>Consideremos, então, x ∈ X. Sendo D(A) denso em X, existe (xn) ⊂ D(A) tal que</p><p>xn → x em X quando n→∞. (1.4.105)</p><p>Seja ε > 0 dado. Da convergência em (1.4.105) existe n0 ∈ N tal que</p><p>∥xn − x∥ 0 tal que</p><p>∥λR(λ,A)xn0 − xn0∥ δ. (1.4.107)</p><p>Logo, de (1.4.104)-(1.4.107) e pondo-se ξ = max{η, δ}, inferimos que</p><p>∥λR(λ,A)x− x∥ ≤ ∥λR(λ,A)x− λR(λ,A)xn0∥+ ∥λR(λ,A)xn0 − xn0∥+ ∥xn0 − x∥</p><p>ω existe λ0 > ω tal que se λ > λ0 (1.4.109)</p><p>∥etBλ∥L(X) ≤Metγ .</p><p>Com efeito, seja x ∈ X. Temos:</p><p>∥etBλx∥ = ∥etλ</p><p>2R(λ,A)−tλIx∥ (1.4.110)</p><p>= ∥etλ</p><p>2R(λ,A)e−tλIx∥</p><p>≤ ∥etλ</p><p>2R(λ,A)∥L(X)∥e−tλIx∥.</p><p>Contudo,</p><p>∥e−tλIx∥ = ∥</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−tλ)n</p><p>n!</p><p>x∥ (1.4.111)</p><p>= |</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−tλ)n</p><p>n!</p><p>| ∥x∥ = e−tλ∥x∥,</p><p>e</p><p>∥etλ</p><p>2R(λ,A)∥L(X) = ∥</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(tλ2)n</p><p>n!</p><p>R(λ,A)n∥ (1.4.112)</p><p>≤</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(tλ2)n</p><p>n!</p><p>∥R(λ,A)n∥.</p><p>De (1.4.98) e (1.4.112) vem que</p><p>∥etλ</p><p>2R(λ,A)∥L(X) ≤ M</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(tλ2)n</p><p>n!</p><p>(λ− ω)−n (1.4.113)</p><p>= M</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(tλ2(λ− ω)−1)n</p><p>n!</p><p>=Metλ</p><p>2(λ−ω)−1</p><p>.</p><p>De (1.4.110), (1.4.111) e (1.4.113) obtemos, para todo x ∈ X,</p><p>∥etBλx∥ ≤ Metλ</p><p>2(λ−ω)−1</p><p>e−tλ∥x∥ (1.4.114)</p><p>= Metλ</p><p>2(λ−ω)−1−tλ∥x∥</p><p>= Met(−λ+λ2(λ−ω)−1)∥x∥.</p><p>- 48 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>Note que</p><p>−λ+ λ2(λ− ω)−1 =</p><p>−λ(λ− ω) + λ2</p><p>λ− ω</p><p>(1.4.115)</p><p>=</p><p>−λ2 + λω + λ2</p><p>λ− ω</p><p>=</p><p>λω</p><p>λ− ω</p><p>.</p><p>Logo, de (1.4.114) e (1.4.115) chegamos a</p><p>∥etBλx∥ ≤Metλω(λ−ω)−1</p><p>∥x∥ ;∀x ∈ X (1.4.116)</p><p>Entretanto, λω</p><p>λ−ω → ω quando λ → ∞. Seja γ > ω e consideremos ε = γ − ω > 0. Desta última</p><p>convergência obtemos a existência de λ0 > ω tal que se λ > λ0, então</p><p>λω</p><p>λ− ω</p><p>− ω ω. (1.4.118)</p><p>Provaremos que</p><p>{Sλ(t)x}λ>ω é de Cauchy uniforme em X em intervalos limitados de [0,∞). (1.4.119)</p><p>Notemos que</p><p>(etBλ − etBµ)x =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>d</p><p>dτ</p><p>(e(t−τ)BµeτBλ)x dτ, para todo x ∈ X, (1.4.120)</p><p>ou seja, de (1.4.118) e (1.4.120) podemos escrever</p><p>(Sλ(t)− Sµ(t))x =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>d</p><p>dτ</p><p>(Sµ(t− τ)Sλ(τ))x dτ, para todo x ∈ X. (1.4.121)</p><p>Mas,</p><p>d</p><p>dτ</p><p>(Sµ(t− τ)Sλ(τ))x =</p><p>d</p><p>dτ</p><p>(e(t−τ)BµeτBλ)x (1.4.122)</p><p>=</p><p>d</p><p>dτ</p><p>(etBµ+τ(Bλ−Bµ))x</p><p>= (Bλ −Bµ)e</p><p>tBµ+τ(Bλ−Bµ)x</p><p>= (Bλ −Bµ)e</p><p>(t−τ)BµeτBλx</p><p>= (Bλ −Bµ)Sµ(t− τ)Sλ(τ)x.</p><p>Substituindo (1.4.122) em (1.4.121) e observando que Bλ comuta com Sµ (deixamos ao leitor a</p><p>- 49 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>verificação de tal fato) resulta que</p><p>∥Sλ(t)x− Sµ(t)x∥ ≤</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥Sµ(t− τ)Sλ(τ)∥ ∥Bλx−Bµx∥ dτ. (1.4.123)</p><p>Consideremos γ > ω. Então de (1.4.109) e (1.4.123) para λ, µ > λ0, obtemos</p><p>∥Sλ(t)x− Sµ(t)x∥ ≤</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>(Me(t−τ)γ)(Meτγ)∥Bλx−Bµx∥ dτ</p><p>= M2teγt∥Bλx−Bµx∥.</p><p>No caso particular em que x ∈ D(A) resulta de (1.4.100) que o lado direito da última identidade</p><p>converge para zero quando λ, µ→∞ uniformemente em relação à t, em todo intervalo limitado, isto é,</p><p>{Sλ(t)x}λ>ω é de Cauchy uniforme nos intervalos limitados de t (1.4.124)</p><p>seja qual for o x ∈ D(A).</p><p>Considere, agora, x ∈ X. Pela densidade de D(A) em X existe (xn) ⊂ D(A) tal que</p><p>xn → x em X quando n→∞. (1.4.125)</p><p>Consideremos J um intervalo limitado de [0,∞) e γ > ω. De (1.4.109) e (1.4.118) inferimos</p><p>∥Sλ(t)∥L(X) = ∥etBλ∥L(X) ≤Metγ ≤ C, para todo t ∈ J e λ > λ0. (1.4.126)</p><p>Seja ε > 0 dado. Da convergência em (1.4.125) existe n0 ∈ N tal que</p><p>∥xn − x∥ 0 (vem do fato de {Sλ(t)xn0} ser de</p><p>Cauchy para o valor η = ε</p><p>2c+1 ) tal que se λ, µ > max{ω, λ0, α} := β, temos</p><p>∥Sλ(t)xn0 − Sµ(t)xn0∥ β e para todo t ∈ J , o que prova (1.4.119). Resulta dáı, em vista de X ser Banach, a</p><p>existência de uma aplicação linear S(t) : X → X, tal que para todo x ∈ X,</p><p>S(t)x = lim</p><p>λ→∞,λ>ω</p><p>Sλ(t)x em X, uniformemente nos intervalos (1.4.129)</p><p>limitados da reta.</p><p>- 50 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>Provaremos, a seguir, que S(t) ∈ L(X). Com efeito, de (1.4.129) temos, para cada x ∈ X,</p><p>sup</p><p>λ>ω</p><p>∥Sλ(t)x∥ ω</p><p>∥Sλ(t)∥L(X) 0 tal que</p><p>∥Sλ(t)x∥ ≤ C∥x∥, para todo x ∈ X e λ > ω.</p><p>Tomando-se o limite nesta última desigualdade quando λ→∞ de (1.4.129) resulta que</p><p>∥S(t)x∥ ≤ C∥x∥, para todo x ∈ X,</p><p>e, desta forma, S(t) ∈ L(X), o que prova a afirmação.</p><p>Mostraremos, a seguir, que S é um semigrupo de classe C0. Com efeito, de (1.4.129) temos</p><p>S(0)x = lim</p><p>λ→∞</p><p>Sλ(0)x = lim</p><p>λ→∞</p><p>x = x, para todo x ∈ X. (1.4.130)</p><p>Também, dados t, s ≥ 0 e x ∈ X, obtemos</p><p>S(t+ s)x = lim</p><p>λ→∞</p><p>Sλ(t+ s)x = lim</p><p>λ→∞</p><p>Sλ(t)Sλ(s)x. (1.4.131)</p><p>Afirmamos que</p><p>lim</p><p>λ→∞</p><p>Sλ(t)Sλ(s)x = S(t)S(s)x. (1.4.132)</p><p>De fato, sejam ε > 0 e γ > ω. De (1.4.109) resulta que</p><p>∥Sλ(t)∥L(X) ≤Metγ , para todo λ > λ0. (1.4.133)</p><p>Portanto, se J é um intervalo limitado de [0,∞) que contém t e s, de (1.4.133) inferimos</p><p>∥Sλ(ξ)∥L(X) ≤ C, para todo λ > λ0 e para todo ξ ∈ J. (1.4.134)</p><p>Por outro lado, resulta de (1.4.129) para o ε > 0 dado que existem λ1, λ2 > ω tais que</p><p>∥Sλ(s)x− S(s)x∥ 0, x ∈ X e 0 ω tal que</p><p>∥Sλ(h)x− S(h)x∥ 0 tal que se 0 ω e</p><p>h > 0.</p><p>Temos:</p><p>Sλ(h)x− x =</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>d</p><p>dt</p><p>(Sλ(t)x) dt.</p><p>Mas,</p><p>d</p><p>dt</p><p>(Sλ(t)x) =</p><p>d</p><p>dt</p><p>(etBλx) = Bλe</p><p>tBλx = BλSλ(t)x,</p><p>o que implica que</p><p>Sλ(h)x− x =</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>Sλ(t)Bλx dt, h > 0, (1.4.141)</p><p>pois Sλ(t) e Bλ comutam para λ ≥ 0.</p><p>- 52 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>Afirmamos que</p><p>Sλ(t)Bλx→ S(t)Ax, quando λ→∞, (1.4.142)</p><p>nos intervalos limitados da reta.</p><p>Com efeito, sejam J um intervalo limitado da reta, γ > ω e ε > 0. De (1.4.129) existe λ1 > ω tal</p><p>que</p><p>∥Sλ(t)Ax− S(t)Ax∥ max{λ0, λ1, λ2},</p><p>∥Sλ(t)Bλx− S(t)Ax∥</p><p>≤ ∥Sλ(t)Bλx− Sλ(t)Ax∥+ ∥Sλ(t)Ax− S(t)Ax∥</p><p>≤ ∥Sλ(t)∥L(X)∥Bλx−Ax∥+ ∥Sλ(t)Ax− S(t)Ax∥</p><p>0.</p><p>Desta última identidade e do teorema da Média vem que</p><p>Bx = lim</p><p>h→0+</p><p>S(h)x− x</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0+</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>S(t)Axdt = Ax, para todo x ∈ D(A). (1.4.144)</p><p>A relação em (1.4.144) mostra-nos que</p><p>D(A) ⊂ D(B) e A ≡ B em D(A). (1.4.145)</p><p>Provaremos, em verdade que</p><p>D(A) = D(B). (1.4.146)</p><p>Por hipótese, se λ > ω temos que λ ∈ ρ(A). Agora, sendo B o gerador infinitesimal de S resulta</p><p>da Proposição 1.33 que se λ > ω0 = limt→∞</p><p>ln ∥S(t)∥</p><p>t , então, λ ∈ ρ(B). Logo, se λ > max{ω, ω0} vem que</p><p>λ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B). Para tais valores de λ, temos</p><p>(λI −A)D(A) = X e (λI −B)D(B) = X (1.4.147)</p><p>uma vez que D((λI −A)−1) = Im(λI −A) = X, conforme Proposição 1.32 (posto que A é fechado).</p><p>Por outro lado, de (1.4.145) e (1.4.147) podemos escrever</p><p>(λI −B)D(B) = (λI −A)D(A),</p><p>o que implica</p><p>D(B) = (λI −B)−1(λI −A)D(A)</p><p>= (λI −B)−1(λI −B)D(A)</p><p>= D(A),</p><p>- 53 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>o que prova (1.4.146).</p><p>2</p><p>Corolário 1.36 Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo T de classe C0. Se Bλ é a aproximação</p><p>de Yosida de A, então,</p><p>T (t)x = lim</p><p>λ→∞</p><p>etBλx, para todo x ∈ X.</p><p>Demonstração: Da demostração do Teorema de Hille-Yosida (Teorema 1.35) segue que o lado direito</p><p>da última identidade define um semigrupo S de classe C0 cujo gerador infinitesimal é A. Pelo exerćıcio</p><p>1.3.1 resulta que T = S.</p><p>2</p><p>Teorema 1.37 [ Hille-Yosida para Contrações] Um operador linear A é o gerador infinitesimal de um</p><p>semigrupo S de contrações se e somente se</p><p>(i) A é fechado e densamente definido.</p><p>(ii) Para todo λ > 0, λ ∈ ρ(A) e, além disso,</p><p>∥R(λ,A)∥L(X) ≤</p><p>1</p><p>λ</p><p>.</p><p>Demonstração: A demonstração é análoga ao Teorema 1.35 fazendo-se, obviamente, as adequações ne-</p><p>cessárias.</p><p>2</p><p>Para simplificarmos a linguagem escreveremos</p><p>A ∈ G(M,ω)</p><p>para exprimir que A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0 que satisfaz a condição</p><p>∥S(t)∥L(X) ≤Meωt, t ≥ 0.</p><p>Temos o seguinte resultado:</p><p>Proposição 1.38 (A− ωI) ∈ G(M, 0) se e somente se A ∈ G(M,ω).</p><p>Demonstração: Seja A ∈ G(M,ω). Então, A é o gerador infinitesimal de um semigrupo S de classe C0</p><p>que verifica</p><p>∥S(t)∥L(X) ≤Meωt, t ≥ 0.</p><p>Pondo-se</p><p>S̃(t) = e−ωtS(t),</p><p>então, em vista do exemplo 1.3.1, S̃ é um semigrupo de classe C0 que tem A−ωI por gerador infinitesimal.</p><p>Além disso,</p><p>∥S̃(t)∥ = e−ωt∥S(t)∥ ≤ e−ωtMeωt =M,</p><p>o que prova que A− ωI ∈ G(M, 0).</p><p>Reciprocamente, suponhamos que A − ωI ∈ G(M, 0). Então, A − ωI é o gerador infinitesimal de</p><p>um semigrupo S de classe C0 que satisfaz</p><p>∥S(t)∥ ≤M, t ≥ 0.</p><p>- 54 -</p><p>1.5 O Teorema de Lumer-Phillips</p><p>Definindo-se</p><p>S̃(t) = eωtS(t),</p><p>então, da mesma forma, S̃ é um semigrupo de classe C0 que tem A−ωI+ωI = A por gerador infinitesimal.</p><p>Também</p><p>∥S̃(t)∥ ≤ eωt∥S(t)∥ ≤Meωt, t ≥ 0,</p><p>o que conclui a prova.</p><p>2</p><p>1.5 O Teorema de Lumer-Phillips</p><p>Nesta seção apresentaremos um resultado devido à Lumer-Phillips que nos dá uma condição ne-</p><p>cessária e suficiente para que um operador linear A seja o gerador infinitesimal de um semigrupo de</p><p>contrações. A prova deste resultado decorre do Teorema de Hille-Yosida, conforme veremos posterior-</p><p>mente, e, a sua vantagem em relação ao teorema de Hille-Yosida reside no fato de que é mais simples a</p><p>verificação das hipóteses deste do que as do anterior. Antes, porém, necessitamos de algumas definições</p><p>e resultados preliminares que enunciaremos no que segue.</p><p>Seja X um espaço de Banach, X ′ o dual topológico de X e ⟨·, ·⟩ a dualidade entre X ′ e X.</p><p>Definamos, para cada x ∈ X,</p><p>F (x) = {x∗ ∈ X ′; ⟨x∗, x⟩ = ∥x∗∥2 = ∥x∥2}.</p><p>Como consequência do Teorema de Hahn-Banach, F (x) ̸= ∅ seja qual for o x ∈ X. Resulta dáı</p><p>o conceito de aplicação dualidade, isto é, uma aplicaçào j : X → X ′ tal que para cada x ∈ X faz</p><p>corresponder j(x) ∈ F (x). Imediatamente tem-se que</p><p>∥j(x)∥ = ∥x∥ = (⟨j(x), x⟩)1/2 . (1.5.148)</p><p>Definição 1.39 Um operador linear A é dito dissipativo relativamente à uma aplicação dualidade j se</p><p>Re ⟨j(x), Ax⟩ ≤ 0, para todo x ∈ D(A).</p><p>Definição 1.40 Um operador dissipativo A que satisfaça à Im(I−A) = X, é denominado m-dissipativo.</p><p>Obs: Se A é dissipativo temos que λA é dissipativo para todo λ > 0.</p><p>Proposição 1.41 Se A é um operador linear dissipativo relativamente à alguma aplicação dualidade,</p><p>então,</p><p>∥(λI −A)x∥ ≥ Reλ∥x∥, para todo λ ∈ C e x ∈ D(A).</p><p>Demonstração: Sejam λ ∈ C e x ∈ D(A). Considere j : X → X ′ a aplicação dualidade para a qual A</p><p>é dissipativo. Temos de (1.5.148) que</p><p>⟨j(x), (λI −A)x⟩ = ⟨j(x), λx⟩ − ⟨j(x), Ax⟩</p><p>= λ∥x∥2 − ⟨j(x), Ax⟩ ,</p><p>- 55 -</p><p>1.5 O Teorema de Lumer-Phillips</p><p>de onde segue que</p><p>(Reλ)∥x∥2 = Re ⟨j(x), (λI −A)x⟩+Re ⟨j(x), Ax⟩</p><p>e da definição 1.39 e novamente de (1.5.148) resulta que</p><p>(Reλ)∥x∥2 ≤ Re ⟨j(x), (λI −A)x⟩</p><p>≤ |⟨j(x), (λI −A)x⟩|</p><p>≤ ∥j(x)∥X′∥(λI −A)x∥</p><p>= ∥x∥ ∥(λI −A)x∥,</p><p>o que implica</p><p>(Reλ)∥x∥ ≤ ∥(λI −A)x∥, se x ̸= 0.</p><p>Se x = 0, a desigualdade segue trivialmente, o que encerra a prova.</p><p>2</p><p>Proposição 1.42 Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear, fechado e dissipativo em relação à</p><p>alguma aplicação dualidade. Então, ρ(A) ∩ (0,∞) é um subconjunto aberto de R.</p><p>Demonstração: Se ρ(A)∩ (0,∞) = ∅, nada temos a provar. Suponhamos, então, que ρ(A)∩ (0,∞) ̸= ∅</p><p>e seja λ0 ∈ ρ(A) ∩ (0,∞). Agora, dados λ ∈ C e f ∈ X, consideremos a identidade</p><p>λu−Au = f, (1.5.149)</p><p>que pode ser reescrita como</p><p>λ0u−Au = f + (λ0 − λ)u,</p><p>ou ainda,</p><p>(λ0I −A)u = f + (λ0 − λ)u. (1.5.150)</p><p>Pelo fato de λ0I −A ser inverśıvel, resulta de (1.5.150) que</p><p>u = (λ0I −A)−1(f + (λ0 − λ)u). (1.5.151)</p><p>Definamos</p><p>G : X → X (1.5.152)</p><p>u 7→ Gu := (λ0I −A)−1(f + (λ0 − λ)u).</p><p>Notemos que G está bem definida, visto que A é fechado, e é cont́ınua, uma vez que (λ0I − A)−1</p><p>o é. Além disso, para todo u, v ∈ X, temos que</p><p>∥Gu−Gv∥ (1.5.153)</p><p>= ∥(λ0I −A)−1(f + (λ0 − λ)u)− (λ0I −A)−1(f + (λ0 − λ)v)∥</p><p>= ∥(λ0I −A)−1[(λ0 − λ)(u− v)]∥</p><p>≤ ∥(λ0I −A)−1∥ |λ0 − λ| ∥u− v∥.</p><p>- 56 -</p><p>1.5 O Teorema de Lumer-Phillips</p><p>Considerando</p><p>|λ− λ0| 0, podemos escolher r0 suficientemente pequeno de modo que se |λ−λ0| 0. Resulta dáı que se λ ∈ Br0(λ0), (onde Br0(λ0) designa a bola no plano complexo</p><p>centrada em (λ0, 0) e raio r0 > 0) e x ∈ X então (λI −A)−1x ∈ D(A) e pela Proposição 1.41 temos</p><p>∥x∥ = ∥(λI −A)(λI −A)−1x∥ ≥ Reλ∥(λI −A)−1x∥,</p><p>ou seja</p><p>∥(λI −A)−1x∥ ≤ 1</p><p>Reλ</p><p>∥x∥, para todo x ∈ X e λ ∈ Br0(λ0),</p><p>o que prova a continuidade da famı́lia de operadores (λI − A)−1, para todo λ ∈ Br0(λ0). Fica provado,</p><p>então, que (λ0 − r0, λ0 + r0) ⊂ ρ(A) ∩ (0,∞), o que conclui a prova.</p><p>2</p><p>Teorema 1.43 [Teorema de Lumer-Phillips ] Se A ∈ G(1, 0) então</p><p>(i) A é dissipativo relativamente à qualquer aplicação dualidade.</p><p>(ii) Im(λI −A) = X, para todo λ > 0.</p><p>Reciprocamente, se</p><p>(iii) D(A) é denso em X.</p><p>(iv) A é dissipativo relativamente à alguma aplicação dualidade.</p><p>(v) Im(λ0I −A) = X, para algum λ0 > 0.</p><p>Então A ∈ G(1, 0).</p><p>Demonstração: Suponhamos que A ∈ G(1, 0). Logo, A é o gerador infinitesimal de um semigrupo S de</p><p>contrações, ou seja,</p><p>∥S(t)∥ ≤ 1, para todo t ≥ 0. (1.5.155)</p><p>Seja j : X → X ′ uma aplicação dualidade e consideremos x ∈ D(A) e t ≥ 0. Resulta de (1.5.148)</p><p>e (1.5.155) que</p><p>Re ⟨j(x), S(t)x− x⟩</p><p>= Re ⟨j(x), S(t)x⟩ −Re ⟨j(x), x⟩</p><p>≤ | ⟨j(x), S(t)x⟩ | − ∥x∥2</p><p>≤ ∥j(x)∥ ∥S(t)∥ ∥x∥ − ∥x∥2</p><p>≤ ∥x∥2 − ∥x∥2 = 0.</p><p>Desta última desigualdade obtemos</p><p>Re</p><p>⟨</p><p>j(x),</p><p>S(t)x− x</p><p>t</p><p>⟩</p><p>≤ 0, para todo t > 0.</p><p>- 57 -</p><p>1.5 O Teorema de Lumer-Phillips</p><p>Tomando-se o limite quando t→ 0+, tendo em mente que S(t)x−x</p><p>t → Ax quando t→ 0+, obtemos</p><p>Re ⟨j(x), Ax⟩ ≤ 0,</p><p>o que prova o ı́tem (i).</p><p>Por outro lado, de acordo com o Teorema de Hille-Yosida para contrações (Teorema 1.37) inferimos</p><p>(0,∞) ⊂ ρ(A). Resulta dáı que R(λ,A) = (λI−A)−1 existe, é cont́ınuo, e tem por domı́nio todo o espaço</p><p>X, posto que A é fechado , para todo λ > 0, que prova o ı́tem (ii).</p><p>Reciprocamente, seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear que satisfaz os ı́tens (iii), (iv) e (v)</p><p>do teorema em questão. Provaremos que A ∈ G(1, 0). Para isso, lançaremos mão, novamente, do teorema</p><p>de Hille-Yosida para contrações. Provaremos, inicialmente, que</p><p>A é fechado, (1.5.156)</p><p>uma vez que A é densamente definido, por hipótese. Com efeito, de acordo com o ı́tem (iv), A é dissipativo</p><p>em relação à alguma aplicação dualidade j. Pela Proposição 1.41 vem que</p><p>∥(λI −A)x∥ ≥ λ∥x∥, para todo λ > 0 e x ∈ D(A),</p><p>o que prova que {(λI −A)}λ>0 é uma famı́lia de operadores injetivos. Agora de (v) temos que</p><p>Im(λ0I −A) = X,</p><p>para algum λ0 > 0. Neste caso particular, resulta que (λ0I − A) é uma bijeção de D(A) sobre todo o</p><p>espaço X. Resulta dáı que</p><p>(λ0I −A)−1x ∈ D(A), para todo x ∈ X,</p><p>e, novamente pela Proposição 1.41 podemos escrever</p><p>∥(λ0I −A)−1x∥ ≤ 1</p><p>λ0</p><p>∥x∥, para todo x ∈ X,</p><p>ou seja,</p><p>(λ0I −A)−1 ∈ L(X,D(A)) (D(A) munido da topologia de X). (1.5.157)</p><p>Consideremos, então, (xν)ν ⊂ D(A) tal que</p><p>xν → x em X e Axν → y em X, quando ν →∞. (1.5.158)</p><p>De (1.5.158) vem que</p><p>−Axν → −y em X e λ0xν → λ0x em X quando ν →∞,</p><p>de onde resulta que</p><p>(λ0I −A)xν → λ0x− y em X, quando ν →∞. (1.5.159)</p><p>De (1.5.157) e (1.5.159) conclúımos que</p><p>(λ0I −A)−1(λ0I −A)xν → (λ0I −A)−1(λ0x− y) em X quando ν →∞,</p><p>- 58 -</p><p>1.5 O Teorema de Lumer-Phillips</p><p>ou ainda,</p><p>xν → (λ0I −A)−1(λ0x− y) em X quando ν →∞. (1.5.160)</p><p>De (1.5.158) e (1.5.160) pela unicidade do limite resulta que</p><p>x = (λ0I −A)−1(λ0x− y),</p><p>o que mostra que x ∈ D(A). Além disso, desta relação temos também que</p><p>(λ0I −A)x = λ0x− y,</p><p>ou seja, y = Ax, o que prova (1.5.156).</p><p>Para concluir o teorema resta-nos provar que</p><p>Dado λ > 0, tem-se λ ∈ ρ(A) e ∥R(λ,A)∥ 0. Pela Proposição</p><p>1.42 segue que</p><p>Λ é aberto em (0,∞), (1.5.162)</p><p>posto que Λ é um aberto em R contido em (0,∞). Provaremos, a seguir, que</p><p>Λ é fechado em (0,∞). (1.5.163)</p><p>Seja (λν)ν ⊂ Λ tal que</p><p>λν → λ em R, com λ ∈ (0,∞). (1.5.164)</p><p>Como (λν)ν ⊂ ρ(A), então, de (1.5.156) e da Proposição 1.32, temos, para cada ν ∈ N,</p><p>Im(λνI −A) = X. (1.5.165)</p><p>Seja y ∈ X, arbitrário. De (1.5.165) resulta que, para cada ν ∈ N, existe xν ∈ D(A) tal que</p><p>λνxν −Axν = y.</p><p>Pela Proposição 1.41 inferimos</p><p>∥xν∥ ≤</p><p>1</p><p>λν</p><p>∥(λνI −A)xν∥ =</p><p>1</p><p>λν</p><p>∥y∥, (1.5.166)</p><p>posto que λν > 0. De (1.5.164) temos que 1</p><p>λν</p><p>é limitada e de (1.5.166) resulta que existe C > 0 tal que</p><p>∥xν∥ ≤ C, para todo ν ∈ N, (1.5.167)</p><p>onde C é uma constante que depende de y.</p><p>- 59 -</p><p>1.5 O Teorema de Lumer-Phillips</p><p>Sejam ν, µ ∈ N com µ > ν. Temos, pela Proposição 1.41, que</p><p>λµ∥xµ − xν∥ ≤ ∥(λµI −A)(xµ − xν)∥ (1.5.168)</p><p>= ∥λµ(xµ − xν)−A(xµ − xν)∥.</p><p>Contudo, como</p><p>λνxν −Axν = y e λµxµ −Axµ = y,</p><p>então,</p><p>λµxµ − λνxν = Axµ −Axν ,</p><p>o que implica que</p><p>λµ(xµ − xν) + (λµ − λν)xν = A(xµ − xν). (1.5.169)</p><p>De (1.5.168) e (1.5.169) podemos escrever</p><p>λµ∥xµ − xν∥ ≤ |λµ − λν | ∥xν∥,</p><p>e de (1.5.167) deduzimos</p><p>λµ∥xµ − xν∥ ≤ C|λµ − λν |. (1.5.170)</p><p>De (1.5.164), (1.5.170) e do fato que (1/λν) é limitada, resulta que (xν)ν é uma sequência de</p><p>Cauchy em X. Logo, existe x ∈ X tal que</p><p>xν → x em X, quando ν →∞. (1.5.171)</p><p>Segue de (1.5.164) e (1.5.171) que</p><p>λνxν → λx em X, quando ν →∞,</p><p>e, consequentemente,</p><p>Axν = λνxν − y → λx− y em X, quando ν →∞, (1.5.172)</p><p>Assim de (1.5.156), (1.5.171) e (1.5.172) conclúımos que x ∈ D(A) e Ax = λx− y, ou seja,</p><p>(λI −A)x = y. (1.5.173)</p><p>Decorre de (1.5.173) raciocinando conforme fizemos na prova de (1.5.156) que (λI − A)−1 existe</p><p>e é cont́ınuo (usa-se a Proposição 1.41), isto é, λ ∈ ρ(A), o que prova que λ ∈ Λ e consequentemente</p><p>(1.5.163) . De (1.5.162) e (1.5.163) segue que Λ = (0,∞) e como</p><p>Λ = (0,∞) ∩ ρ(A) ⊂ ρ(A),</p><p>resulta que (0,∞) ⊂ ρ(A). Resta-nos provar que</p><p>∥R(λ,A)∥ ≤ 1</p><p>λ</p><p>, para todo λ > 0.</p><p>- 60 -</p><p>1.6 O Teorema de Stone</p><p>De fato, como (0,∞) ⊂ ρ(A) tem-se para todo λ > 0 que Im(λI − A) = X e, portanto, da</p><p>Proposição 1.41 resulta que</p><p>∥R(λ,A)x∥ = ∥(λI −A)−1x∥ ≤ 1</p><p>λ</p><p>∥x∥, para todo x ∈ X,</p><p>o que encerra a prova.</p><p>2</p><p>Observação 1.44 Em termos de operadores m-dissipativos, o Teorema de Lumer-Phillips pode ser re-</p><p>escrito como: Um operador A densamente definido é o gerador infinitesimal de um semigrupo C0 de</p><p>contrações se, e somente se, A é m-dissipativo.</p><p>Observação 1.45 Segue da demonstração do Teorema de Lumer-Phillips que se A é m-dissipativo, então</p><p>Im(λI −A) = X, para todo λ > 0.</p><p>1.5.1 Exerćıcios</p><p>1.5.1) SejamA ∈ G(1, 0) eB dissipativo em relação à alguma aplicação dualidade. SeD(A) ⊂ D(B)</p><p>e existem constantes a e b onde 0 ≤ a</p><p>seguir, o que entendemos</p><p>por um grupo de operadores limitados. No que segue, X representará um espaço de Banach.</p><p>Definição 1.46 Uma função S : R→ L(X) é um grupo de operadores limitados se</p><p>(1) S(0) = I.</p><p>(2) S(t+ s) = S(t)S(s), para todo t, s ∈ R.</p><p>Diz-se que S é de classe C0 se</p><p>(3) lim</p><p>h→0</p><p>∥S(h)x− x∥ = 0, para todo x ∈ X.</p><p>O operador A definido por</p><p>D(A) =</p><p>{</p><p>x ∈ X; lim</p><p>h→0</p><p>S(h)x− x</p><p>h</p><p>existe</p><p>}</p><p>,</p><p>e</p><p>Ax = lim</p><p>h→0</p><p>S(h)x− x</p><p>h</p><p>, para todo x ∈ D(A),</p><p>é dito o gerador infinitesimal de S.</p><p>Antes de passarmos ao Teorema de Stone, faremos algumas considerações preliminares que neces-</p><p>sitaremos posteriormente. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear. Definindo-se</p><p>D(A∗) = {u∗ ∈ X ′; existe v∗ ∈ X ′ que verifica ⟨u∗, Au⟩ = ⟨v∗, u⟩ , para todo u ∈ D(A)},</p><p>é bem sabido que se D(A) é denso em X, então, o v∗ que corresponde ao u∗ é único, o que nos permite</p><p>- 61 -</p><p>1.6 O Teorema de Stone</p><p>defninir o operador adjunto A∗ pondo-se:</p><p>A∗ : D(A∗) ⊂ X ′ → X ′</p><p>u∗ 7→ A∗u∗ = v∗.</p><p>A∗ é claramente linear bem como é fechado. Além disso, se X é um espaço de Banach reflexivo</p><p>e A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear limitado e fechado com D(A) denso em X, então D(A∗) é</p><p>também denso em X. Finalmente, se A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear fechado e densamente</p><p>definido, então as seguintes propriedades são equivalentes:</p><p>(i) D(A) = X.</p><p>(ii) A é cont́ınuo.</p><p>(iii) D(A∗) = X ′.</p><p>(iv) A∗ é cont́ınuo.</p><p>(1.6.174)</p><p>Nestas condições se verifica</p><p>∥A∥L(X) = ∥A∗∥L(X′). (1.6.175)</p><p>Para uma demonstração do resultado acima ver Brézis [14] ou [22].</p><p>Lema 1.47 Seja T : D(T ) ⊂ X → X um operador linear bijetivo cujo domı́nio D(T ) é denso em X. Se</p><p>T−1 é fechado, então existe (T ∗)−1 e (T ∗)−1 = (T−1)∗.</p><p>Demonstração: Como D(T ) = X, então T ∗ está bem definido. Por outro lado, como T bijetivo segue</p><p>que T−1 existe e D(T−1) = X. Portanto, (T−1)∗ também está bem definido. Além disso, como T−1 é</p><p>fechado temos por (1.6.174)(iv) que D((T−1)∗) = X ′. Seja u∗ ∈ D(T ∗) e u ∈ X. Então, da definição de</p><p>operador adjunto, em particular, para v = T ∗u∗, temos⟨</p><p>(T−1)∗T ∗u∗, u</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>T ∗u∗, T−1u</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>u∗, T (T−1u)</p><p>⟩</p><p>= ⟨u∗, u⟩ .</p><p>Da densidade de u∗ ∈ D(T ∗) e u ∈ X, segue que</p><p>(T−1)∗T ∗u∗ = u∗, para todo u∗ ∈ D(T ∗). (1.6.176)</p><p>Por outro lado, seja u∗ ∈ X ′ e u ∈ D(T ). Então,⟨</p><p>(T−1)∗u∗, Tu</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>u∗, T−1(Tu)</p><p>⟩</p><p>= ⟨u∗, u⟩ ,</p><p>de onde resulta que</p><p>(T−1)∗u∗ ∈ D(T ∗) e T ∗(T−1)∗u∗ = u∗, para todo u∗ ∈ X ′. (1.6.177)</p><p>De (1.6.176) e (1.6.177) segue o desejado.</p><p>2</p><p>Proposição 1.48 Seja X um espaço de Banach reflexivo e S um semigrupo de classe C0 com gerador</p><p>infinitesimal A. Então, definindo-se S∗ : R+ → L(X ′) por S∗(t) = [S(t)]</p><p>∗</p><p>, para todo t ∈ R+, temos que</p><p>S∗ é um semigrupo de classe C0 cujo gerador infinitesimal é A∗.</p><p>- 62 -</p><p>1.6 O Teorema de Stone</p><p>Demonstração: Observemos, inicialmente, que S∗ está bem definido pois, como para t ∈ R+, S(t) ∈</p><p>L(X) e D(S(t)) = X, então, por (1.6.174) (iv) temos que [S(t)]∗ ∈ L(X ′). Além disso, sendo X</p><p>um espaço de Banach reflexivo e A fechado e densamente definido, temos pelos ı́tens (ii) e (iii) de</p><p>(1.6.174) que A∗ é fechado e densamente definido. Nosso intuito é usar o Teorema de Hille-Yosida para</p><p>o operador A∗ e, portanto, resta-nos mostrar que existem M,ω ∈ R tais que se λ > ω, então λ ∈ ρ(A∗)</p><p>e ∥R(λ,A∗)n∥ ≤ M</p><p>(λ−ω)n , para todo n ∈ N. Com efeito, temos que se λ ∈ ρ(A) então λ ∈ ρ(A∗), pois</p><p>se λ ∈ ρ(A) então (λI − A)−1 existe como também (λI − A)−1 ∈ L(X). Pelo Lema 1.47 temos que</p><p>[(λI −A)∗]−1 existe e, além disso, que</p><p>[(λI −A)−1]∗ = [(λI −A)∗]−1.</p><p>De (1.6.174) ((iv)) segue que [(λI − A)−1]∗ ∈ L(X ′) e D{[(λI − A)−1]∗} = X ′ posto que D(λI −</p><p>A)−1 = X. Logo, [(λI −A)∗]−1 ∈ L(X ′) e D{[(λI −A)∗]−1} = X ′. Além disso,</p><p>(λI −A)∗ = λI −A∗,</p><p>e portanto λ ∈ ρ(A∗). Como A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, temos pelo</p><p>Teorema de Hille-Yosida que existem constantes reais M,ω tais que se λ > ω, então λ ∈ ρ(A) e, além</p><p>disso,</p><p>∥R(λ,A)n∥ ≤ M</p><p>(λ− ω)n</p><p>, para todo n ∈ N.</p><p>Assim, para o M e ω dados acima, seja λ > ω. Como λ ∈ ρ(A), então λ ∈ ρ(A∗) (pois λ ∈ R) e,</p><p>além disso, do fato que</p><p>(λI −A∗)−1 = [(λI −A)∗]−1 = [(λI −A)−1]∗( note que λ ∈ R),</p><p>e por (1.6.175) resulta que</p><p>∥R(λ,A∗)n∥ = ∥([R(λ,A)]∗)n∥</p><p>= ∥[R(λ,A)n]∗∥</p><p>= ∥R(λ,A)n∥ ≤ M</p><p>(λ− ω)n</p><p>.</p><p>Do exposto acima conclúımos que</p><p>(i) A∗ é fechado e densamente definido.</p><p>(ii) ExistemM e ω constantes reais tais que se λ > ω então λ ∈ ρ(A∗) e, além disso, ∥R(λ,A∗)n∥ ≤</p><p>M</p><p>(λ−ω)n .</p><p>Logo, pelo Teorema de Hille-Yosida, A∗ é o gerador infinitesimal de um semigrupo T de classe C0.</p><p>Pelo Corolário 1.36 podemos escrever</p><p>T (t)x∗ = lim</p><p>λ→∞</p><p>et(λ</p><p>2R(λ,A∗)−λI)x∗, para todo x∗ ∈ X ′.</p><p>Sendo Bλ := λ2R(λ,A)− λI, então, B∗</p><p>λ = (λ2R(λ,A)− λI)∗ = λ2R(λ,A∗)− λI. Logo,</p><p>T (t)x∗ = lim</p><p>λ→∞</p><p>etB</p><p>∗</p><p>λx∗, para todo x∗ ∈ X ′. (1.6.178)</p><p>Lembremos que Bλ ∈ L(X) e, portanto, de (1.6.174) ((iv)) resulta que B∗</p><p>λ ∈ L(X ′).</p><p>- 63 -</p><p>1.6 O Teorema de Stone</p><p>Afirmamos que:</p><p>Se Ln → L em L(X), então , L∗</p><p>n → L∗ em L(X ′) (1.6.179)</p><p>De fato, tem-se por (1.6.175)</p><p>∥L∗</p><p>n − L∗∥L(X′) = ∥(Ln − L)∗∥L(X′) = ∥Ln − L∥L(X),</p><p>o que prova (1.6.179).</p><p>Logo, para t ≥ 0</p><p>Tλ,n(t) =</p><p>n∑</p><p>i=0</p><p>(tBλ)</p><p>i</p><p>i!</p><p>→ Sλ(t) = etBλ quando n→∞,</p><p>donde por (1.6.179),</p><p>T ∗</p><p>λ,n(t) =</p><p>(</p><p>n∑</p><p>i=0</p><p>(tBλ)</p><p>i</p><p>i!</p><p>)∗</p><p>→ [Sλ(t)]</p><p>∗ =</p><p>(</p><p>etBλ</p><p>)∗</p><p>quando n→∞. (1.6.180)</p><p>Por outro lado,</p><p>T ∗</p><p>λ,n(t) =</p><p>n∑</p><p>i=0</p><p>(tB∗</p><p>λ)</p><p>i</p><p>i!</p><p>→ Tλ(t) = etB</p><p>∗</p><p>λ quando n→∞. (1.6.181)</p><p>Como</p><p>Tλ(t) = etB</p><p>∗</p><p>λ → T (t) quando λ→∞</p><p>e</p><p>[Sλ(t)]</p><p>∗ → [S(t)]∗ quando λ→∞</p><p>segue, por unicidade de limite que [S(t)]∗ = T (t), t ≥ 0.</p><p>2</p><p>Proposição 1.49 Para que um operador linear A de um espaço de Banach X seja o gerador infinitesimal</p><p>de um grupo S de classe C0 é necessário e suficiente que A e −A sejam geradores infinitesimais de</p><p>semigrupos de classe C0.</p><p>Demonstração: Suponhamos, inicialmente, que A seja o gerador infinitesimal de um grupo S de classe</p><p>C0. A restrição de S à R+, que denotaremos por S+, é, obviamente, um semigrupo de classe C0, cujo</p><p>gerador infinitesimal é A. O mesmo ocorre com a aplicação S− : R+ → L(X) definida por S−(t) = S(−t),</p><p>que tem −A por gerador infinitesimal o que prova a necessidade.</p><p>Reciprocamente, suponhamos que A e −A são, respectivamente, os geradores infinitesimais de</p><p>semigrupos de classe C0, digamos S+ e S−. Pelo Corolário 1.36 temos para todo x ∈ X:</p><p>S+(t)x = lim</p><p>λ→∞</p><p>etBλx e S−(t)x = lim</p><p>λ→∞</p><p>etB̃λx, (1.6.182)</p><p>onde</p><p>Bλ = λ2R(λ,A)− λI, λ > ω > ω0 = lim</p><p>t→∞</p><p>ln ∥S+(t)∥</p><p>t</p><p>,</p><p>B̃λ = λ2R(λ,−A)− λI, λ > ω > ω̃0 = lim</p><p>t→∞</p><p>ln ∥S−(t)∥</p><p>t</p><p>,</p><p>são as aproximações de Yosida de A e −A, respectivamente. Agora, em virtude de R(λ,A) comutar com</p><p>R(µ,−A), para λ, µ > ω > max{ω0, ω̃0} resulta que</p><p>etBλetB̃µx = etB̃µetBλx, para todo x ∈ X e λ, µ suficientemente grandes.</p><p>- 64 -</p><p>1.6 O Teorema de Stone</p><p>Fixado µ nas condições acima, resulta de (1.6.182) e do fato que etB̃µ ∈ L(X), na situação limite</p><p>quando λ→∞, que</p><p>S+(t)e</p><p>tB̃µx = etB̃µS+(t)x.</p><p>Tomando, agora, o limite quando µ → ∞ na última identidade e observando que S+(t) ∈ L(X),</p><p>obtemos</p><p>S+(t)S−(t)x = S−(t)S+(t)x, para todo x ∈ X e t ≥ 0. (1.6.183)</p><p>Definindo</p><p>T (t) = S+(t)S−(t), t ≥ 0, (1.6.184)</p><p>resulta imediatamente que T é um semigrupo de classe C0 uma vez que S+ e S− o são e verificam</p><p>(1.6.183). Designando por B o gerador infinitesimal de T , afirmamos que:</p><p>D(A) ⊂ D(B) e Bx = 0, para todo x ∈ D(A). (1.6.185)</p><p>Com efeito, seja x ∈ D(A) e h > 0. De (1.6.184) vem que</p><p>T (h)x− x</p><p>h</p><p>=</p><p>S+(h)S−(h)x− x</p><p>h</p><p>(1.6.186)</p><p>=</p><p>S+(h)S−(h)x− S+(h)x+ S+(h)x− x</p><p>h</p><p>= S+(h)</p><p>[</p><p>S−(h)x− x</p><p>h</p><p>]</p><p>+</p><p>S+(h)x− x</p><p>h</p><p>.</p><p>Tomando o limite em (1.6.186) quando h→ 0+, obtemos</p><p>lim</p><p>h→0+</p><p>T (h)x− x</p><p>h</p><p>= −Ax+Ax = 0,</p><p>o que prova (1.6.185). Consideremos, agora, x ∈ D(B). Como D(A) é denso em X, existe (xn)n ⊂ D(A)</p><p>tal que xν → x em X. Mas, de (1.6.185) resulta que Bxν = 0, para todo ν ∈ N, e, portanto, Bxν → 0</p><p>quando ν →∞. Sendo B fechado, inferimos que Bx = 0, ou seja,</p><p>Bx = 0, para todo x ∈ D(B). (1.6.187)</p><p>Contudo, da Proposição 1.30(iii), temos, para todo x ∈ X:∫ t</p><p>0</p><p>T (s)x ds ∈ D(B),</p><p>t ≥ 0,</p><p>e</p><p>T (t)x− x = B</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>T (s) ds. (1.6.188)</p><p>De (1.6.187) e (1.6.188) resulta que T (t)x = x, para todo x ∈ X e t ≥ 0, ou seja,</p><p>T (t) = I, para todo t ≥ 0. (1.6.189)</p><p>- 65 -</p><p>1.6 O Teorema de Stone</p><p>Segue de (1.6.183), (1.6.184) e (1.6.189) que</p><p>S+(t)S−(t) = S−(t)S+(t) = I. (1.6.190)</p><p>A identidade (1.6.190) nos mostra que S+(t) é inverśıvel e</p><p>(S+(t))</p><p>−1</p><p>= S−(t), para todo t ≥ 0. (1.6.191)</p><p>Definamos</p><p>S(t) =</p><p>{</p><p>S+(t), t ≥ 0</p><p>S−(−t), t 0 existe S(t0)</p><p>−1 e S(t0)</p><p>−1 ∈ L(X), então, existe S(t)−1, para todo t ≥ 0 e S(t)−1 ∈ L(X).</p><p>Demonstração: Suponhamos que exista t0 > 0 tal que S(t0)</p><p>−1 existe e S(t0)</p><p>−1 ∈ L(X). Então S(t0) é</p><p>bijetor e cont́ınuo. Logo, para cada n ∈ N, [S(t0)]n é bijetor e cont́ınuo, mas como</p><p>S(nt0) = S(t0 + · · ·+ t0︸ ︷︷ ︸</p><p>n parcelas</p><p>) = S(t0) · · ·S(t0)︸ ︷︷ ︸</p><p>n fatores</p><p>= [S(t0)]</p><p>n. (1.6.196)</p><p>resulta que S(nt0) é bijetor e cont́ınuo. Consideremos, agora, t > 0. Logo, existe n ∈ N tal que nt0 > t.</p><p>Seja x ∈ X e tal que S(t)x = 0. Logo,</p><p>S(nt0)x = (S(nt0 − t)S(t))x = S(nt0 − t)(S(t)x) = 0,</p><p>e pela injetividade de S(nt0) resulta que x = 0, ou seja, N(S(t)) ⊂ {0}, o que prova a injetividade de</p><p>S(t) para todo t ≥ 0 ( o caso t = 0 é trivial). Além disso, pela sobrejetividade de S(nt0) temos</p><p>X = S(nt0)X = (S(t)S(nt0 − t))X = S(t)(S(nt0 − t)X︸ ︷︷ ︸</p><p>=Y</p><p>).</p><p>Assim, S(t)Y = X, onde Y = S(nt0 − t)X, ou seja, X ⊂ S(t)X ⊂ X, o que prova que S(t)X = X</p><p>e, portanto, temos a sobrejetividade de S(t) para todo t ≥ 0. Assim, S(t) é bijetivo para todo t ≥ 0, e,</p><p>portanto, inverśıvel, para todo t ≥ 0. Além disso, pelo fato de S(t) ∈ L(X), para todo t ≥ 0, resulta que</p><p>S(t)−1 é fechado, para todo t ≥ 0. (1.6.197)</p><p>Com efeito, seja (xn)n ⊂ D(S(t)−1) = X tal que</p><p>xn → x e S(t)−1xn → y, quando n→∞. (1.6.198)</p><p>Resta-nos provar que y = S(t)−1x. De fato, pela sobrejetividade de S(t) temos que para cada</p><p>n ∈ N, xn = S(t)yn e, assim, de (1.6.198) inferimos</p><p>S(t)yn → x e yn = S(t)−1(S(t)yn)→ y quando n→∞. (1.6.199)</p><p>Da continuidade de S(t) de (1.6.199) vem que</p><p>S(t)yn → S(t)y quando n→∞, (1.6.200)</p><p>e pela unicidade do limite de (1.6.199) e (1.6.200) resulta que S(t)y = x, ou seja, y = S(t)−1x, o que</p><p>prova (1.6.197). Mais ainda, que S(t)−1 ∈ L(X), para todo t ≥ 0, o que conclui a prova.</p><p>2</p><p>Proposição 1.51 Sejam X um espaço de Banach e S um semigrupo de classe C0 com gerador infinite-</p><p>simal A. Se para algum t0 > 0 existe S(t0)</p><p>−1 e S(t0)</p><p>−1 ∈ L(X), então A é o gerador infinitesimal de</p><p>um grupo de classe C0.</p><p>Demonstração: Como A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, pela Proposição 1.49</p><p>- 67 -</p><p>1.6 O Teorema de Stone</p><p>basta mostrarmos que −A também é o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0. De fato, pela</p><p>Proposição 1.50 temos que para todo t ≥ 0, S(t) é inverśıvel e S(t)−1 ∈ L(X). Definimos</p><p>T : R+ → L(X) (1.6.201)</p><p>t 7→ T (t) = [S(t)]−1.</p><p>Provaremos, a seguir, que a aplicação (1.6.201) é um semigrupo de classe C0 cujo gerador infinite-</p><p>simal é −A. Com efeito,</p><p>(i) T (0) = [S(0)]−1 = I.</p><p>(ii) T (s+ t) = [S(t+ s)]−1 = [S(s)S(t)]−1</p><p>= [S(t)]−1[S(s)]−1 = T (t)T (s), para todo t, s ∈ R+.</p><p>Resta-nos provar que:</p><p>(iii) lim</p><p>h→0+</p><p>∥T (h)x− x∥ = 0, para todo x ∈ X.</p><p>Seja x ∈ X e r > 1. Como S(t) é inverśıvel e S(t)−1 ∈ L(X) para todo t ≥ 0, temos que S(t) é</p><p>bijetivo para todo t ≥ 0. Portanto, S(t)X = X, para todo t ≥ 0 e, consequentemente, existe y ∈ X tal</p><p>que S(r)y = x. Seja 0 0, então</p><p>- 69 -</p><p>1.6 O Teorema de Stone</p><p>−A gera um semigrupo de classe C0</p><p>T : R+ → L(X) (1.6.208)</p><p>t 7→ T (t) = (S(t))−1.</p><p>Agora, conforme Proposição 1.49, A gera o grupo U : R→ L(X) definido por</p><p>U(t) =</p><p>{</p><p>S(t); t ≥ 0,</p><p>T (−t) = (S(−t))−1; t 0 e dáı S1(−ξ) = S2(−ξ), ou seja, S1(t) = S2(t), o que implica S1 = S2.</p><p>2</p><p>Definição 1.54 Dizemos que um operador T ∈ L(H), onde H é um espaço de Hilbert, é unitário se T</p><p>é inverśıvel e T ∗ = T−1.</p><p>Observação 1.55 Notemos que se D(T ) = H e</p><p>T é cont́ınuo então existe T ∗ e T ∗ ∈ L(H). Além disso,</p><p>se T é unitário, T−1 = T ∗ ∈ L(H). Mais ainda,</p><p>∥Tx∥2 = (Tx, Tx)</p><p>= (x, T ∗Tx)</p><p>= (x, T−1Tx) = ∥x∥2,</p><p>isto é,</p><p>∥Tx∥ = ∥x∥, para todo x ∈ H. (1.6.210)</p><p>Logo, os operadores unitários são isometrias. Também, como x = TT−1x de (1.6.210) resulta que</p><p>∥x∥ = ∥TT−1x∥ = ∥T−1x∥,</p><p>e, portanto,</p><p>∥T−1x∥ = ∥x∥, para todo x ∈ H, (1.6.211)</p><p>ou ainda,</p><p>∥T ∗x∥ = ∥x∥, para todo x ∈ H. (1.6.212)</p><p>Assim, se T : H → H é unitário, T, T−1 e T ∗ são isometrias.</p><p>- 70 -</p><p>1.6 O Teorema de Stone</p><p>Definição 1.56 Dizemos que um grupo S de operadores lineares e limitados de um espaço de Hilbert H</p><p>é um grupo unitário se, para cada t ≥ 0, S(t) é um operador unitário, isto é, S(t)∗ = S(t)−1, para todo</p><p>t ≥ 0.</p><p>Teorema 1.57 [ Teorema de Stone ] Um operador linear A de um espaço de Hilbert H é o gerador</p><p>infinitesimal de um grupo unitário de classe C0 se e, só se, A∗ = −A.</p><p>Demonstração: Seja A o gerador infinitesimal de um grupo unitário S de classe C0. Pela Proposição</p><p>1.49 A e −A geram, respectivamente, semigrupos S+ e S− de classe C0. Sendo S um grupo unitário</p><p>S(t)−1 existe e S(t)−1 ∈ L(H). Então pela Proposição 1.48 vem que A∗ é o gerador infinitesimal de S∗</p><p>+</p><p>onde S∗</p><p>+ = (S+(t))</p><p>∗, para todo t ≥ 0. Segue dáı e do fato que S é unitário que se h > 0 temos</p><p>S∗</p><p>+(h) = (S+(h))</p><p>∗ = (S(h))∗ = (S(h))−1 = S(−h) = S−(h),</p><p>pois I = S(t)S(−t) = S(−t)S(t), para todo t ≥ 0. Logo,</p><p>S∗</p><p>+(h)x− x</p><p>h</p><p>=</p><p>S−(h)x− x</p><p>h</p><p>, para todo x ∈ H, (1.6.213)</p><p>o que implica D(A∗) = D(−A) e A∗x = −Ax, o que prova a necessidade.</p><p>Provemos a suficiência. Para tal seja A um operador linear de H tal que A∗ existe e verifique a</p><p>condição</p><p>A∗ = −A. (1.6.214)</p><p>Provaremos, a seguir, que A e −A são geradores infinitesimais de semigrupos de classe C0. Para</p><p>isso, utilizaremos o Teorema de Lumer-Phillips. Da existência de A∗ decorre que A e −A são densamente</p><p>definidos. Provaremos que</p><p>Re(±Ax, x) = 0, para todo x ∈ D(A). (1.6.215)</p><p>De fato, seja x ∈ D(A). De (1.6.214) vem que</p><p>(Ax, x) = (x,A∗x) = (x,−Ax) = −(x,Ax) = −(Ax, x),</p><p>donde</p><p>Re(Ax, x) = 0, para todo x ∈ D(A),</p><p>o que prova (1.6.215) e, portanto fica provado que A e−A são dissipativos em relação à aplicação dualidade</p><p>j = I. Resta-nos provar que existe λ0 > 0 tal que Im(λ0I ±A) = H. Com efeito, seja x ∈ D(A). Temos,</p><p>((I ±A)x, x) = ∥x∥2 ± (Ax, x).</p><p>Desta última identidade e de (1.6.215) resulta que</p><p>∥x∥2 = Re((I ±A)x, x) ≤ ∥x±Ax∥ ∥x∥,</p><p>o que implica</p><p>∥x∥ ≤ ∥x±Ax∥, para todo x ∈ D(A). (1.6.216)</p><p>- 71 -</p><p>1.6 O Teorema de Stone</p><p>Conforme sabemosA∗ é um operador fechado. Resulta de (1.6.214) que±A são igualmente fechados</p><p>e, por conseguinte, (I ±A) também o são. Afirmamos que:</p><p>Im(I ±A) são conjuntos fechados em H. (1.6.217)</p><p>Com efeito, seja (yν)ν ⊂ Im(I ±A) tal que</p><p>yν → y em H quando ν →∞. (1.6.218)</p><p>Ora, para cada ν ∈ N, existem xν , ων ∈ D(A) tais que</p><p>yν = (I +A)xν e yν = (I −A)ων .</p><p>Demonstraremos para o operador I + A, pois para o operador I − A segue de maneira análoga.</p><p>Mas de (1.6.216) resulta que se ν, µ ∈ N, temos</p><p>∥xν − xµ∥ ≤ ∥(I +A)xν − (I +A)xµ∥ = ∥yν − yµ∥.</p><p>De (1.6.218) vem que a expressão à direita da última desigualdade converge para zero quando</p><p>ν, µ→∞. Logo, (xν)ν é uma sequência de Cauchy em H e portanto existe x ∈ H tal que</p><p>xν → x em H quando ν →∞. (1.6.219)</p><p>Mas de (1.6.218) temos também que</p><p>(I +A)xν → y em H quando ν →∞. (1.6.220)</p><p>Sendo (I + A) fechado, de (1.6.219) e (1.6.220) conclúımos que x ∈ D(A) e y = (I + A)x, o que</p><p>prova que y ∈ Im(I + A) e consequentemente (1.6.217). Resulta dáı e do fato que H é um espaço de</p><p>Hilbert que</p><p>H = Im(I +A)⊕ [Im(I +A)]⊥. (1.6.221)</p><p>Afirmamos que</p><p>[Im(I +A)]⊥ = {0}. (1.6.222)</p><p>Com efeito, lembremos que</p><p>[Im(I +A)]⊥ = {y ∈ H; (y, x+Ax) = 0, para todo x ∈ D(A)}.</p><p>Consideremos, então, y ∈ [Im(I +A)]⊥. Logo,</p><p>(y, x) = (y,Ax), para todo x ∈ D(A). (1.6.223)</p><p>Da identidade (1.6.223) resulta que ±y ∈ D(A∗) e como D(A) = D(A∗) de (1.6.215) e (1.6.223)</p><p>resulta, fazendo y = x, que</p><p>∥y∥2 = Re(y,Ay) = 0,</p><p>ou seja, y = 0, o que prova (1.6.222) uma vez que trivialmente 0 ∈ [Im(I +A)]⊥. Resulta de (1.6.221) e</p><p>- 72 -</p><p>1.6 O Teorema de Stone</p><p>(1.6.222) que</p><p>H = Im(I +A). (1.6.224)</p><p>De (1.6.215) e (1.6.224) e do fato que D(A) = D(−A) é denso em H resulta, em virtude do</p><p>Teorema de Lumer-Phillips que A e −A são, respectivamente, os geradores infinitesimais dos semigrupos</p><p>de contração S+ e S− de classe C0. Pela Proposição 1.49 resulta então que A gera o grupo S dado por</p><p>S(t) =</p><p>{</p><p>S+(t); t ≥ 0,</p><p>S−(−t); t ω > M0 = max{ω0, ω̃0},</p><p>onde</p><p>ω0 = lim</p><p>t→+∞</p><p>log ∥S+(t)∥</p><p>t</p><p>e ω̃0 = lim</p><p>t→+∞</p><p>log ∥S−(t)∥</p><p>t</p><p>.</p><p>- 73 -</p><p>1.6 O Teorema de Stone</p><p>Dados λ, µ > ω > M0, prove que</p><p>R(µ,−A)R(λ,A) = R(λ,A)R(µ,−A).</p><p>1.6.2) Prove que para que A seja o gerador infinitesimal de um grupo de classe C0 é necessário e</p><p>suficiente que A seja fechado, densamente definido e existam números reais ω e M tais que se λ ∈ R e</p><p>|λ| > ω então λ ∈ ρ(A) e</p><p>∥R(λ,A)n∥ ≤ M</p><p>(|λ| − ω)n</p><p>.</p><p>1.6.3) Seja A o gerador infinitesimal de uma semigrupo de classe C0 satisfazendo ∥T (t)∥ ≤Meωt.</p><p>Mostre que ∀λ ∈ C tal que Reλ > ω, λ ∈ ρ(A) e</p><p>∥R(λ;A)n∥ ≤ M</p><p>(Reλ− ω)n</p><p>;n = 1, 2, 3, ...</p><p>Solução:</p><p>Definamos R(λ)x =</p><p>∫ +∞</p><p>0</p><p>e−λtT (t)xdt. Como ∥T (t)∥ ≤ Meωt, R(λ) está bem definido ∀λ tal que</p><p>Reλ > ω. Usando argumentos semelhantes aos utilizados na demonstração do Teorema de Hille-Yosida</p><p>decorre que: R(λ) = R(λ,A)⇒ λ ∈ ρ(A). Donde, se Reλ > ω então,</p><p>d</p><p>dλ</p><p>R(λ,A)x =</p><p>d</p><p>dλ</p><p>∫ +∞</p><p>0</p><p>e−λtT (t)xdt =</p><p>∫ +∞</p><p>0</p><p>te−λtT (t)xdt</p><p>Procedendo por indução podemos mostrar que</p><p>d</p><p>dλ</p><p>R(λ,A)x =</p><p>d</p><p>dλ</p><p>∫ +∞</p><p>0</p><p>e−λtT (t)xdt =</p><p>∫ +∞</p><p>0</p><p>te−λtT (t)xdt (1.6.228)</p><p>Por outro lado, R(λ,A)− R(µ,A) = (µ− λ)R(λ,A)R(µ,A) e do fato que para λ ∈ ρ(A), λ 7→ R(λ,A) é</p><p>holomorfa e portanto,</p><p>d</p><p>dλ</p><p>R(λ,A)x = −R(λ,A)2 (1.6.229)</p><p>Novamente, por indução, temos:</p><p>dn</p><p>dλn</p><p>R(λ,A)x = (−1)nn!R(λ,A)n+1. (1.6.230)</p><p>De (1.6.228) e (1.6.230) obtemos:</p><p>R(λ,A)n+1x =</p><p>1</p><p>n!</p><p>∫ +∞</p><p>0</p><p>tne−λtT (t)xdt.</p><p>Assim</p><p>∥R(λ;A)n∥ ≤ M</p><p>(n− 1)!</p><p>∫ +∞</p><p>0</p><p>tn−1e(ω−Reλ)t∥x∥dt = M</p><p>(ω −Reλ)n</p><p>∥x∥</p><p>1.6.4) Seja B um operador limitado. Se γ > ∥B∥, prove que,</p><p>etB =</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫ γ+i∞</p><p>γ−i∞</p><p>eλtR(λ;B) dλ.</p><p>(sugestão: Escolha γ > r > ∥B∥ e considere Cr o ćırculo de raio r centrado na origem. Observe que para</p><p>- 74 -</p><p>1.6 O Teorema de Stone</p><p>|λ| > r tem-se</p><p>R(λ;B) =</p><p>∞∑</p><p>k=0</p><p>Bk</p><p>λk+1</p><p>.</p><p>Multiplique a última identidade por (1/2πi)eλt, integre sobre Cr e conclua aplicando o Teorema de</p><p>Cauchy.)</p><p>A convergência acima é no sentido da topologia uniforme em t em intervalos limitados.</p><p>1.6.5) Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo T (t) de classe C0 satisfazendo ∥T (t)∥ ≤</p><p>Meωt. Seja µ um número real, µ > ω ≥ 0, e, consideremos</p><p>Aµ = µAR(µ;A) = µ2R(µ;A)− µI,</p><p>a aproximação de Yosida de A. Prove que:</p><p>(i) Para Reλ > ωµ/(µ− λ) temos:</p><p>R(λ;Aµ) = (λ+ µ)−1(µI −A)R</p><p>(</p><p>µλ</p><p>µ+ λ</p><p>;A</p><p>)</p><p>e</p><p>∥R(λ;Aµ)∥ ≤M</p><p>(</p><p>Reλ− ωµ</p><p>µ− ω</p><p>)−1</p><p>.</p><p>(sugestão: Multiplique a identidade acima por λI−Aµ e use a comutatividade de A e seu resolvente para</p><p>concluir o desejado. Para provar a desigualdade note que Aµ é o gerador infinitesimal de etAµ e use o</p><p>Corlolário 1.36).</p><p>(ii) Para Reλ > ε+ ωµ/(µ− ω) e µ > 2ω, existe uma constante C, dependente somente de M e ε</p><p>tal que</p><p>para todo x ∈ D(A),</p><p>∥R(λ;Aµ)x∥ ≤</p><p>C</p><p>|λ|</p><p>(∥x∥+ ∥Ax∥).</p><p>1.6.6) Seja A como no exerćıcio 1.6.4, λ = γ + iη onde γ > ω + ε é fixado. Prove que para todo</p><p>x ∈ X, temos</p><p>lim</p><p>µ→∞</p><p>R(λ;Aµ)x = R(λ;A)x,</p><p>e para todo Y > 0, o limite é uniforme em η para |η| ≤ Y. (sugestão: Tome ν = µλ/(µ+ λ). Use o ı́tem</p><p>(i) do exerćıcio 1.6.5 de modo a concluir que R(λ;Aµ) − R(λ;A) = (µ + λ)−1A2R(ν;A)R(λ;A). Para</p><p>γ > ω + ε use o Teorema de Hille-Yosida para concluir que ∥R(λ;A)∥ ≤ Mε−1. A partir dáı conclua o</p><p>desejado incialmente para elementos de D(A2) e por densidade para todo x ∈ X.)</p><p>1.6.7) Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo T (t) de classe C0 verificando ∥T (t)∥ ≤Meωt</p><p>and considere γ > max(0, ω). Se x ∈ D(A), prove que∫ t</p><p>0</p><p>T (s)x ds =</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫ γ+i∞</p><p>γ−i∞</p><p>eλtR(λ;A)x</p><p>dλ</p><p>λ</p><p>,</p><p>e a integral do lado direito da identidade converge uniformemente em t em intervalos limitados. (sugestão:</p><p>Tome µ > 0 e para δ > ∥Aµ∥ considere ρk(s) = 1</p><p>2πi</p><p>∫ δ+ik</p><p>δ−ik</p><p>eλsR(λ;Aµ)x dλ. Usando o exerćıcios 1.6.3</p><p>conclua que ρk(t)→ etAµx uniformemente em [0, T ] bem como limk→∞</p><p>∫ δ+ik</p><p>δ−ik</p><p>R(λ;Aµ)x</p><p>dλ</p><p>λ = 0. Conclua,</p><p>então,</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>esAµx ds = 1</p><p>2πi</p><p>∫ γ+i∞</p><p>γ−i∞ eλtR(λ;A)xdλ</p><p>λ . Para concluir o exerćıcio utilize os exerćıcios 1.6.4(ii) e</p><p>1.6.5 juntamente com o Teorema de Hille-Yosida.)</p><p>- 75 -</p><p>1.7 Semigrupos Diferenciáveis</p><p>1.6.8) Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo T (t) de classe C0 verificando ∥T (t)∥ ≤Meωt.</p><p>Considere γ > max(0, ω). Se x ∈ D(A2) prove que</p><p>T (t)x =</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫ γ+i∞</p><p>γ−i∞</p><p>eλtR(λ;A)x dλ.</p><p>(sugestão: use o exerćıcio 1.6.7)</p><p>1.7 Semigrupos Diferenciáveis</p><p>Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo de clase C0 S. Conforme provado na Proposição</p><p>1.30 se x ∈ D(A), então S(t)x ∈ D(A), para todo t ≥ 0, e, portanto, S(t)D(A) ⊂ D(A), para todo t ≥ 0.</p><p>Essa propriedade não é, em geral, válida para todo x ∈ X porque se S(t)X ⊂ D(A), para todo t ≥ 0</p><p>resulta que X = IX = S(0)X ⊂ D(A), ou seja, D(A) = X e, assim, de acordo com o Teorema do Gráfico</p><p>Fechado, A é um operador linear limitado recaindo-se no caso particular da convergência uniforme , já</p><p>estudada anteriormente (veja Teorema 1.19). Isto não acontece, contudo, se S(t)X ⊂ D(A), apenas para</p><p>t > 0 e, de um modo geral, apenas para t > t0 ≥ 0. É esse caso particular que vamos considerar agora.</p><p>Definição 1.58 Diz-se que um semigrupo S de classe C0, com gerador infinitesimal A, é</p><p>diferenciável para t > t0 ≥ 0 se S(t)X ⊂ D(A) para todo t > t0. Diz-se que S é diferenciável se S é</p><p>diferenciável para t > 0.</p><p>Teorema 1.59 Seja S um semigrupo diferenciável para t > t0 ≥ 0. Então</p><p>(i) O operador A ◦ S(t) é cont́ınuo em x, para t > t0.</p><p>(ii) A função S(t)x é continuamente diferenciável para todo t > t0 e para todo x ∈ X. Além disso,</p><p>d</p><p>dt</p><p>S(t)x = AS(t)x.</p><p>(iii) Para todo t > nt0, n = 1, 2, · · · , temos S(t) : X → D(An) e definindo S(n) por S(n)(t) = An ◦ S(t),</p><p>temos que S(n) é um operador linear e cont́ınuo, S(n)(t)x = dn</p><p>dtnS(t)x para todo x ∈ X e a aplicação</p><p>t 7→ S(t)x é n vezes continuamente diferenciável.</p><p>(iv) Para t > nt0, n = 1, 2, · · · , S(n−1)(t) é cont́ınuo na topologia uniforme, onde S(0)(t) = S(t).</p><p>Demonstração:</p><p>(i) Notemos inicialmente que pelo fato de S(t)X ⊂ D(A) fica bem definida a composição A ◦ S(t)</p><p>para t > t0. Sendo o operador S(t) limitado e A fechado (veja Proposição 1.31) resulta que A ◦ S(t) é</p><p>fechado para t > t0 e pelo Teorema do Gráfico Fechado segue que A ◦ S(t) é cont́ınuo para t > t0.</p><p>(ii) Temos, por hipótese, que S(t)x ∈ D(A) para todo t > t0 e para todo x ∈ X. Portanto, seja</p><p>x ∈ X. Para todo t > t0 existe o limite</p><p>lim</p><p>h→0+</p><p>S(h)S(t)x− S(t)x</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0+</p><p>S(t+ h)x− S(t)x</p><p>h</p><p>= AS(t)x,</p><p>ou seja, S(t)x é derivável à direita para todo t > t0 e, além disso,</p><p>d+</p><p>dt</p><p>S(t)x = AS(t)x.</p><p>O nosso intuito é usar o Lema de Dini (Exerćıcio 1.3.4) e para tal resta-nos provar que AS(·)x é</p><p>cont́ınua para todo t > t0. Com efeito, seja t > t0 e tomemos s tal que t > s > t0. Então, pelo ı́tem (i),</p><p>- 76 -</p><p>1.7 Semigrupos Diferenciáveis</p><p>AS(s) é um operador limitado e, como</p><p>AS(t) = AS(s)S(t− s),</p><p>tem-se, para 0 t0. Resulta do exposto acima em</p><p>vista do Lema de Dini (veja exerćıcio 1.3.4), que S(t)x é continuamente diferenciável para todo t > t0 e,</p><p>d</p><p>dt</p><p>S(t)x = AS(t)x.</p><p>(iii) e (iv) Usaremos indução sobre n para provarmos esse itens. De fato, do item (i) segue que</p><p>S(1)(t) = AS(t) é cont́ınua, para t > t0. Além disso, do item (ii) temos que a aplicação S(t)x é diferen-</p><p>ciável em t, para t > t0, e</p><p>d</p><p>dt</p><p>S(t)x = AS(t)x = S(1)(t)x, t > t0. Resta-nos provar que S(0)(t) = S(t) é</p><p>cont́ınua na topologia uniforme, para t > t0. Com efeito, temos que ∥S(t)∥ ≤M1, para 0 ≤ t ≤ 1 e sejam</p><p>t0 (n+1)t0 e tomemos s > nt0</p><p>tal que t− s > t0. Então,</p><p>S(n)(t)x = AnS(t)x = AnS(t− s)S(s)x = S(t− s)AnS(s)x, ∀x ∈ X (veja que S(s)x ∈ D(An)).</p><p>Pelo item (ii) segue que o lado direito da igualdade acima é diferenciável e, portanto, S(t)x é (n + 1)</p><p>vezes diferenciável. Além disso,</p><p>d</p><p>dt</p><p>Sn(t)x =</p><p>d</p><p>dt</p><p>S(t− s)AnS(s)x = AS(t− s)AnS(s)x;∀x ∈ X.</p><p>Como S(t − s)AnS(s)x = AnS(t)x, decorre que</p><p>d</p><p>dt</p><p>S(n)(t)x = An+1S(t)x = S(n+1)(t)x. Portanto</p><p>S(n+1)(t)x =</p><p>dn+1</p><p>dtn+1</p><p>S(t)x,∀x ∈ X. Também, S(n)(t)x ∈ D(A),∀t > (n + 1)t0 e como S(n)(t) é um</p><p>operador limitado e A é fechado, segue que S(n+1)(t) = AS(n)(t) é fechado. Pelo Teorema do Gráfico</p><p>Fechado decorre que S(n+1)(t);X → D(An+1) é cont́ınua.</p><p>Para finalizar a demonstração, basta provarmos que S(n)(t) é cont́ınua na topologia uniforme. De</p><p>fato, temos que ∥S(n)(t)∥ ≤M, para 0 ≤ t ≤ 1 e nt0 0, e satisfazendo</p><p>a Proposição 1.33.</p><p>Seja A um operador densamente definido de um espaço de Banach X satisfazendo as seguintes</p><p>condições:</p><p>Para algum 0 0 na topologia uniforme.</p><p>- 78 -</p><p>1.8 Semigrupos Anaĺıticos</p><p>Antes de passarmos a prova do Teorema 1.62 precisamos de alguns resultados auxiliares que pas-</p><p>samos a considerar. Seja 0 0 e 0 0,</p><p>I , t = 0,</p><p>(1.8.233)</p><p>onde γ(r, δ′) = γ1(r, δ</p><p>′) ∪ γ2(r, δ′) ∪ γ3(r, δ′) é a curva C1 por partes definida por</p><p>γ1(r, δ</p><p>′) = {ρei(π/2+δ′); ρ ∈ [r,+∞)},</p><p>γ2(r, δ</p><p>′) = {reiβ ;−π</p><p>2</p><p>− δ′ ≤ β ≤ π</p><p>2</p><p>+ δ′},</p><p>γ3(r, δ</p><p>′) = {−ρe−i(π/2+δ′); ρ ∈ [r,+∞)},</p><p>(1.8.234)</p><p>orientada no sentido positivo, como na figura 1.1:</p><p>Figura 1.1:</p><p>Lema 1.63 Se A verifica (1.8.231) e (1.8.232), então, o operador S(t) dado em (1.8.233) está bem</p><p>definido e é independente de r > 0 e de 0 0, r > 0 e δ′ > 0 tal que 0 0.</p><p>Analogamente, para λ ∈ γ3(r, δ) se x ̸= 0 obtemos∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>γ3(r,δ)</p><p>etλR(λ,A)dλ</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣ ≤ C1, para t > 0. (1.8.238)</p><p>Para o caso em que λ ∈ γ2(r, δ) observamos que∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>γ2(r,δ)</p><p>etλR(λ,A)dλ</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣ (1.8.239)</p><p>≤M</p><p>∫ δ</p><p>δ′</p><p>|etre</p><p>iβ</p><p>| 1</p><p>|reiβ |</p><p>|ir′eiβ |dβ</p><p>≤M</p><p>∫ 2π</p><p>0</p><p>etr cos βdβ ≤M2πetr.</p><p>Assim, de (1.8.237), (1.8.238) e (1.8.239) a integral definida em (1.8.233) converge em L(X), para</p><p>cada t > 0.</p><p>No que segue mostremos a independência da curva. Sejam r, r′, δ′,m′ > 0 e considere Dρ a região</p><p>delimitada pelas curvas Γ, Rρ,Λ, Sρ, dadas por</p><p>Γ = Γ(ρ, r, δ′) = ∪3j=1Γj(ρ, r, δ</p><p>′),</p><p>Λ = Λ(ρ, r′,m′) = ∪3j=1Λj(ρ, r</p><p>′,m′),</p><p>- 80 -</p><p>1.8 Semigrupos Anaĺıticos</p><p>onde,</p><p>Γ1(ρ, r, δ</p><p>′) = {sei(π/2+δ′); s ∈ [r, ρ]},</p><p>Γ2(ρ, r, δ</p><p>′) = {reiν ;−π/2− δ′ ≤ ν ≤ π/2 + δ′}</p><p>Γ3(ρ, r, δ</p><p>′) = {se−i(π/2+δ′); s ∈ [r, ρ]},</p><p>Λ1(ρ, r</p><p>′,m′) = {sei(π/2+m′); s ∈ [r′, ρ]},</p><p>Λ2(ρ, r</p><p>′,m′) = {r′eiν ;−π/2−m′ ≤ ν ≤ π/2 +m′}</p><p>Λ3(ρ, r</p><p>′,m′) = {sei(π/2+m′); s ∈ [r′, ρ]},</p><p>Rρ = {ρeiη : η ∈ (π/2 +m′, π/2 + δ′)}</p><p>Sρ = {ρeiη : η ∈ (−π/2 + δ′,−π/2 +m′)}.</p><p>A fronteira de Dρ é orientada no sentido positivo, como na figura 1.2.</p><p>Figura 1.2:</p><p>Da analiticidade da função λ 7→ etλR(λ,A) em Σδ′ e do Teorema de Cauchy resulta que∫</p><p>∂Dρ</p><p>eλtR(λ,A) dλ = 0,</p><p>ou seja,∫</p><p>Γ</p><p>eλtR(λ,A) dλ+</p><p>∫</p><p>Λ</p><p>eλtR(λ,A) dλ+</p><p>∫</p><p>Rρ</p><p>eλtR(λ,A) dλ+</p><p>∫</p><p>Sρ</p><p>eλtR(λ,A) dλ = 0. (1.8.240)</p><p>Além disso, as integrais sobre os dois arcos Rρ, Sρ tendem para zero quando ρ→∞, pois se λ ∈ Rρ</p><p>temos λ = ρeiη com −K0 ≤ cos η = −K, onde K0 e K são constantes positivas. Neste caso,∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>Rρ</p><p>eλtR(λ,A) dλ</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣ ≤M</p><p>∫ π/2+δ′</p><p>π/2+m′</p><p>e−ρKdη = K1e</p><p>−ρK → 0, quando ρ→∞,</p><p>com K1 =M(δ′ −m′). Se λ ∈ Sρ, o cálculo é análogo. Portanto, passando o limite em (1.8.240) quando</p><p>ρ→∞, conclúımos que∫</p><p>γ(r′,m′)</p><p>etλR(λ,A) dλ = lim</p><p>ρ→∞</p><p>∫</p><p>Λ</p><p>eλtR(λ,A) dλ = − lim</p><p>ρ→∞</p><p>∫</p><p>Γ</p><p>etλR(λ,A) dλ =</p><p>∫</p><p>γ(r,δ′)</p><p>etλR(λ,A) dλ,</p><p>o que conclui a afirmação.</p><p>2</p><p>Proposição 1.64 Assumamos que A verifica (1.8.231) e (1.8.232). Se {S(t)}t≥0 é a famı́lia de opera-</p><p>dores definida em (1.8.233) então as seguintes propriedades são verificadas:</p><p>(i) O operador S(t), t > 0, é linear e cont́ınuo em X. Existe C > 0 tal que ∥S(t)∥ ≤ C, para todo</p><p>- 81 -</p><p>1.8 Semigrupos Anaĺıticos</p><p>t ≥ 0.</p><p>(ii) S(0) = I.</p><p>(iii) S(t+ s) = S(t)S(s), para todo t, s ≥ 0.</p><p>(iv) Para cada x ∈ X, S(t)x→ x quando t→ 0+.</p><p>Demonstração:</p><p>(i) A linearidade segue da linearidade de R(λ;A) e da linearidade do operador integral. A conti-</p><p>nuidade segue diretamente de (1.8.237), (1.8.238) e (1.8.239) e do fato que para t > 0,</p><p>∥S(t)x∥ ≤ 1</p><p>2π</p><p>3∑</p><p>i=1</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣∫</p><p>Γi</p><p>etλR(λ,A)x dλ</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ C̃∥x∥,</p><p>notando que C̃ = C̃(t).</p><p>Agora, mostraremos a limitação uniforme. Se t > 0, de (1.8.233),</p><p>S(t) =</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫</p><p>γ(r,δ)</p><p>eλtR(λ,A) dλ. (1.8.241)</p><p>Fazendo a mudança de variáveis ξ = λt e usando o Lema 1.63, temos</p><p>S(t) =</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫</p><p>γ(r,δ′)</p><p>eξR(ξ/t, A)</p><p>dξ</p><p>t</p><p>.</p><p>Seja ξ ∈ γ1(r, δ′) e consideremos η = arg ξ. Definindo f(ξ) = eξR(ξ/t;A) 1t e fazendo</p><p>x = ρ cos η = φ(ρ)⇒ φ′(ρ) = cos η,</p><p>y = ρ sen η = ϕ(ρ)⇒ ϕ′(ρ) = sen η,</p><p>temos ∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>γ1(r,δ′)</p><p>eξR(ξ/t, A)</p><p>dξ</p><p>t</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>≤</p><p>∫ ∞</p><p>r</p><p>∥f(φ(ρ) + iϕ(ρ))[φ′(ρ) + iϕ′(ρ)]∥ dρ</p><p>≤</p><p>∫ ∞</p><p>r</p><p>∥eρe</p><p>iη</p><p>R(ρeiη/t, A)eiη/t∥ dρ</p><p>≤</p><p>∫ ∞</p><p>r</p><p>|eρe</p><p>iη</p><p>| Mt</p><p>|ρeiη|</p><p>|eiη|</p><p>t</p><p>dρ =M</p><p>∫ ∞</p><p>r</p><p>eρ cos η dρ</p><p>ρ</p><p>.</p><p>Sendo π</p><p>2 0 tal que cos η = −C, logo,</p><p>M</p><p>∫ ∞</p><p>r</p><p>eρ cos η dρ</p><p>ρ</p><p>≤ M</p><p>r</p><p>∫ ∞</p><p>r</p><p>e−Cρ dρ =</p><p>M</p><p>rC</p><p>e−rC .</p><p>Assim, ∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>γ1(r,δ′)</p><p>eξR(ξ/t, A)</p><p>dξ</p><p>t</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣ ≤M</p><p>∫ ∞</p><p>r</p><p>eρ cos η dρ</p><p>ρ</p><p>≤ M</p><p>rC</p><p>e−rC := C2. (1.8.242)</p><p>- 82 -</p><p>1.8 Semigrupos Anaĺıticos</p><p>Note que C2 não depende de t.</p><p>Analogamente, se ξ ∈ γ3(r, δ′), obtemos∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>γ3(r,δ′)</p><p>eξR(ξ/t, A)</p><p>dξ</p><p>t</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣ ≤ C2. (1.8.243)</p><p>Agora, se ξ ∈ γ2(r, δ′), então ξ = reiν e usando a parametrização</p><p>x = r cos ν = φ(ν)⇒ φ′(ν) = −r sen ν,</p><p>y = r sen ν = ϕ(ν)⇒ ϕ′(ν) = r cos ν,</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>γ2(r,δ′)</p><p>eξR(ξ/t, A)</p><p>dξ</p><p>t</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣ (1.8.244)</p><p>≤</p><p>∫ δ′+π</p><p>2</p><p>−δ′−π</p><p>2</p><p>∥ere</p><p>iν</p><p>R(reiν/t, A)ireiν</p><p>1</p><p>t</p><p>∥dν</p><p>≤</p><p>∫ δ′+π</p><p>2</p><p>−δ′−π</p><p>2</p><p>|ere</p><p>iν</p><p>| M</p><p>|reiν |</p><p>t|ireiν |1</p><p>t</p><p>dν</p><p>≤</p><p>∫ δ′+π</p><p>2</p><p>−δ′−π</p><p>2</p><p>er cos ν dν ≤ C3,</p><p>onde C3 independe de t.</p><p>Assim, de (1.8.242), (1.8.243) e (1.8.244),</p><p>∥S(t)∥ ≤ 1</p><p>2π</p><p>3∑</p><p>i=1</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣∫</p><p>γi</p><p>eξR(ξ/t, A)</p><p>dξ</p><p>dt</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ C4, para todo t ≥ 0.</p><p>(ii) Segue imediatamente da definição.</p><p>(iii) Sejam t1, t2 > 0, γ(r, δ), γ(r+ c, δ′), c > 0, com δ′ 0, para ρ suficientemente</p><p>grande, obtemos,</p><p>ρ</p><p>ρ− |λ|</p><p>=</p><p>1</p><p>1− |λ|</p><p>ρ</p><p>→ 1, quando ρ→∞.</p><p>- 84 -</p><p>1.8 Semigrupos Anaĺıticos</p><p>Logo ∃M > 0 tal que</p><p>ρ</p><p>ρ− |λ|</p><p>≤M , para ρ suficientemente grande e, portanto,</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>Λρ,δ</p><p>f(µ) dµ</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣ ≤</p><p>∫ 3π/2−δ</p><p>π/2+δ</p><p>|et1ρeiη |</p><p>ρ− |λ|</p><p>|ρi| dη ≤M</p><p>∫ 3π/2−δ</p><p>π/2+δ</p><p>eρt1 cos η dη</p><p>≤ Me−ρt1k(2(π/2 + δ))→ 0, quando ρ→∞.</p><p>onde k = −k0, k0 max(0, ω). Se x ∈ D(A2), então</p><p>T (t)x =</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫ γ+i∞</p><p>γ−i∞</p><p>eλtR(λ;A)xdλ,</p><p>e para cada δ > 0, a integral converge uniformemente em t para t ∈ [δ, 1/δ].</p><p>Demonstração: Ver Pazy...</p><p>2</p><p>Passemos, então à demonstração do Teorema 1.62.</p><p>- 87 -</p><p>1.8 Semigrupos Anaĺıticos</p><p>Demonstração: Seja</p><p>U(t) =</p><p></p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫</p><p>γ(r,δ)</p><p>eλtR(λ;A)dλ, se t > 0</p><p>I, se t = 0</p><p>Seja λ ∈ R+ tal que λ > ω0 = lim</p><p>t→∞</p><p>ln ∥U(t)∥</p><p>t . Por hipótese, A é um operador linear fechado</p><p>densamente definido em um espaço de Banach X e λ ∈ ρ(A). Com isso, A satisfaz as hipóteses da</p><p>Proposição 1.33. Pelo Corolário 1.34, vem que</p><p>R(λ;A)n+1x =</p><p>1</p><p>n!</p><p>∫ +∞</p><p>0</p><p>tne−λtU(t)xdt.</p><p>Logo,</p><p>∥R(λ;A)nx∥ =</p><p>∥∥∥∥ 1</p><p>(n+ 1)!</p><p>∫ +∞</p><p>0</p><p>tn−1e−λtU(t)xdt</p><p>∥∥∥∥</p><p>≤ C</p><p>1</p><p>(n+ 1)!</p><p>∫ +∞</p><p>0</p><p>tn−1e−λt∥x∥dt</p><p>=</p><p>C</p><p>λn</p><p>∥x∥</p><p>≤ C</p><p>(λ− ω0)n</p><p>.</p><p>Pelo Teorema de Hille-Yosida, A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo T (t) satisfazendo</p><p>∥T (t)∥ ≤ Ceωt, t > 0. Também, λ > max{0, ω0}. Se x ∈ D(A2) vem que</p><p>T (t)x =</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫ λ+i∞</p><p>λ−i∞</p><p>eλtR(λ;A)xdλ.</p><p>Resta provar que T (t) = U(t), para cada t ≥ 0. Considere k > r.</p><p>Seja, agora, o caminho Λk dado por</p><p>Λk = ∪4l=1Λ</p><p>l</p><p>k,</p><p>onde</p><p>Λ1</p><p>k = {α : α = λ+ is, −k ≤ s ≤ k}</p><p>Λ2</p><p>k = {α : α = s− ik,−k ≤ s ≤ λ}</p><p>Λ3</p><p>k = ∪3i=1Γi(k, r, δ),</p><p>com</p><p>Γ1(k, r, δ) = {−sei(π/2+δ); s ∈ [−k</p><p>√</p><p>2,−r]},</p><p>Γ2(k, r, δ) = {−reiµ;−π</p><p>2</p><p>− δ ≤ µ ≤ π</p><p>2</p><p>+ δ},</p><p>Γ3(k, r, δ) = {se−i(π/2+δ); s ∈ [r, k</p><p>√</p><p>2]}</p><p>Λ4</p><p>k = {α : α = s+ ik; s ∈ [−λ, k]}</p><p>orientado no sentido anti-horário, conforme figura 1.7. Observe que 0 0, τ ̸= 0</p><p>∥R(σ + iτ, A)∥ ≤ C</p><p>|τ |</p><p>;</p><p>(c) Existem 0 0 tais que</p><p>ρ(A) ⊃ Σ =</p><p>{</p><p>λ : |arg λ| 0 e existe uma constante C tal que</p><p>∥AT (t)∥ ≤ C</p><p>t</p><p>.</p><p>Demonstração:</p><p>(a)⇒ (b)</p><p>Por hipótese, existe δ > 0 tal que T (t) pode ser estendido a um semigrupo anaĺıtico em</p><p>∆δ = {z ∈ C; | arg(z)| 0 tal que</p><p>∥T (z)∥ ≤M, ∀z ∈ ∆δ′ = {z ∈ C; | arg(z)| ≤ δ′}. (1.8.254)</p><p>Observe que como T (t) é um semigrupo de classe C0 uniformemente limitado, então w0 ≤ 0. Pela</p><p>Proposição 1.33 temos, para σ > 0 e τ ∈ R, que σ + iτ ∈ ρ(A), onde A é o gerador infinitesimal de T , e,</p><p>ainda,</p><p>R(σ + iτ, A)x =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−(σ+iτ)tT (t)x dt, ∀x ∈ X. (1.8.255)</p><p>Suponhamos inicialmente que τ > 0. Definamos, para cada R > 0, a curva CR de classe C1 por</p><p>- 90 -</p><p>1.8 Semigrupos Anaĺıticos</p><p>partes dada por</p><p>CR = ∪4i=1CR,i, onde CR,1 = {ρe−iδ′ ; ρ ∈ [1/R,R]}, (1.8.256)</p><p>CR,2 = {Reiρ; ρ ∈ [−δ′, 0]},</p><p>CR,3 = {−ρ; ρ ∈ [−R,−1/R]},</p><p>CR,4 = { 1</p><p>R</p><p>e−iρ; ρ ∈ [0, δ′]}, onde 0</p><p>(</p><p>1</p><p>R</p><p>e−iρ</p><p>)</p><p>dρ.</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>CR,4</p><p>e−(σ+iτ)zT (z) dz</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣ ≤ M</p><p>R</p><p>∫ δ′</p><p>0</p><p>|e− 1</p><p>R (σ cos ρ+τsinρ)− i</p><p>R (τ cos ρ−σ sin ρ)| dρ</p><p>=</p><p>M</p><p>R</p><p>∫ δ′</p><p>0</p><p>e−</p><p>1</p><p>R (σ cos ρ+τ sin ρ) dρ ≤ M</p><p>R</p><p>δ′,</p><p>- 91 -</p><p>1.8 Semigrupos Anaĺıticos</p><p>pois como σ, τ > 0 e 0 0. (1.8.266)</p><p>Agora, supondo τ 0, a curva γR de classe C1 por partes em ∆δ</p><p>dada por</p><p>γR = ∪4i=1γR,i, onde γR,1 = {−ρeiδ</p><p>′</p><p>; ρ ∈ [−R,−1/R]}, (1.8.267)</p><p>γR,2 = {Reiρ; ρ ∈ [0, δ′]},</p><p>γR,3 = {ρ; ρ ∈ [1/R,R]},</p><p>γR,4 = {1/Re−iρ; ρ ∈ [−δ′, 0]},</p><p>(1.8.268)</p><p>como mostra a figura 1.9.</p><p>Novamente pelo Teorema de Cauchy, temos∫</p><p>γR</p><p>e−(σ+iτ)zT (z) dz = 0. (1.8.269)</p><p>- 93 -</p><p>1.8 Semigrupos Anaĺıticos</p><p>Figura 1.8:</p><p>Além disso, procedendo como no caso anterior (τ > 0), deduzimos que</p><p>lim</p><p>R→+∞</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>γR,2</p><p>e−(σ+iτ)zT (z) dz</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣ = 0</p><p>lim</p><p>R→+∞</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∫</p><p>γR,4</p><p>e−(σ+iτ)zT (z) dz</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣ = 0.</p><p>Logo, temos</p><p>R(σ + iτ, A)x = lim</p><p>R→∞</p><p>∫</p><p>γR,1</p><p>e−(σ+iτ)zT (z)x dz (1.8.270)</p><p>=</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>eiδ</p><p>′</p><p>e−(σ+iτ)ρeiδ</p><p>′</p><p>T (ρeiδ</p><p>′</p><p>)x dρ, para todo x ∈ X.</p><p>Estimando (1.8.270) inferimos</p><p>∥R(σ + iτ, A)x∥ ≤ M∥x∥</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−ρ(σ cos δ′−τ sin δ′) dρ (1.8.271)</p><p>≤ M ∥x∥</p><p>σ cos δ′ − τ sin δ′</p><p>≤ −M</p><p>τ sin δ′</p><p>∥x∥, para todo x ∈ X,</p><p>de onde segue que</p><p>∥R(σ + iτ, A)∥ ≤ C</p><p>−τ</p><p>, onde C =</p><p>M</p><p>sin δ′</p><p>> 0. (1.8.272)</p><p>De (1.8.266) e (1.8.272) conclúımos que existe C > 0 tal que</p><p>∥R(σ + iτ, A)∥ ≤ C</p><p>|τ |</p><p>, para todo σ > 0 e τ ̸= 0, (1.8.273)</p><p>o que prova o desejado em (b).</p><p>(b)⇒ (c) Sendo A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, T uniformemente limitado,</p><p>temos pela Proposição 1.33 que</p><p>{λ ∈ C;Reλ > 0} ⊂ ρ(A), (1.8.274)</p><p>e, ainda pelo exerćıcio (1.6.3) vem que, para todo λ ∈ C com Reλ > 0,</p><p>∥R(λ,A)∥ ≤ M</p><p>Reλ</p><p>onde ∥T (t)∥ ≤M, ∀t ≥ 0 (1.8.275)</p><p>- 94 -</p><p>1.8 Semigrupos Anaĺıticos</p><p>Agora, por (b), inferimos</p><p>∥R(λ,A)∥ ≤ C</p><p>|Imλ|</p><p>, para todo λ ∈ C com Reλ > 0 e Imλ ̸= 0. (1.8.276)</p><p>Afirmamos que existe C1 > 0 tal que</p><p>∥R(λ,A)∥ 0. (1.8.277)</p><p>De fato, seja λ tal que Reλ > 0. Temos dois casos a considerar: Se |Imλ| ≥ Reλ então</p><p>|λ|2 = (Reλ)2 + (Imλ)2 ≤ 2(Imλ)2,</p><p>donde</p><p>|λ| ≤</p><p>√</p><p>2|Imλ| ⇔ 1</p><p>|Imλ|</p><p>≤</p><p>√</p><p>2</p><p>|λ|</p><p>. (1.8.278)</p><p>De (1.8.276) e (1.8.278) deduzimos que</p><p>∥R(λ,A)∥ ≤</p><p>√</p><p>2C</p><p>|λ|,</p><p>(1.8.279)</p><p>de onde obtemos (1.8.277) tomando C1 ></p><p>√</p><p>2C. Agora, se |Imλ| 0 e τ ̸= 0, pelo Corolário 1.34 temos a seguinte</p><p>expansão de Taylor de R(λ,A) em torno de σ + iτ :</p><p>R(λ,A) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>1</p><p>n!</p><p>dn</p><p>dλn</p><p>R(σ + iτ, A)(λ− (σ + iτ))n (1.8.282)</p><p>=</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(−1)nn!</p><p>n!</p><p>R(σ + iτ, A)n+1(λ− (σ + iτ))n</p><p>=</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>R(σ + iτ, A)n+1(σ + iτ − λ)n.</p><p>Seja 0 0 tal que</p><p>0 0, que também</p><p>depende λ, tal que</p><p>|Reλ|+ σ 0 e Imλ ̸= 0 temos que σ + iImλ ∈ ρ(A) e ainda</p><p>|σ + iImλ− λ| = |Reλ− σ| ≤ |Reλ|+ σ 0, provando o afirmado em (c).</p><p>(c)⇒ (d)</p><p>Das hipóteses em (c) e do Teorema 1.62 temos</p><p>T (t) =</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫</p><p>Γ</p><p>eλtR(λ,A) dλ, para todo t > 0, (1.8.295)</p><p>onde Γ = {ρei(θ+π</p><p>2 ); 0 0. (1.8.296)</p><p>- 97 -</p><p>1.8 Semigrupos Anaĺıticos</p><p>Figura 1.11:</p><p>Temos que Tr(t) é diferenciável e ainda</p><p>T ′</p><p>r(t) =</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫</p><p>{ρei(θ+</p><p>π</p><p>2</p><p>);0 0. (1.8.297)</p><p>Além disso, temos</p><p>∥T ′</p><p>r(t)∥ ≤</p><p>M</p><p>2π</p><p>∫</p><p>{ρei(θ+</p><p>π</p><p>2</p><p>);0 0. Assim,</p><p>(1.8.295) é diferenciável para todo t > 0 e, ainda,</p><p>T ′(t) =</p><p>1</p><p>2πi</p><p>∫</p><p>Γ</p><p>λeλtR(λ,A) dλ, para todo t > 0. (1.8.301)</p><p>Temos, de (1.8.300), que</p><p>∥AT (t)∥ = ∥T ′(t)∥ ≤ C</p><p>t</p><p>, para todo t > 0, (1.8.302)</p><p>onde C = M</p><p>π cos δ > 0, o que conclui a prova de (d).</p><p>(d)⇒ (a)</p><p>Sendo T diferenciável segue pelo exerćıcio 1.7.1, que</p><p>T (n)(t) =</p><p>(</p><p>T ′(</p><p>t</p><p>n</p><p>)</p><p>)n</p><p>, para todo n ∈ N∗ e para todo t > 0. (1.8.303)</p><p>- 98 -</p><p>1.8 Semigrupos</p><p>(reduzidas) da referida série.</p><p>Uma vez que E é um espaço de Banach, basta provarmos que</p><p>(sn) é de Cauchy em E. (1.1.1)</p><p>- 4 -</p><p>1.1 Um Repasse ao Cálculo Diferencial e Integral em Espaços de Banach</p><p>Com efeito, tome ε > 0 e consideremos m,n ∈ N com m > n. Temos,</p><p>∥sm − sn∥ =</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>m∑</p><p>k=1</p><p>xk −</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>xk</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>=</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>m∑</p><p>k=n+1</p><p>xk</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>≤</p><p>m∑</p><p>k=n+1</p><p>∥xk∥</p><p>≤</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>m∑</p><p>k=1</p><p>∥xk∥ −</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>∥xk∥</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>= |s̃m − s̃n|,</p><p>onde s̃n =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>∥xk∥ é a n−ésima soma parcial da série convergente</p><p>∞∑</p><p>k=1</p><p>∥xk∥ , a qual é de Cauchy em E.</p><p>Assim, para o ε > 0 dado, exite n0 ∈ N tal que se m,n ∈ N com m > n > n0, tem-se</p><p>∥sm − sn∥ ≤ |s̃m − s̃n| N ,</p><p>∥fM (y)− fN (y)∥ = ∥fN+1(y) + · · ·+ fM (y)∥</p><p>≤</p><p>M∑</p><p>k=1</p><p>Mk para cada y ∈ Y .</p><p>Como</p><p>∞∑</p><p>k=1</p><p>Mk é convergente, (fN (y)) é um seuquência de Cauchy em E. Assim, existe um elemento ξ ∈ E</p><p>- 5 -</p><p>1.1 Um Repasse ao Cálculo Diferencial e Integral em Espaços de Banach</p><p>com ξ = lim fN (y). Defina f(y) = ξ, isto nos dá uma função f : Y → E. Agora,</p><p>∥f(y)− fN (y)∥ = ∥</p><p>∞∑</p><p>k=N+1</p><p>fn(y)∥</p><p>≤</p><p>∞∑</p><p>k=N+1</p><p>∥fn(y)∥</p><p>≤</p><p>∞∑</p><p>k=N+1</p><p>Mk</p><p>. Como</p><p>∞∑</p><p>k=1</p><p>Mk é convergente, dado ε > 0, existe n0(ε) tal que</p><p>∞∑</p><p>k=N+1</p><p>Mk 0, existe um N1(ε)</p><p>tal que para m,n > N1,</p><p>∥xm − xn∥C([a,b],E) = sup</p><p>t∈[a,b]</p><p>∥xm(t)− xn(t)∥ 0 e t0 ∈]a, b[. Sendo x derivável em t0, existe x</p><p>∗ := x′(t0) ∈ E tal que</p><p>lim</p><p>h→0</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣x(t0 + h)− x(t0)</p><p>h</p><p>− x∗</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.</p><p>Assim,</p><p>Anaĺıticos</p><p>Logo, pela hipótese em (d) e por (1.8.303) resulta que</p><p>∥T (n)(t)∥ ≤ ∥T ′(t/n)∥n ≤</p><p>(</p><p>C</p><p>t</p><p>)n</p><p>, para todo t > 0. (1.8.304)</p><p>Afirmamos que</p><p>enn! ≥ nn, para todo n ∈ N∗. (1.8.305)</p><p>Com efeito, provemos por indução sobre n. Claramente para n = 1 a afirmação (1.8.305) é</p><p>verdadeira posto que e > 1. Suponha, agora, que a afirmação (1.8.305) é válida para algum n > 1, ou</p><p>seja,</p><p>n!en ≥ nn. (1.8.306)</p><p>Provemos que (1.8.306) é válida para n+ 1. Equivalentemente, provaremos que (n+ 1) + ln((n+</p><p>1)!) ≥ (n+ 1) ln(n+ 1). De fato,</p><p>(n+ 1) + ln((n+ 1)!) = n+ 1 + ln(n+ 1)n!</p><p>= n+ 1 + ln(n+ 1) + lnn!</p><p>= (n+ lnn!) + 1 + ln(n+ 1)</p><p>≥ n lnn+ 1 + ln(n+ 1)</p><p>= ln(n+ 1) + 1 + n</p><p>∫ n</p><p>1</p><p>1</p><p>x</p><p>dx</p><p>≥ ln(n+ 1) + n</p><p>∫ n</p><p>1</p><p>1</p><p>x</p><p>dx+ n</p><p>∫ n+1</p><p>n</p><p>1</p><p>x</p><p>dx</p><p>= ln(n+ 1) + n</p><p>∫ n+1</p><p>1</p><p>1</p><p>n+ 1</p><p>1</p><p>x</p><p>dx</p><p>= ln(n+ 1) + n(ln(n+ 1)− ln(1))</p><p>= (n+ 1) ln(n+ 1),</p><p>o que prova o desejado.</p><p>De (1.8.304) e (1.8.305) conclúımos que</p><p>1</p><p>n!</p><p>∥T (n)(t)∥ ≤</p><p>(</p><p>Ce</p><p>t</p><p>)n</p><p>. (1.8.307)</p><p>Consideremos, agora, a seguinte série de potências</p><p>T (z) = T (t) +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>T (n)(t)</p><p>n!</p><p>(z − t)n, (1.8.308)</p><p>com t > 0 e z ∈ C. Ainda, prosseguindo formalmente, de (1.8.307) inferimos</p><p>∥T</p><p>(n)(t)</p><p>n!</p><p>(z − t)n∥ ≤ ∥T</p><p>(n)(t)∥</p><p>n!</p><p>|z − t|n ≤</p><p>(</p><p>Ce|z − t|</p><p>t</p><p>)n</p><p>. (1.8.309)</p><p>Assim, de (1.8.309) conclúımos que a série em (1.8.308) converge uniformemente em L(X) para</p><p>- 99 -</p><p>1.8 Semigrupos Anaĺıticos</p><p>todo 0 0, deduzimos</p><p>|z − t| = |Imz| 0. Logo, por (1.8.309) e (1.8.318) resulta que</p><p>∥T (z)∥ ≤</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣Tn(t)</p><p>n!</p><p>(z − t)n</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>≤</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(</p><p>Ce|z − t|</p><p>t</p><p>)n</p><p>≤</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>kn =</p><p>1</p><p>1− k</p><p>, para todo z ∈ ∆δ′ ,</p><p>ou seja, {T (z)}z∈∆ é uniformemente limitado em qualquer subsetor fechado de ∆, o que conclui a prova.</p><p>2</p><p>1.8.1 Exerćıcios</p><p>1.8.1) Seja T (t) um semigrupo de classe C0 o qual é diferenciável para t > 0. Seja A o gerador</p><p>infinitesimal de de T (t). Se</p><p>lim sup</p><p>t→0</p><p>t∥AT (t)∥ 0 e Γ > 0 tais que</p><p>∥AR(λ,A)n+1∥ ≤ C</p><p>nλn</p><p>para λ > nΓ, n = 1, 2, · · ·</p><p>1.9 Propriedades Espectrais</p><p>Seja T (t) um semigrupo de classe C0 sobre um espaço de Banach X e consideremos A seu gerador</p><p>infinitesimal. No que segue estamos interessados nas relações entre o espectro de A, σ(A) = C\ρ(A) e o</p><p>espectro de cada um dos operadores T (t), t ≥ 0. Do ponto de vista puramente formal seria esperado a</p><p>relação σ(T (t)) = etσ(A). Contudo, isto não é verdade em geral. Existem contra-exemplos (veja Exerćıcio</p><p>1.9.1, veja também Pazy [80], pág. 44) que assegura essa afirmação.</p><p>Proposição 1.67 Seja T (t) um semigrupo de classe C0 e A seu gerador infinitesimal. Definamos</p><p>Bλ(t)x =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>eλ(t−s)T (s)x ds.</p><p>Então</p><p>(i) (λI −A)Bλ(t)x = eλtx− T (t)x, para todo x ∈ X.</p><p>(ii) Bλ(t)(λI −A)x = eλtx− T (t)x, para todo x ∈ D(A).</p><p>Demonstração: Inicialmente observemos que Bλ(t), para todo λ, t fixados, é um operador linear e</p><p>- 101 -</p><p>1.9 Propriedades Espectrais</p><p>limitado sobre X. A linearidade é imediata, resta-nos mostrar a limitação. Com efeito, temos</p><p>∥Bλ(t)∥L(X) = sup</p><p>x∈X;∥x∥=1</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣∫ t</p><p>0</p><p>eλ(t−s)T (s)x ds</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>≤ sup</p><p>x∈X;∥x∥=1</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>|eλ(t−s)| ∥T (s)∥ ds ≤M</p><p>onde M =M(λ, t), o que prova a afirmação. Além disso, para todo x ∈ X,(</p><p>T (h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>Bλ(t)x =</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>eλ(t−s)T (h+ s)x ds (1.9.319)</p><p>− 1</p><p>h</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>eλ(t−s)T (s)x ds.</p><p>Da primeira integral do lado direito de (1.9.319), obtemos</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>eλ(t−s)T (h+ s)x ds =︸︷︷︸</p><p>s̃=h+s</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ h+t</p><p>h</p><p>eλ(t−s̃+h)T (s̃)x ds̃ (1.9.320)</p><p>=</p><p>eλh</p><p>h</p><p>∫ h+t</p><p>h</p><p>eλ(t−s̃)T (s̃)x ds̃.</p><p>Assim, de(1.9.319) e (1.9.320) deduzimos(</p><p>T (h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>Bλ(t)x =</p><p>(</p><p>eλh − 1</p><p>h</p><p>)∫ t+h</p><p>h</p><p>eλ(t−s)T (s)x ds</p><p>+</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>eλ(t−s)T (s)x ds− 1</p><p>h</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>eλ(t−s)T (s)x ds.</p><p>Aplicando o limite na última igualdade com h → 0+, vem, em vista do teorema da Média (veja</p><p>exerćıcio 1.1.5 (v)) que</p><p>lim</p><p>h→0+</p><p>(</p><p>T (h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>Bλ(t)x = λBλ(t)x+ T (t)x− eλtx. (1.9.321)</p><p>De (1.9.321) segue que Bλ(t)x ∈ D(A) e que</p><p>ABλ(t)x = λBλ(t)x+ T (t)x− eλtx,</p><p>ou ainda,</p><p>(λI −A)Bλ(t)x =</p><p>(</p><p>eλt − T (t)</p><p>)</p><p>x, para todo x ∈ X. (1.9.322)</p><p>o que prova o item (i).</p><p>Seja, agora, x ∈ D(A). Então, limh→0</p><p>(</p><p>T (h)−I</p><p>h</p><p>)</p><p>x existe e limh→0</p><p>(</p><p>T (h)−I</p><p>h</p><p>)</p><p>x = Ax. Assim,</p><p>trabalhando com Bλ(t)</p><p>(</p><p>T (h)−I</p><p>h</p><p>)</p><p>x, de maneira semelhante ao que foi feito anteriormente, obtemos</p><p>Bλ(t)Ax = λBλ(t)x+ T (t)x− eλtx,</p><p>ou ainda,</p><p>Bλ(t)(λI −A)x = eλtx− T (t)x.</p><p>Donde se conclui (ii).</p><p>- 102 -</p><p>1.9 Propriedades Espectrais</p><p>Pelo que vimos acima, temos que</p><p>Bλ(t)Ax = ABλ(t)x, para todo x ∈ D(A), (1.9.323)</p><p>ou seja, os operadores Bλ e A comutam em D(A).</p><p>2</p><p>Proposição 1.68 Seja T (t) um semigrupo de classe C0 e A seu gerador infinitesimal. Então,</p><p>σ(T (t)) ⊃ etσ(A), para t ≥ 0.</p><p>Demonstração: Seja t ≥ 0. Se t = 0, temos que</p><p>etσ(A) = {β ∈ C;β = etλ;λ ∈ σ(A) e t = 0} = {1}.</p><p>Além disso, observe que 1 é autovalor de T (0) = I, assim, 1 ∈ σ(T (t)), e portanto, etσ(A) ⊂ σ(T (t)). Se</p><p>t ̸= 0, temos dois casos a considerar: ρ(T (t)) ̸= ∅ ou ρ(T (t)) = ∅. Se ρ(T (t)) = ∅, então σ(T (t)) = C e a</p><p>inclusão etσ(A) ⊂ σ(T (t)) segue trivialmente. Consideremos, agora, que t ̸= 0 e ρ(T (t)) ̸= ∅. Então existe</p><p>β ∈ ρ(T (t)) e escrevamos β na forma β = eλt. Seja eλt ∈ ρ(T (t)) e consideremos Q = (eλtI − T (t))−1.</p><p>Inicialmente, notemos que o operador Bλ(t) definido na Proposição 1.67 e Q definido acima, comutam</p><p>(deixamos esta comprovação à cargo do leitor, veja exerćıcio 1.9.2). Segue da Proposição 1.67 que</p><p>(λI −A)Bλ(t)Qx = x, para todo x ∈ X, (1.9.324)</p><p>e</p><p>QBλ(t)(λI −A)x = x, para todo x ∈ D(A). (1.9.325)</p><p>Uma vez que Bλ(t) e Q comutam, temos,</p><p>Bλ(t)Q(λI −A)x = (λI −A)Bλ(t)Qx = x, para todo x ∈ D(A). (1.9.326)</p><p>Portanto, como Bλ(t)Q ∈ L(X) e Bλ(t)Q = (λI − A)−1, segue que λ ∈ ρ(A) e, desta forma,</p><p>eλt ∈ eρ(A)t. Logo, ρ(T (t)) ⊂ eρ(A)t. Assim,</p><p>eσ(A)t ⊂ σ(T (t)), para todo t ≥ 0,</p><p>o que encerra a prova.</p><p>2</p><p>Recordemos que o espectro de A consiste de três partes mutuamente exclusivas:o espectro pontual</p><p>(ou discreto) σp(A), o espectro cont́ınuo σc(A) e o espectro residual σr(A), que são definidas como segue:</p><p>λ ∈ σp(A) se λI −A não é injetor, λ ∈ σc(A) se λI −A é injetor, λI −A não é sobrejetor e sua imagem</p><p>é densa em X e finalmente λ ∈ σr(A) se (λI − A) é injetor mas sua imagem não é densa em X. Das</p><p>definições acima é claro que σp(A), σc(A) e σr(A) são mutuamente exclusivos e sua união é σ(A). Em</p><p>resumo:</p><p>σp(A) = {λ ∈ C; (λI −A) não é injetor},</p><p>σc(A) = {λ ∈ C; (λI −A) é injetor, não é sobrejetora mas a imagem é densa},</p><p>σr(A) = {λ ∈ C; (λI −A) é injetor mas a imagem não é densa}.</p><p>- 103 -</p><p>1.9 Propriedades Espectrais</p><p>Teorema 1.69 Seja T (t) o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0 e A seu gerador infini-</p><p>tesimal. Então:</p><p>etσp(A) ⊂ σp(T (t)) ⊂ etσp(A) ∪ {0},</p><p>ou mais precisamente, se λ ∈ σp(A), então eλt ∈ σp(T (t)) e se eλt ∈ σp(T (t)), existe um k ∈ N tal que</p><p>λk = λ+ 2πik/t ∈ σp(A).</p><p>Demonstração: Mostraremos inicialmente que</p><p>etσp(A) ⊂ σp(T (t)). (1.9.327)</p><p>Com efeito, se λ ∈ σp(A), então existe um x0 ∈ D(A), x0 ̸= 0 e tal que (λI − A)x0 = 0. Do fato</p><p>que</p><p>Bλ(t)(λI −A)x =</p><p>(</p><p>eλtI − T (t)</p><p>)</p><p>x, para todo x ∈ D(A)( veja Proposição 1.68),</p><p>resulta que (</p><p>eλtI − T (t)</p><p>)</p><p>x0 = 0,</p><p>e, portanto, eλt ∈ σp(T (t)), o que prova o desejado em (1.9.327).</p><p>A seguir, provaremos que</p><p>σp(T (t)) ⊂ etσp(A) ∪ {0}. (1.9.328)</p><p>De fato, seja β ∈ σp(T (t)). Se β = 0, a inclusão segue trivialmente. Se β ̸= 0, tomemos β da</p><p>forma β = eλt ∈ σp(T (t)) e consideremos x0 ̸= 0 tal que</p><p>(</p><p>eλtI − T (t)</p><p>)</p><p>x0 = 0. Afirmamos que a função</p><p>cont́ınua f definida por f(s) = e−λsT (s)x0 é periódica de peŕıodo t, isto é, f(s+ t) = f(s). Com efeito,</p><p>notemos inicialmente que (</p><p>eλtI − T (t)</p><p>)</p><p>x0 = 0⇔ T (t)x0 = eλtx0,</p><p>assim,</p><p>f(s+ t) = e−λ(s+t)T (s+ t)x0 = e−λse−λtT (s)T (t)x0</p><p>= e−λsT (s)e−λtT (t)x0</p><p>= e−λsT (s)Ix0 = e−λsT (s)x0 = f(s),</p><p>o que prova a afirmação. Uma vez que esta função não é identicamente nula, um de seus coeficientes de</p><p>Fourier deve ser diferente de zero. Portanto, existe k ∈ N tal que</p><p>xk =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−(2kπi/t)s(e−λsT (s)x0) ds ̸= 0. (1.9.329)</p><p>Mostraremos que λk = λ + 2πik</p><p>t é um autovalor de A. De fato, lembremos que sendo T (t) um</p><p>C0−semigrupo, temos que existem constantes M ≥ 1 e ω ∈ R tais que</p><p>∥T (t)∥ ≤Meωt.</p><p>- 104 -</p><p>1.9 Propriedades Espectrais</p><p>Resulta da Proposição 1.33, para µ ∈ C tal que Reµ > ω, que µ ∈ ρ(A), e, além disso,</p><p>R(µ,A)x0 =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−µsT (s)x0 ds =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>∫ (n+1)t</p><p>nt</p><p>e−µsT (s)x0 ds (1.9.330)</p><p>=</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−µ(r+nt)T (r + nt)x0 dr =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>en(λ−µ)t</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−µre−λntT (r + nt)x0 dr</p><p>=</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>en(λ−µ)t</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−µreλre−λ(r+nt)T (r + nt)x0 dr</p><p>=</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>en(λ−µ)t</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−µreλre−λrT (r)x0 dr</p><p>=</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>en(λ−µ)t</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−µsT (s)x0 ds</p><p>=</p><p>(</p><p>1− e(λ−µ)t</p><p>)−1</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−µsT (s)x0 ds.</p><p>A última integral à direita da identidade (1.9.330) é uma função inteira e portanto R(µ,A)x0 pode</p><p>ser estendido a uma função meromorfa com polos em λn = λ+ 2πin</p><p>t , n ∈ N (veja [42], p.169,p.184).</p><p>Afirmamos que</p><p>lim</p><p>µ→λk</p><p>(µ− λk)R(µ,A)x0 = xk. (1.9.331)</p><p>De fato, de (1.9.330) podemos escrever</p><p>(µ− λk)R(µ,A)x0 = (µ− λk)</p><p>(</p><p>1− e(λ−µ)t</p><p>)−1</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−µsT (s)x0 ds.</p><p>Passando o limite na última identidade com µ→ λk e fazendo o uso da Regra de L’Hôpital, temos</p><p>lim</p><p>µ→λk</p><p>(µ− λk)R(µ,A)x0 =</p><p>1</p><p>t</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−λksT (s)x0 ds,</p><p>e, lembrando que λk = λ+ 2πik</p><p>t segue que</p><p>lim</p><p>µ→λk</p><p>(µ− λk)R(µ,A)x0 =</p><p>1</p><p>t</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−(2πik/t)s(e−λsT (s)x0)ds = xk</p><p>o que prova (1.9.331).</p><p>Da demonstração da Proposição 1.33 temos, para todo x ∈ D(A), que AR(µ,A)x = R(µ,A)Ax =</p><p>µR(µ,A)x− x. Assim,</p><p>(λkI −A)[(µ− λk)R(µ,A)x0] = λk(µ− λk)R(µ,A)x0 − µ(µ− λk)R(µ,A)x0 + (µ− λk)x0.</p><p>Fazendo µ→ λk e considerando (1.9.331) segue que</p><p>lim</p><p>µ→λk</p><p>(λkI −A)[(µ− λk)R(µ,A)x0] = λkxk − λkxk + 0 = 0.</p><p>- 105 -</p><p>1.9 Propriedades Espectrais</p><p>Sendo A fechado com</p><p>{(µ− λk)R(µ,A)x0} ⊂ D(A);</p><p>lim</p><p>µ→λk</p><p>(µ− λk)R(µ,A)x0 = xk;</p><p>lim</p><p>µ→λk</p><p>A(µ− λk)R(µ,A)x0 = λkxk,</p><p>segue que xk ∈ D(A) e Axk = λkxk. Logo, λk é autovalor de A, isto é, λk ∈ σp(A), e portanto,</p><p>eλkt ∈ etσp(A). Mas,</p><p>eλt = eλkte2πki = eλkt.</p><p>Portanto, eλt ∈ etσp(A), provando o resultado.</p><p>2</p><p>1.9.1 Exerćıcios</p><p>1.9.1) Prove que, em geral a relação σ(T (t)) = etσ(A) não é verdadeira exibindo um contra-exemplo.</p><p>1.9.2) Prove que os operadores Bλ e Q = (eλtI − T (t))−1 dados nas Proposições 1.67 e 1.68</p><p>comutam.</p><p>1.9.3) Seja T (t) um semigrupo de classe C0 e A seu gerador infinitesimal. Prove que:</p><p>(i) Se λ ∈ σr(A) e nenhum dos λn = λ+ 2πin/t, n ∈ N está no σp(A), então, e</p><p>λt ∈ σr(T (t)).</p><p>(ii) Se eλt ∈ σr(T (t)) então nenhum dos λn = λ + 2πin/t, n ∈ N está no σp(A) e existe k ∈ N tal</p><p>que λk ∈ σr(A).</p><p>1.9.4) Seja T (t) um semigrupo de classe C0 e A seu gerador infinitesimal. Se λ ∈ σc(A) e se nenhum</p><p>dos λn = λ+ 2πin/t está no σp ∪ σr(A), prove que eλt ∈ σc(T (t)).</p><p>- 106 -</p><p>Caṕıtulo 2</p><p>O Problema de Cauchy Abstrato</p><p>2.1 O Problema Homogêneo</p><p>Seja (X, ∥.∥) um espaço de Banach, A : D(A) ⊂ X → X um operador linear de X e consideremos</p><p>para cada u0 ∈ X, o Problema de Cauchy Abstrato:</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t) = Au(t), t > 0</p><p>u(0) = u0</p><p>(2.1.1)</p><p>Definição 2.1 Uma função u : R+ → X diz-se solução de (2.1.1) se:</p><p>i) u é cont́ınua para todo t ≥ 0;</p><p>ii) u é continuamente diferenciável para t > 0;</p><p>iii) u(t) ∈ D(A) para todo t > 0;</p><p>iv) u satisfaz (2.1.1).</p><p>A segunda condição que figura em (2.1.1) será dita condição inicial do problema e u0 o seu valor</p><p>inicial. Note que uma vez que u(t) ∈ D(A) para todo t > 0 e u é cont́ınua em t = 0, (2.1.1) não pode ter</p><p>solução para u0 /∈ D(A).</p><p>Teorema 2.2 Se A é o gerador infinitesimal de um semigrupo S de classe C0, então, para cada u0 ∈</p><p>D(A), existe uma única função</p><p>u ∈ C0([0,+∞);D(A)) ∩ C1([0,+∞);X),</p><p>dita solução regular do Problema de Cauchy dado em (2.1.1). Além disso, se S for um semigrupo de</p><p>contrações temos que</p><p>∥u(t)∥ ≤ ∥u0∥ e ∥</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t)∥ = ∥Au(t)∥ ≤ ∥Au0∥ ∀t ≥ 0.</p><p>Demonstração:</p><p>Consideremos</p><p>u(t) = S(t)u0, t ≥ 0. (2.1.2)</p><p>- 107 -</p><p>2.1 O Problema Homogêneo</p><p>Da Proposição 1.30 vem que u(t) = S(t)u0 ∈ D(A), para todo t ≥ 0. Além disso, tem-se que</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t) = AS(t)u0 = S(t)Au0, ∀t ≥ 0. (2.1.3)</p><p>De (2.1.2) temos, em particular que</p><p>u(0) = S(0)u0 = u0 (2.1.4)</p><p>De (2.1.3) e (2.1.4) conclúımos que a aplicação u definida em (2.1.2) realmente verifica (2.1.1).</p><p>Agora, sendo o semigrupo S fortemente cont́ınuo, então de t0 ∈ [0,+∞) e tn → t0 em [0,+∞), de (2.1.2)</p><p>e (2.1.3) resulta que</p><p>∥u(tn)− u(t0)∥ → 0 quando n→ +∞ (2.1.5)</p><p>∥Au(tn)−Au(t0)∥ → 0 quando n→ +∞ (2.1.6)</p><p>ou seja,</p><p>∥u(tn)− u(t0)∥D(A) = ∥u(tn)− u(t0)∥X + ∥Au(tn)−Au(t0)∥X → 0</p><p>quando n→ +∞, provando que</p><p>u ∈ C0([0,+∞);D(A))</p><p>Também de (2.1.3), (2.1.5) e (2.1.6) temos</p><p>u ∈ C0([0,+∞);X) e</p><p>du</p><p>dt</p><p>∈ C0([0,+∞);X)</p><p>ou seja,</p><p>u ∈ C0([0,+∞);D(A)) ∩ C1([0,+∞);X)</p><p>o que prova que a aplicação u definida em (2.1.2) é realmente uma solução forte de (2.1.1).</p><p>Provaremos a seguir a unicidade. De fato, sejam u e v soluções de (2.1.1). Então, w = u − v</p><p>satisfaz o Problema de Cauchy</p><p></p><p>dw</p><p>dt</p><p>(t) = Aw(t), t > 0,</p><p>w(0) = 0</p><p>(2.1.7)</p><p>Seja t > 0. Sejam 0 ≤ s 0 e portanto</p><p>(</p><p>S(t− s− h)− S(t− s)</p><p>h</p><p>)</p><p>w(s)</p><p>=</p><p>(</p><p>S(t− s)S(−h)− S(t− s)</p><p>h</p><p>)</p><p>w(s)</p><p>= −S(t− s)</p><p>(</p><p>S(−h)− I)</p><p>−h</p><p>)</p><p>w(s)→ −S(t− s)Aw(s)</p><p>quando h→ 0−, pois S(t− s) ∈ L(X) e lim</p><p>h→0−</p><p>(</p><p>S(−h)− I</p><p>−h</p><p>)</p><p>w(s) = Aw(s).</p><p>(ii) h > 0</p><p>Neste caso temos</p><p>(</p><p>S(t− s− h)− S(t− s)</p><p>h</p><p>)</p><p>w(s) = S(t− s− h)</p><p>(</p><p>I − S(h))</p><p>h</p><p>)</p><p>w(s)</p><p>= −S(t− s− h)</p><p>(</p><p>I − S(h)</p><p>−h</p><p>)</p><p>w(s) = −S(t− s− h)</p><p>(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>w(s)</p><p>= −S(t− s− h)</p><p>[(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>w(s)−Aw(s) +Aw(s)</p><p>]</p><p>= −S(t− s− h)</p><p>[(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>w(s)−Aw(s)</p><p>]</p><p>− S(t− s− h)Aw(s)→ −S(t− s− h)Aw(s).</p><p>quando h→ 0+, uma vez que ∥S(t−s−h)∥ é limitada em intervalos limitados, lim</p><p>h→0+</p><p>(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>w(s) =</p><p>Aw(s), e além disso, S é fortemente cont́ınuo, o que prova (2.1.10).</p><p>- 109 -</p><p>2.1 O Problema Homogêneo</p><p>Portanto de (2.1.8), (2.1.9) e (2.1.10) resulta que</p><p>d</p><p>ds</p><p>[S(t− s)w(s)] = S(t− s)Aw(s)− S(t− s)Aw(s) = 0,</p><p>para 0 ≤ s ≤ t</p><p>sn)w(sn)→ S(0)w(t), logo,</p><p>S(0)w(t) = c(t); ∀t ≥ 0,</p><p>e como S(0) = I vem que</p><p>w(t) = c(t); ∀t ≥ 0. (2.1.12)</p><p>Por outro lado, se s = 0 em (2.1.11) obtemos</p><p>S(t)w(0) = c(t) ∀t ≥ 0</p><p>e como w(0) = 0 vem que c(t) = 0 ∀t ≥ 0. Retornando a (2.1.12) conclúımos que w(t) = 0; ∀t ≥ 0, ou</p><p>seja, u(t) = v(t); ∀t ≥ 0, o que prova a unicidade.</p><p>Finalmente, de S ser um semigrupo de contrações, resulta de (2.1.2) e (2.1.3) que</p><p>∥u(t)∥ = ∥S(t)u0∥ ≤ ∥S(t)∥∥u0∥ ≤ ∥u0∥ ∀t ≥ 0,</p><p>∥du</p><p>dt</p><p>(t)∥ = ∥AS(t)u0∥ = ∥S(t)Au0∥ ≤ ∥S(t)∥∥Au0∥ ≤ ∥Au0∥, ∀t ≥ 0,</p><p>o que conclui a prova.</p><p>2</p><p>Completaremos a seguir, o resultado do Teorema 2.2 acima, demonstrando que a solução u de</p><p>(2.1.1) é mais regular com hipóteses suplementares sobre o dado inicial. Lembrando que A é o gerador</p><p>infinitesimal de um semigrupo de classe C0, então A é um operador fechado, dessa forma, definamos para</p><p>cada k ∈ N, k ≥ 2 o espaço</p><p>D(Ak) = {v ∈ D(Ak−1); Ak−1v ∈ D(A)}; k ∈ N, k ≥ 2. (2.1.13)</p><p>Provaremos a seguir, que D(Ak) é um espaço de Banach com a norma</p><p>∥u∥D(Ak) =</p><p> k∑</p><p>j=0</p><p>∥Aju∥2X</p><p> 1</p><p>2</p><p>(2.1.14)</p><p>Com efeito, seja {uν}ν∈N uma sequência de Cauchy em D(Ak) e consideremos µ, ν ∈ N com ν > µ.</p><p>Temos:</p><p>∥uν − uµ∥2D(Ak) =</p><p>k∑</p><p>j=0</p><p>∥Ajuν −Ajuµ∥2X → 0.</p><p>quando ν, µ→ +∞.</p><p>Desta última convergência resulta que {Ajuν}ν∈N é de Cauchy em X, para j = 0, 1, ..., k. Logo</p><p>- 110 -</p><p>2.1 O Problema Homogêneo</p><p>para cada j ∈ {0, 1, ..., k}, existe uj ∈ X tal que</p><p>Ajuν → uj em X quando ν → +∞.</p><p>Provaremos que u0 ∈ D(Ak). De fato, sendo A fechado vem que</p><p>u0 ∈ D(A) e Au0 = u1 (2.1.15)</p><p>Pelo mesmo motivo, temos</p><p>u1 = Au0 e A2u0 = u2 (2.1.16)</p><p>Se agirmos por recorrência obtemos:</p><p>uj−1 = Aj−1u0 ∈ D(A) e Aju0 = uj , j = 1, ..., k,</p><p>o que prova o desejado.</p><p>Teorema 2.3 Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo S de classe C0 tal que A ∈ G(1, w).</p><p>Suponhamos que u0 ∈ D(Ak), k ∈ N, k ≥ 2. Então a solução do problema (2.1.1) verifica também a</p><p>seguinte condição:</p><p>u ∈ Ck−j([0,∞);D(Aj)) para j = 0, 1, ..., k.</p><p>Demonstração: Começamos supondo k = 2 e seja u0 ∈ D(A2). Consideremos, então, o problema de</p><p>valor inicial </p><p>dv</p><p>dt</p><p>(t) = Av(t)</p><p>v(0) = Au0</p><p>(2.1.17)</p><p>Pelo Teorema 2.2, v(t) = S(t)Au0 é a única solução de (2.1.17) e verifica</p><p>v ∈ C([0,∞);D(A)) ∩ C1([0,∞);X).</p><p>Sendo u solução de (2.1.1), com dado inicial u0, temos</p><p>v(t) = S(t)Au0 = AS(t)u0 = Au(t) =</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t), ∀t ≥ 0, (2.1.18)</p><p>ou seja,</p><p>du</p><p>dt</p><p>∈ C([0,∞);D(A)) ∩ C1([0,∞);X),</p><p>e, assim, conclúımos que</p><p>u ∈ C1([0,∞);D(A)) ∩ C2([0,∞);X). (2.1.19)</p><p>Resta mostrar que</p><p>u ∈ C([0,∞);D(A2)). (2.1.20)</p><p>De fato, sendo u solução de (2.1.1), temos</p><p>u = S(.)u0 ∈ C([0,∞);D(A)).</p><p>Assim, se {tn} ⊂ [0,∞) e t0 ∈ [0,∞) são tais que tn → t0, então</p><p>∥u(tn)− u(t0)∥D(A) = ∥u(tn)− u(t0)∥X + ∥Au(tn)−Au(t0)∥X −→ 0. (2.1.21)</p><p>- 111 -</p><p>2.1 O Problema Homogêneo</p><p>Além disso, como v ∈ C([0,∞);D(A)), temos</p><p>∥v(tn)− v(t0)∥D(A) = ∥v(tn)− v(t0)∥X + ∥Av(tn)−Av(t0)∥X −→ 0,</p><p>e, sendo v = Au, resulta que</p><p>∥A2u(tn)−A2u(t0)∥X = ∥Av(tn)−Av(t0)∥X −→ 0.</p><p>Portanto,</p><p>∥u(tn)− u(t0)∥D(A2) = ∥u(tn)− u(t0)∥X + ∥Au(tn)−Au(t0)∥X</p><p>+ ∥A2u(tn)−A2u(t0)∥X −→ 0, (2.1.22)</p><p>donde u ∈ C([0,∞);D(A2)). O que prova o resultado para k = 2.</p><p>Suponhamos, agora, que o resultado é válido para k−1 e provemos para k. Ou seja, se uo ∈ D(Ak),</p><p>então</p><p>u ∈</p><p>k∩</p><p>j=0</p><p>Ck−j([0,∞);D(Aj)).</p><p>De fato, temos Au0 ∈ D(Ak−1) e, por hipótese de indução, resulta que</p><p>v = S(.)Au0 ∈</p><p>k−1∩</p><p>j=0</p><p>Ck−j−1([0,∞);D(Aj)). (2.1.23)</p><p>Mas,</p><p>v(t) = S(t)Au0 =</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t),</p><p>onde u(t) = S(t)u0, logo</p><p>u ∈</p><p>k−1∩</p><p>j=0</p><p>Ck−j([0,∞);D(Aj)).</p><p>Resta mostrar que</p><p>u ∈ C([0,∞);D(Ak)). (2.1.24)</p><p>De (2.1.23) temos, para j = k − 1, que</p><p>Au = v ∈ C([0,∞);D(Ak−1)),</p><p>donde u(t) ∈ D(Ak), para todo t ≥ 0 e também</p><p>∥Au(tn)−Au(t0)∥D(Ak−1) = ∥Au(tn)−Au(t0)∥X + . . .+ ∥Ak−1(Au(tn))−Ak−1(Au(t0))∥X</p><p>= ∥Au(tn)−Au(t0)∥X + . . .+ ∥Aku(tn)−AkAu(t0)∥X</p><p>−→ 0, (2.1.25)</p><p>para tn → t em [0,∞). Pelo Teorema (2.2), u ∈ C([0,∞), D(A)), donde</p><p>∥u(tn)− u(t0)∥X −→ 0.</p><p>Logo,</p><p>∥u(tn)− u(t0)∥D(Ak) −→ 0</p><p>quando tn → t0, o que prova (2.1.24) e conclui a prova do teorema.</p><p>2</p><p>- 112 -</p><p>2.1 O Problema Homogêneo</p><p>Teorema 2.4 Se A é o gerador infinitesimal de um semigrupo diferenciável de classe C0, então, para</p><p>cada u0 ∈ X existe uma única função</p><p>u ∈ C0((0,+∞);D(A)) ∩ C0([0,+∞);X) ∩ C1((0,+∞);X)</p><p>que verifica </p><p>du</p><p>dt</p><p>(t) = Au(t)em (0,+∞)</p><p>u(0) = u0</p><p>e</p><p>u ∈ Ck((0,+∞);D(Al)) ∀k, l ∈ N.</p><p>Demonstração: Definindo u(t) = S(t)u0, para todo t > 0, obtemos</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t) = Au(t); em (0,+∞)</p><p>u(0) = u0</p><p>visto que S é semigrupo diferenciável. Ainda, pelo Teorema 1.59, a aplicação</p><p>t ∈ (0,∞) −→ AS(t)u0 =</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t)</p><p>é cont́ınua, donde ∥∥∥∥dudt (tn)− du</p><p>dt</p><p>(t0)</p><p>∥∥∥∥</p><p>X</p><p>= ∥AS(tn)−AS(t0)∥X −→ 0,</p><p>para tn → t0 em (0,∞). Também,</p><p>∥u(tn)− u(t0)∥X = ∥S(tn)u0 − S(t0)u0∥X −→ 0,</p><p>e assim, conclúımos que</p><p>u ∈ C0((0,∞);D(A)) ∩ C1((0,∞);X).</p><p>E, do fato de S ser semigrupo de classe C0, obtemos</p><p>u ∈ C0([0,∞);X),</p><p>logo,</p><p>u ∈ C0((0,+∞);D(A)) ∩ C0([0,+∞);X) ∩ C1((0,+∞);X).</p><p>A unicidade segue pelos mesmos argumentos do Teorema (2.2).</p><p>Agora, sejam k, l ∈ N dados. Como S é semigrupo diferenciável, u(t) = S(t)u0 ∈ D(Al). Além</p><p>disso, a aplicação t ∈ (0,∞) −→ S(t)u0 = u(t) ∈ X é k vezes continuamente diferenciável, pelo Teorema</p><p>(1.59), donde</p><p>u ∈ Ck((0,+∞);D(Al)).</p><p>2</p><p>Lema 2.5 Seja A um operador dissipativo num espaço de Hilbert H e u : [0,∞) → H uma função</p><p>continuamente diferenciável que satisfaz</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t) = Au(t), ∀t ≥ 0.</p><p>Então, ∥u∥ é uma função decrescente.</p><p>- 113 -</p><p>2.1 O Problema Homogêneo</p><p>Demonstração: Como</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t) = Au(t),</p><p>então (</p><p>u(t),</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t)</p><p>)</p><p>= (u(t), Au(t)), ∀t ≥ 0.</p><p>Além disso,</p><p>1</p><p>2</p><p>d</p><p>dt</p><p>∥u(t)∥2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>d</p><p>dt</p><p>(u(t), u(t)) =</p><p>1</p><p>2</p><p>[(</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t), u(t)</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>u(t),</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t)</p><p>)]</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>2Re</p><p>(</p><p>u(t),</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t)</p><p>)</p><p>= Re</p><p>(</p><p>u(t),</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t)</p><p>)</p><p>isto é,</p><p>1</p><p>2</p><p>d</p><p>dt</p><p>∥u(t)∥2 = Re (u(t), Au(t)) .</p><p>Integrando a última igualdade de s a t, com 0 ≤ s ≤ t, temos</p><p>1</p><p>2</p><p>∥u(t)∥2 − 1</p><p>2</p><p>∥u(s)∥2 =</p><p>∫ t</p><p>s</p><p>Re (u(τ), Au(τ)) dτ ≤ 0,</p><p>posto que A é dissipativo. Logo,</p><p>∥u(t)∥ ≤ ∥u(s)∥</p><p>para 0 ≤ s ≤ t.</p><p>2</p><p>Lema 2.6 Seja A um operador dissipativo e auto-adjunto de um espaço de Hilbert H e u ∈ C2([0,∞);H)</p><p>que satisfaz</p><p>du</p><p>dt</p><p>= Au e</p><p>d2u</p><p>dt2</p><p>= A2u.</p><p>Então, ∥∥∥∥dudt (t)</p><p>∥∥∥∥ ≤ 1</p><p>t</p><p>∥u(0)∥.</p><p>Demonstração: Note que</p><p>du</p><p>dt</p><p>: [0,∞) −→ H</p><p>é uma função continuamente diferenciável que satisfaz</p><p>d</p><p>dt</p><p>(</p><p>du</p><p>dt</p><p>)</p><p>= A2u = A(Au) = A</p><p>(</p><p>du</p><p>dt</p><p>)</p><p>,</p><p>e como A é dissipativo, pelo Lema (2.5) resulta que ∥dudt ∥ é uma função decrescente. Então, para T > 0,∫ T</p><p>0</p><p>(</p><p>Au(t),</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t)</p><p>)</p><p>tdt =</p><p>∫ T</p><p>0</p><p>∥∥∥∥dudt (t)</p><p>∥∥∥∥2 tdt ≥ ∥∥∥∥dudt (T )</p><p>∥∥∥∥2 T 2</p><p>2</p><p>. (2.1.26)</p><p>Mas, como A é autoadjunto e (</p><p>Au,</p><p>du</p><p>dt</p><p>)</p><p>= (Au,Au) = ∥Au∥2 ∈ R,</p><p>- 114 -</p><p>2.1 O Problema Homogêneo</p><p>obtemos</p><p>d</p><p>dt</p><p>(u(t), Au(t)) =</p><p>(</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t), Au(t)</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>u(t),</p><p>d</p><p>dt</p><p>Au(t)</p><p>)</p><p>=</p><p>(</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t), Au(t)</p><p>)</p><p>+</p><p>(</p><p>u(t), A2u(t)</p><p>)</p><p>= 2</p><p>(</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t), Au(t)</p><p>)</p><p>, (2.1.27)</p><p>e, integrando por partes,∫ T</p><p>0</p><p>(</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t), Au(t)</p><p>)</p><p>tdt =</p><p>1</p><p>2</p><p>∫ T</p><p>0</p><p>d</p><p>dt</p><p>(u(t), Au(t))tdt</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(u(T ), Au(T ))T − 1</p><p>2</p><p>∫ T</p><p>0</p><p>(u(t), Au(t))dt. (2.1.28)</p><p>Além disso,</p><p>1</p><p>2</p><p>d</p><p>dt</p><p>∥u(t)∥2 = Re(u(t), Au(t)),</p><p>mas,</p><p>(u(t), Au(t)) = (Au(t), u(t)) = (u(t), Au(t)),</p><p>logo,</p><p>(u(t), Au(t)) ∈ R,</p><p>portanto</p><p>1</p><p>2</p><p>d</p><p>dt</p><p>∥u(t)∥2 = (u(t), Au(t))</p><p>e, consequentemente,</p><p>1</p><p>2</p><p>∥u(T )∥2 − 1</p><p>2</p><p>∥u(0)∥2 =</p><p>∫ T</p><p>0</p><p>(u(t), Au(t))dt.</p><p>Assim, ∥∥∥∥dudt (T )</p><p>∥∥∥∥2 T 2</p><p>2</p><p>≤</p><p>∫ T</p><p>0</p><p>(</p><p>Au(t),</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t)</p><p>)</p><p>tdt =</p><p>∫ T</p><p>0</p><p>(</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t), Au(t)</p><p>)</p><p>tdt</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(u(T ), Au(T ))T − 1</p><p>4</p><p>∥u(T )∥2 + 1</p><p>4</p><p>∥u(0)∥2</p><p>e, como</p><p>1</p><p>2</p><p>(u(T ), Au(T ))T, −1</p><p>4</p><p>∥u(T )∥2 ≤ 0,</p><p>temos ∥∥∥∥dudt (T )</p><p>∥∥∥∥ T√</p><p>2</p><p>≤ 1</p><p>2</p><p>∥u(0)∥,</p><p>ou, ainda, ∥∥∥∥dudt (T )</p><p>∥∥∥∥ ≤ √22T</p><p>∥u(0)∥ ≤ 1</p><p>T</p><p>∥u(0)∥.</p><p>2</p><p>Proposição 2.7 Se A é um operador m-dissipativo e auto-adjunto de um espaço de Hilbert H, então o</p><p>semigrupo S de classe C0 gerado por A é diferenciável.</p><p>Demonstração: Sejam x ∈ H e t > 0. Provemos que S(t)x ∈ D(A).</p><p>Como D(A2) é denso em H, existe {xn} ⊂ D(A2) tal que xn → x em H. Agora,</p><p>∥S(t)xn − S(t)x∥H ≤ ∥S(t)∥(H)∥xn − xm∥H</p><p>- 115 -</p><p>2.2 Formas Sesquilineares e Semigrupos</p><p>e como, xn ∈ D(A2), ∀n ∈ N, temos pelo Teorema</p><p>2.3 S(.)xn ∈ C2([0,∞);H) e, além disso,</p><p>d</p><p>dt</p><p>S(.)xn = AS(.)xn e</p><p>d2</p><p>dt2</p><p>S(.)xn = A2S(.)xn.</p><p>Assim,</p><p>∥AS(t)xn −AS(t)xm∥H = ∥AS(t)(xn − xm)∥H ≤</p><p>1</p><p>t</p><p>∥xn − xm∥H ,</p><p>pelo Lema 2.6. Logo, quando n → ∞ temos S(t)xn → S(t)x em H e AS(t)xn → y em H, para algum</p><p>y ∈ H, posto que H é completo. Mas, A é fechado, portanto, S(t)x ∈ D(A) e y = AS(t)x.</p><p>2</p><p>2.2 Formas Sesquilineares e Semigrupos</p><p>Sejam V,H espaços de Hilbert complexos com</p><p>V ↪→ H (↪→ imersão cont́ınua) (2.2.29)</p><p>Assumamos que</p><p>V é denso em H (2.2.30)</p><p>Denotaremos por (., .) e ((., .)) os produtos internos em H e V , respectivamente.</p><p>Seja (u, v) ∈ V × V 7−→ a(u, v) uma aplicação sesquilinear e cont́ınua e suponhamos que exista</p><p>λ0 ∈ R e α > 0 tais que:</p><p>Re(a(v, v)) + λ0|v|2 ≥ α∥v∥2; ∀v ∈ V (2.2.31)</p><p>Sejam A : D(A) ⊂ H → H o operador definido pela terna {V,H, a(u, v)} e B : D(B) ⊂ H → H o</p><p>operador definido pela terna {V,H, b(u, v)} onde</p><p>b(u, v) = a(u, v) + λ0(u, v)</p><p>Em virtude de (2.2.31) temos que b(u, v) é coercivo. Logo, D(B) é denso em H e B é um operador</p><p>fechado. Contudo, pelo fato de</p><p>D(A) = D(B) e B = A+ λ0I (2.2.32)</p><p>temos igualmente que D(A) é denso em H e A é fechado em H. Temos o seguinte resultado:</p><p>Teorema 2.8 Nas hipóteses precedentes, temos:</p><p>(a) −A é o gerador infinitesimal de um semigrupo S de classe C0 em H que satisfaz:</p><p>∥S(t)∥L(H) ≤ eλ0t, ∀t ≥ 0. (2.2.33)</p><p>(b) −A é o gerador infinitesimal de um semigrupo anaĺıtico.</p><p>Demonstração: a) Usaremos o Teorema de Hille-Yosida. Sabemos da Teoria Espectral que</p><p>D(A) = D(−A) é denso em H e −A é um operador fechado. (2.2.34)</p><p>Provaremos que</p><p>Para cada λ > λ0, λ ∈ ρ(−A) e, além disso, ∥R(λ,−A)∥L(H) ≤</p><p>1</p><p>λ− λ0</p><p>(2.2.35)</p><p>- 116 -</p><p>2.2 Formas Sesquilineares e Semigrupos</p><p>De fato, seja λ > λ0. Provaremos inicialmente que (λI + A) é inverśıvel, o que é equivalente a</p><p>mostrar que</p><p>Dado f ∈ H; existe único u ∈ D(A) tal que (λI +A)u = f, (2.2.36)</p><p>ou ainda,</p><p>Dado f ∈ H; existe único u ∈ D(A) tal que λ(u, v) + a(u, v) = (f, v);∀v ∈ V, (2.2.37)</p><p>já que (Au, v) = a(u, v); para todo u ∈ D(A) e para todo v ∈ V.</p><p>Mas graças a (2.2.31) temos:</p><p>Re [a(v, v) + λ(v, v)] = Rea(v, v) + λ|v|2 − λ0|v|2 + λ0|v|2</p><p>≥ α∥v∥2 + (λ− λ0)|v|2 > α∥v∥2; ∀v ∈ V</p><p>Logo,</p><p>bλ(u, v) = a(u, v) + λ(u, v)</p><p>é, para λ > λ0, uma forma sesquilinear, cont́ınua e coerciva em V . Identificando-se H ≡ H ′ então f ∈ V ′</p><p>e por Lax-Milgram existe um único u ∈ V tal que</p><p>bλ(u, v) = (f, v); ∀v ∈ V.</p><p>Resulta dáı que</p><p>a(u, v) = (f − λu, v); ∀v ∈ V e ∀λ > λ0,</p><p>e como f − λu ∈ H vem que u ∈ D(A), o que prova (2.2.37) e consequentemente (2.2.36). Logo, para</p><p>cada λ > λ0, existe (λI +A)−1 : H → D(A). Provaremos a seguir, que</p><p>(λI +A)−1 é fechado em H. (2.2.38)</p><p>Com efeito, considere</p><p>yn → y em H e (λI +A)−1yn → x em H (2.2.39)</p><p>Devemos provar que</p><p>y ∈ H e x = (λI +A)−1y.</p><p>Como, é claro que y ∈ H, basta provarmos que</p><p>(λI +A)x = y (2.2.40)</p><p>De fato, pondo xn = (λI +A)−1yn de (2.2.39) vem que xn → x em H e (λI +A)xn = yn → y em</p><p>H.</p><p>Sendo (λI +A) fechado resulta que x ∈ D(A) e y = (λI +A)x, o que prova (2.2.40) e consequen-</p><p>temente (2.2.38). Resulta dáı que (λI +A)−1 ∈ L(H), ∀λ > λ0 e consequentemente que λ ∈ ρ(−A) para</p><p>λ > λ0. Resta-nos provar que</p><p>∥(λI +A)−1∥L(H) ≤</p><p>1</p><p>λ− λ0</p><p>(2.2.41)</p><p>- 117 -</p><p>2.2 Formas Sesquilineares e Semigrupos</p><p>Com efeito, tomando v = u em (2.2.37) obtemos</p><p>λ|u|2 + a(u, u) = (f, u)</p><p>o que implica</p><p>λ|u|2 +Rea(u, u) = Re(f, u) (2.2.42)</p><p>Combinando (2.2.31) e (2.2.42) resulta que</p><p>|f∥u| ≥ Re(f, u) = λ|u|2 +Rea(u, u)</p><p>≥ λ|u|2 + α∥u∥2 − λ0|u|2</p><p>= (λ− λ0)|u|2 + α∥u∥2</p><p>≥ (λ− λ0)|u|2</p><p>e para λ > λ0 resulta que</p><p>|u| ≤ 1</p><p>λ− λ0</p><p>|f |. (2.2.43)</p><p>Combinando (2.2.36) e (2.2.43) temos</p><p>|(λI +A)−1f | ≤ 1</p><p>λ− λ0</p><p>|f |; ∀λ > λ0.</p><p>Consequentemente</p><p>∥(λI +A)−1∥L(H) ≤</p><p>1</p><p>λ− λ0</p><p>o que prova o item (a).</p><p>b) Seja B = A+ λ0I o operador aludido em 2.2.32.</p><p>Temos, em virtude de (2.2.31) e da continuidade de b(u, v) que</p><p>Re(Bu, u) = Rea(u, u) + λ0|u|2 ≥ α∥u∥2 ≥ 0; ∀u ∈ D(B), (2.2.44)</p><p>∥Im(Bu, u)∥ ≤ |(Bu, u)| ≤ |b(u, u)| ≤ c∥u∥2; ∀u ∈ D(B). (2.2.45)</p><p>Introduzamos o conjunto no plano complexo</p><p>S(B) =</p><p>{</p><p>(Bu, u)</p><p>|u|2</p><p>;u ̸= 0;u ∈ D(B)</p><p>}</p><p>(2.2.46)</p><p>e consideremos z ∈ S(B). Então, z =</p><p>(Bu, u)</p><p>|u|2</p><p>, para algum u ∈ D(B), u ̸= 0. Temos</p><p>tan(arg z) =</p><p>sen(arg z)</p><p>cos(arg z)</p><p>=</p><p>Imz</p><p>|z|</p><p>Rez</p><p>|z|</p><p>=</p><p>Imz</p><p>Rez</p><p>=</p><p>Im( (Bu,u)</p><p>|u|2 )</p><p>Re (Bu,u)</p><p>|u|2</p><p>=</p><p>Im(Bu, u)</p><p>Re(Bu, u)</p><p>. (2.2.47)</p><p>De (2.2.44) e (2.2.45) podemos escrever</p><p>−c</p><p>α</p><p>≤ −c∥u∥2</p><p>Re(Bu, u)</p><p>≤ Im(Bu, u)</p><p>Re(Bu, u)</p><p>≤ c∥u∥2</p><p>Re(Bu, u)</p><p>≤ c</p><p>α</p><p>.</p><p>Resulta da desigualdade anterior e de (2.2.47) a existência de uma constante c1 tal que</p><p>- 118 -</p><p>2.2 Formas Sesquilineares e Semigrupos</p><p>−c1</p><p>α</p><p>0 independente de p tal que θ 0 e µ ̸= 0. Escrevendo p = −λ − iµ ∈ C, temos −λ 0,∀µ ∈ R∗, onde C =</p><p>1</p><p>cθ</p><p>. (2.2.56)</p><p>Por outro lado, note que −A ∈ G(1, λ0), e pela Proposição 1.38, −A−λ0I = −B ∈ G(1, 0). Ainda,</p><p>temos que (0I + B)−1 = (λ0I + A)−1 existe e B−1 = (λ0I + A)−1 ∈ L(H), e portanto, 0 ∈ ρ(−B). Pelo</p><p>Teorema 1.66 e 2.2.56, −B é gerador infinitesimal de um semigrupo anaĺıtico, digamos S̃.</p><p>Defina S(z) = eλ0zS̃(z). Então S(z) é um semigrupo anaĺıtico cujo gerador infinitesimal é −A.</p><p>2</p><p>2.2.1 Aplicações</p><p>(A) Caso Parabólico:</p><p>Nas hipóteses do Teorema 2.8 temos, em função do Teorema 2.2 que, dado</p><p>u0 ∈ D(A) = D(B), os</p><p>problemas {</p><p>du</p><p>dt = −Bu</p><p>u(0) = u0</p><p>e</p><p>{</p><p>du</p><p>dt = −Au</p><p>u(0) = u0</p><p>(2.2.57)</p><p>possuem soluções únicas na classe:</p><p>u ∈ C0([0,∞);D(A)) ∩ C1([0,∞);H) (2.2.58)</p><p>Além disso, se u0 ∈ D(Ak), k ≥ 2, graças ao Teorema 2.3 as soluções dos problemas (2.2.57) verificam</p><p>a condição:</p><p>u ∈ Ck−j([0,∞);D(Aj)) para j = 0, 1, ..., k. (2.2.59)</p><p>- 121 -</p><p>2.2 Formas Sesquilineares e Semigrupos</p><p>Agora, dado u0 ∈ H os problemas (2.2.57) possuem, soluções únicas na classe</p><p>u ∈ C0(]0,∞[;D(A)) ∩ C0([0,∞);H) ∩ C1(]0,∞);H), (2.2.60)</p><p>pelo Teorema 2.4 e pelo fato de que −A e −B geram semigrupos anaĺıticos.</p><p>Observação 2.9 Uma outra forma de obter soluções regulares para os problemas (2.2.57) na classe</p><p>(2.2.58) é lançar mão do Teorema de Lumer-Phillips.</p><p>Com efeito, para cada λ > 0 definimos</p><p>bλ(u, v) = a(u, v) + (λ+ λ0)(u, v) = b(u, v) + λ(u, v); u, v ∈ V.</p><p>Então, para cada λ > 0, bλ(u, v) é uma forma bilinear e de (2.2.31) temos também a coercividade de</p><p>bλ(u, v). Portanto, o operador</p><p>Bλ = B + λI ↔ {V,H; bλ(u, v)}</p><p>é uma bijeção de D(B) em H. Consequentemente</p><p>Im[λI − (−B)] = H; ∀λ > 0. (2.2.61)</p><p>Por outro lado, notemos que se u ∈ D(B) então do fato que se B ← {V,H, b(u, v)} resulta que</p><p>Re(−Bu, u) = −Re(b(u, u)) = −Re[a(u, u) + λ0|u|2]. ≤ −α∥u∥2 ≤ 0; ∀u ∈ D(B). (2.2.62)</p><p>Logo, do fato de D(B) ser denso em H e levando-se consideração (2.2.61) e (2.2.62) conclúımos, em</p><p>virtude de Teorema de Lumer-Phillips que</p><p>−B ∈ G(1, 0) (2.2.63)</p><p>isto é, −B é o gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações. Mas como D(A) = D(B) e B =</p><p>A+ λ0I da Proposição 1.38 vem que</p><p>−A ∈ G(1, λ0), (2.2.64)</p><p>ou seja, −A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0 que verifica</p><p>∥S(t)∥ ≤ eλ0t; ∀t ≥ 0. (2.2.65)</p><p>Desta forma, dado u0 ∈ D(A) = D(B) os problemas de Cauchy dados em (2.2.57) possuem, graças ao</p><p>Teorema 2.1.1 soluções únicas na classe (2.2.58) conforme aludido no ińıcio da Observação. Além disso,</p><p>a solução associada ao operador B verifica:</p><p>∥u∥ ≤ ∥u0∥ e ∥du</p><p>dt</p><p>(t)∥ ≤ ∥Bu0∥.</p><p>(B) Caso Hiperbólico</p><p>Sejam V e H espaços de Hilbert tais que</p><p>V ↪→ H e V é denso em H. (2.2.66)</p><p>Consideramos a(u, v) uma forma sesquilinear, cont́ınua, coerciva e hermitiana em V . Logo a(u, v)</p><p>define um produto interno ((., .)) em V . Seja</p><p>A↔ {V,H, a(u, v)}.</p><p>- 122 -</p><p>2.2 Formas Sesquilineares e Semigrupos</p><p>Conforme é bem sabido, D(A) é denso em V e A é um operador fechado, auto-adjunto, não limitado</p><p>e bijetor. Consideremos o problema:</p><p> d2u</p><p>dt2</p><p>+Au = 0;</p><p>u(0) = u0, ut(0) = u1.</p><p>(2.2.67)</p><p>Provaremos, a seguir, que se u0 ∈ D(A) e u1 ∈ V então o problema (2.2.67) admite uma única</p><p>solução regular. Com efeito, considerando-se a mudança de variáveis</p><p>v =</p><p>du</p><p>dt</p><p>, (2.2.68)</p><p>então pondo-se</p><p>U =</p><p>[</p><p>u</p><p>v</p><p>]</p><p>, (2.2.69)</p><p>resulta em virtude de (2.2.67) e (3.2.13) que</p><p>dU</p><p>dt</p><p>=</p><p>[</p><p>du</p><p>dt</p><p>dv</p><p>dt</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>v</p><p>−Au</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0 I</p><p>−A 0</p><p>] [</p><p>u</p><p>v</p><p>]</p><p>. (2.2.70)</p><p>Definindo D(B) = D(A)× V e</p><p>B : D(B)→ V ×H</p><p>[u, v] 7−→ B([u, v]) =</p><p>[</p><p>0 I</p><p>−A 0</p><p>] [</p><p>u</p><p>v</p><p>]</p><p>(2.2.71)</p><p>de (2.2.67)− (3.2.16) chegamos a</p><p></p><p>dU</p><p>dt</p><p>= Bu;</p><p>U(0) = U0,</p><p>(2.2.72)</p><p>onde U0 =</p><p>[</p><p>u0</p><p>u1</p><p>]</p><p>.</p><p>Notemos que através da mudança de variáveis dada em (3.2.13) os problemas (2.2.67) e (2.2.72)</p><p>são equivalentes.</p><p>Definamos</p><p>H = V ×H. (2.2.73)</p><p>Notemos que D(B) é denso em H, pois D(A) é denso em V e este, por sua vez é denso em H.</p><p>Desta forma, podemos falar no adjunto de B. Lembremos que B∗ é um operador deH cujo domı́nio</p><p>é dado por</p><p>D(B∗) = {v ∈ H;∃v∗ ∈ H tal que (Bu, v)H = (u, v∗)H;∀u ∈ D(B)}</p><p>e B∗v = v∗;∀v ∈ D(B∗). Afirmamos que</p><p>B∗ = −B. (2.2.74)</p><p>- 123 -</p><p>2.2 Formas Sesquilineares e Semigrupos</p><p>De fato, seja v ∈ D(B∗). Então v = [v1, v2] ∈ V ×H e existe v∗ = [v∗1 , v</p><p>∗</p><p>2 ] ∈ V ×H tal que</p><p>(B[u1, u2], [v1, v2])H = ([u1, u2], [v</p><p>∗</p><p>1 , v</p><p>∗</p><p>2 ])H</p><p>para todo [u1, u2] ∈ D(A)× V, ou seja,</p><p>([u2,−Au1], [v1, v2])H = ([u1, u2], [v</p><p>∗</p><p>1 , v</p><p>∗</p><p>2 ])H</p><p>para todo [u1, u2] ∈ D(A)× V, o que implica</p><p>((u2, v1)) + (−Au1, v2) = ((u1, v</p><p>∗</p><p>1)) + (u2, v</p><p>∗</p><p>2), (2.2.75)</p><p>para todo u1 ∈ D(A) e para todo u2 ∈ V.</p><p>Tomando-se, em particular, u1 = 0 em (2.2.75) obtemos</p><p>((u2, v1)) = (u2, v</p><p>∗</p><p>2) ∀u2 ∈ V. (2.2.76)</p><p>Resulta de (2.2.76) que</p><p>v1 ∈ D(A) e v∗2 = Av1. (2.2.77)</p><p>Pois,</p><p>((u2, v1)) = (u2, v</p><p>∗</p><p>2)⇒ ((u2, v1)) = (u2, v∗2)⇒ ((v1, u2)) = (v∗2 , u2).</p><p>Logo, de 2.2.76 existe v∗2 ∈ H tal que</p><p>((v1, u2)) = (v∗2 , u2) ∀u2 ∈ V,</p><p>o que implica v1 ∈ D(A). Além disso,</p><p>(v∗2 , u2) = ((v1, u2)) = a(v1, u2) = (Av1, u2), ∀u2 ∈ V.</p><p>Logo,</p><p>(Av1 − v∗2 , u2) = 0 ∀u2 ∈ V. (2.2.78)</p><p>Como V é denso em H, 2.2.78 vale para todo u2 ∈ H. Assim, em particular, para u2 = Av1 − v∗2 temos</p><p>(Av1 − v∗2 , Av1 − v∗2) = 0⇒ Av1 − v∗2 = 0⇒ Av1 = v∗2 .</p><p>Agora substituindo-se (2.2.77) em (2.2.75) vem que</p><p>((u2, v1)) + (−Au1, v2) = ((u1, v</p><p>∗</p><p>1)) + (u2, Av1);∀u1 ∈ D(A) e ∀u2 ∈ V.</p><p>Em particular, para u2 = 0 temos</p><p>(−Au1, v2) = ((u1, v</p><p>∗</p><p>1));∀u1 ∈ D(A),</p><p>o que implica, em virtude da bijetividade de A : D(A)→ H, que</p><p>v∗1 = −v2. (2.2.79)</p><p>- 124 -</p><p>2.2 Formas Sesquilineares e Semigrupos</p><p>De (2.2.77) e (2.2.79) resulta que</p><p>[v1, v2] ∈ D(A)× V = D(B),</p><p>ou seja,</p><p>D(B∗) ⊂ D(B). (2.2.80)</p><p>Além disso,</p><p>B∗v = v∗ = [v∗1 , v</p><p>∗</p><p>2 ] = [−v2, Av1] = −[v2,−Av1] = −Bv. (2.2.81)</p><p>Reciprocamente, seja [v1, v2] ∈ D(B) = D(A) × V . Provaremos que existe [v∗1 , v</p><p>∗</p><p>2 ] ∈ V × H tal que a</p><p>relação dada em (2.2.75) se verifique. Com efeito, seja [u1, u2] ∈ D(A)× V e consideremos</p><p>v∗1 = −v2 e v∗2 = Av1.</p><p>Temos</p><p>((u1, v</p><p>∗</p><p>1)) + (u2, v</p><p>∗</p><p>2) = ((u1,−v2)) + (u2, Av1)</p><p>= (−Au1, v2) + ((u2, v1))</p><p>= ((u2, v1)) + (−Au1, v2)</p><p>o que prova o desejado em (2.2.75) e consequentemente que [v1, v2] ∈ D(B∗), isto é,</p><p>D(B) ⊂ D(B∗). (2.2.82)</p><p>De (2.2.80), (2.2.81) e (2.2.82) fica provado (2.2.74). Resulta dáı, em virtude do Teorema de Stone, que</p><p>B é o gerador infinitesimal de um grupo unitário de classe C0 e, consequentemente, de um semigrupo S</p><p>de classe C0 que possui a seguinte propriedade:</p><p>(S(t))∗ = (S(t))−1 ∀t ≥ 0. (2.2.83)</p><p>Logo, pondo-se</p><p>U(t) = S(t)U0, ∀t ≥ 0. (2.2.84)</p><p>Temos em decorrência do Teorema 2.2 que U é a única solução regular do problema de Cauchy</p><p>dado em (2.2.72) e pertence a classe</p><p>U ∈ C0([0,+∞);D(B)) ∩ C1([0,+∞);H). (2.2.85)</p><p>Agora de (2.2.85) e em função da mudança de variáveis (3.2.13), temos que o problema (2.2.67)</p><p>admite uma única solução u na classe</p><p>u ∈ C0([0,+∞);D(A)) ∩ C1([0,+∞);V )</p><p>ut ∈ C0([0,+∞);V ) ∩ C1([0,+∞);H)</p><p>- 125 -</p><p>2.2 Formas Sesquilineares e Semigrupos</p><p>e dáı vem que</p><p>u ∈ C0([0,+∞);D(A)) ∩ C1([0,+∞);V ) ∩ C2([0,+∞);H). (2.2.86)</p><p>Notemos também que de (2.2.73) e (2.2.84) resulta que</p><p>∥S(t)U0∥H = ∥U0∥H, ∀t ≥ 0</p><p>ou seja,</p><p>∥U(t)∥V×H = ∥[u0, u1]∥H, ∀t ≥ 0,</p><p>ou ainda,</p><p>∥u(t)∥2 + |u′(t)|2 = ∥u0∥2 + |u1|2, ∀t ≥ 0. (2.2.87)</p><p>A identidade em (2.2.87) é conhecida como a identidade da energia.</p><p>Agora, definindo</p><p>à : V −→ V ′</p><p>pondo</p><p>⟨Ãu, v⟩V ′×V = a(u, v), ∀(u, v) ∈ V × V.</p><p>Temos que à é uma isometria linear e define em V ′ o seguinte produto interno</p><p>(u, v)V ′×V ′ = ((Ã−1u, Ã−1v)) ∀u, v ∈ V ′</p><p>e ainda,</p><p>Ãu = Au ∀u ∈ D(A).</p><p>Consideremos o problema:</p><p> d2u</p><p>dt2</p><p>+ Ãu = 0</p><p>u(0) = u0, ut(0) = u1.</p><p>(2.2.88)</p><p>Provaremos, a seguir, que se u0 ∈ V e u1 ∈ H, então o problema (2.2.88) admite uma única solução</p><p>regular.</p><p>Como anteriormente, consideremos a mudança de variáveis</p><p>v =</p><p>du</p><p>dt</p><p>, (2.2.89)</p><p>e coloquemos</p><p>U =</p><p>[</p><p>u</p><p>v</p><p>]</p><p>, (2.2.90)</p><p>resulta em virtude de (2.2.88) e (2.2.89) que</p><p>dU</p><p>dt</p><p>=</p><p>[</p><p>du</p><p>dt</p><p>dv</p><p>dt</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>v</p><p>−Au</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0 I</p><p>−à 0</p><p>] [</p><p>u</p><p>v</p><p>]</p><p>. (2.2.91)</p><p>- 126 -</p><p>2.2 Formas Sesquilineares e Semigrupos</p><p>Definindo</p><p>B : V ×H → H × V ′</p><p>[u, v] 7−→ B([u, v]) =</p><p>[</p><p>0 I</p><p>−à 0</p><p>] [</p><p>u</p><p>v</p><p>]</p><p>(2.2.92)</p><p>de (2.2.88)− (2.2.92) chegamos a</p><p></p><p>dU</p><p>dt</p><p>= Bu</p><p>U(0) = U0,</p><p>(2.2.93)</p><p>onde U0 =</p><p>[</p><p>u0</p><p>u1</p><p>]</p><p>.</p><p>Notemos que através de mudança da variáveis dada em (2.2.89) os problemas (2.2.88) e (2.2.93)</p><p>são equivalentes.</p><p>Como antes, nosso objetivo é mostrar que B gera um grupo unitário e para tal devemos mostrar</p><p>que</p><p>B∗ = −B.</p><p>Seja [z, w] ∈ D(B∗). Então, por definição, existe [z∗, w∗] ∈ H × V ′ tal que</p><p>(B[u, v], [z, w])H×V ′ = ([u, v], [z∗, w∗])H×V ′</p><p>para</p><p>todo [u, v] ∈ V ×H, ou seja,</p><p>([v,−Ãu], [z, w])H×V ′ = ([u, v], [z∗, w∗])H×V ′</p><p>para todo [u, v] ∈ V ×H o que implica</p><p>(v, z)H + (−Ãu, w)V ′ = (u, z∗)H + (v, w∗)V ′ , ∀[u, v] ∈ V ×H (2.2.94)</p><p>Tomando-se, em particular, v = 0 em (2.2.94) obtemos</p><p>(−Ãu, w)V ′ = (u, z∗)H , ∀u ∈ V.</p><p>Agora,</p><p>(−Ãu, w)V ′ = ((−Ã−1(Ãu), Ã−1w))</p><p>= ((u,−Ã−1w))</p><p>= a(u,−Ã−1w)</p><p>portanto,</p><p>a(u,−Ã−1w) = (u, z∗)H , ∀u ∈ V,</p><p>de onde segue que, −Ã−1w ∈ D(A) e A(−Ã−1w) = z∗ e, como A ≡ à em D(A), temos</p><p>z∗ = −w.</p><p>Agora fazendo u = 0 em (2.2.94) vem que</p><p>(v, z)H = (v, w∗)V ′ , ∀v ∈ H.</p><p>- 127 -</p><p>2.3 O Problema Não Homogêneo</p><p>Mas,</p><p>(v, z)H = (Av1, z)H = a(v1, z) = ((v1, z))</p><p>e</p><p>(v, w∗)V ′ = (Av1, w</p><p>∗)V ′ = ((v1, Ã</p><p>−1w∗))</p><p>pois A é bijeção. Logo,</p><p>((v1, z)) = ((v1, Ã</p><p>−1w∗)) ∀v1 ∈ D(A)</p><p>ou seja,</p><p>((v1, Ã</p><p>−1w∗ − z)) = 0 ∀v1 ∈ D(A)</p><p>e, como D(A) é denso em V segue que z = Ã−1w∗. Assim,</p><p>z ∈ V e Ãz = w∗.</p><p>Portanto temos que [z, w] ∈ V ×H e</p><p>B∗[z, w] = −B[z, w].</p><p>Reciprocamente, seja [z, w] ∈ V ×H e considere [z∗, w∗] = [−w, Ãz] ∈ H × V ′. De forma análoga</p><p>ao feito anteriormente, temos [z, w] ∈ D(B∗). E, consequentemente, B∗ = −B.</p><p>A conclusão é análoga ao caso [u0, u1] ∈ D(A)× V .</p><p>2.3 O Problema Não Homogêneo</p><p>Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo S, de classe C0, f : R+ → X uma função cont́ınua</p><p>com valores em um espaço de Banach X e consideremos o Problema de Cauchy Abstrato</p><p></p><p>du</p><p>dt</p><p>(t) = Au(t) + f(t), t > 0</p><p>u(0) = u0.</p><p>(2.3.95)</p><p>Definição 2.10 Uma função u : R+ → X é dita solução clássica de (2.3.95) se:</p><p>i) u for cont́ınua para t ≥ 0;</p><p>ii) u for continuamente diferenciável para t > 0;</p><p>iii) u(t) ∈ D(A) para t > 0;</p><p>iv) u satisfaz (2.3.95).</p><p>Seja u uma solução clássica de (2.3.95) e ponhamos</p><p>g(s) = S(t− s)u(s), 0 ≤ s ≤ t.</p><p>Temos, conforme demonstração do Teorema 2.2, que</p><p>dg</p><p>ds</p><p>(s) = S(t− s)du</p><p>ds</p><p>(s)− S(t− s)Au(s). (2.3.96)</p><p>Logo, de (2.3.96) da Proposição 1.30 e de (2.3.95) resulta que</p><p>dg</p><p>ds</p><p>(s) = S(t− s)[Au(s) + f(s)]− S(t− s)Au(s),</p><p>- 128 -</p><p>2.3 O Problema Não Homogêneo</p><p>ou seja,</p><p>dg</p><p>ds</p><p>(s) = S(t− s)f(s)</p><p>Integrando esta última identidade de 0 a t obtemos</p><p>g(t)− g(0) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(s)ds,</p><p>ou ainda,</p><p>u(t) = S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(s)ds (2.3.97)</p><p>que é uma condição necessária para que u seja uma solução clássica de (2.3.95).</p><p>Satisfeitas as hipóteses estipuladas acima, a fórmula (2.3.97) tem sentido quer u seja ou não clássica</p><p>de (2.3.95). Por isso, temos a seguinte definição</p><p>Definição 2.11 Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, consideremos u0 ∈ X e</p><p>f ∈ L1(0, T ;X). A função u ∈ C0([0, T ];X) dado por</p><p>u(t) = S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(s)ds; 0 ≤ t ≤ T,</p><p>é dita solução generalizada (mild) do problema 2.3.95 sobre [0, T ].</p><p>Convém observar que as soluções generalizadas de (2.3.95) não são, necessariamente, soluções</p><p>clássicas, mesmo que f seja cont́ınua, como se vê fazendo</p><p>f(t) = S(t)v /∈ D(A),∀t ≥ 0, v ∈ X.</p><p>Neste caso,</p><p>u(t) = S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)S(s)vds</p><p>= S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t)vds</p><p>= S(t)u0 + tS(t)v</p><p>é uma solução generalizada, que não é uma solução clássica, porque esta função não é diferenciável para</p><p>t ≥ 0. E mais, deste exemplo, resulta que somente a continuidade de f não garante a existência de</p><p>solução clássica. Assim, para que uma solução generalizada seja uma solução clássica é necessário que A</p><p>ou f satisfaçam condições adicionais, conforme veremos a seguir.</p><p>Como consequência imediata de 2.3.97 e do Teorema 2.2 temos</p><p>Proposição 2.12 O sistema (2.3.95) tem no máximo uma solução clássica.</p><p>Teorema 2.13 O sistema (2.3.95) tem uma solução clássica para cada u0 ∈ D(A) se, e somente se, a</p><p>função v dada por</p><p>v(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(s)ds (2.3.98)</p><p>for continuamente diferenciável para t > 0.</p><p>- 129 -</p><p>2.3 O Problema Não Homogêneo</p><p>Demonstração:</p><p>Seja u solução clássica de (2.3.95) para u0 ∈ D(A). De (2.3.97) e (2.3.98) podemos escrever</p><p>v(t) = u(t)− S(t)u0.</p><p>Sendo u solução clássica de (2.3.95) então por definição u é cont́ınua para t ≥ 0, u(t) ∈ D(A) para t > 0,</p><p>u é continuamente diferenciável para t > 0. Também, pelo fato de u0 ∈ D(A) resulta, em virtude da</p><p>Proposição 1.30, que S(t)u0 ∈ D(A),∀t ≥ 0 e, além disso,</p><p>v′(t) = u′(t)− S(t)Au0</p><p>que é cont́ınua para t > 0. Logo v é continuamente diferenciável.</p><p>Reciprocamente suponhamos que v(t) dado em (2.3.98) é continuamente diferenciável para t > 0.</p><p>Para h > 0, definamos</p><p>Ahv(t) =</p><p>S(h)v(t)− v(t)</p><p>h</p><p>. (2.3.99)</p><p>Então de (2.3.98) e (2.3.99) podemos escrever</p><p>Ahv(t) =</p><p>1</p><p>h</p><p>[∫ t</p><p>0</p><p>S(t+ h− s)f(s)ds−</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(s)ds</p><p>]</p><p>=</p><p>1</p><p>h</p><p>[∫ t+h</p><p>0</p><p>S(t+ h− s)f(s)ds−</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(s)ds</p><p>]</p><p>− 1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(t+ h− s)f(s)ds</p><p>=</p><p>v(t+ h)− v(t)</p><p>h</p><p>− 1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(t+ h− s)f(s)ds. (2.3.100)</p><p>Pelo fato de f ser cont́ınua em R+, o segundo membro do lado direito de (2.3.100) tem limite</p><p>f(t) quando h→ 0+, o mesmo acontece para o primeiro membro que tem limite v′(t) h→ 0+. Logo, na</p><p>situação limite quando h→ 0+ de (2.3.100) vem que</p><p>v(t) ∈ D(A) e Av(t) = v′(t)− f(t).</p><p>Além disso, de (2.3.98) temos que v(0) = 0. Então, a função u dada por</p><p>u(t) = S(t)u0 + v(t)</p><p>é solução clássica de (2.3.95).</p><p>2</p><p>Corolário 2.14 Se v(t) ∈ D(A) para todo t > 0 e Av é cont́ınua, então o problema (2.3.95) tem uma</p><p>solução clássica para todo u0 ∈ D(A).</p><p>Demonstração:</p><p>De (2.3.100) obtemos</p><p>v(t+ h)− v(t)</p><p>h</p><p>= Ahv(t) +</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(t+ h− s)f(s)ds, (2.3.101)</p><p>- 130 -</p><p>2.3 O Problema Não Homogêneo</p><p>Como v(t) ∈ D(A) então</p><p>Ahv(t)→ Av(t),∀t > 0 quando h→ 0+. (2.3.102)</p><p>Também,</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(t+ h− s)f(s)ds→ f(t) quando h→ 0+, pois f é cont́ınua ∀t > 0. (2.3.103)</p><p>Logo, de (2.3.101), (2.3.102) e (2.3.103) resulta que v é derivável a direita em todo t > 0 e</p><p>d+v</p><p>dt</p><p>(t) = Av(t) + f(t).</p><p>Pela continuidade de Av e de f , por hipótese vem que</p><p>d+v</p><p>dt</p><p>(t) é cont́ınua. Logo pelo Lema de Dini,</p><p>resulta que v é continuamente diferenciável para t > 0 e do Teorema 2.13 resulta que o problema (2.3.95)</p><p>tem uma solução clássica ∀u0 ∈ D(A) que é dada por (2.3.97).</p><p>2</p><p>Proposição 2.15 Sejam A gerador infinitesimal de um semigrupo S de classe C0,</p><p>f : R+ → X uma função cont́ınua e suponhamos que f satisfaça uma das duas seguintes condições:</p><p>i) f é continuamente diferenciável para todo t ≥ 0.</p><p>ii) f(t) ∈ D(A) ∀t ≥ 0 e Af é integrável (em L1</p><p>loc(0,∞;X)). Então, para todo u0 ∈ D(A), (2.3.95)</p><p>tem uma única solução clássica.</p><p>Demonstração: Suponha que i) ocorra. Seja v(t) dada por (2.3.98), ou seja</p><p>v(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(s)ds =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(s)f(t− s)ds,</p><p>vem, para h > 0,</p><p>v(t+ h)− v(t)</p><p>h</p><p>=</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>0</p><p>S(s)f(t+ h− s)ds− 1</p><p>h</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(s)f(t− s)ds</p><p>=</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>0</p><p>S(s)(f(t+ h− s)− f(t− s))ds+</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(s)f(t− s)ds</p><p>=</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(s)(f(t+ h− s)− f(t− s))ds</p><p>+</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(s)(f(t+ h− s)− f(t− s))ds</p><p>+</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(s)(f(t+ h− s)− f(t− s))ds+</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(s)f(t− s)ds</p><p>=</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(s)(f(t+ h− s)− f(t− s))ds+</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(s)f ′(γ)ds</p><p>+</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(s)f(t− s)ds,</p><p>(2.3.104)</p><p>onde γ ∈]t− s, t− s+h[, pelo Teorema do Valor Médio, pois f(t− s+h)− f(t− s) = f ′(γ)h, para algum</p><p>- 131 -</p><p>2.3 O Problema Não Homogêneo</p><p>γ ∈]t− s, t− s+ h[. O termo à direita de (2.3.104) converge para∫ t</p><p>0</p><p>S(s)f ′(t− s)ds+ S(t)f(0) (2.3.105)</p><p>quando h → 0+. Da hipótese de f ser continuamente diferenciável para t ≥ 0 resulta de (2.3.104) e</p><p>(2.3.105) no limite que</p><p>dv+</p><p>dt</p><p>(t) = S(t)f(0) +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(s)f ′(t− s)ds</p><p>é cont́ınua para t > 0. Segue dáı em virtude do Lema de Dini que v é continuamente diferenciável para</p><p>t > 0. Logo pelo Teorema 2.13 o sistema (2.3.95) tem uma solução clássica para todo u0 ∈ D(A).</p><p>Agora, suponhamos que ii) ocorra. Do fato que f(s) ∈ D(A), vem, pela Proposição 1.29, que</p><p>S(t− s)f(s) ∈ D(A) e AS(t− s)f(s) = S(t− s)Af(s).</p><p>Da última identidade como Af é integrável e sendo A fechado temos∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)Af(s)ds =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>AS(t− s)f(s)ds = A</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(s)ds = Av(t),</p><p>ou seja, v(t) ∈ D(A) para t > 0 e Av é cont́ınua.</p><p>Logo, pelo Corolário 2.3.96 o problema (2.3.95) tem</p><p>uma única solução clássica para todo u0 ∈ D(A). A unicidade decorre como no caso homogêneo.</p><p>2</p><p>Concluiremos esta seção com alguns resultados concernentes a uma noção de solução que passamos</p><p>a definir.</p><p>Definição 2.16 Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo S de classe C0. Uma função u a qual</p><p>é diferenciável quase sempre sobre [0, T ] e tal que u′ ∈ L1(0, T ;X) é dita solução forte do problema de</p><p>valor inicial (2.3.95) se u(0) = u0 e u′(t) = Au(t) + f(t) quase sempre sobre [0, T ].</p><p>Note que se A ≡ 0 e f ∈ L1(0, T ;X) o problema de valor inicial (2.3.95) não possui, em geral,</p><p>solução clássica a menos que f seja cont́ınua. Contudo, terá sempre uma solução forte dada por:</p><p>u(t) = u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>f(s)ds.</p><p>Como feito no caso clássico, ma questão natural é determinar quando uma solução generalizada (mild)</p><p>de (2.3.95) é uma solução forte.</p><p>Teorema 2.17 Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo S de classe C0 e consideremos f ∈</p><p>L1(0, T ;X). Tomando</p><p>v(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(s)ds; 0 ≤ t ≤ T</p><p>e supondo que v(t) satisfaça umas das duas condições:</p><p>(i) v(t) é diferenciável quase sempre sobre [0, T ] e v′(t) ∈ L1(0, T ;X).</p><p>(ii) v(t) ∈ D(A) quase sempre sobre [0, T ] e Av(t) ∈ L1(0, T,X).</p><p>Então, (2.3.95) possui uma solução forte u sobre [0, T ] para algum u0 ∈ D(A).</p><p>Reciprocamente, se (2.3.95) possui uma solução forte u sobre [0, T ] para algum uo ∈ D(A), então v</p><p>satisfaz (i) e (ii).</p><p>Demonstração: Primeiramente, observe que os itens (i) e (ii) são equivalentes.</p><p>De fato,</p><p>- 132 -</p><p>2.3 O Problema Não Homogêneo</p><p>(i)⇒ (ii). Note que(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>v(t) =</p><p>1</p><p>h</p><p>[</p><p>S(h)</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(s)ds−</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(s)ds</p><p>]</p><p>=</p><p>1</p><p>h</p><p>[∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s+ h)f(s)ds−</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(s)ds</p><p>]</p><p>(2.3.106)</p><p>=</p><p>1</p><p>h</p><p>[∫ t+h</p><p>0</p><p>S(t− s+ h)f(s)ds−</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(t− s+ h)f(s)ds</p><p>−</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(s)ds</p><p>]</p><p>=</p><p>v(t+ h)− v(t)</p><p>h</p><p>− 1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(h)S(t− s)f(s)ds</p><p>Observe que a primeira igualdade é posśıvel posśıvel pois S(t − s)f(s) ∈ L1(0, T ;X) e S(h) é limitada</p><p>em X. Assim, (</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>v(t) =</p><p>v(t+ h)− v(t)</p><p>h</p><p>− 1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(h)S(t− s)f(s)ds.</p><p>Agora, como v é diferenciável quase sempre, o limite, quando h → 0+, do primeiro termo à direita da</p><p>igualdade acima existe quase sempre. E, por resultados de integração em espaços vetorias (Ver [23], pág</p><p>10.), o segundo termo também tem limite quase sempre quando h→ 0+. E mais,quando h→ 0+</p><p>v(t+ h)− v(t)</p><p>h</p><p>− 1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(h)S(t− s)f(s)ds =⇒ v′(t)− f(t) q.s. em [0, T ].</p><p>Portanto,</p><p>v(t) ∈ D(A) e Av(t) = v′(t)− f(t) ∈ L1(0, T ;X).</p><p>O que prova (ii).</p><p>(i) ⇒ (ii) Como v(t) ∈ D(A), então existe limh→0+</p><p>(</p><p>S(h)−I</p><p>h</p><p>)</p><p>v(t) = Av(t). Agora, por (2.3.106),</p><p>segue que</p><p>v(t+ h)− v(t)</p><p>h</p><p>=</p><p>(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>v(t) +</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ t+h</p><p>t</p><p>S(h)S(t− s)f(s)ds.</p><p>logo, quando h→ 0+,</p><p>d+v</p><p>dt</p><p>(t) = Av(t)− f(t).</p><p>Considerando h 0</p><p>u(0) = u0</p><p>(2.4.107)</p><p>onde F : X → X é uma função cont́ınua e A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0,</p><p>S(t), tal que ∥S(t)∥ ≤ M, ∀t ≥ 0. Se u é uma clássica ou forte de (2.4.107) então, não dif́ıcil verificar,</p><p>como na seção precedente, que se verifica a equação integral</p><p>u(t) = S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)Fu(s)ds. (2.4.108)</p><p>Temos o seguinte resultado.</p><p>Teorema 2.21 Seja F : X → X uma função Lipschitziana, ou seja</p><p>∥Fu− Fv∥X ≤ L∥u− v∥X ,∀u, v ∈ X.</p><p>Então para todo u0 ∈ X, existe uma única função u ∈ C0([0,+∞);X), a qual é solução generalizada.</p><p>i) Se u0, v0 ∈ X são dados iniciais de (2.4.107), então as respectivas soluções generalizadas u e v verificam</p><p>∥u(t)− v(t)∥X ≤MeLMt∥u0 − v0∥X . (2.4.109)</p><p>ii) Se u0 ∈ D(A), então a solução é forte no intervalo [0, T ], T > 0.</p><p>Demonstração:</p><p>(i) Seja u0 ∈ X. Definamos para cada k > 0,</p><p>Xk = {u ∈ C0([0,+∞);X)/∥u(t)∥X ≤ Cekt para algum C > 0 e ∀t ≥ 0}</p><p>Vamos assumir que Xk é um espaço de Banach munido da norma</p><p>∥u∥Xk</p><p>= sup</p><p>t≥0</p><p>e−kt∥u(t)∥X .</p><p>Seja ϕ : Xk → X definida por</p><p>ϕu(t) = S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)Fu(s)ds.</p><p>- 135 -</p><p>2.4 O Problema Não Linear</p><p>Temos que ϕ(Xk) ⊂ Xk. De fato, seja u ∈ Xk. Então</p><p>∥ϕu(t)∥ ≤ ∥S(t)u0∥+</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥S(t− s)∥∥Fu(s)∥ds</p><p>≤ M∥u0∥+M</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥Fu(s)− F (0)∥ds+M</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥F (0)∥ds</p><p>≤ M∥u0∥+M</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥u(s)∥ds+M∥F (0)∥t</p><p>≤ M∥u0∥+MC</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>eksds+M∥F (0)∥t</p><p>≤ M∥u0∥+MC</p><p>(ekt − 1)</p><p>k</p><p>+M∥F (0)∥t, ∀t ≥ 0,</p><p>e, para k > 0, resulta</p><p>e−kt∥Φu(t)∥ ≤ Me−kt∥u0∥+MC</p><p>(1− e−kt)</p><p>k</p><p>+M∥F (0)∥ t</p><p>ekt</p><p>≤ M∥u0∥+</p><p>1</p><p>k</p><p>MC +MM ′∥F (0)∥ 0 é uma constante que depende de u e M ′ > 0 é uma constante tal que</p><p>∣∣∣∣ tekt</p><p>∣∣∣∣ ≤M ′, para todo</p><p>t ∈ R. Portanto, sup</p><p>t≥0</p><p>e−kt∥ϕu(t)∥</p><p>≥ 0,</p><p>donde resulta</p><p>∥ϕu− ϕv∥Xk</p><p>= sup</p><p>t≥0</p><p>e−kt∥ϕu(t)− ϕv(t)∥ ≤ ML</p><p>k</p><p>∥u− v∥Xk</p><p>.</p><p>Assim, quando k = 2ML temos que ϕ : Xk → Xk é uma contração, donde existe um único ponto</p><p>fixo para ϕ, ou seja, existe u ∈ Xk tal que</p><p>u(t) = S(t)u0 −</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)Fu(s)ds,</p><p>o que prova a existência de solução generalizada de (2.4.107).</p><p>Sejam u e v soluções generalizadas de (2.4.107), correspondentes aos dados iniciais u0, v0, respec-</p><p>tivamente. Então, de (2.4.108) vem que</p><p>- 136 -</p><p>2.4 O Problema Não Linear</p><p>∥u(t)− v(t)∥X = ∥S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)Fu(s)ds−</p><p>(</p><p>S(t)0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)F (s)ds</p><p>)</p><p>∥</p><p>≤ ∥S(t)(u0 − v0)∥+</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥S(t− s)∥∥Fu(s)− Fv(s)∥ds</p><p>≤ M∥u0 − v0∥+ML</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥u(s)− v(s)∥ds,</p><p>e pelo lema de Gronwall,</p><p>∥u(t)− v(t)∥ ≤MeMLt∥u0 − v0∥ para todo t ∈ [0, T ],</p><p>para todo T > 0 dado, o que prova (2.4.109) bem como a unicidade de soluções generalizadas.</p><p>(ii) Suponha, agora, que u0 ∈ D(A). Provaremos a seguir, que u é Lipschitz cont́ınua em [0, T ], para todo</p><p>T > 0, o que implicará que F (u(t)) também será Lipschitz cont́ınua. Então, aplicando-se o corolário 2.20</p><p>, conclúımos que u é solução forte. De fato, seja h > 0 e definamos</p><p>v(t) = u(t+ h), ∀t ≥ 0. (2.4.110)</p><p>Note que v é uma solução generalizada de (2.4.107) com dado inicial v0 = u(h). Então de (2.4.109)</p><p>e (2.4.110) temos</p><p>∥u(t+ h)− u(t)∥ ≤MeLMt∥u(h)− u(0)∥. (2.4.111)</p><p>Por outro lado, de (2.4.108) podemos escrever que</p><p>u(h) = S(h)u0 +</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>S(h− s)Fu(s)ds. (2.4.112)</p><p>De (2.4.112) obtemos</p><p>∥u(h)− u(0)∥ = ∥S(h)u0 − u0 +</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>S(h− s)Fu(s)ds∥</p><p>= ∥S(h)u0 − u0 +</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>[S(h− s)Fu(s)− S(h− s)Fu(0) + S(h− s)Fu(0)] ds∥</p><p>≤ ∥S(h)u0 − u0∥+ ∥</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>[S(h− s) (Fu(s)− Fu(0)) + S(h− s)Fu(0)] ds∥</p><p>≤ ∥S(h)u0 − u0∥+</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>∥S(h− s)∥∥Fu(s)− Fu(0)∥ds</p><p>+</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>∥S(h− s)∥∥Fu(0)∥ds</p><p>≤ ∥S(h)u0 − u0∥+ML</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>∥u(s)− u(0)∥ds+Mh∥F (u(0))∥</p><p>(2.4.113)</p><p>Como u0 ∈ D(A) então</p><p>S(h)u0 − u0 = A</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>S(s)u0ds =</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>S(s)Au0ds,</p><p>- 137 -</p><p>2.4 O Problema Não Linear</p><p>e então</p><p>∥S(h)u0 − u0∥ ≤</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>∥S(s)∥∥Au0∥ds ≤M∥Au0∥h. (2.4.114)</p><p>Combinando (2.4.113) e (2.4.114) chegamos a</p><p>∥u(h)− u0∥ ≤Mh∥Au0∥+Mh∥F (u0)∥+ML</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>∥u(s)− u(0)∥ds,</p><p>e pelo lema de Gronwall resulta</p><p>∥u(h)− u0∥ ≤Mh(∥Au0∥+Mh∥F (u0)∥)eMLh. (2.4.115)</p><p>Logo, de (2.4.111) e (2.4.115) conclúımos que</p><p>∥u(t+ h)− u(t)∥ ≤MeMLtMeMLh(∥Au0∥+ ∥F (u0)∥)h,∀t ≥ 0, e ∀h > 0. (2.4.116)</p><p>Agora, seja T > 0 dado. Tome t, t′ ∈ [0, T ]. Então de (2.4.116) resulta que</p><p>∥u(t)− u(t′)∥ ≤Me2MT (∥Au0∥+ ∥F (u0)∥)|t− t′|</p><p>o que prova que u é Lipschitz cont́ınua em [0, T ], isto seja qual for o T > 0, o que implica que F (u(t))</p><p>também o é, e em vista do corolário 2.20 segue que u é uma solução forte de (2.4.107) em [0, T ], o que</p><p>conclui a prova.</p><p>2</p><p>Proposição 2.22 O subespaço vetorial de C0([0,∞);X) dado por</p><p>Xk = {v ∈ C0([0,∞)), ∥v(t)∥ ≤ Cve</p><p>kt para algum Cv > 0 e para todo t ≥ 0}</p><p>é um espaço de Banach munido da norma</p><p>∥u∥Xk</p><p>= sup</p><p>t≥0</p><p>e−kt∥u(t)∥X .</p><p>Demonstração:Ver Proposição (1.17).</p><p>2</p><p>Teorema 2.23 Seja F : D(A) → D(A) uma função Lipschitz cont́ınua. Então para todo</p><p>u0 ∈ D(A) existe uma solução clássica de (5.76) em [0, T ], para todo T > 0 dado.</p><p>Demonstração:</p><p>Definamos</p><p>X1 = D(A),</p><p>e</p><p>A1 = A|D(A2) : D(A1) = D(A2) ⊂ X1 → X1.</p><p>Então, S1(t), o semigrupo gerado por A1 é a restrição de S(t) sobre D(A). Então de acordo com o</p><p>- 138 -</p><p>2.4 O Problema Não Linear</p><p>Teorema (2.21) existe uma solução generalizada u ∈ C0([0,+∞);X1) tal que</p><p>u(t) = S1(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S1(t− s)Fu(s)ds. (2.4.117)</p><p>Como u0 ∈ D(A) e F (u(s)) ∈ D(A), então, podemos substituir S1(t) por S(t) em (2.4.117) e</p><p>u ∈ C0([0,+∞);D(A)) o que implica em virtude de F : D(A)→ D(A) ser Lipschitz cont́ınua que</p><p>g(·) = F (u(·)) ∈ C0([0,+∞);D(A)) ↪→ L1(0, T ;D(A)) (2.4.118)</p><p>para T > 0 arbitrariamente fixado. Temos</p><p>g(s) ∈ D(A) ∀s ∈ [0, T ] e Ag ∈ L1(0, T ;X). (2.4.119)</p><p>Levando em conta (2.4.117), (2.4.118), (2.4.119) e a Proposição 2.15, conclúımos que u é solução</p><p>clássica de (2.4.107).</p><p>2</p><p>Teorema 2.24 Seja F : X → X uma função localmente Lipschitz, ou seja, para todo R > 0, existe</p><p>LR ≥ 0 tal que ∥u∥ ≤ R e ∥v∥ ≤ R implica</p><p>∥Fu− Fv∥ ≤ LR∥u− v∥.</p><p>(i) Então, para todo u0 ∈ X existe uma função u ∈ C0([0,+∞);X) solução generalizada de</p><p>(2.4.107) sobre [0, T ], a qual pode ser estendida a uma solução maximal sobre [0, Tmax), com</p><p>Tmax = +∞ ou Tmax 0,</p><p>KT = {u ∈ C0([0, T ];X); ∥u(t)∥ ≤M∥u0∥+ 1; ∀t ∈ [0, T ]}. (2.4.120)</p><p>Note que KT é fechado, pois é uma bola fechada de C([0, T ], X) e pela proposição 1.8 temos que</p><p>C([0, T ], X) um espaço de Banach, sendo assim KT também é um espaço de Banach.</p><p>Definamos também a aplicação Φ : K → C0([0, T ];X) dada por</p><p>Φu(t) = S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)F (u(s))ds. (2.4.121)</p><p>Sejam R =M∥u0∥+ 1 e u ∈ KT . Então, por hipótese, existe L = L(∥u0∥) > 0 tal que</p><p>∥Fu(t)− Fu0∥ ≤ L∥u(t)− u0∥, ∀t ∈ [0, T ] (2.4.122)</p><p>- 139 -</p><p>2.4 O Problema Não Linear</p><p>já que ∥u(t)∥ ≤M∥u0∥+ 1. Logo,</p><p>∥Φu(t)∥ ≤ ∥S(t)u0∥+</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥S(t− s)∥∥F (u(s))∥ds</p><p>≤ M∥u0∥+M</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥F (u(s))− F (u0) + F (u0)∥ds</p><p>≤ M∥u0∥+M</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥F (u(s))− F (u0)∥ds+M</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥F (u0)∥ds</p><p>≤ M∥u0∥+ML</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥u(s)− u0∥ds+MT∥F (u0)∥</p><p>≤ M∥u0∥+MLT (M∥u0∥+ 1 + ∥u0∥) +MT∥F (u0)∥.</p><p>Escolhendo, então</p><p>0 0 tal que</p><p>∥Fu(t)− Fv(s)∥ ≤ L∥u(t)− v(s)∥, ∀u, v ∈ KT∗ , ∀t, s ∈ [0, T ∗]. (2.4.123)</p><p>Logo de (2.4.123) resulta que para 0 0 tal que o</p><p>problema (2.4.125) admite uma solução generalizada, v1, em [0, T1].</p><p>Observe que, pelo Teorema 2.21, se u0 ∈ D(A) então u1 é solução forte do problema (2.4.107) em</p><p>[0, T0]. Por sua vez, v1 também será solução forte do mesmo problema em [0, T1].</p><p>Definamos</p><p>u2(t) =</p><p>{</p><p>u1(t) em [0, T0]</p><p>v1(t− T0) em [T0, T0 + T1].</p><p>Escrevamos T ∗</p><p>0 = T0 e T ∗</p><p>1 = T0 + T1. Provemos que u2 é solução generalizada de (2.4.107) em</p><p>[0, T ∗</p><p>1 ].</p><p>Note que</p><p>u1(t) = S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)F (u1(s))ds, ∀t ∈ [0, T0]</p><p>e</p><p>v1(t) = S(t)u1(T0) +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)F (v1(s))ds, ∀t ∈ [0, T1].</p><p>Observe que se 0 ≤ t ≤ T0, então</p><p>u2(t) = u1(t) = S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)F (u1(s))ds</p><p>= S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)F (u2(s))ds.</p><p>Logo, u2 é solução generalizada de (2.4.107) em [0, T0]. Agora, se T0 ≤ t ≤ T0 + T1,</p><p>- 141 -</p><p>2.4 O Problema Não Linear</p><p>u2(t) = v1(t− T0) = S(t− T0)u1(T0) +</p><p>∫ t−T0</p><p>0</p><p>S(t− T0 − s)F (v1(s))ds</p><p>= S(t− T0)</p><p>[</p><p>S(T0)u0 +</p><p>∫ T0</p><p>0</p><p>S(T0 − s)F (u1(s))ds</p><p>]</p><p>+</p><p>∫ t−T0</p><p>0</p><p>S(t− T0 − s)F (v1(s))ds</p><p>= S(t− T0)S(T0)u0 +</p><p>∫ T0</p><p>0</p><p>S(t− T0)S(T0 − s)F (u1(s))ds</p><p>+</p><p>∫ t−T0</p><p>0</p><p>S(t− T0 − s)F (v1(s))ds</p><p>= S(t)u0 +</p><p>∫ T0</p><p>0</p><p>S(t− s)F (u1(s))ds</p><p>+</p><p>∫ t</p><p>T0</p><p>S(t− T0 − w + T0)F (v1(w − T0))dw</p><p>= S(t)u0 +</p><p>∫ T0</p><p>0</p><p>S(t− s)F (u1(s))ds+</p><p>∫ t</p><p>T0</p><p>S(t− s)F (v1(s− T0))ds</p><p>= S(t)u0 +</p><p>∫ T0</p><p>0</p><p>S(t− s)F (u2(s))ds+</p><p>∫ t</p><p>T0</p><p>S(t− s)F (u2(s))ds</p><p>= S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)F (u2(s))ds, (2.4.126)</p><p>donde conclúımos o desejado. Assim, considerando o problema (2.4.107) com dado inicial</p><p>u0, temos</p><p>u1 é solução generalizada de (2.4.107) em [0, T ∗</p><p>0 ]</p><p>u2 é solução generalizada de (2.4.107) em [0, T ∗</p><p>1 ].</p><p>Prosseguindo desta forma, obtemos uma famı́lia de funções {ui}i∈I e uma coleção de números {T ∗</p><p>i−1}i∈I</p><p>tal que</p><p>ui é solução generalizada de (2.4.107) em [0, T ∗</p><p>i−1],</p><p>onde I é um subconjunto do conjunto dos números naturais.</p><p>Escrevamos [0, Tmax) =</p><p>∪</p><p>i∈I</p><p>[0, T ∗</p><p>i−1[.</p><p>Agora, vamos definir uma função u com valores reais e domı́nio em [0, Tmax[ da seguinte maneira:</p><p>dado i ∈ I, definimos u em [0, T ∗</p><p>i−1[ como sendo a restrição de uj em [0, T ∗</p><p>i−1[ para qualquer j ≥ i. Tal</p><p>definição faz sentido pois se k, j ≥ i então uk e uj coincidem em [0, T ∗</p><p>i−1[.</p><p>Provemos que u é a única solução generalizada de (2.4.107) em [0, Tmax). Pela própria definição de</p><p>u, é claro que u ∈ C0([0, Tmax[;X); Dado t ∈ [0, Tmax[, existe i ∈ I tal que T ∗</p><p>i−1 ≤ t ≤ T ∗</p><p>i e, por indução,</p><p>por cálculos análogos aos feitos em (2.4.126), obtemos que</p><p>u(t) = S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)F (u(s))ds,</p><p>o que mostra que u é solução generalizada de (2.4.107) em [0, Tmax[. Para provar a unicidade, suponhamos</p><p>que exista uma outra função v que é solução generalizada de (2.4.107) em [0, Tmax[. Em particular, para</p><p>cada i ∈ I temos que v satisfaz</p><p>v(t) = S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)F (v(s))ds, ∀t ∈ [T ∗</p><p>i−1, T</p><p>∗</p><p>i ].</p><p>- 142 -</p><p>2.4 O Problema Não Linear</p><p>Mas, pelo Teorema 2.21, sabemos que ui é a única solução generalizada de (2.4.107) em [T ∗</p><p>i−1, T</p><p>∗</p><p>i ], donde</p><p>v = ui em [T ∗</p><p>i−1, T</p><p>∗</p><p>i ], para cada i ∈ I. Logo, u = v.</p><p>Resta-nos provar que</p><p>Tmax = +∞ ou se Tmax 0</p><p>conseguimos uma solução generalizada de (2.4.107) que supera a solução maximal u, o que é um absurdo.</p><p>ii)Sejam u solução generalizada de (2.4.107) em [0, Tmax[ e u = ui a restrição de u em [T ∗</p><p>i−1, T</p><p>∗</p><p>i ].</p><p>Analogamente ao vimos no item i), se u0 ∈ D(A), obtemos que ui é solução forte de (2.4.107) em</p><p>[T ∗</p><p>i−1, T</p><p>∗</p><p>i ]. Pela arbitrariedade de i ∈ I, segue que u é solução forte de (2.4.107).</p><p>2</p><p>Teorema 2.25 Assumamos que ∥S(t)∥ ≤ 1. Seja F : D(A) → D(A) uma função localmente Lipschitz.</p><p>Dado u0 ∈ D(A) existe u ∈ C1([0, Tmax), X) ∩ C0([0, Tmax), D(A)), u é solução clássica sobre [0, Tmax)</p><p>e Tmax = +∞ ou Tmax</p><p>= (∇u,∇φ)L2(Ω), ∀φ ∈ D(Ω),</p><p>donde, utilizando a Identidade de Green, resulta que f = −∆u em D′(Ω). Como f ∈ L2(Ω) segue</p><p>−∆u ∈ L2(Ω). Portanto, u satisfaz o problema{</p><p>−∆u = f em Ω,</p><p>u = 0 em Γ,</p><p>(3.1.3)</p><p>donde obtemos que u ∈ H2(Ω). Logo, u ∈ H1</p><p>0 (Ω)∩H2(Ω) = D(−∆). Conclúımos, assim, que o operador</p><p>−∆ : H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω) ⊂ L2(Ω)→ L2(Ω) é definido pela terna {H1</p><p>0 (Ω), L</p><p>2(Ω), b(u, v)}.</p><p>Consideremos a seguinte cadeia de imersões cont́ınuas e densas</p><p>H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω) ↪→ H1</p><p>0 (Ω) ↪→ L2(Ω) ↪→ H−1(Ω) ↪→ (H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω))′,</p><p>onde identificamos L2(Ω) com seu dual topológico.</p><p>Como a forma bilinear b(u, v) = (∇u,∇v)L2(Ω) é coerciva, o operador −∆, sendo definido pela</p><p>terna {H1</p><p>0 (Ω), L</p><p>2(Ω), b(u, v)}, admite uma extensão</p><p>−∆̃ : H1</p><p>0 (Ω) −→ H−1(Ω)</p><p>u 7−→ −∆̃u,</p><p>onde −∆̃u : H1</p><p>0 (Ω)→ C é definido por</p><p>⟨−∆̃u, v⟩H−1(Ω),H1</p><p>0 (Ω) = (∇u,∇v)L2(Ω) = (u, v)H1</p><p>0 (Ω).</p><p>Tal extensão é uma bijeção e, munindo H−1(Ω) do produto interno dado por</p><p>(x, y)H−1(Ω) = (−∆̃−1x,−∆̃−1y)H1</p><p>0 (Ω) = (∆̃−1x, ∆̃−1y)H1</p><p>0 (Ω),</p><p>obtemos que ∥∆̃u∥H−1(Ω) = ∥u∥H1</p><p>0 (Ω), para todo u ∈ H1</p><p>0 (Ω).</p><p>- 147 -</p><p>3.1 Equação do Calor</p><p>Agora, consideremos o problema</p><p></p><p>ut − ∆̃u = 0 em (0,∞)× Ω,</p><p>u = 0 em (0,∞)× Γ,</p><p>u(0) = u0 em Ω.</p><p>(3.1.4)</p><p>Vamos provar que ∆̃u ∈ G(1, 0).</p><p>i)Sabemos que H1</p><p>0 (Ω) é denso em H−1(Ω);</p><p>ii)Provemos que ∆̃ é dissipativo. Seja u ∈ D(∆). Então</p><p>(∆̃u, u)H−1(Ω) = (∆̃−1∆̃u, ∆̃−1u)H1</p><p>0 (Ω) = (u, ∆̃−1u)H1</p><p>0 (Ω) = (∇u,∇∆̃−1u)L2(Ω)</p><p>=</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>∇u∇∆̃−1udx = −</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>u∆∆̃−1udx = −</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>u2dx ≤ 0.</p><p>Agora, seja u ∈ D(∆̃). Então existe {un} ⊂ D(∆) tal que un → u em D(∆̃). Pelo que vimos inicialmente,</p><p>(∆̃un, un)H−1(Ω) ≤ 0, ∀n ∈ N.</p><p>Note que</p><p>|(∆̃un, un)H−1(Ω) − (∆̃u, u)H−1(Ω)|</p><p>= |(∆̃un, un)H−1(Ω) − (∆̃u, un)H−1(Ω) + (∆̃u, un)H−1(Ω) − (∆̃u, u)H−1(Ω)|</p><p>≤ |(∆̃un − ∆̃u, un)H−1(Ω)|+ |(∆̃u, un − u)H−1(Ω)|</p><p>≤ ∥∆̃un − ∆̃u∥H−1(Ω)∥un∥H−1(Ω) + ∥∆̃u∥H−1(Ω)∥un − u∥H−1(Ω)</p><p>≤ c∥∆̃un − ∆̃u∥H−1(Ω)∥un∥H1</p><p>0 (Ω) + c∥∆̃u∥H−1(Ω)∥un − u∥H1</p><p>0 (Ω) → 0,</p><p>onde usamos que c > 0 é a constante da imersão H1</p><p>0 (Ω) ↪→ H−1(Ω) e que ∆̃ é uma isometria bijetora.</p><p>Com a convergência provada, conclúımos que (∆̃u, u)H−1(Ω) ≤ 0.</p><p>iii)Vamos mostrar que Im(I − ∆̃) = H−1(Ω). Seja f ∈ H−1(Ω) dada. Consideremos, novamente,</p><p>a(u, v) =</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>(uv +∇u∇v)dx, ∀u, v ∈ H1</p><p>0 (Ω),</p><p>que é uma forma bilinear, cont́ınua e coerciva. Pelo Lema de Lax-Milgran, existe uma única u ∈ H1</p><p>0 (Ω)</p><p>tal que</p><p>a(u, v) = ⟨f, v⟩, ∀v ∈ H1</p><p>0 (Ω).</p><p>Dáı e com</p><p>⟨−∆̃u, v⟩ = (∇u,∇v)L2(Ω), ∀v ∈ H1</p><p>0 (Ω),</p><p>resulta que</p><p>⟨u− ∆̃u, v⟩ = ⟨f, v⟩, ∀v ∈ H1</p><p>0 (Ω),</p><p>donde conclúımos o desejado.</p><p>Portanto, ∆̃ é m-dissipativo com domı́nio denso, donde resulta, pelo Teorema ded Lumer-Phillips,</p><p>que ∆̃ ∈ G(1, 0). Portanto, quando u0 ∈ H1</p><p>0 (Ω), pelo Teorema 2.2, resulta que o problema (3.1.4) tem</p><p>uma única solução</p><p>u ∈ C([0,∞);H1</p><p>0 (Ω)) ∩ C1([0,∞);H−1(Ω)).</p><p>- 148 -</p><p>3.1 Equação do Calor</p><p>Quarto caso u0 ∈ H−1(Ω)</p><p>Inicialmente, note que se u, v ∈ D(∆) então</p><p>(u, ∆̃v)H−1(Ω) = (∆̃−1u, ∆̃−1∆̃v)H1</p><p>0 (Ω) = (∆̃−1u, v)H1</p><p>0 (Ω) = (∇∆̃−1u,∇v)L2(Ω)</p><p>= −(∆∆̃−1u, v)L2(Ω) = −(u, v)L2(Ω)</p><p>e também</p><p>(∆̃u, v)H−1(Ω) = (∆̃−1∆̃u, ∆̃−1v)H1</p><p>0 (Ω) = (u, ∆̃−1v)H1</p><p>0 (Ω) = (∇u,∇∆̃−1v)L2(Ω)</p><p>= −(u, ∆̃∆̃−1v)L2(Ω) = −(u, v)L2(Ω),</p><p>donde (u, ∆̃v) = (∆̃u, v)H−1(Ω), para todo u, v ∈ D(∆), e por densidade, a mesma igualdade vale para</p><p>todo u, v ∈ D(∆̃), o que mostra que ∆̃ é simétrico.</p><p>Como ∆̃ é m-dissipativo, então −∆̃ é maximal monótono, e sendo este simétrico, segue que ele</p><p>também é autoadjunto. Portanto, ∆̃ também é autoadjunto. Desde que ∆̃ é m-dissipativo e autoad-</p><p>junto, pela Proposição 2.7 conclúımos que este operador gera um semigrupo diferenciável. Portanto, pelo</p><p>Teorema 2.4, o problema (3.1.4), com dado inicial u0 ∈ H−1(Ω), tem uma única solução</p><p>u ∈ C((0,∞);H1</p><p>0 (Ω)) ∩ C([0,∞);H−1(Ω)) ∩ C1((0,∞);H−1(Ω)).</p><p>3.1.2 Condição de Neumann</p><p>Consideremos o conjunto Ω como no ińıcio do caṕıtulo. Agora, vamos considerar a equação do</p><p>calor com condição de Neumann </p><p>ut −∆u = 0 em (0,∞)× Ω,</p><p>∂u</p><p>∂ν</p><p>= 0 em (0,∞)× Γ,</p><p>u(0) = u0 em Ω.</p><p>(3.1.5)</p><p>Vamos estudar a existência e unicidade de solução da equação (3.1.5) considerando o dado inicial</p><p>u0 em cada um dos seguintes conjuntos: L2(Ω),H1(Ω), (H1(Ω))′.</p><p>Primeiro caso u0 ∈ L2(Ω)</p><p>Inicialmente, consideremos o operador laplaciano ∆ : D(∆) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω) com domı́nio dado</p><p>por</p><p>D(∆) = {u ∈ H2(Ω);</p><p>∂u</p><p>∂ν</p><p>= 0 em Γ}</p><p>e provemos que o operador I −∆ : D(I −∆) ⊂ L2(Ω)→ L2(Ω), com D(I −∆) = D(∆), é definido pela</p><p>terna {H1(Ω), L2(Ω), a(u, v)} com a(u, v) = (∇u,∇v)L2(Ω) + (u, v)L2(Ω), ∀u, v ∈ H1(Ω).</p><p>Como a aplicação a é bilinear e cont́ınua, sabemos que a terna {H1(Ω), L2(Ω), a(u, v)} define um</p><p>operador A. Vamos mostrar que</p><p>D(∆) = D(A) e Au = (I −∆)u, ∀u ∈ D(∆).</p><p>De fato, seja</p><p>u ∈ D(A) = {u ∈ H1(Ω);∃f ∈ L2(Ω) tal que a(u, v) = (f, v)L2(Ω), ∀v ∈ H1(Ω)}.</p><p>- 149 -</p><p>3.1 Equação do Calor</p><p>Então, existe f ∈ L2(Ω) tal que</p><p>(∇u,∇v)L2(Ω) + (u, v)L2(Ω) = (f, v)L2(Ω), ∀v ∈ H1(Ω). (3.1.6)</p><p>Em particular, para φ ∈ D(Ω) temos</p><p>(∇u,∇φ)L2(Ω) + (u, φ)L2(Ω) = (f, φ)L2(Ω),</p><p>donde resulta que</p><p>f = −∆u+ u em D′(Ω).</p><p>Como f ∈ L2(Ω) e u ∈ H1(Ω) então −∆u ∈ L2(Ω). Então, por (3.1.6) temos</p><p>(∇u,∇v)L2(Ω) + (∆u, v)L2(Ω) = 0, ∀v ∈ H1(Ω).</p><p>Por outro lado, pela segunda forma de Green generalizada, temos</p><p>(∇u,∇v)L2(Ω) + (∆u, v)L2(Ω) = ⟨</p><p>∂u</p><p>∂ν</p><p>, v⟩H−1/2,H1/2 ,</p><p>e assim,</p><p>⟨∂u</p><p>∂ν</p><p>, v⟩H−1/2,H1/2 = 0, ∀v ∈ H1(Ω).</p><p>Como o traço é sobrejetor, obtemos</p><p>∂u</p><p>∂ν</p><p>= 0 em Γ. Além disso, pela regularidade do problema de Neumann</p><p>temos u ∈ H2(Ω), donde conclúımos que u ∈ D(∆).</p><p>Reciprocamente, seja u ∈ D(∆). Devemos exibir f ∈ L2(Ω) tal que a(u, v) = (f, v)L2(Ω), ∀v ∈</p><p>H1(Ω). Considerando f = −∆u + u ∈ L2(Ω), obtemos o desejado. Logo, u ∈ D(A). Agora, como u ∈</p><p>D(A), então a(u, v) = (Au, v)L2(Ω), donde segue que, utilizando a segunda fórmula de Green generalizada,</p><p>que</p><p>u−∆u = Au, ∀u ∈ D(∆).</p><p>Logo, o operador I −∆ é definido pela terna {H1(Ω), L2(Ω), a(u, v)}. Portanto, pela aplicação do</p><p>caso Parabólico, quando z0 ∈ L2(Ω), o problema</p><p>{</p><p>zt + (I −∆)z = 0 em (0,∞)× Ω,</p><p>z(0) = z0 em Ω.</p><p>(3.1.7)</p><p>tem uma única solução</p><p>z ∈ C(]0,∞[;D(∆)) ∩ C0([0,∞[;L2(Ω)) ∩ C1(]0,∞[;L2(Ω)).</p><p>Escrevendo u(t) = etz(t), vemos que u é a única solução de (3.1.5) com u0 = u(0) ∈ L2(Ω) na</p><p>classe</p><p>u ∈ C(]0,∞[;D(∆)) ∩ C0([0,∞[;L2(Ω)) ∩ C1(]0,∞[;L2(Ω)).</p><p>Segundo caso u0 ∈ (H1(Ω))′</p><p>Desde que I −∆ é definido por terna, podemos considerar sua extensão</p><p>Ĩ −∆ : H1(Ω) −→ (H1(Ω))′</p><p>u 7−→ Ĩ −∆u : H1(Ω)→ C,</p><p>- 150 -</p><p>3.1 Equação do Calor</p><p>onde</p><p>⟨Ĩ −∆u, v⟩(H1(Ω))′,H1(Ω) = a(u, v) = (∇u,∇v)L2(Ω) + (u, v)L2(Ω).</p><p>Tal extensão é uma isometria bijetora, e por ela definimos o produto interno em (H1(Ω))′ dado</p><p>por</p><p>(u, v)(H1(Ω))′ = ((Ĩ −∆)−1u, (Ĩ −∆)−1v)H1(Ω).</p><p>Inicialmente, mostremos que Ĩ −∆ é maximal monótono. Com efeito, seja u ∈ D(I −∆) = D(∆).</p><p>Temos</p><p>((Ĩ −∆)u, u)(H1(Ω))′ = ((Ĩ −∆)−1(Ĩ −∆)u, (Ĩ −∆)−1u)H1(Ω) = (u, (Ĩ −∆)−1u)H1(Ω)</p><p>= (∇u,∇(Ĩ −∆)−1u)L2(Ω) + (u, (Ĩ −∆)−1u)L2(Ω)</p><p>= (u,−∆(Ĩ −∆)−1u)L2(Ω) + ⟨γ1u, γ0(Ĩ −∆)−1u⟩H−1/2,H1/2</p><p>+ (u, (Ĩ −∆)−1u)L2(Ω)</p><p>= (u, (I −∆)(Ĩ −∆)−1u)L2(Ω) = ∥u∥2L2(Ω) ≥ 0, ∀u ∈ D(∆).</p><p>Agora, seja u ∈ H1(Ω), então existe {un} ⊂ D(∆) tal que un → u em H1(Ω). Como Ĩ −∆ é con-</p><p>t́ınua então (Ĩ −∆)un → (Ĩ −∆)u em (H1(Ω))′. Como ((Ĩ −∆)un, un)(H1(Ω))′ → ((Ĩ −∆)u, u)(H1(Ω))′</p><p>obtemos que ((Ĩ −∆)u, u)(H1(Ω))′ ≥ 0. Logo, Ĩ −∆ é monótono.</p><p>Agora, provemos que Im(I + ˜(I −∆)) = (H1(Ω))′, ou seja, dado f ∈ (H1(Ω))′ devemos exibir</p><p>u ∈ H1(Ω) tal que u + (Ĩ −∆)u = f. Considere b(u, v) = (u, v)L2(Ω) + a(u, v). Então, por Lax-Milgran,</p><p>existe um único u ∈ H1(Ω) tal que b(u, v) = ⟨f, v⟩(H1(Ω))′,H1(Ω), ∀v ∈ H1(Ω). Dáı resulta que</p><p>⟨u, v⟩+ ⟨(Ĩ −∆)u, v⟩ = ⟨f, v⟩, ∀v ∈ H1(Ω),</p><p>donde conclúımos o desejado. Portanto, Ĩ −∆ ∈ G(1, 0). Além disso,</p><p>((Ĩ −∆)u, v)(H1(Ω))′ = ((Ĩ −∆)−1(Ĩ −∆)u, (Ĩ −∆)−1v)H1(Ω) = (u, (Ĩ −∆)−1v)H1(Ω)</p><p>= (∇u,∇(Ĩ −∆)−1v)L2(Ω) + (u, (Ĩ −∆)−1v)L2(Ω)</p><p>= (u,−∆(Ĩ −∆)−1v)L2(Ω) + (u, (Ĩ −∆)−1v)L2(Ω)</p><p>= (u, (Ĩ −∆)(Ĩ −∆)−1v)L2(Ω)</p><p>= (u, v)L2(Ω)</p><p>= ((Ĩ −∆)(Ĩ −∆)−1u, v)L2(Ω)</p><p>= ((Ĩ −∆)−1u, v)L2(Ω) + (−∆(Ĩ −∆)−1u, v)L2(Ω)</p><p>= ((Ĩ −∆)−1u,</p><p>para o ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que se 0 0 tal que</p><p>∥x(t0 + h)− x(t0)∥ 0 dado, definamos δ = min{δ1, ε/C}. Assim, se |t − t0| 0, existe δ > 0 tal que,</p><p>∥σπ(f)− x∥ 0. Como w′</p><p>+ = 0 tem-se</p><p>∥w(t)− w(c)∥ ≤ ε(t− c). (1.1.10)</p><p>Seja [v, t0) o máximo subintervalo de [c, b) onde (1.1.10) é válida. Deve-se ter t0 = b. De fato,</p><p>suponha o contrário, que t0 t0 e suficientemente próximo de t0. Seja t > t0 um ponto onde (1.1.11) é válida. De (1.1.10)</p><p>e (1.1.11) resulta que</p><p>∥w(t)− w(c)∥ ≤ ∥w(t)− w(t0)∥+ ∥w(t0)− w(c)∥</p><p>≤ ε(t− t0) = ε′(t0 − c) ≤ ε(t− c),</p><p>isto é, (1.1.10) é válida para todo t > t0 suficientemente próximo de t0, o que contraria a definição de t0.</p><p>Logo, t0 = b e temos ∥w(t)− w(c)∥ ≤ ε(t− c) para todo t ∈ [c, b). Pela arbitariedade de ε, w(t) = w(c)</p><p>para todo t ∈ [c, b). Como c é um ponto arbitrário de (a, b), segue que w é constante em (a, b) e da</p><p>continuidade de w em [a, b] resulta o desejado.</p><p>Consideremos, agora, x, y curvas cont́ınuas nas condições do lema. definindo w = y−x, temos que</p><p>w ∈ C([a, b;E) e w′(t) = y′(t)−x′(t) = 0, para todo t ∈ [a, b]. Pelo que vimos acima existe ξ ∈ E tal que</p><p>w(t) = ξ, para todo t ∈ [a, b], o que conclui a prova.</p><p>2</p><p>Proposição 1.14 Seja x ∈ C([a, b];E) e consideremos</p><p>y(t) =</p><p>∫ t</p><p>a</p><p>x(s) ds.</p><p>Então, y ∈ C1([a, b];E) e y′(t) = x(t) para todo t ∈ [a, b]. Além disso, se x ∈ C1([a, b];E) então</p><p>vale a identidade:</p><p>x(b)− x(a) =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>x′(s) ds.</p><p>Demonstração: De modo a provar que y ∈ C1([a, b];E) e sendo x ∈ C([a, b];E) é suficiente provar</p><p>que y′(t) = x(t) para todo t ∈ [a, b]. De fato, seja t0 ∈ [a, b] e ε > 0. Como x ∈ C([a, b];E), existe</p><p>δ = δ(ε) > 0 tal que se 0</p><p>v)L2(Ω) + (∇(Ĩ −∆)−1u,∇v)L2(Ω) = ((Ĩ −∆)−1u, v)H1(Ω).</p><p>Portanto, Ĩ −∆ é simétrico para todo u, v ∈ D(∆). Novamente, por densidade conclúımos que</p><p>Ĩ −∆ é simétrico para todo u, v ∈ H1(Ω). E como este operador é maximal monótono, temos que</p><p>(Ĩ −∆)∗ = Ĩ −∆. Portanto, Ĩ −∆ gera um semigrupo diferenciável.</p><p>- 151 -</p><p>3.2 Equação da Onda</p><p>Portanto, o problema</p><p>{</p><p>zt + (Ĩ −∆)z = 0 em (0,∞)× Ω,</p><p>z(0) = u0 em Ω.</p><p>(3.1.8)</p><p>tem uma única solução na classe</p><p>z ∈ C((0,∞);H1(Ω)) ∩ C([0,∞); (H1(Ω))′) ∩ C1((0,∞); (H1(Ω))′)</p><p>quando u0 ∈ (H1(Ω))′.</p><p>O operador</p><p>−∆̃ : H1(Ω)→ (H1(Ω))′ (3.1.9)</p><p>u 7→ −∆̃u, onde − ∆̃u : H1(Ω)→ C</p><p>v 7→ (∇u,∇v)L2((Ω)),</p><p>é uma extensão cont́ınua de −∆. Além disso, Ĩ −∆ = Ĩ − ∆̃ = I − ∆̃.</p><p>Escrevendo u(t) = etz(t), vemos que u é a única solução de</p><p>{</p><p>ut − ∆̃u = 0 em (0,∞)× Ω,</p><p>u(0) = u0 em Ω.</p><p>(3.1.10)</p><p>na classe</p><p>u ∈ C((0,∞);H1(Ω)) ∩ C0([0,∞);H1(Ω)) ∩ C1((0,∞);H1(Ω)),</p><p>quando u(0) = u0 ∈ (H1(Ω))′.</p><p>3.2 Equação da Onda</p><p>3.2.1 Condição de Dirichlet</p><p>Seja Ω ⊂ Rn um aberto, limitado, com fronteira Γ bem regular. Considere o problema</p><p>utt −∆u = 0 em (0,∞)× Ω</p><p>u = 0 em (0,∞)× Γ</p><p>u(0) = u0, ut(0) = v0 em Ω</p><p>(3.2.11)</p><p>Vamos estudar a existência e unicidade de solução da equação (3.2.11) considerando o par de</p><p>dados iniciais (u0, u1) em cada um dos seguintes espaços: H1</p><p>0 (Ω) ∩ H2(Ω) × H1</p><p>0 (Ω),H</p><p>1</p><p>0 (Ω) × L2(Ω) e</p><p>L2(Ω)×H−1(Ω).</p><p>Primeiro caso: (u0, u1) ∈ H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω)×H1</p><p>0 (Ω) e (u0, u1) ∈ H1</p><p>0 (Ω)× L2(Ω).</p><p>Observemos, inicialmente, que pelo exposto no Terceiro Caso do estudo da Equação do Calor o</p><p>operador −∆ : H1</p><p>0 (Ω) ∩ H2(Ω) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω) é definido pela terna {H1</p><p>0 (Ω), L</p><p>2(Ω), b(u, v)}, onde</p><p>b(u, v) = (∇u,∇v)L2(Ω) = (u, v)H1</p><p>0</p><p>.</p><p>Assim, pelo Caso Hiperbólico da Seção 2.2, temos que o problema (3.2.11) possui uma única</p><p>- 152 -</p><p>3.2 Equação da Onda</p><p>solução, u, para (u0, u1) ∈ H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω)×H1</p><p>0 (Ω), com</p><p>u ∈ C0([0,+∞);H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω)) ∩ C1([0,+∞);H1</p><p>0 (Ω)) ∩ C2([0,+∞);L2(Ω))</p><p>e, ainda, u satisfaz a Identidade da Energia</p><p>∥∇u(t)∥2L2(Ω) + ∥u</p><p>′(t)∥2L2(Ω) = ∥∇u0∥</p><p>2</p><p>L2(Ω) + ∥u1∥</p><p>2</p><p>L2(Ω), ∀t ≥ 0.</p><p>Também pelo Caso Hiperbólico da Seção 2.2 o problema (3.2.11) possui uma única solução, u, para</p><p>(u0, u1) ∈ H1</p><p>0 (Ω)× L2(Ω), com</p><p>u ∈ C0([0,+∞);H1</p><p>0 (Ω)) ∩ C1([0,+∞);L2(Ω)) ∩ C2([0,+∞);H−1(Ω))</p><p>e, ainda, u satisfaz a Identidade da Energia</p><p>∥u(t)∥2L2(Ω) + ∥u</p><p>′(t)∥2H−1(Ω) = ∥u0∥</p><p>2</p><p>L2(Ω) + ∥u1∥</p><p>2</p><p>H−1(Ω), ∀t ≥ 0.</p><p>Segundo caso: (u0, u1) ∈ L2(Ω)×H−1(Ω).</p><p>Seguindo os passos do Caso Hiperbólico na Seção 2.2, consideremos a extensão</p><p>˜̃</p><p>∆ : L2(Ω) −→ (H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω))′</p><p>e ˜̃</p><p>B : L2(Ω)×H−1(Ω) −→</p><p>(</p><p>H−1(Ω)× (H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω))′</p><p>)</p><p>:=</p><p>˜̃</p><p>X</p><p>(u, v) → ˜̃</p><p>B(u, v) = (v,</p><p>˜̃</p><p>∆u)</p><p>Novamente temos</p><p>˜̃</p><p>B</p><p>∗</p><p>= − ˜̃B e assim,</p><p>˜̃</p><p>B gera um grupo unitário. Portanto, existe uma única solução</p><p>U ∈ C([0,∞), D(</p><p>˜̃</p><p>B)) ∩ C1([0,∞),</p><p>˜̃</p><p>X),</p><p>ou seja,</p><p>u ∈ C([0,∞), L2(Ω)) ∩ C1([0,∞),H−1(Ω)) ∩ C2([0,∞), (H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω))′).</p><p>Observação 3.1 Para justificar a condição u = 0 sobre Γ × (0,∞) deve-se fazer uso dos resultados</p><p>obtidos em [66].</p><p>3.2.2 Condição de Neumann</p><p>Seja Ω ⊂ Rn um aberto, limitado, com fronteira Γ bem regular. Considere o problema</p><p></p><p>utt −∆u = 0 em (0,∞)× Ω</p><p>∂u</p><p>∂ν</p><p>= 0 em (0,∞)× Γ</p><p>u(0) = u0, ut(0) = v0 em Ω</p><p>(3.2.12)</p><p>Vamos estudar a existência e unicidade de solução da equação (3.2.12) considerando o par de dados</p><p>iniciais (u0, v0) em cada um dos seguintes espaços: D(∆)×H1(Ω),H1(Ω)× L2(Ω), onde</p><p>D(∆) = {u ∈ H2(Ω);</p><p>∂u</p><p>∂ν</p><p>= 0 em Γ}.</p><p>- 153 -</p><p>3.2 Equação da Onda</p><p>Primeiro caso: (u0, v0) ∈ D(∆)×H1(Ω).</p><p>Consideremos a mudança de variáveis</p><p>v =</p><p>du</p><p>dt</p><p>, (3.2.13)</p><p>então pondo</p><p>U =</p><p>[</p><p>u</p><p>v</p><p>]</p><p>, (3.2.14)</p><p>obtemos</p><p>dU</p><p>dt</p><p>=</p><p>[</p><p>du</p><p>dt</p><p>dv</p><p>dt</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>v</p><p>∆u</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0 I</p><p>∆ 0</p><p>] [</p><p>u</p><p>v</p><p>]</p><p>. (3.2.15)</p><p>Seja D(B) = D(∆)×H1(Ω) e</p><p>B : D(B) ⊂ H1(Ω)× L2(Ω)→ H1(Ω)× L2(Ω)</p><p>[u, v] 7−→ B([u, v]) =</p><p>[</p><p>0 I</p><p>∆ 0</p><p>] [</p><p>u</p><p>v</p><p>]</p><p>(3.2.16)</p><p>de (3.2.12) obtemos</p><p></p><p>dU</p><p>dt</p><p>= BU ;</p><p>U(0) = U0,</p><p>(3.2.17)</p><p>com U0 =</p><p>[</p><p>u0</p><p>v0</p><p>]</p><p>.</p><p>Agora, fazendo U(t) = etZ(t) obtemos</p><p></p><p>dZ</p><p>dt</p><p>= (B − I)Z;</p><p>Z(0) = U0,</p><p>(3.2.18)</p><p>com U0 =</p><p>[</p><p>u0</p><p>v0</p><p>]</p><p>.</p><p>Precisamos mostrar que B − I é o gerador de um semigrupo de classe C0. Para isso vamos usar o</p><p>Teorema de Lummer-Phillips. Temos que B − I : D(∆) ×H1(Ω) ⊂ H1(Ω) × L2(Ω) → H1(Ω) × L2(Ω).</p><p>Note que</p><p>i) D(B − I) = D(∆)×H1(Ω) é denso em H1(Ω)× L2(Ω), pois</p><p>D(B − I) = D(∆)×H1(Ω) = D(∆)×H1(Ω) = H1(Ω)× L2(Ω).</p><p>- 154 -</p><p>3.2 Equação da Onda</p><p>ii) B − I é dissipativo.De fato, seja (u1, v1) ∈ D(B − I) = D(∆)×H1(Ω). Temos,</p><p>((B − I)(u1, v1), (u1, v1))H1(Ω)×L2(Ω)</p><p>= ((v1 − u1,∆u1 − v1), (u1, v1))H1(Ω)×L2(Ω)</p><p>= (v1 − u1, u1)H1(Ω) + (∆u1 − v1, v1)L2(Ω)</p><p>= (v1 − u1, u1)L2(Ω) + (∇(v1 − u1),∇u1)L2(Ω) + (∆u1 − v1, v1)L2(Ω)</p><p>=</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>(v1 − u1)u1 dx+</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>(∇v1 −∇u1)∇u1 dx+</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>(∆u1 − v1)v1 dx</p><p>=</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>v1u1 − u21 dx+</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>∇v1∇u1 −∇2u1 dx+</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>(∆u1)v1 − v21 dx</p><p>=</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>v1u1 − u21 dx+</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>∇v1∇u1 dx−</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>∇2u1 dx−</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>∇u1∇v1 dx−</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>v21 dx</p><p>=</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>v1u1 dx−</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>u21 dx−</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>∇2u1 dx−</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>v21 dx</p><p>.</p><p>Note que se</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>v1u1 dx , para toda</p><p>v ∈ H1(Ω), ou seja, tal que∫</p><p>Ω</p><p>(∇u∇v + uv)dx =</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>(2w + z − 3u)v dx, ∀v ∈ H1(Ω). (3.2.20)</p><p>De 3.2.20 e da regularidade do problema de Neumann, u ∈ H2(Ω). Temos, também, de 3.2.20 que</p><p>(∇u,∇v)L2(Ω) + (u, v)L2(Ω) = (2w + z − 3u, v)L2(Ω), ∀v ∈ H1(Ω). (3.2.21)</p><p>- 155 -</p><p>3.3 Equação de Schrödinger</p><p>Como 3.2.21 vale para ∀v ∈ H1(Ω), em particular, para φ ∈ D(Ω)</p><p>(∇u,∇φ)L2(Ω) + (u, φ)L2(Ω) = (2w + z − 3u, φ)L2(Ω).</p><p>Donde resulta −∆u + u = 2w + z − 3u em D′(Ω). Como 2w + z − 3u ∈ L2(Ω) e u ∈ L2(Ω) temos que</p><p>∆u ∈ L2(Ω). Assim, de 3.2.21</p><p>(∇u,∇v)L2(Ω) + (∆u, v)L2(Ω) = 0, ∀v ∈ H1(Ω).</p><p>Pela segunda forma de Green generalizada, temos</p><p>(∇u,∇v)L2(Ω) + (∆u, v)L2(Ω) = ⟨</p><p>∂u</p><p>∂ν</p><p>, v⟩H−1/2,H1/2 ,</p><p>e assim,</p><p>⟨∂u</p><p>∂ν</p><p>, v⟩H−1/2,H1/2 = 0, ∀v ∈ H1(Ω).</p><p>Como o traço é sobrejetor, obtemos</p><p>∂u</p><p>∂ν</p><p>= 0 em Γ. Assim, u ∈ D(∆). Note que, de 3.2.19, v = 2u − w.</p><p>Como u,w ∈ H1(Ω) segue que v ∈ H1(Ω). Desta forma, conclúımos que (u, v) ∈ D(∆) ×H1(Ω), como</p><p>queŕıamos.</p><p>Por i), ii) e iii), o operador B − I é m-dissipativo com domı́nio denso. Logo, pelo Teorema de</p><p>Lumer-Phillips, resulta que B− I ∈ G(1, 0). Logo, quando U0 ∈ D(B− I), pelo Teorema 2.2, existe uma</p><p>única função</p><p>Z ∈ C([0,∞);D(B − I)) ∩ C1([0,∞);H1(Ω)× L2(Ω)).</p><p>solução de (3.2.18). Temos</p><p>Z(t) = e−tU(t) = e−t</p><p>[</p><p>u(t)</p><p>v(t)</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>e−tu(t)</p><p>e−tv(t)</p><p>]</p><p>∈ C([0,∞);D(∆)×H1(Ω)) ∩ C1([0,∞);H1(Ω)× L2(Ω)).</p><p>Conclúımos, então, que</p><p>u ∈ C([0,∞);D(∆)) ∩ C1([0,∞);H1(Ω)) ∩ C2([0,∞);L2(Ω)).</p><p>Segundo caso: (u0, v0) ∈ H1(Ω)× L2(Ω).</p><p>Sabemos, pelo Corolário 1.23, que todo semigrupo de classe C0 é fortemente cont́ınuo em R+, ou</p><p>seja, se t ∈ R+, então,</p><p>lim</p><p>s→t</p><p>S(s)(x, y) = S(t)(x, y), para todo (x, y) ∈ H1(Ω)× L2(Ω)).</p><p>Assim, se (u0, v0) ∈ H1(Ω)× L2(Ω) temos que a solução u é tal que</p><p>u ∈ C([0,∞);H1(Ω)× L2(Ω)).</p><p>3.3 Equação de Schrödinger</p><p>A seguir, temos um resultado que será útil para o estudo da Equação de Schrödinger.</p><p>Proposição 3.2 Sejam H um espaço de Hilbert, A</p><p>: D(A) ⊂ H → H um operador linear simétrico e</p><p>Im(λ0I −A) = H para algum λ0 ∈ R com λ0 ∈ ρ(A). Então A é auto-adjunto.</p><p>- 156 -</p><p>3.3 Equação de Schrödinger</p><p>Demonstração: Como λ0 ∈ ρ(A) e Im(λ0I−A) = H então o domı́nio do operador R(λ0, A) é X. Dados</p><p>x, y ∈ H, escrevamos x′ = R(λ0, A)x e y′ = R(λ0, A)y. Então</p><p>x = λ0x</p><p>′ −Ax′ e y = λ0y</p><p>′ −Ay′.</p><p>Desde que A é simétrico, (x′, Ay′) = (Ax′, y′) pois x′, y′ ∈ D(A). Assim,</p><p>(x′, λ0y</p><p>′ − y) = (x′, Ay′) = (Ax′, y′) = (λ0x</p><p>′ − x, y′),</p><p>donde resulta (x′, y) = (x, y′), ou seja, (R(λ0, A)x, y) = (x,R(λ0, A)y). Como Dom(R(λ0, A)) = X e com</p><p>a igualdade acima, segue que R(λ0, A) é auto-adjunto.</p><p>Para provarmos que A é auto-adjunto, basta provarmos que D(A∗) ⊂ D(A), posto que A é si-</p><p>métrico, por hipótese. Sejam, então, x ∈ D(A∗) e z = (λ0I − A)∗x. Dado y ∈ H com w = R(λ0, A)y</p><p>obtemos</p><p>(w, z) = (R(λ0, A)y, z) = (y,R(λ0, A)z)</p><p>e</p><p>(w, z) = (w, (λ0I −A)∗x) = ((λ0I −A)w, x) = (y, x),</p><p>logo,</p><p>(y,R(λ0, A)z) = (y, x).</p><p>Pela arbitrariedade de y ∈ H resulta x = R(λ0, A)z ∈ D(A).</p><p>2</p><p>Sejam H um espaço de Hilbert e A : D(A) ⊂ H → H um operador linear com domı́nio denso em</p><p>H. Temos A∗ = −A se, e somente se, iA é auto-adjunto. De fato, se A∗ = −A então</p><p>(iA)∗ = iA∗ = i(−A) = (−i)(−A) = iA.</p><p>Reciprocamente, se iA é auto-adjunto,</p><p>iA = (iA)∗ = iA∗ = (−i)A∗ = i(−A∗)</p><p>donde A = −A∗, ou seja, −A = A∗. Dessa forma, pelo Teorema de Stone, o operador A gera um grupo</p><p>unitário de classe C0 se, e somente se, iA é auto-adjunto.</p><p>Consideremos, agora, a equação de Schrödinger</p><p></p><p>du</p><p>dt</p><p>(t) = i∆u(t) em Ω× (0,∞),</p><p>u = 0 em ∂Ω× (0,∞),</p><p>u(0) = u0 em Ω,</p><p>(3.3.22)</p><p>onde Ω é aberto, limitado com fronteira regular em Rn.</p><p>Seja o operador A : H1</p><p>0 (Ω) ∩ H2(Ω) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω) dado por Au = i∆u. Já sabemos que o</p><p>operador −iA = ∆ é auto-adjunto, ou seja, (−iA)∗ = (−iA). Por outro lado,</p><p>(−iA)∗ = −iA∗ = iA∗,</p><p>logo, iA∗ = −iA, e dáı obtemos que iA é auto-adjunto. Logo, A gera um grupo unitário de classe C0, e</p><p>em particular, gera um semigrupo de classe C0. Pelo Teorema 2.2, o problema (3.3.22) possui uma única</p><p>solução u na classe</p><p>C0([0,∞);H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω)) ∩ C1([0,∞);L2(Ω))</p><p>quando u0 ∈ H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω) = D(A).</p><p>- 157 -</p><p>3.3 Equação de Schrödinger</p><p>Agora, nosso objetivo é estudar a equação de Schrödinger em L2(Rn)</p><p></p><p>1</p><p>i</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t) = i∆u(t)− qu(t) em Rn × (0,∞),</p><p>u(0) = u0 em Rn,</p><p>(3.3.23)</p><p>onde ∆ é o laplaciano e q é uma função real mensurável definida em Rn. Antes de estudarmos tal equação,</p><p>vamos provar que os operadores</p><p>A1 : D(A1) ⊂ L2(Rn) −→ L2(Rn)</p><p>u 7−→ A1u = i∆u</p><p>e</p><p>iMq : D(Mq) ⊂ L2(Rn) −→ L2(Rn)</p><p>u 7−→ iMqu = iqu,</p><p>onde D(A1) = H2(Rn) e D(Mq) = {u ∈ L2(Rn); qu ∈ L2(Rn)}, geram grupos unitários de classe C0.</p><p>Provemos, inicialmente, que −iA1 é auto-adjunto. Note que S(Rn) ⊂ H2(Rn) ⊂ L2(Rn) e como</p><p>S(Rn)</p><p>L2(Rn)</p><p>= L2(Rn) resulta que H2(Rn)</p><p>L2(Rn)</p><p>= L2(Rn). Logo, D(A1) = H2(Rn) é denso em L2(Rn).</p><p>Além disso,</p><p>(∆u, v)L2(Rn) =</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>∆u(ξ)v(ξ)dξ</p><p>=</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>∆̂u(ξ)v̂(ξ)dξ</p><p>=</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>(−4π2)∥ξ∥2û(ξ)v̂(ξ)dξ</p><p>=</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>û(ξ)(−4π2)∥ξ∥2v̂(ξ)dξ</p><p>=</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>û(ξ)∆̂v(ξ)dξ</p><p>= (u,∆v)L2(Rn), ∀u, v ∈ D(A1),</p><p>logo, (−iA1u, v)L2(Rn) = (u,−iA1v)L2(Rn) para quaisquer u, v ∈ D(A1), donde −iA1 é simétrico. Tam-</p><p>bém,</p><p>(−iA1u, u)L2(Rn) = (∆u, u)L2(Rn)</p><p>=</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>∆̂u(ξ)û(ξ)dξ</p><p>=</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>(−4π2)∥ξ∥2û(ξ)û(ξ)dξ</p><p>= −</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>4π2∥ξ∥2|û(ξ)|2dξ ≤ 0, ∀u ∈ D(A1),</p><p>donde −iA1 é dissipativo. Pela Proposição 1.41</p><p>∥(I − (−iA1))u∥ ≥ ∥u∥, ∀u ∈ D(A1). (3.3.24)</p><p>Assim, I − (−iA1) é injetor.</p><p>Dado v ∈ L2(Rn), sabemos que existe um único u ∈ H2(Rn) tal que</p><p>−∆u+ u = v em L2(Rn),</p><p>- 158 -</p><p>3.3 Equação de Schrödinger</p><p>isto é,</p><p>(I − (−iA1))u = v em L2(Rn),</p><p>o que mostra que I−(−iA1) é sobrejetor. Logo, existe (I+iA1)</p><p>−1 : L2(Rn)→ H2(Rn). Dado v ∈ L2(Rn),</p><p>seja u = (I + iA1)</p><p>−1v ∈ H2(Rn). Por (3.3.24),</p><p>∥(I + iA1)</p><p>−1v∥ = ∥u∥ ≤ ∥(I + iA1)u∥ = ∥v∥,</p><p>donde (I + iA1)</p><p>−1 é cont́ınuo, e portanto, 1 ∈ ρ(−iA1).</p><p>Temos −iA1 simétrico com Im(I − (−iA1)) = L2(Rn) e 1 ∈ ρ(−iA1). Pelo Teorema 3.2, −iA1 é</p><p>auto-adjunto. Logo, iA1 é auto-adjunto, e portanto, A1 gera um grupo unitário de classe C0.</p><p>O operador</p><p>Mq : D(Mq) ⊂ L2(Rn) −→ L2(Rn)</p><p>u 7−→ Mqu = qu,</p><p>é denominado operador multiplicação.</p><p>Provemos, agora, que iMq gera um grupo unitário de classe C0. Para isso, basta provarmos que</p><p>−Mq é auto-adjunto.</p><p>Para cada n ∈ N, seja En = {x ∈ Rn; |q(x)| ≤ n}. Fixemos u ∈ L2(Rn) arbitrário. Temos∫</p><p>Rn</p><p>|uχEn(x)|2dx ≤</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>|u(x)|2dx 0 arbitrariamente fixado. Escrevendo λ0 = λ + ∥Mq∥L(L2(Rn)) temos Im(λ0 − (−iA1 −</p><p>Mq)) = L2(Rn). Além disso, como −iA1 − Mq ∈ G(1, ∥Mq∥L(L2(Rn))) e λ0 > ∥Mq∥L(L2(Rn)) então</p><p>λ0 ∈ ρ(−iA1 −Mq). Desde que</p><p>D(−iA1 −Mq) = D(A1) ∩D(Mq) = H2(Rn) ∩ L2(Rn) = H2(Rn)</p><p>e −iA1 eMq são simétricos, segue que −iA1−Mq também é. Com isso, Im(λ0− (−iA1−Mq)) = L2(Rn)</p><p>e λ0 ∈ ρ(−iA1−Mq), pelo Teorema 3.2 segue que −iA1−Mq é auto-adjunto.</p><p>Logo, iA1 +Mq também é</p><p>auto-adjunto e A1−iMq gera um semigrupo de classe C0. Analogamente ao caso anterior, se u0 ∈ H2(Rn)</p><p>então há uma única solução u de (3.3.25) na classe u ∈ C([0,∞);H2(Rn)) ∩ C1([0,∞), L2(Rn)).</p><p>c) Por ii) temos</p><p>(−Mqu, u)L2(Rn) = (−qu, u)L2(Rn) =</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>−q(x)u(x)u(x)dx = −</p><p>∫</p><p>Rn</p><p>q(x)|u(x)|2dx ≤ 0, ∀u ∈ D(Mq),</p><p>donde −Mq é dissipativo. Já vimos que −iA1 ∈ G(1, 0). Pelas hipóteses e o exerćıcio 1.5.1 resulta que</p><p>−iA1 −Mq ∈ G(1, 0). Logo, para λ0, Im(λ0 − (−iA1 −M − q)) = L2(Rn) e λ0 ∈ ρ(−iA1 −Mq). Sendo</p><p>−iA1 − Mq simétrico, pois D(−iA1 − Mq) = H2(Rn), resulta que −iA1 − Mq é auto-adjunto, logo,</p><p>iA1 +Mq também é adjunto e A1 − iMq gera um grupo unitário de classe C0. Em particular, A1 − iMq</p><p>gera um semigrupo de classe C0. Portanto, se u0 ∈ H2(Rn) então há uma única solução u de (3.3.25) na</p><p>classe u ∈ C([0,∞);H2(Rn)) ∩ C1([0,∞), L2(Rn)).</p><p>3.4 Equações Não Lineares</p><p>Aqui, vamos nos ater ao estudo da Equação do Calor não linear e, para tal, consideremos Ω um</p><p>aberto limitado do Rn, com fronteira regular Γ, f : [0, T )→ R uma função e o seguinte problema:</p><p>ut −∆u = f(u) em (0, T )× Ω,</p><p>u = 0 em (0, T )× Γ,</p><p>u(0) = u0 em Ω.</p><p>(3.4.26)</p><p>Teorema 3.3 Se f ∈ C1(R) e f ′ é limitada então, para todo u0 ∈ L2(Ω), existe uma solução global, ou</p><p>seja, Tmax = +∞, com</p><p>u ∈ C1((0,∞);L2(Ω)) ∩ C0((0,∞);H2(Ω)) ∩ C0([0,∞);L2(Ω)).</p><p>Se u0 ∈ H2(Ω) ∩H1</p><p>0 (Ω), então</p><p>u ∈ C1([0,∞);L2(Ω)) ∩ C0([0,∞);H2(Ω) ∩H1</p><p>0 (Ω)).</p><p>Demonstração:Observemos, inicialmente, que f é Lipschitiziana, pois se t, s ∈ R, t ≤ s, então existe</p><p>t0 ∈ (t, s) tal que</p><p>|f(t)− f(s)|</p><p>t− s</p><p>= f ′(t0) ≤ L,</p><p>logo,</p><p>|f(t)− f(s)| ≤ L|t− s|.</p><p>Assim, F : L2(Ω) → L2(Ω), onde F (u) : Ω → R é tal que F (u)(x) = f(u(x)) é Lipschitiziana.</p><p>Portanto, pelo Teorema 2.20, dado u0 ∈ L2(Ω), existe u ∈ C0([0,∞);L2(Ω)) que é solução generalizada</p><p>- 161 -</p><p>3.4 Equações Não Lineares</p><p>de (3.4.26), ou seja,</p><p>u(t) = S(t)u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(u(s))ds, ∀t ≥ 0.</p><p>Afirmamos que u(t) é diferenciável para todo t > 0.</p><p>De fato, como ∆ gera um semigrupo diferenciável (Ver Seção 3.1, Segundo Caso), temos que, para</p><p>todo t > 0, S(t)u0 é diferenciável (Teorema 1.58) e</p><p>d</p><p>dt</p><p>S(t)u0 = ∆S(t)u0.</p><p>Agora, para todo s ∈ R f(u(s)) ∈ L2(Ω), logo S(t − s)f(u(s)) é diferenciável para todo t > s, donde</p><p>segue que</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(u(s))ds e</p><p>d</p><p>dt</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(t− s)f(u(s))ds = f(u(t)) +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>d</p><p>dt</p><p>S(t− s)f(u(s))ds</p><p>f(u(t)) +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∆S(t− s)f(u(s))ds.</p><p>Logo, u é diferenciável para t > 0, u(0) = u0, u(t) ∈ D(∆) e</p><p>du</p><p>dt</p><p>(t) = ∆u(t) + f(u(t)) ∀t > 0.</p><p>Assim, resta-nos mostrar que u′ é cont́ınua, para todo t > 0 e, dáı concluir que u é solução clássica. Mas,</p><p>da continuidade de f e da diferenciabilidade de S(t) segue o desejado.</p><p>Por fim, considere t→ t0 em R+, temos</p><p>∥u(t)− u(t0)∥D(∆) = ∥u(t)− u(t0)∥L2(Ω) + ∥∆u(t)−∆u(t0)∥L2(Ω) → 0,</p><p>graças a diferenciabilidade do semigrupo gerado por ∆, donde,</p><p>u(t) ∈ C0((0,∞), D(∆)).</p><p>Mas, nessas condições (Ω aberto de Rn com fronteira Γ bem regular), ∥.∥D(∆) é equivalente a</p><p>∥.∥H2(Ω), logo,</p><p>u(t) ∈ C0((0,∞),H2(Ω)).</p><p>A segunda parte do Teorema é imediata.</p><p>2</p><p>Teorema 3.4 Se f ∈ C3(R), f(0) = 0 e n ≤ 3, então, para cada u0 ∈ H1</p><p>0 (Ω) ∩ H2(Ω), existe uma</p><p>solução clássica em [0, Tmax), com</p><p>u ∈ C1([0, Tmax);L</p><p>2(Ω)) ∩ C([0, Tmax);H</p><p>2(Ω))</p><p>e Tmax = +∞ ou Tmax 0, tal que</p><p>∥u∥∞ ≤ c1∥u∥H2(Ω) ∀u ∈ H2(Ω).</p><p>Agora, dado M > 0, como f ∈ C3(R), existem constantes L1, L2, L3 > 0, tais que</p><p>|f(t)| ≤ L1, |f ′(t)| ≤ L2 e |f ′′(t)| ≤ L3, ∀t ∈ [0,M ]</p><p>Seja u ∈ H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω) e considere M = c1∥u∥H2(Ω). Como</p><p>|u(x)| ≤ ∥u∥∞ ≤M q.t.p</p><p>temos</p><p>|f(u(x))| ≤ L1, |f ′(u(x))| ≤ L2 e |f ′′(u(x))| ≤ L3, q.t.p em Ω</p><p>donde f(u), f ′(u) e f ′′(u) ∈ L∞(Ω).</p><p>Agora,</p><p>∂</p><p>∂xi</p><p>f(u) = f ′(u)</p><p>∂u</p><p>∂xi</p><p>∈ L2(Ω)</p><p>∂2</p><p>∂x2i</p><p>f(u) = f ′(u)</p><p>∂2u</p><p>∂x2i</p><p>+ f ′′(u)</p><p>(</p><p>∂u</p><p>∂xi</p><p>)2</p><p>∈ L2(Ω)</p><p>∂2</p><p>∂xi∂xj</p><p>f(u) = f ′(u)</p><p>∂2u</p><p>∂xi∂xj</p><p>+ f ′′(u)</p><p>∂u</p><p>∂xi</p><p>∂u</p><p>∂xj</p><p>∈ L2(Ω)</p><p>pois, f ′(u), f ′′(u) ∈ L∞(Ω) e, como</p><p>∂u</p><p>∂xi</p><p>∈ H1(Ω) e n ≤ 3, temos H1(Ω) ↪→ L6(Ω) ↪→ L4(Ω), logo(</p><p>∂u</p><p>∂xi</p><p>)2</p><p>∈ L2(Ω) e, também, por</p><p>∂u</p><p>∂xi</p><p>∈ H1(Ω), temos</p><p>∂u</p><p>∂xi</p><p>∂u</p><p>∂xj</p><p>∈ L2(Ω), portanto,</p><p>f(u) ∈ H2(Ω).</p><p>Agora, como u ∈ H1</p><p>0 (Ω), existe {φn} ⊂ C∞</p><p>0 (Ω) tal que</p><p>φn −→ u em H1(Ω)</p><p>e, como f ∈ C3(R), temos</p><p>f(φn) −→ f(u) em H1(Ω).</p><p>Ainda, γ0(f(φn)) = f(φn) |Γ= f(0) = 0 para todo n ∈ N, logo,</p><p>0 = γ0(f(φn)) −→ γ0(f(u)) em H1/2(Γ),</p><p>donde segue que</p><p>γ0(f(u)) = 0</p><p>e, consequentemente,</p><p>f(u) ∈ H1</p><p>0 (Ω).</p><p>Assim, F : H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω)→ H1</p><p>0 (Ω) ∩H2(Ω), onde F (u) = f(u), está bem definida.</p><p>Por fim, se ∥u∥H2(Ω) ≤M e ∥v∥H2(Ω) ≤M , então</p><p>∥u∥∞ ≤ c1M e ∥v∥∞ ≤ c1M.</p><p>- 163 -</p><p>3.4 Equações Não Lineares</p><p>Logo,</p><p>∥f(u)− f(v)∥2 ≤ CM∥u− v∥2</p><p>∥ ∂</p><p>∂xi</p><p>f(u)− ∂</p><p>∂xi</p><p>f(v)∥2 ≤</p><p>∥∥∥∥(f ′(u)− f ′(v)) ∂u∂xi</p><p>∥∥∥∥</p><p>2</p><p>+</p><p>∥∥∥∥f ′(v)( ∂u</p><p>∂xi</p><p>− ∂u</p><p>∂xi</p><p>)∥∥∥∥</p><p>2</p><p>≤ C1M∥u− v∥2 + ∥f ′(v)∥∞</p><p>∥∥∥∥ ∂u∂xi − ∂u</p><p>∂xi</p><p>∥∥∥∥</p><p>2</p><p>.</p><p>Analogamente para</p><p>∂2</p><p>∂xi∂xj</p><p>f(u), logo,</p><p>F : D(∆) −→ D(∆)</p><p>é localmente Lipschitz e o resultado segue do Teorema 2.24.</p><p>2</p><p>Teorema 3.5 Se f ∈ C1(R) e f(0) = 0, então, para todo u0 ∈ L∞(Ω), existe u que é solução de (3.4.26),</p><p>com u ∈ L∞([0, T ], L∞(Ω)) para todo T M + 1</p><p>f(−M − 1) se t 0, temos</p><p>|u(t, x)| ≤ ∥u0∥∞ +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>|f̃(u(x, s))|ds</p><p>≤ ∥u0∥∞ + L</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>|u(x, s)|ds</p><p>e,portanto, para cada t</p><p>∥u(t)∥∞ ≤M + L</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥u(s)∥∞ds</p><p>donde, pelo Lema de Gronwall</p><p>∥u(t)∥∞ ≤MeLT .</p><p>Logo</p><p>u ∈ L∞(0, T ;L∞(Ω)).</p><p>Agora, se T é suficientemente pequeno de modo que</p><p>MeLT ≤M + 1</p><p>- 164 -</p><p>3.4 Equações Não Lineares</p><p>temos que u é também solução de (3.4.27), com f em lugar de f̃ . Assim, u pode ser estendida a um</p><p>intervalo [o, Tmax).</p><p>A segunda parte segue como no Teorema 2.23.</p><p>2</p><p>Exemplo 1 Consideremos f : R→ R, f(t) = −t3 e n ≤ 3.</p><p>Observemos que f possui a seguinte propriedade:</p><p>f(t)t</p><p>Assim, temos que</p><p>E(t) ≤ E(0) ∀t.</p><p>Suponhamos, agora, que Tmax =∞ e definamos G : [0,∞)→ R pondo</p><p>G(t) = ∥u(., t)∥22.</p><p>Temos que G ∈ C1(R+) graças a regularidade de u e</p><p>G′(t) =</p><p>d</p><p>dt</p><p>∥u(t)∥22 = 2(u′(t), u(t))2</p><p>= 2(∆u(t) + u3(t), u(t))2</p><p>= −4</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>|∇u(t)|2dx− 1</p><p>4</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>u4(t)dx</p><p>]</p><p>+</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>u4(t)dx</p><p>= −4E(t) +</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>u4(t)dx.</p><p>Assim, como E(t) ≤ E(0), segue que</p><p>G′(t) ≥ −4E(0) +</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>u4(t)dx.</p><p>Agora, sabendo que L4(Ω) ↪→ L2(Ω), temos</p><p>∥u(t)∥42 ≤ C1∥u(t)∥44</p><p>logo,</p><p>G2(t) ≤ C2</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>|u(t)|4dx</p><p>e, portanto,escrevendo c = 1</p><p>C2</p><p>,</p><p>G′(t) ≥ −4E(0) + CG2(t) ≥ CG2(t).</p><p>Donde conclúımos que G é crescente e, como G(0) ̸= 0, podemos escrever</p><p>G′(s)</p><p>G2(s)</p><p>≥ C</p><p>que, integrando de 0 à t, nos fornece ∫ t</p><p>0</p><p>G′(s)</p><p>G2(s)</p><p>ds ≥ tC ∀, t ≥ 0</p><p>- 166 -</p><p>3.4 Equações Não Lineares</p><p>mas, ∫ t</p><p>0</p><p>G′(s)</p><p>G2(s)</p><p>ds =</p><p>1</p><p>G(0)</p><p>− 1</p><p>G(t)</p><p>≤ 1</p><p>G(0)</p><p>,</p><p>ou seja, Ct ≤ 1</p><p>G(0) para todo t ≥ 0. O que é um absurdo. Portanto, Tmax 0 a vizinhança</p><p>{ξ ∈ X ′; | ⟨x′0 − ξ, x⟩ |</p><p>por:</p><p>D(F ) = X e F (x) =</p><p>{</p><p>x′ ∈ X ′;</p><p>⟨</p><p>x′, x</p><p>⟩</p><p>= ∥x∥2 = ∥x′∥2</p><p>}</p><p>para todo x ∈ X.</p><p>Denomina-se aplicação dualidade de X, à toda aplicação f : X −→ X ′ tal que f(x) ∈ F (x), ∀x ∈ X</p><p>Definição 4.10 Seja f : X −→]−∞,+∞] uma função. Denomina-se domı́nio efetivo de f o conjunto</p><p>De(f) =</p><p>{</p><p>x ∈ X; f(x) 0 tal que para qualquer vizinhança V (x0) de x0 temos</p><p>f(x) n tal que f(ukn) n tal que f(ukn)</p><p>arbitrários e u ∈ N(λ,Φ). Então existe (un)n∈N ⊂ N(λ,Φ)</p><p>tal que</p><p>un −→ u em Lp(0, T ). (4.1.38)</p><p>- 176 -</p><p>4.1 Operador Dualidade</p><p>Dáı,</p><p>Φ(un) ≤ λ, ∀n ∈ N.</p><p>ou seja, ∫ T</p><p>0</p><p>φ(un(t))dt ≤ λ, ∀n ∈ N (4.1.39)</p><p>Note que a sequência (φ(un))n∈N ⊂ L1(0, T ) e ainda que (φ(un)) ≥ 0 quase sempre, ∀n ∈ N.</p><p>De (4.1.39) vem que,</p><p>sup</p><p>n∈N</p><p>∫ T</p><p>0</p><p>φ(un(t))dt ≤ λ 0,</p><p>existe uma vizinhança Vx de x tal que</p><p>f(Vx) ⊂</p><p>(</p><p>f(x)− ε, f(x) + ε</p><p>)</p><p>Em particular, tomando</p><p>λ− f(x)</p><p>4</p><p>> 0, temos que,</p><p>f(x)− ε 0.</p><p>Antes de provarmos o afirmado notemos que se y ∈ V, então y ∈ De(f) e portanto existe um</p><p>βy ∈ R tal que</p><p>f(y)</p><p>⟨</p><p>x′1</p><p>α</p><p>, x</p><p>⟩</p><p>+ f(x),</p><p>o que é uma contradição.</p><p>Uma vez que α = 0 e α 0.</p><p>Agora consideremos o seguinte conjunto para y ∈ V,</p><p>Λy =</p><p>{</p><p>σ ∈ R; f(y)</p><p>⟨</p><p>x′1</p><p>α</p><p>, x− y</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>−x</p><p>′</p><p>1</p><p>α</p><p>, y − x</p><p>⟩</p><p>(4.1.53)</p><p>Fazendo x′ = −x</p><p>′</p><p>1</p><p>α</p><p>, obtemos que,</p><p>f(y)− f(x) ≥</p><p>⟨</p><p>x′, y − x</p><p>⟩</p><p>, ∀y ∈ V (4.1.54)</p><p>Resta-nos mostrar que (4.1.54) é verdadeiro para todo y ∈ De(f).</p><p>É imediato que De(f) é convexo.</p><p>Assim, consideremos agora ỹ ∈ De(f)\V e lembremos que x ∈ V ⊂ int(De(f)) ⊂ De(f). Portanto</p><p>tx+ (1− t)ỹ ∈ De(f), ∀t ∈ [0, 1].</p><p>- 181 -</p><p>4.1 Operador Dualidade</p><p>Escolhemos t1 ∈]0, 1[ de tal modo que,</p><p>z = t1x+ (1− t1)ỹ ∈ V (4.1.55)</p><p>De (4.1.54) e (4.1.55) obtemos que</p><p>f(z)− f(x) ≥</p><p>⟨</p><p>x′, z − x</p><p>⟩</p><p>. (4.1.56)</p><p>Agora notemos que,</p><p>f(z)− f(x) = f</p><p>(</p><p>t1x+ (1− t1)ỹ</p><p>)</p><p>− f(x)</p><p>≤ t1f(x) + (1− t1)f(ỹ)</p><p>= (1− t1)[f(ỹ)− f(x)]. (4.1.57)</p><p>Por outro lado, ⟨</p><p>x′, z − x</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x′, t1x+ (1− t1)ỹ − x</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x′, (1− t1)(ỹ − x)</p><p>⟩</p><p>= (1− t1)</p><p>⟨</p><p>x′, ỹ − x</p><p>⟩</p><p>. (4.1.58)</p><p>Comparando (4.1.57) e (4.1.58), obtemos:</p><p>(1− t1)[f(ỹ)− f(x)] ≥ f(z)− f(x)</p><p>≥</p><p>⟨</p><p>x′, z − x</p><p>⟩</p><p>= (1− t1)</p><p>⟨</p><p>x′, ỹ − x</p><p>⟩</p><p>⇓</p><p>f(ỹ)− f(x) ≥</p><p>⟨</p><p>x′, ỹ − x</p><p>⟩</p><p>, ∀ỹ ∈ De(f).</p><p>Segue dáı que x′ ∈ ∂f(x), ou seja,</p><p>x ∈ D(∂f).</p><p>Isto prova que int(De(f)) ⊂ D(∂f).</p><p>Lembremos que V é uma vizinhança de x tal que V ⊂ int(De(f)) ⊂ D(∂f), assim mostramos que</p><p>x ∈ int(D(∂f)), donde conclúımos que int(De(f)) ⊂ int(D(∂f)). Provando o desejado.</p><p>2</p><p>Definição 4.17 Seja X um e.v.t.. Dizemos que uma aplicação f : X −→]−∞,+∞] é exata no ponto x</p><p>se existe uma função afim cont́ınua φ que minora f , ou seja,</p><p>φ(y) ≤ f(y), ∀y ∈ X e, além disso, φ(x) = f(x)</p><p>Proposição 4.18 Seja X um e.v.t..Uma função f : X −→] −∞,+∞] é subdiferenciável no ponto x ∈</p><p>De(f) se, e somente se, f for exata no ponto x.</p><p>Demonstração:</p><p>Suponhamos inicialmente que f é subdiferenciável no ponto x ∈ De(f). Então de acordo com a</p><p>definição 4.13, existe x′ ∈ X ′ tal que</p><p>f(y)− f(x) ≥</p><p>⟨</p><p>x′, y − x</p><p>⟩</p><p>,∀y ∈ De(f) (4.1.59)</p><p>- 182 -</p><p>4.1 Operador Dualidade</p><p>Definamos:</p><p>φ(y) =</p><p>⟨</p><p>x′, y</p><p>⟩</p><p>−</p><p>⟨</p><p>x′, x</p><p>⟩</p><p>+ f(x), ∀y ∈ X</p><p>Temos que φ é uma aplicação afim cont́ınua tal que, em virtude de (4.1.59) verifica:</p><p>f(y) ≥ φ(y), ∀y ∈ De(f).</p><p>Como f(y) = +∞ para todo y ̸∈ De(f), temos em verdade que f(y) ≥ φ(y), ∀y ∈ X. Além disso,</p><p>φ(x) =</p><p>⟨</p><p>x′, x</p><p>⟩</p><p>−</p><p>⟨</p><p>x′, x</p><p>⟩</p><p>+ f(x) = f(x),</p><p>o que prova que f é exata.</p><p>Reciprocamente, suponhamos que f é exata em x ∈ X. Logo, conforme Definição 4.17, existem</p><p>x′ ∈ X ′ e β ∈ R que definem a função afim cont́ınua:</p><p>φ(y) =</p><p>⟨</p><p>x′, y</p><p>⟩</p><p>− β; ∀y ∈ X, (4.1.60)</p><p>que é minorante de f (isto é, f(y) ≥ φ(y), ∀y ∈ X) e além disso, f(x) = φ(x). Desta última identidade</p><p>e de (4.1.60) resulta que</p><p>f(x) = φ(x) =</p><p>⟨</p><p>x′, x</p><p>⟩</p><p>− β,</p><p>e portanto</p><p>β =</p><p>⟨</p><p>x′, x</p><p>⟩</p><p>− f(x). (4.1.61)</p><p>Combinando (4.1.60) e (4.1.61) e o fato de φ ser um minorante de f , obteremos</p><p>f(y) ≥</p><p>⟨</p><p>x′, y</p><p>⟩</p><p>−</p><p>⟨</p><p>x′, x</p><p>⟩</p><p>+ f(x)</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x′, y − x</p><p>⟩</p><p>+ f(x), ∀y ∈ X</p><p>o que encerra a prova.</p><p>2</p><p>Teorema 4.19 (Composição) Sejam V e W espaços vetoriais, φ : W → (−∞,+∞] uma aplicação</p><p>convexa, Λ : V → W uma aplicação linear, e De(φ) ∩ Im(Λ) ̸= ∅. Além disso, assuma que φ é cont́ınua</p><p>em algum ponto de Im(Λ) ∩De(φ). Então, ∂(φ ◦ Λ) = Λ′ · ∂φ · Λ.</p><p>Demonstração: Considerando φ e Λ como no enunciado temos que φ ◦Λ : V −→ (−∞,+∞] é convexa</p><p>própria.</p><p>Sejam u, v ∈ V e t ∈ [0, 1], então,</p><p>(φ ◦ Λ)(tu+ (1− t)v) = φ</p><p>(</p><p>Λ(tu+ (1− t)v)</p><p>)</p><p>= φ</p><p>(</p><p>tΛu+ (1− t)Λv</p><p>)</p><p>≤ tφ(Λu) + (1− t)(φ(Λu))</p><p>= t(φ ◦ Λ)u+ (1− t)(φ ◦ Λ)v,</p><p>o que prova a convexidade de φ ◦ Λ.</p><p>Mostraremos agora que φ ◦ Λ é própria.</p><p>Temos por hipótese que De(φ) ∩ ImΛ ̸= ∅, ou seja, existe u ∈ De(φ) ∩ ImΛ. Então, u ∈ Λv, para</p><p>algum v ∈ V.</p><p>Dáı,(φ ◦ Λ)v = φ(Λv) = φ(u) 0. Afim de concluir o afirmado precisamos exisbir um</p><p>y ∈ Vx, tal que y ̸∈ epi(φ), uma vez que x ∈ Vx ∩ epi(φ), para qualquer vizinhança Vx de x. Ou seja,</p><p>Vx ∩ epi(φ) ̸= ∅. Tomando λ− α β,</p><p>o que prova que</p><p>y = (Λv, β) ∈W × R \ epi(φ),</p><p>ou ainda,</p><p>Vx ∩W × R \ epi(φ) ̸= ∅.</p><p>Donde conclúımos que x ∈ bdr(epi(φ)) e por conseguinte</p><p>K ∩ epi(φ) ⊂ bdr(epi(φ)),</p><p>como afirmado.</p><p>Afirmamos que int(epi(φ)) ̸= ∅.</p><p>Devemos exibir um elemento x ∈ epi(φ) e uma vizinhança Vx de x tal que, Vx ⊂ epi(φ) tal que</p><p>Vx ⊂ epi(φ).</p><p>Seja v ∈ V tal que φ é continua em Λv, consequentemente Λv ∈ De(φ), ou seja , φ(Λv) 0, Pela continuidade da φ em Λv, existe uma vizinhança UΛv ⊂ De(φ) tal</p><p>que</p><p>φ(UΛv) ⊂</p><p>(</p><p>φ(Λv)− ε, φ(Λv) + ε</p><p>)</p><p>ou ainda,</p><p>φ(Λv)− ε ≤ φ(u) ≤ φ(Λv) + ε, para cada u ∈ UΛv</p><p>Note que o elemento x = (Λv, β) ∈ epi(φ).</p><p>Consideremos a seguinte vizinhança de x:</p><p>Vx = UΛv × (β − ε, β + ε).</p><p>Afirmamos que Vx ⊂ epi(φ). Come efeito. Seja y ∈ Vx. Então,</p><p>y = (u, λ), com u ∈ UΛv e λ ∈ (β − ε, β + ε)</p><p>- 185 -</p><p>4.1 Operador Dualidade</p><p>Dáı, notando que,</p><p>φ(Λv) + 2ε = φ(Λv) + 2</p><p>β − φ(Λv)</p><p>4</p><p>= φ(Λv) +</p><p>β</p><p>2</p><p>− φ(Λv)</p><p>2</p><p>=</p><p>φ(Λv)</p><p>2</p><p>+</p><p>β</p><p>2</p><p>=, ∀ v ∈ V.</p><p>- 186 -</p><p>4.1 Operador Dualidade</p><p>Donde podemos concluir que u</p><p>′</p><p>= Λ</p><p>′</p><p>(w</p><p>′</p><p>). Como c ≤ ψ(w, t), ∀ (w, t) ∈ epi(φ), temos em particular</p><p>para (w,φ(w)) que</p><p>−w</p><p>′</p><p>(Λu) + φ(Λu) = c ≤ −w</p><p>′</p><p>(w) + φ(w), ∀ w ∈W.</p><p>Consequentemente,</p><p>w</p><p>′</p><p>(w − Λu) ≤ φ(w)− φ(Λu), ∀ w ∈W.</p><p>Mostrando que w</p><p>′ ∈ ∂(Λu). Dáı, Λ</p><p>′</p><p>w</p><p>′ ∈ Λ</p><p>′</p><p>∂(Λu). Como u</p><p>′</p><p>= Λ</p><p>′</p><p>w</p><p>′</p><p>, o resultado segue.</p><p>2</p><p>Definição 4.22 (Derivada a Gateaux) Sejam X e Y e.v.t.. Uma aplicação φ : X −→ Y é</p><p>diferenciável a Gateaux no ponto x se existir uma aplicação linear e cont́ınua</p><p>φ′(x) : X −→ Y tal que</p><p>lim</p><p>λ→0</p><p>φ(x+ λy)− φ(x)</p><p>λ</p><p>= φ′(x)y, ∀y ∈ X</p><p>A aplicação φ′(x) é denominada a derivada à Gateaux de φ no ponto x.</p><p>Proposição 4.23 Seja K um subconjunto convexo em um espaço normado V e consideremos φ : K ⊂</p><p>V → (−∞,+∞] uma função diferenciável à Gateaux em cada ponto u ∈ K. Prove que as seguintes</p><p>afirmações são equivalentes:</p><p>(a) φ é convexa;</p><p>(b) φ′(u)(v − u) ≤ φ(v)− φ(u), para todo u, v ∈ K;</p><p>(c) (φ′(u)− φ′(v))(u− v) ≥ 0 para todo u, v ∈ K.</p><p>Demonstração:</p><p>(a) ⇒ (b)</p><p>Suponhamos que φ : K −→ R é</p><p>convexa e sejam u, v ∈ K e t ∈ [0, 1]. Pela convexidade de K</p><p>resulta que</p><p>(1− t)u+ tv ∈ K</p><p>e pela convexidade de φ vem que,</p><p>φ</p><p>(</p><p>(1− t)u+ tv</p><p>)</p><p>≤ (1− t)φ(u) + tφ(v),</p><p>ou ainda,</p><p>φ</p><p>(</p><p>(1− t)u+ tv</p><p>)</p><p>≤ φ(u) + t</p><p>(</p><p>φ(v)− φ(u)</p><p>)</p><p>.</p><p>Assim,</p><p>φ</p><p>(</p><p>u+ t(v − u)</p><p>)</p><p>− φ(u)</p><p>t</p><p>≤ φ(v)− φ(u).</p><p>Como φ é diferenciavel a gateaux, por hipótese, temos que</p><p>lim</p><p>t→0</p><p>φ</p><p>(</p><p>u+ t(v − u)</p><p>)</p><p>− φ(u)</p><p>t</p><p>≤ φ(v)− φ(u)</p><p>ou ainda,</p><p>φ′(u)(v − u) ≤ φ(v)− φ(u),</p><p>o que prova (b).</p><p>(b) ⇒ (c)</p><p>- 187 -</p><p>4.1 Operador Dualidade</p><p>Suponhamos que (b) ocorre e sejam u, v ∈ K. Logo,</p><p>φ′(u)(v − u) ≤ φ(v)− φ(u)</p><p>e</p><p>φ′(v)(u− v) ≤ φ(u)− φ(v).</p><p>somando membro a membro as desigualdades acima, obtemos</p><p>φ′(u)(v − u) + φ′(v)(u− v) ≤ 0.</p><p>Donde,</p><p>φ′(u)(v − u)− φ′(v)(v − u) ≤ 0,</p><p>ou seja, (</p><p>φ′(v)− φ′(u)</p><p>)</p><p>(v − u) ≥ 0,</p><p>o que prova (c).</p><p>(c) ⇒ (a)</p><p>Suponhamos que (c) ocorre.</p><p>Sejam u, v ∈ K e façamos</p><p>[u, v] =</p><p>{</p><p>(1− t)u+ tv; t ∈ [0, 1</p><p>}</p><p>] ⊂ K</p><p>Definamos,</p><p>ψ : [0, 1] −→ ]−∞,+∞]</p><p>t 7−→ ψ(t) = φ</p><p>(</p><p>u+ t(v − u)</p><p>)</p><p>,</p><p>ou seja, ψ = φ</p><p>∣∣∣</p><p>[u,v]</p><p>.</p><p>Agora, para cada t ∈]0, 1[, seja λ > 0 suficientemente pequeno, de modo que (t+ λ) ∈]0, 1[. Desta</p><p>forma,</p><p>ψ′(t) = lim</p><p>λ→0</p><p>ψ(t+ λ)− ψ(t)</p><p>λ</p><p>= lim</p><p>λ→0</p><p>φ(u+ (t+ λ)(v − u))− φ(u+ t(v − u))</p><p>λ</p><p>= lim</p><p>λ→0</p><p>φ(u+ t(v − u) + λ(v − u))− φ(u+ t(v − u))</p><p>λ</p><p>.</p><p>Sendo φ diferenciável à Gateaux em K, então o limite acima existe e dáı vem que,</p><p>ψ′(t) = φ′(u+ t(v − u))(v − u), t ∈]0, 1[. (4.1.69)</p><p>Agora, se t = 0 ou t = 1, então consideramos, respectivamente, o limite à esquerda e à direita, de</p><p>modo a obtermos:</p><p>ψ′(0) = lim</p><p>λ→0+</p><p>φ(u+ λ(v − u))− φ(u)</p><p>λ</p><p>= φ′(u)(v − u) (4.1.70)</p><p>ψ′(1) = lim</p><p>λ→1−</p><p>φ(v + λ(v − u))− φ(v)</p><p>λ</p><p>= φ′(v)(v − u) (4.1.71)</p><p>- 188 -</p><p>4.1 Operador Dualidade</p><p>De (4.1.69), (4.1.70) e (4.1.71) podemos escrever,</p><p>ψ′(t) = φ′(u+ t(v − u))(v − u), ∀t ∈ [0, 1] (4.1.72)</p><p>Afirmamos que ψ′ é crescente.</p><p>De fato, sejam t1, t2 ∈ [0, 1] com t1 0</p><p>o que implica</p><p>f(x+ λy)− f(x)</p><p>λ</p><p>≥</p><p>⟨</p><p>x′, y</p><p>⟩</p><p>, ∀y ∈ X, ∀λ > 0</p><p>e no limite quando λ→ 0 vem que ⟨</p><p>f ′(x), y</p><p>⟩</p><p>≥</p><p>⟨</p><p>x′, y</p><p>⟩</p><p>, ∀y ∈ X.</p><p>Resulta da desigualdade acima trocando y por −y a desigualdade inversa e, consequentemente⟨</p><p>f ′(x), y</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x′, y</p><p>⟩</p><p>, ∀y ∈ X,</p><p>o que nos leva a concluir a identidade f ′(x) = x′e encerra a prova</p><p>2</p><p>Exemplo 4.5 Seja X um espaço vetorial normado. Vamos calcular o subdiferencial da norma no ponto</p><p>0 ∈ X, ou seja, determinaremos os elementos do conjunto</p><p>∂∥ · ∥(0) =</p><p>{</p><p>x′ ∈ X ′, ∥y∥ ≥</p><p>⟨</p><p>x′, y</p><p>⟩</p><p>; ∀y ∈ X</p><p>}</p><p>Notemos que se x′ ∈ ∂∥ · ∥(0), então ∥y∥ ≥</p><p>⟨</p><p>x′, y</p><p>⟩</p><p>, ∀y ∈ X. Se y ∈ X então evidentemente −y ∈ X</p><p>e, portanto, em particular,</p><p>⟨</p><p>x′,−y</p><p>⟩</p><p>≤ ∥y∥ o que implica</p><p>⟨</p><p>x′, y</p><p>⟩</p><p>≥ −∥y∥. Logo,</p><p>∣∣⟨x′, y⟩∣∣ ≤ ∥y∥ para todo</p><p>y ∈ X, consequentemente ∥x′∥ ≤ 1. Dáı resulta que</p><p>∂∥ · ∥(0) ⊂</p><p>{</p><p>x′ ∈ X ′; ∥x′∥ ≤ 1</p><p>}</p><p>Reciprocamente, se x′ ∈</p><p>{</p><p>x′ ∈ X ′, ∥x′∥ ≤ 1</p><p>}</p><p>, temos que</p><p>∣∣⟨x′, y⟩∣∣ ≤ ∥y∥, ∀y ∈ X e, portanto,{</p><p>x′ ∈ X ′, ∥x′∥ ≤ 1</p><p>}</p><p>⊂ ∂∥ · ∥(0).</p><p>Desta forma, provamos que {</p><p>x′ ∈ X ′, ∥x′∥ ≤ 1</p><p>}</p><p>= ∂∥ · ∥(0).</p><p>Exemplo 4.6 Se f(x) =</p><p>1</p><p>2</p><p>∥x∥2, então ∂f(x) = F (x).</p><p>- 190 -</p><p>4.2 Exerćıcios</p><p>Para x′ ∈ F (x) tem-se</p><p>f(y)− f(x) = 1</p><p>2</p><p>∥y∥2 − 1</p><p>2</p><p>∥x∥2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>(∥x∥2 + ∥y∥2)− ∥x∥2</p><p>≥ ∥x∥∥y∥ − ∥x∥2</p><p>≥ ⟨x′, y⟩ − ⟨x′, x⟩.</p><p>Logo, F (x) ⊆ ∂f(x).</p><p>Por outro lado, se x′ ∈ ∂f(x), temos</p><p>1</p><p>2</p><p>∥y∥2 − 1</p><p>2</p><p>∥x∥2 ≥ ⟨x′, y − x⟩, ∀y ∈ De(f).</p><p>Para y da forma y = x+ tx, t ∈ R,</p><p>∥x+ tx∥2 − ∥x∥2 ≥ 2t⟨x′, x⟩.</p><p>Assim, para t =</p><p>1</p><p>n</p><p>temos (</p><p>1 +</p><p>1</p><p>2n</p><p>)</p><p>∥x∥2 ≥ ⟨x′, x⟩.</p><p>Se t = − 1</p><p>n</p><p>temos (</p><p>1− 1</p><p>2n</p><p>)</p><p>∥x∥2 ≤ ⟨x′, x⟩.</p><p>Pela arbitrariedade de n, ⟨x′, x⟩ = ∥x∥2. Resta provar que ∥x′∥ ≤ ∥x∥. Na definição, para y da forma</p><p>y = x+ tz, t > 0, z ∈ X,</p><p>1</p><p>2</p><p>∥x+ tz∥2 − 1</p><p>2</p><p>∥x∥2 ≥ t⟨x′, z⟩.</p><p>Dáı,</p><p>t⟨x′, z⟩ ≤ 1</p><p>2</p><p>(∥x∥+ t∥z∥)2 − 1</p><p>2</p><p>∥x∥2</p><p>= t∥x∥∥z∥+ t2</p><p>2</p><p>∥z∥2.</p><p>Dividindo ambos os lados por t e passando o limite, vem que</p><p>⟨x′, z⟩ ≤ ∥x∥∥z∥, ∀z.</p><p>4.2 Exerćıcios</p><p>1 - Seja A um conjunto fechado de um e.v.t. e consideremos a função indicatriz IA definida por</p><p>IA(x) =</p><p>{</p><p>0, se x ∈ A;</p><p>+∞, se x /∈ A.</p><p>Prove que IA é s.c.i.</p><p>Solução: Seja E um e.v.t. e A ⊂ E fechado. Mostraremos que N(λ, IA) são fechados para todo λ ∈ R.</p><p>- 191 -</p><p>4.2 Exerćıcios</p><p>De fato,</p><p>Se λ 0 N(λ, IA) =</p><p>{</p><p>x ∈ E, IA(x) ≤ λ</p><p>}</p><p>= A</p><p>Como ∅ e A são conjuntos fechados, segue que IA é s.c.i..</p><p>2 - Seja f : X → [−∞,+∞] uma função convexa definida em um espaço vetorial X.</p><p>a) Se f assume o valor −∞ num ponto x0 ∈ X prove que em toda semireta Γ com origem em x0,</p><p>f(x) = −∞ para todo x ∈ Γ ou existe um ponto x1 ∈ Γ tal que f(x1)</p><p≯= Γ(x0,x1), ou seja, existe x ∈ Γ(x0,x1) tal que</p><p>f(x) 0. (4.2.86)</p><p>- 193 -</p><p>4.2 Exerćıcios</p><p>Suponhamos, sem perda de generalidade, que</p><p>∥xn∥X > 0, ∀n ∈ N. (4.2.87)</p><p>Pondo yn =</p><p>xn</p><p>∥xn∥</p><p>, y =</p><p>x</p><p>∥x∥</p><p>e y∗ =</p><p>x∗</p><p>∥x∗∥</p><p>, onde x∗ ∈ F (x) temos yn, y ∈ UX ( Bola Unitária ) e</p><p>y∗ ∈ UX′ . Temos ainda⟨</p><p>y∗,</p><p>yn + y</p><p>2</p><p>⟩</p><p>≤</p><p>∣∣∣∣⟨y∗, yn + y</p><p>2</p><p>⟩∣∣∣∣ ≤ ∥∥∥∥yn + y</p><p>2</p><p>∥∥∥∥</p><p>X</p><p>≤ 1</p><p>2</p><p>{</p><p>∥yn∥+ ∥y∥</p><p>}</p><p>= 1</p><p>Por outro lado,</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>⟨</p><p>y∗,</p><p>yn + y</p><p>2</p><p>⟩</p><p>= lim</p><p>n→∞</p><p>⟨</p><p>x∗</p><p>∥x∗∥X′</p><p>,</p><p>xn</p><p>∥xn∥X</p><p>+ x</p><p>∥x∥X</p><p>2</p><p>⟩</p><p>=</p><p>1</p><p>2∥x∗∥X′</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>{⟨</p><p>x∗, xn</p><p>⟩</p><p>· 1</p><p>∥xn∥X</p><p>+</p><p>⟨</p><p>x∗, x</p><p>⟩ 1</p><p>∥x∥X</p><p>}</p><p>=</p><p>1</p><p>2∥x∗∥x′</p><p>·</p><p>{⟨</p><p>x∗, x</p><p>⟩ 1</p><p>∥x∥X +</p><p>⟨</p><p>x∗, x</p><p>⟩</p><p>1</p><p>∥x∥X</p><p>}</p><p>=</p><p>1</p><p>2∥x∗∥X′</p><p>· 2</p><p>∥x∥X</p><p>⟨</p><p>x∗, x</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x∗, x</p><p>⟩</p><p>∥x∗∥x′ · ∥x∥X</p><p>=</p><p>∥x∗∥∥x∥</p><p>∥x∗∥∥x∥</p><p>= 1 (4.2.88)</p><p>Agora como</p><p>⟨</p><p>y∗,</p><p>yn + y</p><p>2</p><p>⟩</p><p>≤</p><p>∣∣∣∣⟨y∗, yn + y</p><p>2</p><p>⟩∣∣∣∣</p><p>≤ ∥y∗∥X′ ·</p><p>∥∥∥∥yn + y</p><p>2</p><p>∥∥∥∥</p><p>X</p><p>=</p><p>∥∥∥∥yn + y</p><p>2</p><p>∥∥∥∥ (4.2.89)</p><p>segue que</p><p>1 = lim</p><p>n→∞</p><p>⟨</p><p>y∗,</p><p>yn + y</p><p>2</p><p>⟩</p><p>≤ lim</p><p>n→∞</p><p>∥∥∥∥yn + y</p><p>2</p><p>∥∥∥∥</p><p>X</p><p>. (4.2.90)</p><p>Por outro lado ∥∥∥∥yn + y</p><p>2</p><p>∥∥∥∥ ≤ 1</p><p>2</p><p>{</p><p>∥yn∥X + ∥y∥x</p><p>}</p><p>= 1. (4.2.91)</p><p>logo,</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∥∥∥∥yn + y</p><p>2</p><p>∥∥∥∥</p><p>X</p><p>≤ 1. (4.2.92)</p><p>De (4.2.90) e (4.2.92) concluimos que</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>∥∥∥∥yn + y</p><p>2</p><p>∥∥∥∥</p><p>X</p><p>= 1. (4.2.93)</p><p>Agora da convergência uniforme resulta</p><p>∥yn − y∥X −→ 0, quando n −→∞. (4.2.94)</p><p>De fato,argumentamos por contradição. Suponhamos que ∥yn− y∥X ̸→ 0 quando n −→∞. então,</p><p>- 194 -</p><p>4.2 Exerćıcios</p><p>sem perda de generalidade, podemos supor que existe ε0 > 0 tal que</p><p>∥yn − y∥X > ε0, ∀n ∈ N. (4.2.95)</p><p>Logo, da convergência uniforme de X vem que existe δ0 > 0 tal que∥∥∥∥yn + y</p><p>2</p><p>∥∥∥∥</p><p>X</p><p>≤ 1− δ0 0 existe xM ∈ β(ξ) tal que |xM | > M .</p><p>- 197 -</p><p>5.1 Operadores Monótonos</p><p>Figura 5.2: Operador β̃.</p><p>Seja x1 > ξ. Sendo β monótono temos</p><p>(x1 − ξ)(y1 − y2) ≥ 0, ∀y1 ∈ β(x1) e ∀y2 ∈ β(ξ).</p><p>Em particular, (x1 − ξ)(y1 − xM ) ≥ 0. Como (x1 − ξ) > 0 resulta que (y1 − xM ) ≥ 0 e consequen-</p><p>temente, xM ≤ y1, ∀M > 0 e y1 ∈ β(x1). Logo existe y∗1 ∈ R tal que xM ≤ y∗1 , ∀M > 0.</p><p>Analogamente, se x1 y1, para todo M > 0 e y1 ∈ β(x1). Assim, existe y01 ∈ R tal que xM ≥ y01 , ∀M > 0.</p><p>Logo, (xM )M>0 é limitada. Porém, por hipótese, temos que |xM | > M, ∀M > 0, ou seja, |xM | −→ +∞</p><p>quando M −→ +∞, o que é uma contradição. Isto mostra que o conjunto β(ξ) é limitado.</p><p>Consideremos u ∈ C∞</p><p>0 (Ω) e definamos a aplicação</p><p>v : Ω −→ R</p><p>x 7−→ v(x) ∈ β(u(x)).</p><p>Denotando K = supp(u) temos∫</p><p>Ω</p><p>|v(x)|2dx =</p><p>∫</p><p>K</p><p>|v(x)|2dx+</p><p>∫</p><p>Ω\K</p><p>|v(x)|2dx.</p><p>Notemos que pelo fato de u ser cont́ınua e K ser compacto temos a existência de uma constante</p><p>k > 0 tal que −k 0 e</p><p>(</p><p>k − u(x)</p><p>)</p><p>> 0, resulta</p><p>que</p><p>(y1 − y2) ≥ 0, ∀y1 ∈ β</p><p>(</p><p>u(x)</p><p>)</p><p>e y2 ∈ β(−k),</p><p>(z1 − z2) ≥ 0, ∀z1 ∈ β(k) e ∀z2 ∈ β</p><p>(</p><p>u(x)</p><p>)</p><p>.</p><p>Em particular,</p><p>v(x) ≥ y2 ≥ c1,</p><p>onde c1 é uma limitação inferior do conjunto β(−k). E ainda,</p><p>v(x) ≤ z1 ≤ c2,</p><p>onde c2 é uma limitação superior do conjunto β(k).</p><p>Logo, existe c > 0 tal que |v(x)| ≤ c, ∀x ∈ K, e portanto,∫</p><p>K</p><p>|v(x)|2dx ≤ c2med(K) 0.</p><p>Demonstração: Sejam (x1, y1), (x2, y2) ∈ A e λ > 0. Então,</p><p>∥x1 − x2 + λ(y1 − y2)∥2 = ∥x1 − x2∥2 + λ2∥y1 − y2∥2 + 2λ(x1 − x2, y1 − y2). (5.1.1)</p><p>Sendo A monótono, temos que (</p><p>x1 − x2, y1 − y2</p><p>)</p><p>≥ 0,</p><p>e, portanto, de (5.1.1) resulta que</p><p>∥x1 − x2 + λ(y1 − y2)∥2 ≥ ∥x1 − x2∥2, (5.1.2)</p><p>- 200 -</p><p>5.1 Operadores Monótonos</p><p>para todo (x1, y1), (x2, y2) ∈ A e ∀λ > 0.</p><p>Reciprocamente, se (5.1.2) se verifica, temos por (5.1.1),</p><p>λ∥y1 − y2∥2 + 2</p><p>(</p><p>x1 − x2, y1 − y2</p><p>)</p><p>≥ 0.</p><p>Tomando o limite na desigualdade acima quando λ −→ 0, obtemos(</p><p>x1 − x2, y1 − y2</p><p>)</p><p>≥ 0,</p><p>para todo (x1, y1), (x2, y2) ∈ A, o que prova que A é monótono e conclui a prova.</p><p>2</p><p>Proposição 5.6 SejaM a famı́lia de operadores monótonos de X. São válidas as seguintes propriedades:</p><p>(i) Se A,B ∈M então A+B ∈M;</p><p>(ii) Se A ∈M e λ > 0 então λA ∈M;</p><p>(iii) Se A ∈M então A−1 : X ′ −→ X ′′ é monótono;</p><p>(iv) Se A ∈M então A ∈M, onde A é o fecho de A em X ×X ′, estando X munido da topologia forte</p><p>e X ′ munido da topologia fraca-∗;</p><p>(v) Se A ∈M então  ∈M, onde  = convAx (fecho em X ′ da envoltória convexa do conjunto Ax).</p><p>Demonstração:</p><p>(i) Se A,B ∈M, temos que</p><p>⟨</p><p>x′1 − y′1, x1 − y1</p><p>⟩</p><p>≥ 0, ∀(x1, x′1), (y1, y′1) ∈ A,⟨</p><p>x′2 − y′2, x2 − y2</p><p>⟩</p><p>≥ 0, ∀(x2, x′2), (y2, y′2) ∈ B.</p><p>(5.1.3)</p><p>Consideremos (z1, z</p><p>′</p><p>1), (w1, w</p><p>′</p><p>1) ∈ A+B. Logo, z1, w1 ∈ D(A) ∩D(B) e</p><p>z′1 = x′1 + x′2 onde x′1 ∈ Az1 e x′2 ∈ Bz1,</p><p>w′</p><p>1 = y′1 + y′2 onde y′1 ∈ Aw1 e y′2 ∈ Bw1.</p><p>(5.1.4)</p><p>Assim, de (5.1.3) e (5.1.4) resulta que⟨</p><p>z′1 − w′</p><p>1, z1 − w1</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>(x′1 + x′2)− (y′1 + y′2), z1 − w1</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>(x′1 − y′1) + (x′2 − y′2), z1 − w1</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x′1 − y′1, z1 − w1</p><p>⟩</p><p>+</p><p>⟨</p><p>x′2 − y′2, z1 − w1</p><p>⟩</p><p>≥ 0.</p><p>(ii) Se A ∈M e λ > 0 então⟨</p><p>x′ − y′, x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0; ∀(x, x′), (y, y′) ∈ A. (5.1.5)</p><p>Sejam (x, x′), (y, y′) ∈ λA. Então x1, y1 ∈ D(A) e além disso,</p><p>x′1 = λx′ onde x′ ∈ Ax1 e y′1 = λy′ onde y′ ∈ Ay1.</p><p>- 201 -</p><p>5.1 Operadores Monótonos</p><p>Desta última identidade e de (5.1.5) vem que⟨</p><p>x′1 − y′1, x1 − y1</p><p>⟩</p><p>= λ</p><p>⟨</p><p>x′ − y′, x1 − y1</p><p>⟩</p><p>≥ 0.</p><p>(iii) Seja A ∈ M e consideremos A−1 : D(A−1) ⊂ X ′ −→ X ′′. Assim, dados (x, x′), (y, y′) ∈ A,</p><p>pelo fato de A ser monótono temos ⟨</p><p>x′ − y′, x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0. (5.1.6)</p><p>Note que x′, y′ ∈ D(A−1). Logo, de (5.1.6),⟨</p><p>x− y, x′ − y′</p><p>⟩</p><p>X′′×X</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x′ − y′, x− y</p><p>⟩</p><p>X′×X</p><p>≥ 0.</p><p>(iv) Sejam (x, x′) e (y, y′) ∈ A e ε > 0. Considere as seguintes vizinhanças de (x, x′) e (y, y′),</p><p>respectivamente</p><p>Bε(x)× Vε(x′) = {z ∈ X; ∥z − x∥ −2ε− (∥x0 − x∥+ ∥y0 − y∥)∥x′0 − y′0∥</p><p>> −ε(2 + 2∥x′0 − y′0∥)</p><p>e, portanto, quando ε→ 0, obtemos</p><p>⟨x− y, x′ − y′⟩ ≥ 0.</p><p>(v) Seja A ∈M e consideremos  = convAx (fecho em X ′ da envoltória convexa do conjunto Ax)</p><p>Inicialmente provemos que o operador Ă : X −→ X ′ definido por</p><p>Ăx = convAx</p><p>- 202 -</p><p>5.1 Operadores Monótonos</p><p>é monótono. Com efeito, sejam (x, x′), (y, y′) ∈ Ă. Então, x′ ∈ convAx e y′ ∈ convAy e resulta dáı que</p><p>x′ =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>λix</p><p>′</p><p>i onde x′i ∈ Ax;</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>λi = 1 e λi ≥ 0,</p><p>y′ =</p><p>m∑</p><p>j=1</p><p>µjy</p><p>′</p><p>j onde y′j ∈ Ay;</p><p>m∑</p><p>j=1</p><p>µj = 1 e µj ≥ 0.</p><p>(5.1.7)</p><p>Como (x, x′i), (y, y</p><p>′</p><p>j) ∈ A e A é monótono, temos⟨</p><p>x′i − y′j , x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0; ∀i = 1, · · · , n; ∀j = 1, · · · ,m.</p><p>Logo, ⟨</p><p>λix</p><p>′</p><p>i − λiy′j , x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0; ∀i = 1, · · · , n; ∀ j = 1, · · · ,m,</p><p>o que implica ⟨</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>λix</p><p>′</p><p>i −</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>λiy</p><p>′</p><p>j , x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0; ∀j = 1, · · · ,m,</p><p>ou seja, ⟨</p><p>x′ − y′j , x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0; ∀j = 1, · · · ,m.</p><p>Segue da desigualdade acima⟨</p><p>m∑</p><p>j=1</p><p>µjx</p><p>′ −</p><p>m∑</p><p>j=1</p><p>µjy</p><p>′</p><p>j , x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0,</p><p>ou seja, ⟨</p><p>x′ − y′, x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0.</p><p>o que prova que o operador Ă é monótono.</p><p>Por outro lado, recordemos que</p><p>Ă =</p><p>{</p><p>(x, y); x ∈ D(A), y ∈ convAx</p><p>}</p><p>,</p><p> =</p><p>{</p><p>(x, y); x ∈ D(A), y ∈ convAx</p><p>}</p><p>,</p><p>Ă =</p><p>{</p><p>(x, y); x ∈ D(A), y ∈ convAx</p><p>}</p><p>.</p><p>Portanto Ă ⊂  ⊂ Ă. Sendo Ă monótono, resulta pelo item (iv) que Ă é monótono e pelo fato de</p><p>Ă estender  segue que  é monótono.</p><p>2</p><p>Proposição 5.7 Seja A ∈M. Então o operador à definido por</p><p>D(Ã) = D(A)−</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>; onde a ∈ X e Ãx = A(x+ a)−</p><p>{</p><p>a′</p><p>}</p><p>a′ ∈ X ′</p><p>é monótono.</p><p>Demonstração: Sejam (x̃, x̃′), (ỹ, ỹ ′) ∈ Ã. Então:</p><p>x̃ = x− a; para algum x ∈ D(A)</p><p>ỹ = y − a; para algum y ∈ D(A)</p><p>x̃′ ∈ Ãx̃ = A(x̃+ a)−</p><p>{</p><p>a′</p><p>}</p><p>= Ax− a′</p><p>ỹ ′ ∈ Ãỹ = A(ỹ + a)−</p><p>{</p><p>a′</p><p>}</p><p>= Ay − a′,</p><p>- 203 -</p><p>5.1 Operadores Monótonos</p><p>o que implica</p><p>x̃′ + a′ ∈ Ax e ỹ ′ + a′ ∈ Ay</p><p>Resulta dáı e do fato de A ser monótono que⟨</p><p>x̃′ − ỹ ′, x̃− ỹ</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x̃′ − ỹ ′, x̃− ỹ</p><p>⟩</p><p>+</p><p>⟨</p><p>a′ − a′, x̃− ỹ</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>(x̃′ + a′)− (ỹ ′ + a′), (x̃+ a)− (ỹ + a)</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>(x̃′ + a′)− (ỹ ′ + a′), x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0</p><p>2</p><p>Definição 5.8 Seja X um espaço normado. Diz-se que um operador A de X é localmente limitado no</p><p>f : [a,+∞)→ E. Uma condição necessária e suficiente</p><p>para que o limite limt→+∞ f(t) exista é que dado ε > 0, exista t0 > 0 tal que se t, s > t0 então ∥f(t) −</p><p>f(s)∥ 0, existe t0 > 0 tal que se t > t0 então ∥f(t)−x0∥ t0 tem-se</p><p>∥f(t)− f(s)∥ ≤ ∥f(t)− x0∥+ ∥x0 − f(s)∥ 0, exista t0 > 0 tal que se t, s > t0 então ∥f(t)−f(s)∥ tn então ∥f(t) − f(s)∥ tn sempre que</p><p>m > n. Consideremos (xn) ⊂ E dada por xn = f(tn). Afirmamos que (xn) é de Cauchy. Com efeito,</p><p>dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que 1</p><p>n0</p><p>n0 =⇒ tm > tn > tn0</p><p>=⇒ ∥xm − xn∥ = ∥f(tm)− f(tn)∥ 0, existe</p><p>n1 ∈ N tal que</p><p>n > n1 então ∥xn − x0∥ 0 tal que</p><p>tn > tn1 =⇒ n > n1 =⇒ ∥f(tn)− x0∥ = ∥xn − x0∥ 0 tal que</p><p>t, s > tn2</p><p>=⇒ ∥f(t)− f(s)∥ 0 tal que</p><p>t > t0 =⇒ ∥f(t)− x0∥ ≤ ∥f(t)− f(tn)∥+ ∥f(tn)− x0∥,</p><p>onde n ∈ N é tal que n > n0, ou seja, tn > tn0</p><p>= t0. Dáı,</p><p>t > t0 =⇒ ∥f(t)− x0∥ ω.</p><p>Além disso, se x ∈ C1([0,∞);E) e (1.1.12) ocorre, então,</p><p>L(x′)(λ) = −x(0) + λL(x)(λ). (1.1.13)</p><p>Demonstração: Usaremos a Proposição 1.15. Consideremos a função auxiliar f : [0,∞) → E definida</p><p>por</p><p>f(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−λtx(s) ds, t ∈ [0,∞) e λ > ω > 0 fixos.</p><p>Provaremos que f satisfaz a Proposição 1.15. Inicilmente notemos que para todo t > s > 0 de</p><p>(1.1.12) resulta que</p><p>∥f(t)− f(s)∥ =</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣∫ t</p><p>0</p><p>e−λtx(s) ds−</p><p>∫ s</p><p>0</p><p>e−λtx(s) ds</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>=</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣∫ t</p><p>s</p><p>e−λtx(s) ds</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>≤</p><p>∫ t</p><p>s</p><p>e−λt∥x(s)∥ ds ≤ C</p><p>∫ t</p><p>s</p><p>e−(λ−ω)t ds</p><p>=</p><p>Ce−(λ−ω)s</p><p>λ− ω</p><p>1− e−(λ−ω)t</p><p>e−(λ−ω)s︸ ︷︷ ︸</p><p>t0 vem que e−s(λ−ω) s > t0. (1.1.14)</p><p>Do exposto acima e dado ε > 0 tal que 0 C, existe</p><p>- 15 -</p><p>1.1 Um Repasse ao Cálculo Diferencial e Integral em Espaços de Banach</p><p>t0 ></p><p>[</p><p>ln</p><p>(</p><p>C</p><p>ε(λ−ω)</p><p>)]</p><p>/(λ− ω). Resulta dáı e de (1.1.14) que</p><p>∥f(t)− f(s)∥ s > t0.</p><p>Da Proposição 1.15 vem então que</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−λsx(s) ds =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λsx(s) ds,</p><p>ficando bem definida a transformada de Laplace de x. Resta-nos verificar se x ∈ C1([0,∞);E) e, além</p><p>disso, (1.1.12) se cumpre então (1.1.13) se verifica. Com efeito, integrando-se por partes a integral∫ t</p><p>0</p><p>e−λsx(s) ds, obtemos∫ t</p><p>0</p><p>e−λsx(s) ds =</p><p>x(t)</p><p>−λ</p><p>e−λt +</p><p>x(0)</p><p>λ</p><p>+</p><p>1</p><p>λ</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−λsx′(s) ds.</p><p>Tomando o limite na identidade acima quando t tende para o infinito, obtemos</p><p>λL(x)(λ) = x(0) + lim</p><p>t→∞</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−λsx′(s) ds.</p><p>Assim, existe o limite limt→∞</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−λsx′(s) ds que é precisamente L(x′)(λ) o que mostra (1.1.13) e</p><p>encerra a prova.</p><p>2</p><p>Proposição 1.17 Seja k ∈ R. Definamos o espaço:</p><p>Xk =</p><p>{</p><p>u ∈ C([0,∞);E); ∥u(t)∥ ≤ Cekt, para algum C > 0 e para todo t ≥ 0</p><p>}</p><p>.</p><p>Então,</p><p>∥u∥Xk</p><p>:= sup</p><p>t≥0</p><p>e−kt∥u(t)∥,</p><p>é uma norma para a qual Xk é um espaço de Banach.</p><p>Demonstração: Notemos inicialmente que ∥u∥Xk</p><p>está bem definida. Com efeito, se u ∈ Xk então</p><p>u ∈ C([0,∞);E) e ∥u(t)∥ ≤ Cekt para algum C > 0 e para todo t ≥ 0. Assim, existe C > 0 tal que</p><p>∥u(t)∥e−kt ≤ C, para todo t ≥ 0. Portanto, tem sentido o supt≥0 ∥u(t)∥e−kt. Além disso, ∥u∥Xk</p><p>≥ 0,</p><p>seja qual for o u ∈ Xk. Provaremos que:</p><p>∥u∥Xk</p><p>= 0 se e somente se u ≡ 0. (1.1.15)</p><p>De fato, se u ≡ 0 então resulta imediatamente que ∥u∥Xk</p><p>= 0. Reciprocamente se ∥u∥Xk</p><p>= 0,</p><p>então, como 0 ≤ e−kt∥u(t)∥ ≤ ∥u∥Xk</p><p>= 0, para todo t ≥ 0 resulta que u ≡ 0, o que prova (1.1.15).</p><p>Sejam u ∈ Xk e α ∈ R. Do fato que ∥(αu)(t)∥ = |α| ∥u(t)∥, para todo t ≥ 0 resulta que</p><p>∥αu∥Xk</p><p>= |α| ∥u∥Xk</p><p>. (1.1.16)</p><p>- 16 -</p><p>1.1 Um Repasse ao Cálculo Diferencial e Integral em Espaços de Banach</p><p>Sejam u, v ∈ Xk. Temos,</p><p>∥u+ v∥Xk</p><p>= sup</p><p>t≥0</p><p>(e−kt∥u(t) + v(t)∥) (1.1.17)</p><p>≤ sup</p><p>t≥0</p><p>(</p><p>e−kt(∥u(t)∥+ ∥v(t)∥)</p><p>)</p><p>≤ sup</p><p>t≥0</p><p>e−kt∥u(t)∥+ sup</p><p>t≥0</p><p>e−kt∥v(t)∥ = ∥u∥Xk</p><p>+ ∥v∥Xk</p><p>.</p><p>De (1.1.15), (1.1.16) e (1.1.17) segue que ∥u∥Xk</p><p>é realmente uma norma.</p><p>Provaremos, a seguir, que</p><p>(Xk, ∥ · ∥Xk</p><p>) é um espaço de Banach. (1.1.18)</p><p>Considere uma sequência de Cauchy (un) em Xk, assim,</p><p>sup</p><p>t∈[0,∞)</p><p>e−kt∥un(t)− um(t)∥ → 0</p><p>quando m,n→∞. Defina vn,l : [0, l]→ E, vn,l(t) = e−ktun(t), onde t ∈ [0, l], l ∈ N. Como</p><p>∥vn,l − vm,l∥C([0,l];E) = sup</p><p>t∈[0,l]</p><p>e−kt∥un(t)− um(t)∥</p><p>≤ sup</p><p>t∈[0,∞)</p><p>e−kt∥un(t)− um(t)∥</p><p>segue então que (vn,l) é sequência de Cauchy no espaço de Banach C([0, l];E), logo existe vl ∈ C([0, l];E)</p><p>tal que</p><p>vn,l → vl</p><p>em C([0, l];E). Defina</p><p>v : [0,∞)→ E</p><p>v(t) = vl(t) para algum l ∈ N, l > t.</p><p>Note que v está bem definido, já que,</p><p>vl(t) = vl′(t) se l 0 temos que existe n0 ∈ N tal que</p><p>∥e−ktun(t)− e−ktum(t)∥ n0. Fazendo n→∞,</p><p>∥e−ktu(t)− e−ktum(t)∥ 0, isto é,</p><p>un → u em Xk.</p><p>2</p><p>Proposição 1.18 Seja F : E → E uma função Lipschitziana, isto é</p><p>∥F (u)− F (v)∥ ≤ α∥u− v∥, (α > 0).</p><p>Seja ϕ : Xω → Xω (onde Xω está definido na Proposição 1.17) definida por</p><p>ϕ(u)(t) = u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>F (u(s)) ds, u0 ∈ E.</p><p>Se ω > α então ϕ é uma contração em Xω.</p><p>Demonstração: Consideremos u, v ∈ Xω e t ∈ [0,∞). Temos,</p><p>∥ϕ(u)(t)− ϕ(v)(t)∥ ≤</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥F (u(s))− F (v(s))∥ ds ≤ α</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>∥u(s)− v(s)∥ ds. (1.1.19)</p><p>Por outro lado, como e−ωt∥u(t)− v(t)∥ ≤ ∥u− v∥Xω , para todo t ≥ 0, então</p><p>∥u(t)− v(t)∥ ≤ ∥u− v∥Xωe</p><p>ωt, para todo t ≥ 0. (1.1.20)</p><p>Combinando (1.1.19) e (1.1.20) segue que</p><p>∥ϕ(u)(t)− ϕ(v)(t)∥ ≤ α∥u− v∥Xω</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>eωs ds (1.1.21)</p><p>=</p><p>α</p><p>ω</p><p>(eωt − 1)∥u− v∥Xω</p><p>≤ α</p><p>ω</p><p>eωt∥u− v∥Xω ,</p><p>de onde resulta que</p><p>∥ϕ(u)− ϕ(v)∥Xω = sup</p><p>t≥0</p><p>(</p><p>e−ωt∥ϕ(u)(t)− ϕ(v)(t)∥</p><p>)</p><p>≤ α</p><p>ω</p><p>∥u− v∥Xω ,</p><p>o que conclui a prova.</p><p>2</p><p>- 18 -</p><p>1.1 Um Repasse ao Cálculo Diferencial e Integral em Espaços de Banach</p><p>Uma função u ∈ C([0,∞), E) é dita solução do problema de valor inicial no espaço de Banach E:{</p><p>u′(t) = F (u(t)), t > 0</p><p>u(0) = u0</p><p>(1.1.22)</p><p>se, e somente se u for solução da equação integral</p><p>u(t) = u0 +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>F (u(s)) ds.</p><p>Não é dif́ıcil verificar que o único ponto fixo da aplicação ϕ dada na Proposição 1.18 é solução do</p><p>problema de valor inicial dado em (1.1.22). Deixamos tal fato para a verificação do leitor.</p><p>1.1.1 Exerćıcios</p><p>1.1.1) Prove que a série</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>2n</p><p>n! cosnt converge absolutamente em E = C([−π, π],R) = {f :</p><p>[−π, π]→ R/f é cont́ınua}, com a norma ∥f∥E = sup</p><p>t∈[−π,π]</p><p>|f(t)|.</p><p>1.1.2) Vale a identidade: exp(log(I −A)) = I −A ?</p><p>1.1.3) Sejam (An) e (Bn) sequências de L(X) tais que</p><p>(i)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>An converge absolutamente,</p><p>(ii)</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>Bn converge,</p><p>(iii) Cn =</p><p>n∑</p><p>k=0</p><p>AkBn−k; n = 0, 1, 2, ·</p><p>ponto x0 ∈ X se existir ρ > 0 tal que o conjunto ∪</p><p>x∈D(A)</p><p>Ax; ∥x− x0∥ 0, existe um elemento z(ρ) ∈ X e duas subsequências</p><p>(xnk</p><p>) e (x′nk</p><p>), respectivamente, tais que:</p><p>(i) ∥z(ρ)∥ 0 definimos em virtude de (5.1.8)</p><p>z(ρ) =</p><p>ρz</p><p>2∥z∥</p><p>( note que z ̸= 0).</p><p>- 204 -</p><p>5.1 Operadores Monótonos</p><p>Temos</p><p>∥z(ρ)∥ ≤ ρ</p><p>2</p><p>0 existe k0 ∈ N tal que⟨</p><p>w′</p><p>nk</p><p>, z</p><p>⟩</p><p>> M, ∀nk ≥ nk0</p><p>. (5.1.11)</p><p>Assim, de (5.1.10) e (5.1.11) para k ≥ k0 suficientemente grande, resulta que⟨</p><p>w′</p><p>nk</p><p>, z(ρ)</p><p>⟩</p><p>></p><p>⟨</p><p>w′</p><p>nk</p><p>, xnk</p><p>⟩</p><p>, ∀nk ≥ nk0 . (5.1.12)</p><p>Logo, de (5.1.10) e (5.1.12) obtemos ∀nk ≥ nk0</p><p>(5.1.13)</p><p>⟨</p><p>x′nk</p><p>, z(ρ)− xnk</p><p>⟩</p><p>=</p><p>≥1︷ ︸︸ ︷(</p><p>1 +</p><p>∣∣⟨x′nk</p><p>, z(ρ)− xnk</p><p>⟩∣∣) ⟨w′</p><p>nk</p><p>, z(ρ)− xnk</p><p>⟩</p><p>≥</p><p>⟨</p><p>w′</p><p>nk</p><p>, z(ρ)− xnk</p><p>⟩</p><p>≥</p><p>⟨</p><p>w′</p><p>nk</p><p>, z(ρ)</p><p>⟩</p><p>− 1 −→∞, quando k −→∞</p><p>De (5.1.9) e (5.1.13) fica provado o Lema</p><p>2</p><p>Teorema 5.10 Todo operador monótono A : X −→ X ′ é localmente limitado em cada ponto do interior</p><p>do seu domı́nio.</p><p>Demonstração: Seja A um operador monótono de X, x ∈ intD(A) e ρ > 0 tal que D(A) contenha a</p><p>bola de centro em x e raio ρ. Argumentaremos por contradição. Se o Teorema fosse falso, de acordo com</p><p>a definição 5.8 existiriam subsequências (xn), (x′n) pertencentes a X e X ′, respectivamente, tais que,</p><p>(xn, x</p><p>′</p><p>n) ∈ A, xn −→ x e ∥x′n∥ −→ +∞. Pelo Lema 5.9, existiriam então, duas subsequências (xni), (x</p><p>′</p><p>ni</p><p>)</p><p>de (xn), (x</p><p>′</p><p>n) respectivamente, e z(ρ) ∈ X tais que ∥z(ρ)∥</p><p>Então F tem um ponto de sela (x0, y0) ∈ A×B e</p><p>min</p><p>x∈A</p><p>max</p><p>y∈B</p><p>F (x, y) = max</p><p>y∈B</p><p>min</p><p>x∈A</p><p>F (x, y) = F (x0, y0).</p><p>Proposição 5.18 Seja X um e.v.t. localmente convexo e Hausdorff, C um subconjunto convexo e</p><p>compacto de X, A : X −→ X ′ operador monótono tal que D(A) ⊂ C e H : X −→ X ′ é uma</p><p>aplicação cont́ınua tal que D(H) = C. Então, existe um elemento x ∈ C tal que⟨</p><p>x− y,Hx+ y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0; ∀(y, y′) ∈ A</p><p>Demonstração: Definamos, para cada z ∈ C, o operador T : C −→ C, pondo</p><p>Tz =</p><p>{</p><p>x ∈ C;</p><p>⟨</p><p>x− y,Hz + y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0; ∀(y, y′) ∈ A</p><p>}</p><p>Mostraremos, inicialmente, que Tz ̸= ∅, ∀z ∈ C. Com efeito, consideraremos z ∈ C e definamos, para</p><p>cada (y, y′) ∈ A</p><p>C(y, y′) =</p><p>{</p><p>x ∈ C;</p><p>⟨</p><p>x− y,Hz + y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0</p><p>}</p><p>.</p><p>Temos C(y, y′) ̸= ∅, ∀(y, y′) ∈ A uma vez que y ∈ C(y, y′) (Note que D(A) ⊂ C). Seja (xn) ⊂</p><p>C(y, y′) tal que xn −→ x. Ora, do fato que xn ∈ C(y, y′) resulta que⟨</p><p>xn − y,Hz + y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0, ∀n ∈ N,</p><p>de onde se conclui que ⟨</p><p>x− y,Hz + y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0,</p><p>ou seja, C(y, y′) é fechado. Portanto para demonstrarmos que Tz ̸= ∅ é bastante mostrarmos que a</p><p>famı́lia</p><p>{</p><p>C(y, y′); (y, y′) ∈ A</p><p>}</p><p>, de subconjuntos não vazios e fechados, tem a propriedade da intersecção</p><p>finita, pois Tz =</p><p>∩</p><p>(y,y′)∈A C(y, y</p><p>′). Para demonstrar isso definamos:</p><p>K =</p><p>{</p><p>(λ1, · · · , λn),</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>λi = 1; λi ≥ 0, i = 1, · · · , n</p><p>}</p><p>então K é um subconjunto convexo e compacto do Rn. Seja (yi, y</p><p>′</p><p>i) ∈ A, i = 1, · · · , n. Se x(λ) : K −→ X</p><p>definida por</p><p>x(λ) =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>λiyi,</p><p>então a função f : K ×K −→ R, definida por:</p><p>f(λ, µ) =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>µi</p><p>⟨</p><p>x(λ)− yi,Hz + y′i</p><p>⟩</p><p>é bilinear e cont́ınua, donde admite um ponto de sela pelo Teorema 5.17 (Minimax). Assim existem λ0 e</p><p>µ0 tais que</p><p>f(λ0, µ) ≤ f(λ0, µ0) ≤ f(λ, µ0) ∀λ, µ ∈ K,</p><p>- 209 -</p><p>5.1 Operadores Monótonos</p><p>e portanto,</p><p>f(λ0, µ) ≤ f(λ0, µ0) ≤ sup</p><p>λ∈K</p><p>f(λ, λ); ∀µ ∈ K (5.1.29)</p><p>Contudo,</p><p>f(λ, λ) =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>λi</p><p>⟨</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>λjyj − yi,Hz + y′i</p><p>⟩</p><p>=</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>λiλj</p><p>⟨</p><p>yj − yi,Hz + y′i</p><p>⟩</p><p>e do fato que</p><p>λiλj</p><p>⟨</p><p>yj − yi,Hz</p><p>⟩</p><p>= −λiλj</p><p>⟨</p><p>yi − yj ,Hz</p><p>⟩</p><p>resulta que</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>λiλj</p><p>⟨</p><p>yj − yi,Hz</p><p>⟩</p><p>= 0,</p><p>o que implica que</p><p>f(λ, λ) =</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>λiλj</p><p>⟨</p><p>yj − yi, y′i</p><p>⟩</p><p>= −</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>λiλj</p><p>⟨</p><p>yj − yi, y′j</p><p>⟩</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>n∑</p><p>i,j=1</p><p>λiλj</p><p>⟨</p><p>yj − yi, y′i − y′j</p><p>⟩</p><p>Desta última identidade resulta que f(λ, λ) ≤ 0 uma vez que A é monótono. Logo, de (5.1.29)</p><p>tem-se então, f(λ0, µ) ≤ 0, ∀µ ∈ K e, em particular, para µi ∈ K, definido por</p><p>µi = (δi1, · · · , δin), i = 1, · · · , n,</p><p>onde δi,j , é o delta de Kronecker. temos, para µ = µi,⟨</p><p>x(λ)− yi,Hz + y′i</p><p>⟩</p><p>≤ 0, i = 1, · · · , n</p><p>relação que mostra que x(λ) ∈ C(y, y′); i = 1, · · · , n e assim, a famı́lia</p><p>{</p><p>C(y, y′), (y, y′) ∈ A</p><p>}</p><p>tem, de</p><p>fato a propriedade da intersecção finita.</p><p>Portanto, provamos que Tz ̸= ∅. Agora, observe que Tz é convexo para todo z ∈ C.</p><p>De fato, se x1, x2 ∈ Tz e t ∈ [0, 1] então ∀(y, y′) ∈ A tem-se em virtude da definição de Tz, que</p><p>t</p><p>⟨</p><p>x1 − y,Hz + y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0; (1− t)</p><p>⟨</p><p>x2 − y,Hz + y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0 (5.1.30)</p><p>o que significa que Tz é convexo e, além disso, das desigualdades (5.1.30) resulta imediatamente que⟨</p><p>tx1 + (1− t)x2,Hz + y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0; ∀(y, y′) ∈ A.</p><p>A desigualdade em acima mostra-nos que x ∈ Tz, ou dito de outra forma, que</p><p>(</p><p>tx1 + (1− t)x2</p><p>)</p><p>∈</p><p>Tz, o que prova que Tz é convexo. Provaremos, a seguir, que T : C −→ C é fechado. Para tanto</p><p>consideraremos (zn) ⊂ C, (xn) ⊂ Tzn, para cada n ∈ N, de modo que zn −→ z e xn −→ x. Sendo C</p><p>- 210 -</p><p>5.1 Operadores Monótonos</p><p>fechado então tem-se z ∈ C. Como xn ∈ Tzn, temos⟨</p><p>xn − y,Hzn + y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0, ∀(y, y′) ∈ A e ∀n ∈ N. (5.1.31)</p><p>De (5.1.31), das convergências acima e da continuidade de H resulta na situação limite que⟨</p><p>x− y,Hz + y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0, ∀(y, y′) ∈ A,</p><p>o que prova que x ∈ Tz e consequentemente que T : C −→ C é fechado.</p><p>Além disso note que Tz é fechado. Com efeito, seja w ∈ Tz, então existe (wn)n ⊂ Tz tal que</p><p>wn → w. Logo</p><p>⟨wn − y,Hz + y′⟩ ≤ 0, ∀(y, y′) ∈ A. (5.1.32)</p><p>Fazendo n→∞, obtemos que</p><p>⟨w − y,Hz + y′⟩ ≤ 0, ∀(y, y′) ∈ A, (5.1.33)</p><p>isto é, w ∈ Tz, provando que Tz é fechado. Devido a compacidade de C segue então que Tz ⊂ C é</p><p>compacto, para todo z ∈ C.</p><p>Se mostrarmos que T é uma aplicação de Kakutani decorrerá em virtude do teorema do ponto fixo</p><p>de Kakutani que T admitirá um ponto fixo, isto é, existe um x ∈ C tal que x ∈ Tx. Exatamente esta</p><p>é a conclusão a que se deseja chegar. Para que T seja uma aplicação de Kakutani, resta mostrar que</p><p>T é semicont́ınua superiormente. De fato, já foi provado que T é fechado e D(T ) = C. Seja W ⊂ C</p><p>aberto e considere B = {z ∈ C;Tz ⊂ W}, precisamos mostrar que B é aberto, ou equivalentemente</p><p>C\B = {z ∈ C;Tz ̸⊂ W} é fechado em C. Considere z ∈ C\B, então existe (zn)n ⊂ C\B tal que</p><p>zn → z, logo Tzn ̸⊂W ,consequentemente para cada n, existe yn ∈ Tzn tal que yn ̸∈W. Temos que C\W</p><p>é compacto, então existe (ynk) ⊂ C\W e y ∈ C\W tal que ynk → y. Devido ao fato de T ser fechado</p><p>obtemos que y ∈ Tz. Portanto Tz ̸⊂ W , ou seja, z ∈ C\B, provando o desejado. Portanto T é uma</p><p>aplicação de Kakutani e o resultado está provado.</p><p>2</p><p>Definição 5.19 Seja X um espaço normado. Um operador A : X −→ X ′ é dito coercivo se⟨</p><p>x,Ax</p><p>⟩</p><p>≥ α(∥x∥)∥x∥, ∀x ∈ X,</p><p>para alguma função α : R −→ R que verifica a seguinte propriedade</p><p>α(ρ) −→∞ quando ρ −→∞.</p><p>Proposição 5.20 Seja E um espaço de Banach de dimensão finita, A : E −→ E′ um operador monótono</p><p>tal que 0 ∈ D(A) e C ⊂ E, onde C é um conjunto convexo e fechado, e H : E −→ E′; D(H) = E, uma</p><p>aplicação cont́ınua e coerciva, isto é,</p><p>α(∥x∥)∥x∥ ≤</p><p>⟨</p><p>x,Hx</p><p>⟩</p><p>; ∀x ∈ E.</p><p>Então, para cada y′0 ∈ A(0) existe uma constante M que só depende de y′0 e da função α (da coercividade)</p><p>e x ∈ C tais que</p><p>∥x∥ ≤M</p><p>e ⟨</p><p>x− y,Hx+ y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0, ∀(y, y′) ∈ A.</p><p>Demonstração: Designamos por Ar e Hr, respectivamente, as restrições de A e H a D(A) ∩ rB e</p><p>Cr = C ∩ rB, onde B é a bola unitária fechada de E e r > 0, existe pela proposição 5.18 aplicada a Ar e</p><p>- 211 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>Hr, um xr ∈ Cr, tal que ⟨</p><p>xr − y,Hxr + y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0, ∀(y, y′) ∈ Ar,</p><p>desta última desigualdade resulta que⟨</p><p>xr,Hxr</p><p>⟩</p><p>≤</p><p>⟨</p><p>y,Hxr</p><p>⟩</p><p>−</p><p>⟨</p><p>xr, y</p><p>′⟩+ ⟨y, y′⟩ ∀(y, y′) ∈ Ar. (5.1.34)</p><p>Note que a desigualdade (5.1.34) é valida em particular para y = 0 e y′0 ∈ A(0). Logo,⟨</p><p>xr,Hxr</p><p>⟩</p><p>≤ −</p><p>⟨</p><p>xr, y</p><p>′</p><p>0</p><p>⟩</p><p>,</p><p>o que implica em vista da coercividade de H, que</p><p>α(∥xr∥)∥xr∥ ≤ ∥xr∥∥y′0∥, (5.1.35)</p><p>para alguma função α : R −→ R tal que α(ρ) −→ +∞, quando ρ −→ +∞. Se xr ̸= 0, da desigualdade</p><p>(5.1.35) deduzimos que α(∥xr∥) ≤ ∥y′0∥ e pela propriedade da função α existe M > 0, dependendo de α</p><p>e y′0 tal que ∥xr∥ ≤M, ∀r > 0.</p><p>Seja,</p><p>Sr =</p><p>{</p><p>x ∈ Cr;</p><p>⟨</p><p>x− y,Hx+ y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0; ∀(y, y′) ∈ Ar</p><p>}</p><p>Obviamente Sr ̸= ∅ (xr ∈ Sr), Sr é fechado e consequentemente Sr∩MB é compacto e não vazio, ∀r > 0.</p><p>Além disso, do fato de M ≤ r1 ≤ r2 obtemos</p><p>Sr1 ∩MB ⊃ Sr2 ∩MB;</p><p>portanto ∩</p><p>r≥M</p><p>(</p><p>Sr ∩MB</p><p>)</p><p≯= ∅,</p><p>o que implica que, se x é um ponto qualquer desta intersecção então x ∈ C e⟨</p><p>x− y,Hx− y′</p><p>⟩</p><p>≤ 0; ∀(y, y′) ∈ A.</p><p>2</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>Definição 5.21 Dizemos que um operador monótono A é máximo monótono (ou maximal monótono)</p><p>se não admitir extensão monótona própria.</p><p>Para cada C ⊂ X, onde X é um e.v.t. real, designamos porM(C) a famı́lia dos operadores monó-</p><p>tonos de X com domı́nio contido em C, isto éM(C) =</p><p>{</p><p>A : D(A) ⊂ X −→ X ′; monótono e D(A) ⊂</p><p>C</p><p>}</p><p>. OrdenemosM(C) por inclusão.</p><p>Observação 5.22</p><p>(i) Notemos que M(X) = M e os operadores máximais monótonos são justamente os elementos</p><p>maximais deM, isto é,</p><p>A ∈M é máximo monótono se, e somente se</p><p>B ∈M(X) e A ⊂ B ⇒ B = A</p><p>. (5.2.36)</p><p>(ii) A famı́liaM(C) é indutiva superiormente, ou seja, todo subconjunto deM(C) totalmente ordenado</p><p>- 212 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>possui uma cota superior. Com efeito, seja F ⊂M(C) totalmente ordenado. Então definindo-se</p><p>B :</p><p>∪</p><p>A∈F</p><p>D(A) ⊂ C −→ X ′</p><p>x 7−→ Bx =</p><p>∪</p><p>A∈F</p><p>Ax</p><p>Temos que B é uma cota superior de F . Pelo Lema de Zorn resulta que cada elemento de M(C)</p><p>está contido em um elemento maximal deM(C). Em particular, cada</p><p>elemento deM está contido</p><p>em um elemento maximal deM. Logo, por (i), cada operador monótono de X está contido em um</p><p>operador máximo monótono de X.</p><p>Teorema 5.23 Seja A um operador monótono de X. São equivalentes as seguintes afirmações:</p><p>(i) A é máximo monótono;</p><p>(ii) Se x ∈ X, x′ ∈ X ′ e</p><p>⟨</p><p>x′ − y′, x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0; ∀(y, y′) ∈ A, então (x, x′) ∈ A.</p><p>Demonstração:</p><p>(i) ⇒ (ii) Suponha que x ∈ X, x′ ∈ X ′ e</p><p>⟨</p><p>x′ − y′, x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0, ∀(y, y′) ∈ A. Provaremos que</p><p>∀(x, x′) ∈ A. De fato, definamos</p><p>B = A ∪</p><p>{</p><p>(x, x′)</p><p>}</p><p>Afirmamos que B é monótono e que B estende A. Com efeito, pela própria definição de B é</p><p>evidente que B estende A. Por outro lado, sejam (z, z′), (w,w′) ∈ B. Provaremos que⟨</p><p>z′ − w′, z − w</p><p>⟩</p><p>≥ 0 (5.2.37)</p><p>De fato, se tais pontos pertencem a A nada temos a provar. Se tais pontos não pertencem a A</p><p>então</p><p>(z, z′) = (w,w′) = (x, x′)</p><p>e, portanto, ⟨</p><p>z′ − w′, z − w</p><p>⟩</p><p>= 0</p><p>Se um desses pontos não pertencem a A designamos (z, z′) ∈ A e (w,w′) ̸∈ A então (w,w′) = (x, x′)</p><p>e por hipótese ⟨</p><p>z′ − w′, z − w</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>z′ − x′, z − x</p><p>⟩</p><p>≥ 0</p><p>o que prova (5.2.37). Logo, B é monótono e A ⊂ B. Como A é máximo monótono de (5.2.36) vem que</p><p>B = A e consequentemente, (x, x′) ∈ A.</p><p>(ii) ⇒ (i) Suponhamos que a condição (ii) seja satisfeita e que A não seja máximo monótono.</p><p>Seja D uma extensão própria de A, ou seja, existe (z, z′) ∈ D tal que (z, z′) ̸∈ A. Por outro lado, seja</p><p>(x, x′) ∈ D, então pelo fato de D ser monótono, temos:⟨</p><p>x′ − y′, x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0; ∀(y, y′) ∈ D</p><p>em particular ⟨</p><p>x′ − y′, x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0, ∀(y, y′) ∈ A. (5.2.38)</p><p>Logo, de (5.2.38) e tendo em mente que a condição (ii) se verifica, resulta que (x, x′) ∈ A e portanto</p><p>D ⊂ A, o que é um absurdo, pois D é uma extensão própria de A. Desta forma, A não admite uma</p><p>- 213 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>extensão própria, ou seja, A é máximo monótono, o que conclui a prova.</p><p>2</p><p>Corolário 5.24 a) São equivalentes as seguintes afirmações:</p><p>(i) A é máximo monótono deM(C),</p><p>(ii) λA, λ > 0 é máximo monótono deM(C),</p><p>(iii) O Operador A definido pela Proposição 5.7 é máximo monótono deM(C − {a}).</p><p>b) Nos espaços reflexivos, são equivalentes as seguintes afirmações:</p><p>(iv) A é máximo monótono,</p><p>(v) A−1 é máximo monótono.</p><p>Demonstração: a) (i) ⇒ (ii) Pela proposição 5.6 segue que λA ∈ M(C), uma vez que λ > 0 e</p><p>D(λA) = D(A) ⊂ C. Suponha que exista B ∈M(C) tal que λA ⊂ B, dáı</p><p>A ⊂ 1</p><p>λ</p><p>B ⇒ A =</p><p>1</p><p>λ</p><p>B ⇒ B = λA</p><p>o que implica que λA é máximo monótono.</p><p>(ii) ⇒ (iii) Seja a ∈ X e Ãx = A(x + a) −</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>a′ ∈ X ′. Já sabemos que à ∈ M(C −{</p><p>a</p><p>}</p><p>); D(Ã) = D(A)−</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>⊂ C −</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>. Suponha que exista B̃ ∈M(C −</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>) tal que</p><p>à ⊂ B̃</p><p>logo</p><p>D(Ã) ⊂ D(B̃)⇒ D(A)−</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>⊂ D(B̃)⇒ D(A) ⊂ D(B̃) +</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>.</p><p>Definindo B da forma:</p><p>D(B) = D(B̃)−</p><p>{</p><p>− a</p><p>}</p><p>= D(B̃) +</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>⊃ D(A),</p><p>Bx = B̃(x− a) +</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>.</p><p>Logo B é monótono e D(A) ⊂ D(B). Além disso, se x ∈ D(A), então</p><p>Bx = B̃(x− a) +</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>= Ã(x− a) +</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>= Ax−</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>+</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>= Ax.</p><p>Logo A ⊂ B, o que implica, A = B, pois A é máximo monótono. Portanto,</p><p>D(B) = D(B̃) +</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>⇒ D(B̃) = D(A)−</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>= D(Ã)⇒ à = B̃</p><p>o que implica, que à é máximo deM(C −</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>).</p><p>(iii) ⇒ (i) Seja B ∈M(C) tal que A ⊂ B. Temos por hipótese que à é máximo emM(C−</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>),</p><p>então à ⊂ B̃. De fato,</p><p>D(Ã) = D(A)−</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>⊂ D(B)−</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>= D(B̃)</p><p>E se x ∈ D(Ã), então</p><p>Ãx = A(x+ a)−</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>= B(x+ a)−</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>= B̃x</p><p>Portanto à = B̃, pois à é máximo deM(C −</p><p>{</p><p>a</p><p>}</p><p>). Donde segue que, D(Ã) = D(B̃) e por conseguinte</p><p>D(A) = D(B). E como A = B em D(A), implica que A = B, o que prova o desejado.</p><p>b) (iv) ⇒ (v) Por definição temos, A−1 : D(A−1) ⊂ X ′ → X ′′ = X onde A−1 =</p><p>{</p><p>(x′, x); (x, x′) ∈</p><p>A</p><p>}</p><p>.</p><p>- 214 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>Já sabemos que se A é monótono, então A−1 é monótono. Mostremos a maximalidade. Com efeito,</p><p>sejam x′ ∈ X ′, x′′ ∈ X ′′ tais que⟨</p><p>x′ − y′, x′′ − y′′</p><p>⟩</p><p>≥ 0; ∀(y′, y′′) ∈ A−1,</p><p>mostraremos que (x′, x′′) ∈ A−1. De fato, como X é reflexivo, então via identificação através do isomor-</p><p>fismo canônico (X ≡ X ′′), temos para</p><p>x ∈ X e x′ ∈ X ′ vale</p><p>⟨</p><p>x′ − y′, x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0; ∀(y′, y) ∈ A−1</p><p>ou equivalentemente</p><p>x ∈ X e x′ ∈ X ′ vale</p><p>⟨</p><p>x′ − y′, x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0; ∀(y, y′) ∈ A</p><p>donde segue que (x, x′) ∈ A, o que implica (x′, x) ∈ A−1, e pelo teorema 5.23 conclúımos que A−1 é</p><p>máximo monótono.</p><p>(v) ⇒ (iv) É análogo ao anterior.</p><p>2</p><p>Definição 5.25 Um operador H : X −→ X ′ é dito hemicont́ınuo se é uńıvoco e além disso,</p><p>∀x, y ∈ X, H(x+ ty)</p><p>∗</p><p>⇀ Hx fraco– ∗ em X ′ quando t −→ 0.</p><p>Proposição 5.26 Seja H : X −→ X ′ um operador hemicont́ınuo e monótono tal que D(H) = X. Então</p><p>H é máximo monótono.</p><p>Demonstração: Com efeito, sejam x ∈ X e x′ ∈ X ′ tais que⟨</p><p>x′ −Hy, x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0, ∀y ∈ D(H) = X. (5.2.39)</p><p>De acordo com o Teorema 5.23 devemos provar que x ∈ D(H) = X e Hx = x′. A primeira das</p><p>asserções é óbvia. Resta-nos mostrar que Hx = x′. Consideremos então z ∈ X arbitrário e definamos</p><p>para cada t ∈ [0, 1]:</p><p>yt = tz + (1− t)x = x+ t(z − x); x ∈ X. (5.2.40)</p><p>Substituindo (5.2.40) em (5.2.39) obtemos⟨</p><p>x′ −H(x+ t(z − x)︸ ︷︷ ︸</p><p>=yt</p><p>), t(x− z)︸ ︷︷ ︸</p><p>=x−yt</p><p>⟩</p><p>≥ 0.</p><p>o que implica para t ∈ (0, 1], ⟨</p><p>x′ −H(x+ t(z − x)), x− z</p><p>⟩</p><p>≥ 0.</p><p>tomando-se o limite nessa última desigualdade quando t −→ 0 resulta que⟨</p><p>x′ −Hx, x− z</p><p>⟩</p><p>≥ 0, ∀z ∈ X.</p><p>em particular, para z = x− y; y ∈ X, temos⟨</p><p>x′ −Hx, y</p><p>⟩</p><p>≥ 0, ∀y ∈ X.</p><p>de onde conclúımos que</p><p>⟨</p><p>x′ −Hx, y</p><p>⟩</p><p>= 0, ∀y ∈ X e consequentemente que x′ = Hx em X ′.</p><p>2</p><p>Definição 5.27 Dizemos que um operador A : X −→ X ′ monótono é m-monótono se Im(F + A) = X ′</p><p>onde F é o operador dualidade de acordo com a Definição 4.9.</p><p>- 215 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>Definição 5.28 Dizemos que um espaço de Banach é liso no ponto x ∈ X se o operador dualidade F (x)</p><p>contém um único elemento. Diz-se que X é liso se X é liso em todos os pontos da esfera unitária</p><p>UX =</p><p>{</p><p>x ∈ X; ∥x∥ = 1</p><p>}</p><p>.</p><p>Decorre imediatamente da Definição 5.8 e do item (iii) da Proposição 4.5 o seguinte resultado:</p><p>Proposição 5.29 Se X é liso então X é liso em todos os seus pontos, ou dito, de outra forma, o operador</p><p>dualidade é uńıvoco.</p><p>Demonstração: Com efeito, se X é liso então, por definição, o mesmo é liso na esfera unitária UX . Logo</p><p>para cada x ∈ UX , F (x) contém um único elemento.</p><p>Dado y ∈ X tal que ∥y∥ > 0 temos que x =</p><p>y</p><p>∥x∥</p><p>∈ UX . Desta forma, pela da proposição 4.5, vale</p><p>que F (y) = ∥y∥F</p><p>(</p><p>y</p><p>∥y∥</p><p>)</p><p>e este, por sua vez, contém um único elemento. Portanto X é liso em todos os</p><p>seus pontos.</p><p>2</p><p>Definição 5.30 Um espaço vetorial normado é dito uniformemente convexo quando dado ε > 0 existe</p><p>δ > 0 tal que se x, y ∈ UX e ∥x− y∥ > ε então∥∥∥∥x+ y</p><p>2</p><p>∥∥∥∥ ϵ para algum ϵ > 0 donde,</p><p>pela hipótese, existe δ > 0 tal que ∥∥∥∥ (x+ y)</p><p>2</p><p>∥∥∥∥ ≤ 1− δ</p><p>decorre dáı que (x+ y)/2 /∈ UX , i.e., o seguimento próprio de extremos x e y não está contido em UX .</p><p>2</p><p>Proposição 5.33 Seja X um espaço de Banach, temos:</p><p>(i) Se X ′ é estritamente convexo, então X é liso.</p><p>(ii) Se X ′ é liso então X é estritamente convexo.</p><p>Demonstração:</p><p>(i) Seja x ∈ UX . Pela Proposição 4.5 F (x) é convexo. Como x ∈ UX , resulta que</p><p>F (x) =</p><p>{</p><p>x′ ∈ X ′;</p><p>⟨</p><p>x′, x</p><p>⟩</p><p>= ∥x′∥2 = 1</p><p>}</p><p>⊂</p><p>{</p><p>x′ ∈ X ′; ∥x′∥ = 1</p><p>}</p><p>= UX′ .</p><p>Mas, por hipótese, UX′ não contém segmentos próprios. Logo, pela convexidade, F (x) tem um único</p><p>elemento, ou seja, X é liso no ponto x ∈ UX . Sendo este um ponto arbitrário tomado em UX , resulta</p><p>que X é liso.</p><p>- 216 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>(ii) Suponhamos agora, que</p><p>X ′ é liso e por absurdo sejam x, y ∈ UX com x ̸= y e tais que o</p><p>segmento [x, y] =</p><p>{</p><p>λx + (1 − λ)y; λ ∈ [0, 1</p><p>}</p><p>] esteja contido na esfera UX . Decorre dáı que x+y</p><p>2 ∈ UX .</p><p>Consideremos z′ ∈ F</p><p>(</p><p>x+y</p><p>2</p><p>)</p><p>. Temos</p><p>⟨x</p><p>2</p><p>, z′</p><p>⟩</p><p>+</p><p>⟨y</p><p>2</p><p>, z′</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x+ y</p><p>2</p><p>, z′</p><p>⟩</p><p>= ∥z′∥2 =</p><p>∥∥∥∥x+ y</p><p>2</p><p>∥∥∥∥ = 1</p><p>o que implica que ⟨</p><p>x, z′</p><p>⟩</p><p>+</p><p>⟨</p><p>y, z′</p><p>⟩</p><p>= 2. (5.2.41)</p><p>Por outro lado, temos </p><p>⟨</p><p>x, z′</p><p>⟩</p><p>≤ ∥x∥∥z′∥ = 1⟨</p><p>y, z′</p><p>⟩</p><p>≤ ∥y∥∥z′∥ = 1</p><p>(5.2.42)</p><p>Logo, de (5.2.41) e (5.2.42), conclúımos que⟨</p><p>x, z′</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>y, z′</p><p>⟩</p><p>= 1,</p><p>o que implica, tendo em vista que X ⊂ X ′′, que x, y ∈ F (z′). Portanto, x = y uma vez que X ′ é liso.</p><p>Mas isto é um absurdo que foi obtido ao supormos que UX contém segmentos próprios. Logo, UX não</p><p>contém segmentos próprios, isto é, X é estritamente convexo.</p><p>2</p><p>Corolário 5.34 Seja X um espaço de Banach reflexivo. Então:</p><p>(i) X é estritamente convexo se, e só se, X ′ é liso.</p><p>(ii) X é liso se, e só se, X ′ é estritamente convexo.</p><p>Demonstração: Segue diretamente da proposição 5.33.</p><p>2</p><p>O nosso objetivo a seguir, é mostrar que se X é um espaço de Banach reflexivo e liso e f :</p><p>X −→] −∞,+∞] é uma função convexa, própria e semicontinua inferiormente, então o operador ∂f é</p><p>m-monótono. Antes, porém, precisamos introduzir um lema auxiliar.</p><p>Sendo X Banach, para λ ̸= 0 e x, y ∈ X definimos</p><p>[x, y]λ =</p><p>∥x+ λy∥ − ∥x∥</p><p>λ</p><p>a razão incremental da derivada de Gateaux da norma ∥·∥.</p><p>Lema 5.35 São válidas as propriedades:</p><p>(i) A função λ −→ [·, ·]λ é não decrescente em R \</p><p>{</p><p>0</p><p>}</p><p>(ii) Para quaisquer x, y ∈ X e x′ ∈ F (x) tem-se⟨</p><p>x′, y</p><p>⟩</p><p>≤ ∥x∥[x, y]λ; se λ > 0.⟨</p><p>x′, y</p><p>⟩</p><p>≥ ∥x∥[x, y]λ; se λ 0;⟨</p><p>z′, y</p><p>⟩</p><p>≤ ∥x+ λy∥ [x, y]λ se λ 0;</p><p>∥y∥ ≥ [x, y]λ, λ 0 resulta que</p><p>∥x+ λ y∥ [x, y]λ =</p><p>∥x+ λ y∥2 − ∥x+ λ y∥ ∥x∥</p><p>λ</p><p>≤ ⟨z</p><p>′, x+ λ y⟩ − ⟨z′, x⟩</p><p>λ</p><p>=</p><p>⟨z′, x⟩+ λ ⟨z′, y⟩ − ⟨z′, x⟩</p><p>λ</p><p>= ⟨z′, y⟩ .</p><p>Se λ 0,</p><p>∥x′∥ ∥y∥ ≥ ⟨x′, y⟩ ≥ ∥x∥ [x, y]λ, se λ 0,</p><p>∥x∥ ∥y∥ ≥ ⟨x′, y⟩ ≥ ∥x∥ [x, y]λ, se λ 0,</p><p>∥y∥ ≥ [x, y]λ se λ 0</p><p>−∥y∥, λ 0 e [x, y]λ ≤ ∥y∥, se λ 0</p><p>[x, y]λ, (5.2.44)</p><p>[x, y]− = lim</p><p>λ→0−</p><p>[x, y]λ = sup</p><p>λ 0, existe n0 ∈ N tal que</p><p>∥f(xn)∥ ∥x− xn∥+</p><p>∣∣ ∥xn∥2 − ∥x∥2∣∣ n0 tal que f(xm)</p><p>pertence à vizinhança fraca-∗ {ξ ∈ X ′; |⟨x′ − ξ, x⟩| 0 existe um ı́ndice n1 tal que ∥xn∥ ≤ ∥x∥+ δ</p><p>para todo n ≥ n1 e, portanto, ∥f(xn)∥ ≤ ∥x∥+δ para todo n ≥ n1. Sendo a bola {ξ ∈ X ′, ∥ξ∥ ≤ ∥x∥+δ}</p><p>fechada na topologia fraca-∗, da última desigualdade, resulta que ∥x′∥ ≤ ∥x∥+δ, para todo δ > 0, donde,</p><p>∥x′∥ ≤ ∥x∥. Portanto ∥x′∥ = ∥x∥ e, assim, x′ ∈ F (x).</p><p>- 220 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>(ii) ⇒ (iii) Fazendo x′ = f(x) e z′ = f(x + λ y) em (ii) e (iii) do Lema 5.35 tem-se, para λ > 0,</p><p>que</p><p>⟨f(x), y⟩ ≤ ∥x∥ [x, y]λ e ⟨f(x+ λ y), y⟩ ≥ ∥x+ λ y∥ [x, y]λ.</p><p>Logo, como a aplicação dualidade é demicont́ınua, por hipótese, obtemos</p><p>⟨f(x), y⟩ = ∥x∥ [x, y]+.</p><p>Analogamente, tem-se também que</p><p>⟨f(x), y⟩ = ∥x∥ [x, y]−.</p><p>Portanto,</p><p>lim</p><p>λ→0</p><p>[x, y]λ =</p><p>⟨</p><p>f(x)</p><p>∥x∥</p><p>, y</p><p>⟩</p><p>, ∀y ∈ X,</p><p>o que prova que a norma de X é diferenciável à Gateaux no ponto x.</p><p>(iii) ⇒ (i) Sendo a norma diferenciável à Gateaux no ponto x, então, [x, y]+ = [x, y]− para todo</p><p>y ∈ X. Mas, pelo item (ii) do Lema 5.35 tem-se, para todo x′ ∈ F (x)</p><p>⟨x′, y⟩ = ∥x∥ [x, y]+, ∀y ∈ X.</p><p>Resulta dáı que F (x) tem um só elemento, ou seja, X é liso no ponto x.</p><p>2</p><p>Proposição 5.38 Seja X um espaço de Banach tal que X ′ é estritamente convexo. Então:</p><p>(i) O operador dualidade é uńıvoco e demicont́ınuo.</p><p>(ii) A norma de X é diferenciável à Gateaux em todo ponto x ̸= 0.</p><p>Demonstração: Decorrência imediata da proposição 5.33 e do teorema 5.37.</p><p>2</p><p>Observação 5.39 a) Pelo Teorema 5.37 a norma de X é diferenciável à Gateaux no ponto x ̸= 0 se,</p><p>e somente se, F (x) consta de um único ponto e, portanto, se e só se todas as aplicações dualidade</p><p>coincidem no ponto x. Logo, se a norma de X for diferenciável à Gateaux no ponto x ̸= 0, teremos</p><p>lim</p><p>λ→0</p><p>[x, y]λ =</p><p>⟨</p><p>f(x)</p><p>∥x∥</p><p>, y</p><p>⟩</p><p>para toda aplicação dualidade f , i.e., f(x)/∥x∥ é a derivada de Gateaux da norma de X no ponto</p><p>x, qualquer que seja a aplicação dualidade, f .</p><p>b) Para que a norma de X seja diferenciável à Gateaux no ponto x é suficiente que, para todo h ∈ UX ,</p><p>exista o limite de [x, h]λ quando λ tende a zero. Com efeito, se isto acontece e y ∈ X, y ̸= 0, então,</p><p>como y/∥y∥ ∈ UX , existe o limite de [x, y/∥y∥]λ quando λ tende a zero e</p><p>∥y∥ lim</p><p>λ→0</p><p>[</p><p>x,</p><p>y</p><p>∥y∥</p><p>]</p><p>λ</p><p>= ∥y∥ lim</p><p>λ→0</p><p>∥∥∥x+ λ y</p><p>∥y∥</p><p>∥∥∥− ∥x∥</p><p>λ</p><p>= ∥y∥ lim</p><p>λ→0</p><p>∥∥∥x+ λ∥y∥ y</p><p>∥y∥</p><p>∥∥∥− ∥x∥</p><p>λ∥y∥</p><p>= lim</p><p>λ→0</p><p>∥x+ λy∥ − ∥x∥</p><p>λ</p><p>= lim</p><p>λ→0</p><p>[x, y]λ</p><p>i.e., existe o limite de [x, y]λ quando λ → 0 e, portanto, a norma de X é diferenciável à Gateaux</p><p>no ponto x por (ii) do Lema 5.35.</p><p>- 221 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>c) Se a norma de X é diferenciável à Gateaux no ponto x, o mesmo acontece no ponto kx, ∀k > 0 e</p><p>lim</p><p>λ→0</p><p>[kx, y]λ =</p><p>⟨</p><p>f(x)</p><p>∥x∥</p><p>, y</p><p>⟩</p><p>∀y ∈ X,</p><p>i.e., a derivada à Gateaux da norma de X tem o valor constante f(x)/∥x∥ ao longo do raio {kx; k ></p><p>0}. Com efeito, tem-se</p><p>[kx, y]λ =</p><p>∥kx+ λy∥ − ∥kx∥</p><p>λ</p><p>=</p><p>∥x+ λ</p><p>k y∥ − ∥x∥</p><p>λ</p><p>k</p><p>= [x, y]λ</p><p>k</p><p>. (5.2.47)</p><p>Logo, pondo λ/k = µ,</p><p>lim</p><p>λ→0</p><p>[kx, y]λ = lim</p><p>µ→0</p><p>[x, y]µ =</p><p>⟨</p><p>f(x)</p><p>∥x∥</p><p>, y</p><p>⟩</p><p>∀y ∈ X.</p><p>Pela Obervação 5.39 (a), se a norma de X for diferenciável à Gateaux em um conjunto C ⊂ X,</p><p>então todas as aplicações dualidade de X coincidem em C e, portanto, se f é uma qualquer delas tem-se,</p><p>levando em conta a Observação 5.39 b),</p><p>lim</p><p>λ→0</p><p>[x, y]λ =</p><p>⟨</p><p>f(x)</p><p>∥x∥</p><p>, y</p><p>⟩</p><p>∀y ∈ UX</p><p>em cada ponto x de C. Quando a convergência é uniforme em C, diz-se que a norma deX é uniformemente</p><p>diferenciável à Gateaux em C . Portanto, a norma de X é uniformemente diferenciável à Gateaux em C</p><p>se, e somente se, dado ε > 0 pode-se, para cada y ∈ UX , determinar λ0 > 0 tal que, qualquer que seja a</p><p>aplicação dualidade f , tem-se∣∣∣∣⟨f(x)∥x∥ , y</p><p>⟩</p><p>− [x, y]λ</p><p>∣∣∣∣ 0, M > 0 e</p><p>z ∈ X, existe δ > 0 tal que se ∥x∥ ≤M e</p><p>∥x− y∥ 0, n = 1, . . .</p><p>levam a uma contradição. Suponhamos satisfeitas essas hipóteses. Se xn → 0 então yn → 0 donde</p><p>∥F (xn)∥ = ∥xn∥ → 0 e ∥F (yn)∥ = ∥yn∥ → 0</p><p>Logo ∥F (xn)− F (yn)∥ → 0 donde</p><p>|</p><p>⟨</p><p>F (xn)− F (yn), z</p><p>⟩</p><p>| ≤ ∥F (xn)− F (yn)∥∥z∥</p><p>n→∞−→ 0</p><p>- 222 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>isto é, |</p><p>⟨</p><p>F (xn)− F (yn), z</p><p>⟩</p><p>| −→ 0, uma contradição.</p><p>Se {xn} não converge para zero, passando a uma subsequência, se necessário, podemos supor, que</p><p>∥xn∥ ≥ α > 0, n = 1, 2 . . .. Resulta que existe n0 tal que ∥yn∥ ≥</p><p>α</p><p>2</p><p>para todo n ≥ n0. Seja µ > 0 e</p><p>n ≥ n0. Por (i) pode-se determinar λ0 tal que∣∣∣∣⟨F (xn)∥xn∥</p><p>, z</p><p>⟩</p><p>− [xn, z]λ</p><p>∣∣∣∣ 0</p><p>- 223 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>Logo,</p><p>|[x, y]λ −</p><p>⟨</p><p>F (x), y</p><p>⟩</p><p>| ≤</p><p>∣∣∣∣⟨F (x+ λy)</p><p>∥x− y∥</p><p>, y</p><p>⟩</p><p>−</p><p>⟨</p><p>F (x), y</p><p>⟩∣∣∣∣ (5.2.48)</p><p>Mas sendo C = B(0, 1 + ρ) \ B(0, 1− ρ), 0 0 e y ∈ UX existe</p><p>λ0 > 0, λ0 0 e, portanto,</p><p>- 224 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>quando ∥x∥ → +∞, temos que:</p><p>∥x∥</p><p>(</p><p>∥x∥</p><p>2</p><p>− ∥x′0 − x′1∥</p><p>)</p><p>→ +∞,</p><p>e, consequentemente,</p><p>lim</p><p>∥x∥→+∞</p><p>φ(x) = +∞. (5.2.50)</p><p>Desta forma, de (5.2.50), sendo φ convexa e s.c.i., temos que existe x0 ∈ X tal que φ(x0) ≤ φ(x)</p><p>para todo x ∈ X, ou seja,</p><p>f(x0) +</p><p>∥x0∥2</p><p>2</p><p>− ⟨x′0, x0⟩ ≤ f(x) +</p><p>∥x∥2</p><p>2</p><p>− ⟨x′0, x⟩ , ∀x ∈ X,</p><p>o que implica</p><p>f(x)− f(x0) ≥</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>∥x0∥2 − ∥x∥2</p><p>)</p><p>+ ⟨x′0, x− x0⟩ , ∀x ∈ X. (5.2.51)</p><p>Por outro</p><p>lado, sendo X liso, temos que F é uńıvoco. Logo, para cada x ∈ X, existe um único</p><p>x′ ∈ X ′ tal que F (x) = x′ e ⟨x′, x⟩ = ∥x′∥2 = ∥x∥2. Resulta dáı que</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>∥x0∥2 − ∥x∥2</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>∥x0∥2 + ∥x∥2</p><p>)</p><p>− ∥x∥2</p><p>≥ ∥x0∥ ∥x∥ − ∥x∥2 = ∥x0∥ ∥F (x)∥ − ∥x∥2</p><p>≥ ⟨F (x), x0⟩ − ∥x∥2 = ⟨F (x), x0⟩ − ⟨F (x), x⟩</p><p>= ⟨F (x), x0 − x⟩ .</p><p>(5.2.52)</p><p>Combinando (5.2.51) e (5.2.52) obtemos</p><p>f(x)− f(x0) ≥ ⟨F (x), x0 − x⟩+ ⟨x′0, x− x0⟩ = ⟨x′0 − F (x), x− x0⟩ , ∀x ∈ X.</p><p>Da desigualdade acima e, em particular, para x = t x0 + (1− t)y, onde y ∈ X e t ∈ [0, 1[, podemos</p><p>escrever</p><p>f(t x0 + (1− t)y)− f(x0) ≥ ⟨x′0 − F (t x0 + (1− t)y), t x0 + (1− t)y − x0⟩ , ∀y ∈ X.</p><p>Face a convexidade da função f , segue que</p><p>⟨x′0 − F (t x0 + (1− t)y), (1− t)(y − x0)⟩ ≤ t f(x0) + (1− t)f(y)− f(x0)</p><p>= (1− t)[f(y)− f(x0)],</p><p>e pelo fato de t ∈ [0, 1[ podemos reescrever a desigualdade acima como</p><p>⟨x′0 − F (t x0 + (1− t)y), (y − x0)⟩ ≤ [f(y)− f(x0)], ∀y ∈ X. (5.2.53)</p><p>Pelo fato de X ser reflexivo e liso temos que F é demicont́ınuo e portanto se t → 1 temos que</p><p>t x0 +(1− t)y → x0 em X o que implica que F (t x0 +(1− t)y) ⋆</p><p>⇀ F (x0) em X ′. Tomando-se o limite em</p><p>(5.2.53) quando t→ 1, obtemos</p><p>⟨x′0 − F (x0), y − x0⟩ ≤ f(y)− f(x0), ∀y ∈ X.</p><p>- 225 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>Logo, x′0 − F (x0) ∈ ∂f(x0) e, consequentemente, x′0 ∈ F (x0) + ∂f(x0) = (F + ∂f)(x0).</p><p>2</p><p>Observação 5.42 (i) As restrições impostas a X na proposição acima são desnecessárias. Foram</p><p>introduzidas apenas para simplificar a demonstração. O caso geral em que X não é reflexivo é</p><p>tratado por Rockafeller [71].</p><p>(ii) Com as mesmas hipóteses, o operador λ∂f , λ > 0, é monótono. Basta notar que se λ > 0 e f é</p><p>convexa e s.c.i., então λ f é convexa e s.c.i. e λ (∂f) = ∂(λ f).</p><p>Definição 5.43 Seja X um espaço de Banach, dizemos que D ⊂ X é quase denso em X se para cada</p><p>u ∈ D, existe Mu ⊂ X denso tal que para cada v ∈Mu, u+ tv ∈ D, para t > 0 suficientemente pequeno.</p><p>Lema 5.44 Seja H uma aplicação monótona de X em X ′ com D(H) quase denso em X. Então H é</p><p>demicont́ınua se, e somente se, é hemicont́ınua e localmente limitada.</p><p>Demonstração: Já sabemos que se H é demicont́ınua então é hemicont́ınua. Além disso se xn → x em</p><p>D(H) temos que Hxn</p><p>⋆</p><p>⇀ Hx, logo {Hxn} é limitado, provando que H é localmente limitada.</p><p>Reciprocamente, suponha que H é hemicont́ınua e localmente limitada. Sejam (xn) ⊂ D(H) e</p><p>x ∈ D(H) com xn → x em X. Suponha sem perda de generalidade que xn ̸= x, ∀n. Considere Mx o</p><p>subconjunto denso em X da definição de quase denso. Sejam y ∈ Mx e tn = ∥xn − x∥</p><p>1</p><p>2 . Então tn > 0,</p><p>tn → 0 e wn := x+ tny ∈ D(H), para n suficientemente grande. Além disso</p><p>Hwn</p><p>⋆</p><p>⇀ Hx. (5.2.54)</p><p>Pela monotonicidade de H temos que</p><p>0 ≤ ⟨Hxn −Hwn, xn − wn⟩ = ⟨Hxn −Hwn, xn − x− tny⟩. (5.2.55)</p><p>Sabemos que {Hxn} é limitado, pois H é localmente limitada e por (5.2.54) segue também que {Hwn}</p><p>é limitado. Então</p><p>1</p><p>tn</p><p>⟨Hxn −Hwn, xn − x⟩ → 0, (5.2.56)</p><p>pois ∥ 1</p><p>tn</p><p>(xn − x)∥ = ∥xn − x∥</p><p>1</p><p>2 = tn → 0. Também, por (5.2.54),</p><p>⟨Hwn, v⟩ → ⟨Hx, v⟩</p><p>para todo v ∈ X. Dividindo (5.2.55) por tn obtemos</p><p>0 ≤ ⟨Hxn −Hwn,</p><p>xn − x</p><p>tn</p><p>− y⟩. (5.2.57)</p><p>Donde segue que</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>inf⟨Hxn −Hx,−y⟩ ≥ 0. (5.2.58)</p><p>Note que (5.2.57) é valido para todo y ∈ Mx. Como Mx é denso em X e Hxn −Hwn ∈ X ′, segue que</p><p>(5.2.57) é válido para todo y ∈ X, consequentemente (5.2.58) é valido para todo y ∈ X. Trocando y por</p><p>−y segue que</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>sup⟨Hxn −Hx, y⟩ ≤ 0, (5.2.59)</p><p>para todo y ∈ X. Portanto</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>⟨Hxn −Hx, y⟩ = 0, (5.2.60)</p><p>para todo y ∈ X, isto é, Hxn</p><p>⋆</p><p>⇀ Hx, provando a demicontinuidade de H.</p><p>2</p><p>- 226 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>Lema 5.45 Seja E um espaço de Banach de dimensão finita e H : E → E′ um operador monótono e</p><p>hemicont́ınuo. Então:</p><p>(i) H é limitado em conjuntos limitados,</p><p>(ii) H é cont́ınuo.</p><p>Demonstração: (i) Suponha que existe A ⊂ E tal que A é limitado, mas H não é limitado em A.</p><p>Então, existeuma sequência {xn} ⊂ A, tal que ∥Hxn∥ → ∞. Assim, podemos extrair de {xn} uma</p><p>subseqüência convergente, que por simplicidade denotaremos pela mesma notação, tal que xn → x0, onde</p><p>x0 ∈ A. Como estando supondo, por contradição, que H não é limitado em conjuntos limitados, então,</p><p>∥H xn∥ → +∞ quando n→ +∞. Como H é, por hipótese, monótono, temos</p><p>⟨xn − x,H xn −H x⟩ ≥ 0, ∀x ∈ E,</p><p>e portanto, para n suficientemente grande podemos escrever,⟨</p><p>xn − x,</p><p>H xn −H x</p><p>∥H xn∥</p><p>⟩</p><p>≥ 0, ∀x ∈ E. (5.2.61)</p><p>Por outro lado, como H xn</p><p>∥H xn∥ ∈ UE′ := {y ∈ E′, ∥y∥ = 1} e UE′ é um conjunto compacto (e portanto</p><p>seqüêncialmente compacto) de E′, resulta que H xn</p><p>∥H xn∥ → y′ ∈ E′. Temos:</p><p>∥y′∥ = lim</p><p>n→+∞</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣ H xn</p><p>∥H xn∥</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1.</p><p>Mas, de (5.2.61) vem, na situação limite, quando n→ +∞,</p><p>⟨x0 − x, y′⟩ ≥ 0, ∀x ∈ E,</p><p>o que implica que y′ = 0, o que está em contradição com ∥y′∥ = 1. Logo, H é limitado nos conjuntos</p><p>limitados.</p><p>(ii) De acordo com o ı́tem (i) temos que H leva limitados em limitados donde segue que H é</p><p>localmente limitado. Pelo Lema 5.44 obtemos que H é demicont́ınuo, porém em espaço de dimensão</p><p>finita demicontinuidade e continuidade são conceitos equivalentes devido a equivalência das topologias.</p><p>Portanto H é cont́ınuo.</p><p>2</p><p>Teorema 5.46 Seja X um espaço de Banach reflexivo, A : X → X ′ um operador monótono tal que</p><p>0 ∈ D(A) ⊂ C, onde C é um conjunto convexo e fechado de X, e H : X → X ′ um operador monótono,</p><p>hemicont́ınuo, coercivo, que transforma conjuntos limitados em conjuntos limitados e tal que D(H) = X.</p><p>Então, existe um ponto x0 ∈ C tal que</p><p>⟨x0 − y,H x0 + y′⟩ ≤ 0, ∀(y, y′) ∈ A. (5.2.62)</p><p>Demonstração: Seja Λ a famı́lia formada por todos os subespaços de X de dimensão finita, jE : E → X,</p><p>a aplicação inclusão de E ∈ Λ em X e jE′ : X ′ → E′ a projeção adjunta de jE . Designemos por</p><p>AE o operador jE′ AjE . Temos que AE : E → E′ e D(AE) = D(A) ∩ E. Analogamente, tem-se</p><p>HE := jE′ H jE : E → E′ e D(HE) = X ∩ E = E. Observe que para todo x, y ∈ E tem-se</p><p>⟨x,HE y⟩ = ⟨x, jE′ H jE y⟩ = ⟨jE x,H jE y⟩ = ⟨x,H y⟩ ,</p><p>- 227 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>e, analogamente, se x ∈ E, y ∈ D(AE) e y</p><p>′ ∈ Ay, então</p><p>⟨x, jE′ y′⟩ = ⟨jE x, y′⟩ = ⟨x, y′⟩ .</p><p>Assim, das identidades acima podemos concluir que da monotonia de H decorre a de HE , da monotonia</p><p>de A decorre a de AE e da coercividade de H, a de HE com a mesma função α. Observe ainda que, de</p><p>acordo com o Lema 5.45, HE é cont́ınuo, uma vez que H é hemicont́ınuo e HE = H em E.</p><p>Seja y′0 ∈ A(0). Então, jE′ y′0 ∈ AE(0) e, portanto, pela proposição 5.20, existe xE ∈ CE := C ∩E</p><p>e uma constante ME , tais que ∥xE∥ ≤ME ,e, além disso,</p><p>⟨xE − y,HE xE + y′⟩ ≤ 0, ∀(y, y′) ∈ AE .</p><p>Por (5.1.35) resulta que α(∥xE∥) ≤ ∥jE′ y′0∥ para xE ̸= 0 e como ∥jE′∥ = 1, então α(∥xE∥) ≤ ∥y′0∥.</p><p>Desta forma, podemos, então, supor que ME é uma constante M independente de E. Assim, para todo</p><p>E ∈ Λ, existe xE ∈ CE tal que ∥xE∥ ≤M e</p><p>⟨xE − y,H xE + y′⟩ ≤ 0, ∀(y, y′) ∈ AE . (5.2.63)</p><p>Como por hipótese,H transforma conjuntos limitados em conjuntos limitados, existe uma constante</p><p>M ′ tal que ∥H xE∥ ≤M ′, para todo E ∈ Λ. Os conjuntos</p><p>WE0</p><p>= {(xE ,H xE);E ⊃ E0}, E0 ∈ Λ</p><p>são, portanto, subconjuntos do conjunto limitado (C ∩M B)×M ′B′ ⊂ X ×X ′, onde B é a bola unitária</p><p>fechada de X e B′ é a bola unitária fechada de X ′. Além disso, a famı́lia F = {WE0</p><p>;E0 ∈ Λ} tem a</p><p>propriedade da interseção finita.</p><p>De fato, seja {WEi</p><p>; i = 1, . . . , n} ⊂ F. Fixe, para cada i = 1, . . . , n, uma base βi de Ei e denote por</p><p>E = span[∪ni=1βi]. Temos que dimE</p><p>fraca. Portanto a famı́lia {WE0 ;E0 ∈ Λ} tem pelo menos um ponto de aderência em comum, isto é, existe</p><p>(x0, x</p><p>′</p><p>0) ∈ X ×X ′ tal que (x0, x</p><p>′</p><p>0) ∈</p><p>∩</p><p>E0∈ΛWE0</p><p>, onde aqui consideramos o fecho fraco.</p><p>Como C ∩M B é convexo e fechado, segue que C ∩M B é fracamente fechado, logo x0 ∈ C.</p><p>Resta-nos provar (5.2.62). Seja (y, y′) ∈ A, u ∈ X e E0 ∈ Λ tal que y ∈ E0. Se E ⊃ E0, temos</p><p>então em decorrência de (5.2.63) que</p><p>⟨xE − y,HxE + y′⟩ ≤ 0 (5.2.64)</p><p>e como, por hipótese, H é monótono, resulta que</p><p>⟨xE − u,Hu−HxE⟩ ≤ 0. (5.2.65)</p><p>Combinando (5.2.64) e (5.2.65) vem que</p><p>⟨xE − y,HxE + y′⟩+ ⟨xE − u,Hu−HxE⟩ ≤ 0, (5.2.66)</p><p>- 228 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>para cada (y, y′) ∈ A, u ∈ X, y ∈ E0 e E ⊃ E0.</p><p>Consideremos a função g : X ×X ′ → R definida por</p><p>g(x, x′) = ⟨x− y, x′ + y′⟩+ ⟨x− u,Hu− x′⟩.</p><p>Por (5.2.66) obtemos g(x, x′) ≤ 0 para todo (x, x′) ∈WE0 . Alem disso do fato de</p><p>g(x, x′) = ⟨u− y, x′⟩+ ⟨x,Hu+ y′⟩ − ⟨y, y′⟩ − ⟨u,Hu⟩,</p><p>segue que g é cont́ınua em X ×X ′, quando X ×X ′ estão munidos da topologia fraca e fraca-∗ respecti-</p><p>vamente.</p><p>Logo g(x, x′) ≤ 0 no fecho fraco de WE0 , em particular, g(x0, x</p><p>′</p><p>0) ≤ 0.</p><p>Portanto</p><p>⟨x0 − y, x′0 + y′⟩+ ⟨x0 − u,Hu− x′0⟩ ≤ 0,</p><p>para cada (y, y′) ∈ A, u ∈ X e y ∈ E0. Resulta dáı que</p><p>⟨x0 − y, x′0 + y′⟩+ ⟨x0 − u,Hu− x′0⟩ ≤ 0, (5.2.67)</p><p>para todo (y, y′) ∈ A e para todo u ∈ X.</p><p>Fazendo u = x0 em (5.2.67) temos</p><p>⟨x0 − y,−x′0 − y′⟩ ≥ 0, (5.2.68)</p><p>para todo (y, y′) ∈ A. Logo A′ = A∪{(x0,−x′0)} é uma extensão monótona de A, e como x0 ∈ C, obtemos</p><p>que A′ ∈M(C).</p><p>Consideremos em primeiro lugar o caso em que A é máximo deM(C). Neste caso A′ = A, donde</p><p>segue que (x0,−x′0) ∈ A e portanto x0 ∈ D(A). Logo podemos fazer y = x0 em (5.2.67) e assim</p><p>⟨x0 − u,Hu− x′0⟩ ≤ 0,</p><p>para todo u ∈ X = D(H).</p><p>Mas da desigualdade acima e do Teorema 5.23 vem que (x0, x</p><p>′</p><p>0) ∈ H, ou seja, x′0 = Hx0 uma vez</p><p>que H é máximo monótono pela Proposição 5.26.</p><p>Substituindo x′0 por Hx0 em (5.2.68) obtemos</p><p>⟨x0 − y,Hx0 + y′⟩ ≤ 0,</p><p>para todo (y, y′) ∈ A, provando o teorema neste caso particular.</p><p>Se A não for máximo deM(C), existe pela Observação 5.22(ii), um operador Ã, máximo deM(C)</p><p>e tal que A ⊂ Ã. Mas pelo que provamos anteriormente, o teorema é válido para Ã, isto é, existe x0 ∈ C</p><p>tal que</p><p>⟨x0 − y,Hx0 + y⟩ ≤ 0,</p><p>para todo (y, y′) ∈ Ã, em particular para todo (y, y′) ∈ A.</p><p>2</p><p>A seguir, apresentaremos um resultado devido a Browder que caracteriza os operadores máximo</p><p>monótonos dos espaços de Banach tais que X e X ′ são lisos.</p><p>- 229 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>Teorema 5.47 Sejam X um espaço de Banach reflexivo, C um conjunto convexo e fechado de X, A :</p><p>X → X ′ um operador máximo de M(C) e tal que 0 ∈ D(A) e H : X → X ′ um operador monótono,</p><p>hemicont́ınuo, coercivo que transforma conjuntos limitados em conjuntos limitados e tal que D(H) = X.</p><p>Então, Im(H +A) = X ′.</p><p>Demonstração: Sejam x′ um elemento arbitrário de X ′ e à : X → X ′ o operador definido por</p><p>Ãx = Ax − x′. Então, pelo corolário 5.24 item (iii), à é máximo de M(C) = M(C − 0). Pelo teo-</p><p>rema 5.46, existe x0 ∈ C tal que, ⟨</p><p>x0 − y,Hx0 + ỹ′</p><p>⟩</p><p>≤ 0, ∀(y, ỹ′) ∈ Ã</p><p>mas</p><p>(y, ỹ′) ∈ à ⇔ ỹ′ ∈ Ãy = Ay − x′</p><p>⇔ ỹ′ + x′ ∈ Ay</p><p>⇔ ỹ′ + x′ = y′ ∈ Ay</p><p>⇔ (y, y′) ∈ A</p><p>Logo, ⟨</p><p>x0 − y,Hx0 + y′ − x′</p><p>⟩</p><p>≤ 0, ∀(y, y′) ∈ A</p><p>resulta desta última desigualdade e pelo teorema 5.23, que (x0, x</p><p>′ − Hx0) ∈ A, i.e, x′ − Hx0 ∈ Ax0 e</p><p>portanto, x′ ∈ Hx0 +Ax0 = (H +A)x0, donde conclúımos o desejado.</p><p>2</p><p>Corolário 5.48 Sejam X um espaço de Banach, reflexivo e liso e C um conjunto, convexo e fechado de</p><p>X. Então, todo operador A, máximo deM(C) é m-monótono.</p><p>Demonstração: Suponhamos satisfeitas as hipóteses. Então, o operador dualidade F é uńıvoco, pois X</p><p>é liso, é monótono, de acordo com o exemplo 5.3 da seção 2.1, é demicont́ınuo e portanto hemicont́ınuo,</p><p>c.f proposição 5.38 e o corolário 5.34, também D(F ) = X e trivialmente satisfaz as demais condições</p><p>impostas ao operador H do teorema 5.46, i.e, é coercivo e transforma conjuntos limitados em conjuntos</p><p>limitados. Além disso, se x0 é um elemento qualquer de D(A) o operador F̃ definido por</p><p>F̃ (x) = F (x+ x0)</p><p>ainda satisfaz as essas mesmas hipóteses. De fato,</p><p>i) D(F̃ ) = X; pois, D(F̃ ) = D(F )− x0 = X − x0 = X;</p><p>ii) F̃ é monótono, vem pela proposição 5.7;</p><p>iii) F̃ leva limitado em limitado. Seja A ⊂ X tal que ∥x∥ ≤M, ∀x ∈ A. Então,</p><p>∥F̃ (x)∥X′ = ∥F (x+ x0)∥X′ = ∥x+ x0∥X ≤ ∥x∥X + ∥x0∥X ≤M + ∥x0∥</p><p>iv) F̃ é coercivo. Com efeito, sabemos que⟨</p><p>F (x), x</p><p>⟩</p><p>= ∥x∥2 = ∥F (x)∥2</p><p>- 230 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>Logo, ⟨</p><p>F̃ (x), x</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>F (x+ x0), x</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>F (x+ x0), x+ x0</p><p>⟩</p><p>−</p><p>⟨</p><p>F (x+ x0), x0</p><p>⟩</p><p>= ∥x+ x0∥2 −</p><p>⟨</p><p>F (x+ x0), x0</p><p>⟩</p><p>≥ |∥x∥ − ∥ − x0∥2 − ∥F (x+ x0∥∥x0∥</p><p>= ∥x∥2 − 2∥x∥∥x0∥+ ∥x0∥2 − ∥x+ x0∥∥x0∥</p><p>≥ ∥x∥2 − 2∥x∥∥x0∥+ ∥x0∥2 − ∥x∥∥x0∥ − ∥x0∥2</p><p>= ∥x∥2 − 3∥x∥∥x0∥</p><p>= (∥x∥ − 3∥x0∥)∥x∥</p><p>Fazendo α(t) = t− 3∥x0∥ segue que lim</p><p>t→+∞</p><p>α(t) = +∞ e</p><p>⟨</p><p>F̃ (x), x</p><p>⟩</p><p>≥ α(∥x∥)∥x∥, provando a coercividade</p><p>de F̃ .</p><p>v) Por fim F̃ é hemicont́ınuo. De fato, note que, sendo F hemicont́ınuo, tem-se que</p><p>⟨</p><p>F̃ (x+ ty), z</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>F (x+ ty + x0), z</p><p>⟩ t→0−→</p><p>⟨</p><p>F (x+ x0), z</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>F̃ (x), z</p><p>⟩</p><p>para todo x, y, z ∈ X.</p><p>Agora se A é máximo emM(C), o operador definido por A(x+ x0) satisfaz a condição 0 ∈ D(Ã)</p><p>e pelo item (iii) do corolário 5.24 é máximo deM(C − x0). Pelo teorema 5.47, tem-se, então</p><p>Im(F̃ + Ã) = X ′</p><p>também vale a igualdade Im(F +A) = Im(F̃ + Ã).</p><p>Com efeito, se y′ ∈ Im(F̃ + Ã) então, existe x ∈ D(F̃ )∩D(Ã) = X ∩ [D(A)− x0] = D(A)− x0 tal</p><p>que</p><p>y′ ∈ F̃ (x) + Ã(x) = F (x+ x0) +A(x+ x0)</p><p>= F (z) +A(z); z ∈ D(A)</p><p>⇒ y′ ∈ Im(F +A).</p><p>Reciprocamente, se y′ ∈ Im(F + A) então, existe z ∈ D(F + A) = D(F ) ∩ D(A) = D(A), ou seja,</p><p>z = (z − x0)︸ ︷︷ ︸</p><p>x</p><p>+x0, tal que</p><p>y′ ∈ F (z) +A(z)⇒ y′ ∈ F (x+ x0) +A(x+ x0) = F̃ (x) + Ã(x)</p><p>Logo, Im(F +A) = Im(F̃ + Ã) = X ′, portanto A é m-monótono.</p><p>2</p><p>Teorema 5.49 seja X um espaço de Banach reflexivo e sejam X e X ′ lisos. Então o operador monótono</p><p>A : X → X ′ é máximo se, e somente se A é m-monótono.</p><p>Demonstração: Suponhamos satisfeitas as hipóteses. Então pelo corolário 5.48 se A é máximo monó-</p><p>tono, então A é m-monótono.</p><p>Reciprocamente, vamos supor que Im(F +A) = X ′ e considere (x, x′) ∈ X ×X ′ tal que⟨</p><p>x′ − y′, x− y</p><p>⟩</p><p>≥ 0, ∀(y, y′) ∈ A (5.2.69)</p><p>Assim, de acordo com o teorema 5.23 devemos provar que (x, x′) ∈ A. Com efeito, como Fx + x′ é um</p><p>elemento de X ′ = Im(F +A), existe x1 ∈ D(A) tal que Fx+x′ ∈ Fx1+Ax1. Portanto, existe x′1 ∈ Ax1,</p><p>- 231 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>ou seja, (x1, x</p><p>′</p><p>1) ∈ A tal que</p><p>Fx+ x′ = Fx1 + x′1 (5.2.70)</p><p>mostraremos que (x1, x</p><p>′</p><p>1) = (x, x′). Fazendo, (y, y′) = (x1, x</p><p>′</p><p>1) em 5.2.69 e levando 5.2.70 em consideração,</p><p>obtemos ⟨</p><p>x− x1, x′ − x′1</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x− x1, Fx1 − Fx</p><p>⟩</p><p>≥ 0</p><p>o que implica ⟨</p><p>x− x1, Fx− Fx1</p><p>⟩</p><p>≤ 0</p><p>Desta última desigualdade, resulta que⟨</p><p>x, Fx</p><p>⟩</p><p>+</p><p>⟨</p><p>x1, Fx1</p><p>⟩</p><p>−</p><p>⟨</p><p>x, Fx1</p><p>⟩</p><p>−</p><p>⟨</p><p>x1, Fx</p><p>⟩</p><p>≤ 0 (5.2.71)</p><p>e com maior razão,</p><p>∥x∥2 + ∥x1∥2 − ∥x∥ ∥Fx1∥︸ ︷︷ ︸</p><p>=∥x1∥</p><p>−∥x1∥ ∥Fx∥︸ ︷︷ ︸</p><p>=∥x∥</p><p>≤ 0</p><p>o que implica,</p><p>(∥x∥ − ∥x1∥)2 = ∥x∥2 + ∥x1∥2 − 2∥x∥∥x1∥ ≤ 0 (5.2.72)</p><p>disso vem que ∥x∥ = ∥x1∥, assim, por 5.2.71, temos</p><p>2∥x∥2 =</p><p>⟨</p><p>x, Fx</p><p>⟩</p><p>+</p><p>⟨</p><p>x1, Fx1</p><p>⟩</p><p>≤</p><p>⟨</p><p>x, Fx1</p><p>⟩</p><p>+</p><p>⟨</p><p>x1, Fx</p><p>⟩</p><p>≤ 2∥x∥2</p><p>desta última desigualdade conclúımos que ⟨</p><p>x1, Fx</p><p>⟩</p><p>= ∥x∥2 (5.2.73)</p><p>pois, caso contrário, se supormos que</p><p>⟨</p><p>x1, Fx</p><p>⟩</p><p>∥x∥2, chegamos a uma contradição.</p><p>Logo, de (5.2.73) e como</p><p>∥x1∥2 = ∥x∥2 = ∥Fx∥2 =</p><p>⟨</p><p>x, Fx</p><p>⟩</p><p>segue-se que x, x1 ∈ F ′(Fx), onde F ′ : X ′ → X é o operador dualidade de X ′, (neste momento utilizamos</p><p>o fato de X ser reflexivo). Logo, x1 = x uma vez que X ′ é liso por hipótese e por (5.2.70) vem que x′1 = x′.</p><p>Assim (x, x′) = (x1, x</p><p>′</p><p>1) ∈ A. 2</p><p>2</p><p>Corolário 5.50 Seja X um espaço de Banach reflexivo e consideremos X e X ′ lisos. Então para que</p><p>um operador A seja m-monótono é necessário e suficiente que λA seja m-monótono, para todo λ > 0.</p><p>Demonstração: Consequência imediata do teorema</p><p>(5.49) e do item (ii) do corolário (5.24)</p><p>2</p><p>Exemplo 5.5 Seja X um espaço de Banach reflexivo e B um operador monótono, hemicont́ınuo e li-</p><p>mitado de X em X ′. Seja A um operador maximal monótono de X ×X ′. Prove que A + B é maximal</p><p>monótono.</p><p>Já sabemos que A+B é monótono(Proposição 5.6), logo resta mostrar que A+B é m-monótono,</p><p>ou seja, Im((A+B) + F ) = X ′.</p><p>Para tal, considere o Teorema:</p><p>Teorema 5.51 Seja X um espaço de Banach reflexivo com norma ∥.∥. Então existe uma norma ∥.∥◦</p><p>em X tal que X é estritamente convexo com esta norma e X ′ estritamente convexo com norma dual ∥.∥</p><p>′</p><p>◦.</p><p>Com isso, defina</p><p>H : X −→ X ′</p><p>x 7−→ H(x) = F0(x) +B(x),</p><p>- 232 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>onde F0 é o operador dualidade em (X, ∥.∥0).</p><p>Temos que:</p><p>• H é hemicont́ınua.</p><p>De fato, como (X, ∥.∥0) é estritamente convexo e (X ′, (∥.∥0)′) é estritamente convexo, pela Propo-</p><p>sição 5.33, (X, ∥.∥0) é liso, donde segue que F0 é uńıvoco, logo H é hemicont́ınuo pois F0 e B o</p><p>são.</p><p>• H é monótona.</p><p>Como F0 é monótono (Exemplo 5.3) e B é monótono, por hipótese, temos B+F0 monótono, logo,</p><p>H é monótono.</p><p>• H é coerciva.</p><p>De fato, temos</p><p>⟨(B + F0)x, x⟩ = ⟨Bx, x⟩+ ⟨F0x, x⟩</p><p>= ⟨Bx, x⟩+ ∥x∥20</p><p>≥ −∥Bx∥0∥x∥0 + ∥x∥20</p><p>≥ (∥x∥0 − ∥B0∥0)∥x∥0</p><p>onde a última desigualdade segue do fato de B ser hemicont́ınua, logo B(tx)⇀∗ B(0) e, portanto,</p><p>∥B(0)∥0 ≤ lim</p><p>t>0</p><p>inf∥B(tx)∥0 ≤ ∥Bx∥0.</p><p>Considerando, então, α : R→ R, onde α(t) = t− ∥B(0)∥0, temos</p><p>⟨(B + F0)x, x⟩ ≥ α(∥x∥0)∥x∥0,</p><p>donde segue que H é coerciva.</p><p>Agora, podemos supor, sem perda de generalidade que 0 ∈ D(A)(como feito anteriormente), pelo</p><p>exposto acima, temos que H está nas condições do Teorema 5.47, temos</p><p>Im(H +A) = X ′,</p><p>ou seja,</p><p>Im(B + F0 +A) = X ′.</p><p>Assim, A+B é m-monótono em (X, ∥.∥0) e, portanto, maximal monótono em (X, ∥.∥0). Como a mono-</p><p>tonia e a maximalidade independem da norma considerada, temos A+B maximal monótono em X.</p><p>Proposição 5.52 Seja X um espaço de Banach reflexivo, com X e X ′ lisos, C um subconjunto convexo e</p><p>fechado e A : X → X ′ um operador monótono e tal que D(A) ⊂ C. Então A admite uma extensão máximo</p><p>monótona com domı́nio contido em C. Em particular, todo operador monótono de um espaço de Banach</p><p>nas condições especificadas admite extensão máximo monótona com domı́nio contido em convD(A).</p><p>Demonstração: Pelo item (ii) da observação (5.22), A admite uma extensão máxima em C, extensão</p><p>essa, que é m-monótona em decorrência do corolário (5.48) e, portanto, máximo monótono em vista do</p><p>teorema (5.49).</p><p>A segunda asserção é, agora, imediata visto que convD(A) é um conjunto convexo e fechado que</p><p>contém D(A).</p><p>2</p><p>- 233 -</p><p>5.2 Operadores Maximais Monótonos e m-Monótonos</p><p>Teorema 5.53 Seja X um espaço de Banach reflexivo. Sejam X e X ′ lisos e A : X → X ′ um operador</p><p>máximo monótono, coercivo e tal que 0 ∈ D(A). Então ImA = X ′.</p><p>Demonstração: Para cada λ > 0, o operador λF está nas condições do operador H do teorema 5.47,</p><p>isto é, λF é monótono, hemicont́ınuo, coercivo, transforma conjuntos limitados em conjuntos limitados e</p><p>D(λF ) = X.</p><p>Como X é liso, o operador dualidade F : X −→ X ′ é uńıvoco, isto é, dado x ∈ X existe único</p><p>x′ ∈ X ′, x′ = F (x) tal que</p><p>⟨x′, x⟩ = ∥x∥2 = ∥x′∥2.</p><p>Disso, segue a existência de um único y′ satisfazendo y′ = λx′ = λF (x) e</p><p>⟨y′, x⟩ = ⟨λx′, x⟩ = λ ⟨x′, x⟩ = λ∥x∥2 = λ∥x′∥2 =</p><p>1</p><p>λ</p><p>∥λx′∥2 =</p><p>1</p><p>λ</p><p>∥y′∥2.</p><p>Como X é Banach reflexivo, X e X ′ lisos e A um operador máximo monótono, pela proposição</p><p>5.52, A é máximo deM(convD(A)). Além disso, pelo fato que 0 ∈ D(A) podemos aplicar o teorema 5.47</p><p>e obter que Im(λF +A) = X ′.</p><p>Agora mostraremos que Im(A) = X ′. De fato, seja y′ ∈ X ′. Assim, para cada λ > 0 existe</p><p>xλ ∈ D(λF +A) = D(λF )∩D(A) = X∩D(A) = D(A) tal que y′ ∈ (λF +A)xλ, ou seja, existe x′λ ∈ Axλ</p><p>tal que</p><p>λFxλ + x′λ = y′ (5.2.74)</p><p>Como A é coercivo, existe α : R −→ R tal que α(ρ)→∞ quando ρ→∞ e</p><p>α(∥x∥)∥x∥ ≤ ⟨x, x′⟩ ,∀(x, x′) ∈ A</p><p>a relação acima é válida para (xλ, x</p><p>′</p><p>λ) , λ > 0, e portanto</p><p>α (∥xλ∥) ∥xλ∥ ≤ ⟨xλ, x′λ⟩</p><p>≤ ⟨xλ, x′λ⟩+ λ∥xλ∥2</p><p>= ⟨xλ, x′λ⟩+ ⟨xλ, λF (xλ)⟩</p><p>= ⟨xλ, x′λ + λF (xλ)⟩</p><p>= ⟨xλ, y′⟩</p><p>≤ ∥xλ∥∥y′∥,∀ λ > 0.</p><p>Logo, se xλ ̸= 0,</p><p>α (∥xλ∥) ≤ ∥y′∥,∀ λ > 0</p><p>e assim o conjunto {xλ;λ > 0} é limitado. Logo {F (xλ);λ > 0} é limitado (∥F (xλ)∥ = ∥xλ∥). De 5.2.74</p><p>temos:</p><p>x′λ = y′ − λF (xλ)→ y′ quando λ→ 0 (5.2.75)</p><p>na topologia da norma de X ′.</p><p>Além disso, como {xλ} é limitado e X é reflexivo, podemo extrair uma sequência (λn), λn → 0,</p><p>- 234 -</p><p>5.3 Operadores Acretivos</p><p>tal que a sequência (xλn</p><p>) converge fraco para um y ∈ X, isto é,</p><p>xλn</p><p>⇀ y. (5.2.76)</p><p>Assim, para cada (x, x′) ∈ A, da monotonia de A, obtemos que⟨</p><p>x− xλn , x</p><p>′ − x′λn</p><p>⟩</p><p>≥ 0</p><p>e das convergências 5.2.75 e 5.2.76</p><p>⟨x− y, x′ − y′⟩ ≥ 0, ∀(x, x′) ∈ A.</p><p>Somando isso ao fato que A é máximo monótono, pelo teorema 5.23, p. 213,(y, y′) ∈ A, ou seja, y′ ∈ Ay,</p><p>ou ainda, y′ ∈ Im(A). Portanto Im(A) = X ′.</p><p>2</p><p>Corolário 5.54 Seja X um espaço de Banach reflexivo com X e X ′ lisos, H : X −→ X ′ um operador</p><p>monótono, hemicont́ınuo e coercivo e tal que D(H) = X. Então Im(H) = X ′.</p><p>Demonstração: Como H é monótono, hemicont́ınuo e D(H) = X, pela proposição 5.26, H é máximo</p><p>monótono. Como D(H) = X, 0 ∈ D(H) e sendo X e X ′ lisos e H coercivo, vem pelo teorema 5.53 que</p><p>Im(H) = X ′.</p><p>2</p><p>Exemplo 5.6 Seja X um espaço de Banach reflexivo e liso. Seja f uma função convexa, própria, semi-</p><p>cont́ınua inferiormente. Então o subdiferencial ∂f é um operador m-monótono de acordo com a proposição</p><p>5.41. Quando X ′ é liso, então, em vista do teorema 5.49, o subdiferencial é máximo monótono.</p><p>Exemplo 5.7 Seja Ω um subconjunto aberto e limitado de Rn com fronteira ∂Ω regular e ∆ o laplaciano.</p><p>O operador A de L2(Ω) definido por:</p><p>D(A) = {v ∈ H2(Ω); ∂νv = 0 em ∂Ω}, Au = −∆u, ∀u ∈ D(A)</p><p>é máximo monótono. De fato,</p><p>i) A é monótono pois</p><p>⟨Au−Av, u− v⟩ =</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>−∆(u− v)(u− v) dx (5.2.77)</p><p>=</p><p>∫</p><p>Ω</p><p>|∇(u− v)|2 dx ≥ 0, ∀u, v ∈ D(A) (5.2.78)</p><p>ii) A é m-monótono, pois pelo que se sabe da teoria de equações diferenciais eĺıpticas, para cada v ∈</p><p>L2(Ω), existe u ∈ D(A) tal que −∆u+ u = v, isto é, Im(I +A) = L2(Ω).</p><p>Considerando Fu = u a aplicação dualidade de L2(Ω), F = I, então A é m-monótono. Pelo teorema 5.49</p><p>A é máximo monótono.</p><p>5.3 Operadores Acretivos</p><p>Definição 5.55 Seja X um espaço de Banach. Dizemos que o operador A : X −→ X é acretivo se</p><p>∥x1 − x2 + λ(y1 − y2)∥ ≥ ∥x1 − x2∥, ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ A e λ > 0. (5.3.79)</p><p>- 235 -</p><p>5.3 Operadores Acretivos</p><p>De acordo com a Proposição 5.5 a monotonia é, no caso particular dos espaços de Hilbert, equiva-</p><p>lente a condição de acretividade dada em (5.3.79). como tal condição envolve apenas a norma, ela tem</p><p>sentido em qualquer espaço normado, o que nos permite dar outra generalização da noção de operador</p><p>monótono em espaços de Hilbert.</p><p>Definição 5.56 Seja X um espaço de Banach e consideremos A : X −→ X. A é dito dissipativo se −A</p><p>é acretivo.</p><p>Sendo X um espaço de Banach, definimos, como antes, a razão incremental da derivada à Gateaux</p><p>da norma,</p><p>[x, y]λ =</p><p>∥x+ λy∥ − ∥x∥</p><p>λ</p><p>, λ ̸= 0, x, y ∈ X</p><p>Lema 5.57 São válidas as propriedades:</p><p>(i) [αx, βy]+ = |β|[x, y]+ se αβ > 0;</p><p>(ii) [x, αx+ y]+ = α∥x∥+ [x, y]+;</p><p>(iii) −[x,−y]+ ≤ [x, y]+;</p><p>(iv) |[x, y]+| ≤ ∥y∥;</p><p>(v) [x, βy]+ ≥ β[x, y]+.</p><p>Demonstração: É suficiente demonstrar que os itens são válidos para a razão incremental, pois basta</p><p>tomar o ı́nfimo e teremos provado o lema.</p><p>(i) Se αβ > 0,</p><p>[αx, βy]λ =</p><p>∥αx+ λβy∥ − ∥αx∥</p><p>λ</p><p>= |β|</p><p>∥αβx+ λy∥ − ∥αβx∥</p><p>λ</p><p>= |β|</p><p>∥x+ λβ</p><p>αy∥ − ∥x∥</p><p>λβ</p><p>α</p><p>= |β| [x, y]λ β</p><p>α</p><p>.</p><p>(ii) Se α = 0 não há o que provar. Para α ̸= 0, tome λ0 > 0 tal que se 0 0.</p><p>Dáı ∣∣∣∣∥x+ λαx+ λy∥ − ∥x∥ − ∥x+ λy∥+ ∥x∥</p><p>λ</p><p>− α∥x∥</p><p>∣∣∣∣</p><p>=</p><p>∣∣∣∣∥(1 + λα)x+ λy∥ − ∥x+ λy∥ − λα∥x∥</p><p>λ</p><p>∣∣∣∣</p><p>=</p><p>∣∣∣∣ 1λ</p><p>(</p><p>(1 + λα)</p><p>∥∥∥∥x+</p><p>λ</p><p>1 + λα</p><p>y</p><p>∥∥∥∥− ∥x+ λy∥ − λα∥x∥</p><p>)∣∣∣∣</p><p>=</p><p>∣∣∣∣ 1λ</p><p>(∥∥∥∥x+</p><p>λ</p><p>1 + λα</p><p>y</p><p>∥∥∥∥− ∥x+ λy∥</p><p>)</p><p>+ α</p><p>(∥∥∥∥x+</p><p>λ</p><p>1 + λα</p><p>y</p><p>∥∥∥∥−</p><p>∥x∥)∣∣∣∣</p><p>≤</p><p>∣∣∣∣ 1λ</p><p>(∥∥∥∥x+</p><p>λ</p><p>1 + λα</p><p>y</p><p>∥∥∥∥− ∥x+ λy∥</p><p>)∣∣∣∣+ ∣∣∣∣α(∥∥∥∥x+</p><p>λ</p><p>1 + λα</p><p>y</p><p>∥∥∥∥− ∥x∥)∣∣∣∣</p><p>≤ 1</p><p>λ</p><p>∥∥∥∥x+</p><p>λ</p><p>1 + λα</p><p>y − x− λy</p><p>∥∥∥∥+ ∣∣∣∣α(∥∥∥∥x+</p><p>λ</p><p>1 + λα</p><p>y − x</p><p>∥∥∥∥)∣∣∣∣</p><p>≤</p><p>∣∣∣∣ 1</p><p>1 + λα</p><p>− 1</p><p>∣∣∣∣ ∥y∥+ |α| λ</p><p>1 + λα</p><p>∥y∥.</p><p>- 236 -</p><p>5.3 Operadores Acretivos</p><p>Tomando o limite λ −→ 0+, obtemos o desejado.</p><p>(iii) Se λ > 0,</p><p>[x, y]λ + [x,−y]λ =</p><p>∥x+ λy∥ − ∥x∥+ ∥x− λy∥ − ∥x∥</p><p>λ</p><p>=</p><p>1</p><p>λ</p><p>(∥x+ λy∥+ ∥x− λy∥ − 2∥x∥)</p><p>≥ 1</p><p>λ</p><p>(∥x+ λy + x− λy∥ − 2∥x∥) = 0.</p><p>Logo, −[x, y]λ ≤ [x, y]λ, ∀λ > 0.</p><p>(iv) Se λ > 0, pelo item (iv) do Lema 5.35 vem que</p><p>−∥y∥ ≤ [x, y]λ =</p><p>∥x+ λy∥ − ∥x∥</p><p>λ</p><p>≤ ∥x∥+ ∥λy∥ − ∥x∥</p><p>λ</p><p>= ∥y∥.</p><p>(v) Caso seja β = 0, não há o que provar. O caso β > 0 é comtemplado pelo item (i). Seja então β 0 tal que 1 + λρ > 0. Então</p><p>[x, y]λ = [x, ρx]λ =</p><p>∥x+ λρx∥ − ∥x∥</p><p>λ</p><p>=</p><p>∥(1 + λρ)x∥ − ∥x∥</p><p>λ</p><p>= ρ∥x∥.</p><p>Mas para todo x′ ∈ F (x), temos</p><p>⟨x′, y⟩ = ρ ⟨x′, x⟩ = ρ∥x∥2 = ∥x∥[x, y]λ.</p><p>Tomando o ı́nfimo, o resultado segue.</p><p>Caso 2: x e y são linearmente independentes. Seja V = span {x, y} ⊂ X e defina ξ′ : V −→ R por</p><p>⟨ξ′, αx+ βy⟩ = α∥x∥+ β[x, y]+.</p><p>Pelo Lema anterior,</p><p>⟨ξ′, αx+ βy⟩ = α∥x∥+ β[x, y]+</p><p>≤ α∥x∥+ [x, βy]+</p><p>= [x, αx+ βy]+</p><p>≤ ∥αx+ βy∥.</p><p>Pelo teorema de Hahn-Banach, existe ξ′1 ∈ X ′ extensão de ξ′ tal que ∥ξ′1∥ ≤ 1. Como ξ′1 estende ξ′,</p><p>temos que ⟨ξ′1, x⟩ = ∥x∥ e ⟨ξ′1, y⟩ = [x, y]+. Ponha x</p><p>′ = ∥x∥ξ′1. Então</p><p>∥x∥2 = ⟨x′, x⟩ ≤ ∥x′∥∥x∥.</p><p>Por outro lado,</p><p>∥x′∥ = ∥∥x∥ξ′1∥ = ∥x∥∥ξ′1∥ ≤ ∥x∥.</p><p>- 237 -</p><p>5.3 Operadores Acretivos</p><p>Assim, x′ ∈ F (x) e ⟨x′, y⟩ = ∥x∥[x, y]+.</p><p>Proposição 5.59 Defina ⟨y, x⟩s = sup {⟨x′, y⟩ ;x′ ∈ F (x)}. Então</p><p>⟨y, x⟩s = ∥x∥[x, y]+.</p><p>Demonstração: Sejam x, y ∈ X. Pelo segundo item do Lema 5.35, temos para todo λ > 0</p><p>⟨x′, y⟩ ≤ ∥x∥[x, y]λ,∀x′ ∈ F (x).</p><p>Tomando o ı́nfimo em λ > 0 e o supremo para x′ variando em F (x), obtemos</p><p>⟨y, x⟩s ≤ ∥x∥[x, y]+. (5.3.80)</p><p>Por outro lado, pelo Lema 5.58, existe x′ ∈ F (x) tal que</p><p>∥x∥[x, y]+ = ⟨x′, y⟩ ≤ ⟨y, x⟩s . (5.3.81)</p><p>2</p><p>Proposição 5.60 São equivalentes:</p><p>(i) ∥x+ λy∥ ≥ ∥x∥, ∀x, y ∈ X, ∀λ > 0;</p><p>(ii) [x, y]+ ≥ 0, x, y ∈ X;</p><p>(iii) ⟨y, x⟩s ≥ 0, ∀x, y ∈ X;</p><p>(iv) ∀x, y ∈ X, ∃x′ ∈ F (x) tal que ⟨x′, y⟩ ≥ 0.</p><p>Demonstração:</p><p>(i) =⇒ (ii) Se ∥x+ λy∥ ≥ ∥x∥, então [x, y]λ =</p><p>∥x+ λy∥ − ∥x∥</p><p>λ</p><p>≥ 0. Dáı [x, y]+ ≥ 0.</p><p>(ii) =⇒ (i)</p><p>∥x+ λy∥ − ∥x∥</p><p>λ</p><p>= [x, y]λ ≥ [x, y]+ ≥ 0 =⇒ ∥x+ λy∥ ≥ ∥x∥.</p><p>(ii)⇐⇒ (iii) Segue imediatamente da proposição anterior, visto que ⟨y, x⟩s = ∥x∥[x, y]+.</p><p>(ii)⇐⇒ (iv) Pelo lema 5.58, existe x′ ∈ F (x) tal que ⟨x′, y⟩ = ∥x∥[x, y]+ ≥ 0.</p><p>Corolário 5.61 São equivalentes:</p><p>(i) A é um operador acretivo;</p><p>(ii) [x1 − x2, y1 − y2]+ ≥ 0, ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ A;</p><p>(iii) ⟨x1 − x2, y1 − y2⟩s ≥ 0, ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ A;</p><p>(iv) ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ A, ∃x′ ∈ F (x1 − x2) tal que ⟨x′, y1 − y2⟩ ≥ 0.</p><p>Demonstração: Basta por x = x1 − x2 e y = y1 − y2 na proposição 5.60.</p><p>2</p><p>Observação 5.62 (a) Se X é um espaço de Hilbert (em particular, X é liso), então o conceito de</p><p>acretividade</p><p>⟨x′, y1 − y2⟩ ≥ 0 (5.3.82)</p><p>coincide com o conceito de monotonia;</p><p>- 238 -</p><p>5.3 Operadores Acretivos</p><p>(b) Se X é um espaço vetorial complexo, a condição (5.3.82) é substitúıda por</p><p>Re ⟨x′, y1 − y2⟩ ≥ 0.</p><p>Exemplo 5.8 (a) Se T : X −→ X é uma contração, então A := I−T é acretivo. De fato, sejam λ > 0</p><p>e x1, x2 ∈ X. Então</p><p>∥x1 − x2 + λ(Ax1 −Ax2)∥ = ∥x1 − x2 + λ(x1 − Tx1 − x2 + Tx2)∥</p><p>= ∥(1 + λ)(x1 − x2)− λ(Tx1 − Tx2)∥</p><p>≥ (1 + λ)∥x1 − x2∥ − λ∥Tx1 − Tx2∥</p><p>≥ ∥x1 − x2∥.</p><p>Observação 5.63 Durante todo o texto estamos considerando contração o operador T : X −→ X</p><p>que satisfaz:</p><p>∥Tx1 − Tx2∥ ≤ ∥x1 − x2∥.</p><p>(b) Como Lp(Ω) é estritamente convexo para 1 0, Aλ é uńıvoco.</p><p>(iii) Se z ∈ Dλ então (Jλz,Aλz) ∈ A, ∀ λ > 0.</p><p>Demonstração:</p><p>- 240 -</p><p>5.3 Operadores Acretivos</p><p>(i) Sejam λ ≥ 0, z ∈ Dλ e x1, x2 ∈ Jλz. Queremos mostrar que x1 = x2. De fato, de acordo com</p><p>o item (iv) da Proposição 5.65, existem y1 ∈ Ax1 e y2 ∈ Ax2 tais que</p><p>z = x1 + λy1 = x2 + λy2 ⇒ 0 = z − z = (x1 − x2) + λ(y1 − y2).</p><p>Se λ > 0, segue pela acretividade de A que</p><p>∥x1 − x2∥ ≤ ∥x1 − x2 + λ(y1 − y2)∥ = ∥z − z∥ = 0.</p><p>Portanto x1 = x2. O caso em que λ = 0 é imediato.</p><p>(ii) Seja λ > 0. Então Aλ = 1</p><p>λ (I − Jλ) é uńıvoco pois I e Jλ o são.</p><p>(iii)</p><p>Sejam λ > 0 e z ∈ Dλ. Então existe (x, y) ∈ A tal que z = x + λy. Pela Observação 5.66 e</p><p>pelo fato de Jλ e Aλ serem uńıvocos, resulta que Jλz = x e Aλz = y. Desta forma (Jλz,Aλz) ∈ A.</p><p>2</p><p>Proposição 5.68 O operador A : X → X é acretivo se, e somente se, Jλ é uma contração para todo</p><p>λ ≥ 0.</p><p>Demonstração: Seja A : X → X um operador acretivo e consideremos z1, z2 ∈ Dλ, λ ≥ 0.</p><p>Temos que z1 = x1+λy1, para algum (x1, y1) ∈ A e z2 = x2+λy2, para algum (x2, y2) ∈ A. Sendo</p><p>A acretivo, segue de acordo com a Proposição 5.67 (i) que Jλ é uńıvoco, portanto Jλz1 = x1, Jλz2 = x2</p><p>e além disso</p><p>∥Jλz1 − Jλz2∥ = ∥x1 − x2∥ ≤ ∥(x1 − x2) + λ(y1 − y2)∥ = ∥z1 − z2∥,</p><p>provando que Jλ é uma contração para λ ≥ 0.</p><p>Reciprocamente, suponhamos que Jλ é um contração para λ ≥ 0.</p><p>Sejam (x1, y1), (x2, y2) ∈ A, então z1 = x1 + λy1, z2 = x2 + λy2 ∈ Dλ. Sendo Jλ uma contração,</p><p>resulta que Jλ é uńıvoco, donde pela Observação 5.66, Jλz1 = x1 e Jλz2 = x2.. Consequentemente,</p><p>∥x1 − x2∥ = ∥Jλz1 − Jλz2∥ ≤ ∥z1 − z2∥ = ∥(x1 − x2) + λ(y1 − y2)∥, ∀λ ≥ 0,</p><p>em particular para λ > 0, provando que A é acretivo.</p><p>2</p><p>Notação: Seja ω ∈ R. Vamos designar por A(ω) a classe dos operadores A : X → X tais que A+ ωI é</p><p>acretivo. Portanto A(0) é a classe dos operadores acretivos.</p><p>Proposição 5.69 A ∈ A(ω) se, e somente se, para todo (x1, y1), (x2, y2) ∈ A, existe x′ ∈ F (x1 − x2)</p><p>tal que</p><p>⟨x′, y1 − y2⟩+ ω∥x1 − x2∥2 ≥ 0 (5.3.85)</p><p>Demonstração: (⇒) Sejam A ∈ A(ω) e (x1, y1), (x2, y2) ∈ A. Como por hipótese A + ωI é acretivo,</p><p>temos pelo Corolário 5.61 (iv) que existe x′ ∈ F (x1 − x2) tal que</p><p>⟨x′, y1 + ωx1 − (y2 + ωx2)⟩ ≥ 0.</p><p>Logo</p><p>⟨x′, y1 − y2⟩+ ω⟨x′, x1 − x2⟩ ≥ 0. (5.3.86)</p><p>Como x′ ∈ F (x1 − x2) vem que</p><p>⟨x′, y1 − y2⟩+ ω∥x1 − x2∥2 ≥ 0 (5.3.87)</p><p>- 241 -</p><p>5.3 Operadores Acretivos</p><p>(⇐) Reciprocamente, suponhamos que para todo (x1, y1), (x2, y2) ∈ A, existe x′ ∈ F (x1 − x2) tal</p><p>que (5.3.85) seja satisfeito. Provaremos que A ∈ A(ω). De fato, sejam (x1, z1), (x2, z2) ∈ A+ ωI. Temos</p><p>que z1 = y1 + ωx1 e z2 = y2 + ωx2, onde y1 ∈ Ax1 e y2 ∈ Ax2.</p><p>Por hipótese, existe x′ ∈ F (x1 − x2) tal que</p><p>⟨x′, y1 − y2⟩+ ω∥x1 − x2∥2 ≥ 0,</p><p>ou ainda,</p><p>⟨x′, (y1 + ωx1)− (y2 + ωx2)⟩ ≥ 0⇒ ⟨x′, z1 − z2⟩ ≥ 0.</p><p>Pelo Corolário 5.61 (iv) resulta que A+ ωI é acretivo.</p><p>2</p><p>Observação 5.70 (i) Sejam ω ≤ 0 e A ∈ A(ω). Consideremos (x1, y1), (x2, y2) ∈ A. Então pela Propo-</p><p>sição 5.69 existe x′ ∈ F (x1 − x2) tal que</p><p>⟨x′, y1 − y2⟩+ ω∥x1 − x2∥2 ≥ 0,</p><p>ou seja,</p><p>⟨x′, y1 − y2⟩ ≥ −ω∥x1 − x2∥2.</p><p>Consequentemente, pelo Corolário 5.61 (iv) segue que A é acretivo.</p><p>(ii) Sejam ω ≥ 0 e A ∈ A(ω). Consideremos (x1, y1), (x2, y2) ∈ A. Pelo Corolário 5.61 (iv) existe</p><p>x′ ∈ F (x1 − x2) tal que</p><p>⟨x′, y1 − y2⟩ ≥ 0⇒ ⟨x′, y1 − y2⟩+ ω∥x1 − x2∥2 ≥ 0.</p><p>Portanto, pela Proposição 5.69 resulta que A ∈ A(ω).</p><p>Em resumo:</p><p>• ω ≤ 0⇒ A(ω) ⊂ A(0)</p><p>• ω ≥ 0⇒ A(0) ⊂ A(ω)</p><p>Ainda, se</p><p>0 0</p><p>Dλ .</p><p>Demonstração:</p><p>i) Sejam z ∈ Dλ = D(Jλ) e x1, x2 ∈ Jλz. Provaremos inicialmente que x1 = x2.</p><p>Com efeito, pela proposição (5.65)-(iv), existem y1 ∈ Ax1 e y2 ∈ Ax2 tais que</p><p>z = x1 + λy1 = x2 + λy2</p><p>Seja x′ ∈ F (x1 − x2). Então,</p><p>0 =</p><p>⟨</p><p>x′, 0</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x′, z − z</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x′, (x1 − x2) + λ(y1 − y2)</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x′, x1 − x2</p><p>⟩</p><p>+ λ</p><p>⟨</p><p>x′, y1 − y2 + ωx1 − ωx1 + ωx2 − ωx2</p><p>⟩</p><p>=</p><p>⟨</p><p>x′, x1 − x2</p><p>⟩</p><p>+ λ</p><p>⟨</p><p>x′, (y1 + ωx1)− (y2 + ωx2)</p><p>⟩</p><p>− λω</p><p>⟨</p><p>x′, x1 − x2</p><p>⟩</p><p>= ∥x1 − x2∥2 + λ</p><p>⟨</p><p>x′, (y1 + ωx1)− (y2 + ωx2)</p><p>⟩</p><p>− λω∥x1 − x2∥2</p><p>= (1− λω)︸ ︷︷ ︸</p><p>>0</p><p>∥x1 − x2∥2 + λ</p><p>⟨</p><p>x′, (y1 + ωx1)− (y2 + ωx2)</p><p>⟩</p><p>(5.3.89)</p><p>Por outro lado, como A ∈ A(ω), temos que A + ωI é acretivo e portanto pelo corolário 5.61-(iv),</p><p>existe ξ′ ∈ F (x1 − x2) tal que ⟨</p><p>ξ′, (y1 + ωx1)− (y2 + ωx2)</p><p>⟩</p><p>≥ 0</p><p>Fazendo x′ = ξ′ em 5.3.89 resulta que</p><p>(1− λω)∥x1 − x2∥2 = −λ</p><p>⟨</p><p>ξ′, (y1 + ωx1)− (y2 + ωx2)</p><p>⟩</p><p>≤ 0</p><p>o que implica ∥x1 − x2∥ ≤ 0, donde segue que x1 = x2, provando que Jλ é uńıvoco.</p><p>Segue dáı, que Aλ também o é, pois Aλ =</p><p>I − Jλ</p><p>λ</p><p>.</p><p>Resta-nos provar que Jλ é lipschitziano. De fato, como A+ωI é acretivo, pela proposição 5.68, seu</p><p>- 243 -</p><p>5.3 Operadores Acretivos</p><p>resolvente,</p><p>JA+ωI</p><p>t = [I + t(A+ ωI)]</p><p>−1</p><p>é uma contração para todo t ≥ 0. Seja t > 0, de modo que 1 + ωt ̸= 0. Então</p><p>JA+ωI</p><p>t = [I + t(A+ ωI)]</p><p>−1</p><p>= [(1 + ωt)I + tA]</p><p>−1</p><p>=</p><p>[</p><p>(1 + ωt)</p><p>(</p><p>I +</p><p>t</p><p>1 + ωt</p><p>A</p><p>)]−1</p><p>=</p><p>(</p><p>I +</p><p>t</p><p>1 + ωt</p><p>A</p><p>)−1</p><p>(1 + ωt)−1</p><p>Logo,</p><p>JA+ωI</p><p>t =</p><p>(</p><p>I +</p><p>t</p><p>1 + ωt</p><p>A</p><p>)−1</p><p>(1 + ωt)−1,</p><p>ou ainda,</p><p>(1 + ωt)JA+ωI</p><p>t =</p><p>(</p><p>I +</p><p>t</p><p>1 + ωt</p><p>A</p><p>)−1</p><p>. (5.3.90)</p><p>Como JA+ωI</p><p>t é uma contração, resulta de (5.3.90), para x, y ∈ DA+ωI</p><p>t = D(JA+ωI</p><p>t ) = Im[I+ t(A+</p><p>ωI)] que∥∥∥∥∥</p><p>(</p><p>I +</p><p>t</p><p>1 + ωt</p><p>A</p><p>)−1</p><p>x−</p><p>(</p><p>I +</p><p>t</p><p>1 + ωt</p><p>A</p><p>)−1</p><p>y</p><p>∥∥∥∥∥ = ∥(1 + ωt)JA+ωI</p><p>t x− (1 + ωt)JA+ωI</p><p>t y∥</p><p>≤ |1 + ωt|∥x− y∥ (5.3.91)</p><p>de onde conclúımos que</p><p>(</p><p>I +</p><p>t</p><p>1 + ωt</p><p>A</p><p>)−1</p><p>é lipschitziano com constante |1 + ωt|.</p><p>Seja λ > 0, pondo então t =</p><p>λ</p><p>1− λω︸ ︷︷ ︸</p><p>>0</p><p>> 0 implica</p><p>t</p><p>1 + ωt</p><p>= λ.</p><p>Além disso</p><p>1 + ωt = 1 + ω</p><p>(</p><p>λ</p><p>1− λω</p><p>)</p><p>= 1 +</p><p>ωλ</p><p>1− λω</p><p>=</p><p>1− λω + ωλ</p><p>1− λω</p><p>= (1− λω)−1</p><p>o que implica |1+ωt| = (1−λω)−1. Assim (1+λA)−1 = Jλ é Lipschitziano com constante (1−λω)−1</p><p>Se λ = 0, temos que Jλ = I e o resultado é imediato.</p><p>ii) Consideremos o conjunto Vλ = D(A) ∩ Dλ. Se Vλ = ∅ nada temos a provar. Suponhamos então</p><p>Vλ ̸= ∅. Seja y ∈ Ax, então x + λy ∈ Dλ = Im(I + λA) e além disso, pelo item (i) Jλ é uńıvoco,</p><p>donde segue pela observação 5.66 que Jλ(x+ λy) = x.</p><p>Logo</p><p>∥Jλx− x∥ = ∥Jλx− Jλ(x+ λy)∥ ≤ (1− λω)−1∥x− x− λy∥ = (1− λω)−1λ∥y∥</p><p>⇒ ∥Jλx− x∥ ≤ (1− λω)−1λ∥y∥; ∀y ∈ Ax</p><p>Pondo-se |Ax| = inf</p><p>y∈Ax</p><p>∥y∥ temos evidentemente que, 0 ≤ |Ax| 0, x ∈ Dλ e µ ∈ R. Pelo fato que x ∈ Dλ = Im(I + λA), existe (x1, y1) ∈ A tal que</p><p>x = x1 + λy1. Também, x1 + µy1 ∈ Dµ = Im(I + µA).</p><p>Afirmamos que</p><p>µ</p><p>λ</p><p>x+</p><p>λ− µ</p><p>λ</p><p>Jλx ∈ Dµ</p><p>Com efeito, temos que Jλx = x1. Logo</p><p>µ</p><p>λ</p><p>x+</p><p>λ− µ</p><p>λ</p><p>Jλx =</p><p>µ</p><p>λ</p><p>(x1 + λy1) +</p><p>λ− µ</p><p>λ</p><p>x1 =</p><p>µ</p><p>λ</p><p>x1 + µy1 + x1 −</p><p>µ</p><p>λ</p><p>x1</p><p>= x1 + µy1</p><p>- 245 -</p><p>5.3 Operadores Acretivos</p><p>O que prova a afirmação.</p><p>· ·</p><p>Prove que</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>Cn =</p><p>( ∞∑</p><p>n=0</p><p>An</p><p>)( ∞∑</p><p>n=0</p><p>Bn</p><p>)</p><p>.</p><p>1.1.4) Seja x :]a, b[→ E uma função continuamente derivável em ]a, b[. Prove que:</p><p>∥x(d)− x(c)∥E ≤ (d− c)∥x′∥C([d,c],E), a 0</p><p>u(0) = u0</p><p>admite uma única solução u ∈ C([0,∞);E).</p><p>1.1.6) Seja T (t) : E → E o operador linear definido por T (t)u0 = u(t), onde u é a única solução de{</p><p>u′(t) = A(u(t)), t > 0</p><p>u(0) = u0.</p><p>(i) Mostre que T (0) = I e que T (t+ s) = T (t) ◦ T (s), para todo t, s ∈ [0,∞). Use a desigualdade</p><p>de Gronwall para mostrar que T (t) ∈ L(E), para todo t ≥ 0 e que ∥T (t)∥ ≤ e∥A∥t.</p><p>(ii) Mostre que T (t) é cont́ınua em t na norma de L(E), isto é,</p><p>lim</p><p>t→t0</p><p>∥T (t)− T (t0)∥L(E) = 0.</p><p>(iii) Mostre que T (t) é derivável (no espaço L(E)) e que</p><p>T ′(t) = AT (t), ou seja,</p><p>lim</p><p>h→0</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣T (t+ h)− T (t)</p><p>h</p><p>−AT (t)</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>L(E)</p><p>= 0.</p><p>(iv) Considere a transformada de Laplace de T (t), ou seja,</p><p>L(T )(λ) =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λsT (s) ds, λ > ∥A∥.</p><p>Mostre que L(T )(λ) = (λI −A)−1.</p><p>- 20 -</p><p>1.2 A Função Exponencial</p><p>(v) Seja B = I − A/λ, λ > ∥A∥. Como ∥I − B∥ 0</p><p>u(0) = u0</p><p>(1.2.24)</p><p>onde u0 é um elemento de X dado arbitrariamente.</p><p>Quando A ∈ R e t ≥ 0 a função exponencial E : R+ → R tem as seguintes propriedades:</p><p>E(0) = 1, (1.2.25)</p><p>E(t+ s) = E(t)E(s), (1.2.26)</p><p>lim</p><p>t→0+</p><p>E(t) = 1, (1.2.27)</p><p>e como será demonstrado, a seguir, é a única função definida em R+ com valores em R com tais propri-</p><p>edades. O mesmo ocorre quando E toma valores na álgebra dos operadores lineares de qualquer espaço</p><p>de dimensão finita (lembrando-se que toda aplicação linear definida em um espaço de dimensão finita é</p><p>também cont́ınua). Nesse caso, o número 1 que aparece (1.2.25) e (1.2.27) deve ser interpretado como o</p><p>operador identidade I : X → X e a multiplicação em (1.2.26) como a composição de operadores lineares.</p><p>Para ver o que se passa quando X tem dimensão infinita tem-se que levar em conta que, nesse caso, três</p><p>topologias são usualmente introduzidas na álgebra L(X) dos operadores lineares e limitados de X corres-</p><p>pondendo, a cada uma delas, uma maneira distinta de interpretar o limite em (1.2.27). Assim, podemos</p><p>interpretá-lo como o limite uniforme, o forte e o fraco. Relembremos que I é o limite uniforme de E(t)</p><p>- 21 -</p><p>1.2 A Função Exponencial</p><p>quando t→ 0+ se ∥E(t)− I∥L(X) → 0; é o limite forte se ∥E(t)− I∥X → 0, para todo x ∈ X e é o limite</p><p>fraco se ⟨[E(t)− I]x, x′⟩X,X′ → 0, para todo x ∈ X e para todo x′ ∈ X ′, onde X ′ é o dual topológico de</p><p>X. Quando o limite (1.2.27) é tomado no sentido da topologia uniforme tem-se uma situação bastante</p><p>simples como mostra o teorema a seguir.</p><p>Teorema 1.19 Uma função E : R+ → L(X) satisfaz as condições</p><p>(a) E(0) = I,</p><p>(b) E(t+ s) = E(t)E(s),</p><p>(c) ∥E(t) − I∥L(X) → 0 quando t → 0+ , se e somente se E(t) = etA, onde A ∈ L(X) e etA é definido</p><p>por (1.2.23).</p><p>Demonstração: Suponhamos, inicialmente, que A ∈ L(X) e que</p><p>etA =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(tA)n</p><p>n!</p><p>.</p><p>Como, para cada t ≥ 0, a série</p><p>∑∞</p><p>n=0</p><p>(tA)n</p><p>n! converge absolutamente e L(X) é um espaço de Banach,</p><p>temos que etA define, para cada t ≥ 0, um operador linear e cont́ınuo sobre X. Assim, E(t) = etA é tal</p><p>que E : R+ → L(X). Resta-nos provar que E(t) satisfaz as condições (a), (b) e (c). De fato,</p><p>a)</p><p>E(0) =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(0A)n</p><p>n!</p><p>= I.</p><p>b) Observemos que do binômio de Newton segue que</p><p>(t+ s)p =</p><p>p∑</p><p>k=0</p><p>(</p><p>p</p><p>k</p><p>)</p><p>tpsp−k</p><p>=</p><p>p∑</p><p>k=0</p><p>p!</p><p>k!(p− k)!</p><p>tksp−k,</p><p>o que implica que</p><p>(t+ s)p</p><p>p!</p><p>=</p><p>p∑</p><p>k=0</p><p>tk</p><p>k!</p><p>sp−k</p><p>(p− k)!</p><p>.</p><p>Dáı resulta que</p><p>e(t+s)A =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(t+ s)n</p><p>n!</p><p>An</p><p>= lim</p><p>n→∞</p><p>n∑</p><p>p=0</p><p>(t+ s)p</p><p>p!</p><p>Ap</p><p>= lim</p><p>n→∞</p><p>n∑</p><p>p=0</p><p>p∑</p><p>k=0</p><p>(tA)k</p><p>k!</p><p>(sA)p−k</p><p>(p− k)!</p><p>.</p><p>Como</p><p>∑∞</p><p>n=0</p><p>(tA)n</p><p>n! converge absolutamente, pelo exerćıcio 1.1.3 da seção precendente resulta que e(t+s)A =</p><p>etAesA, ou seja E(t+ s) = E(t)E(s).</p><p>- 22 -</p><p>1.2 A Função Exponencial</p><p>c) Temos</p><p>etA =</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(tA)n</p><p>n!</p><p>= I +</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(tA)n</p><p>n!</p><p>.</p><p>Então,</p><p>etA − I =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(tA)n</p><p>n!</p><p>=</p><p>tA</p><p>1!</p><p>+</p><p>(tA)2</p><p>2!</p><p>+</p><p>(tA)3</p><p>3!</p><p>+ · · ·</p><p>= tA</p><p>(</p><p>I +</p><p>(tA)</p><p>2!</p><p>+</p><p>(tA)2</p><p>3!</p><p>+ · · ·</p><p>)</p><p>= tA</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(tA)n</p><p>(n+ 1)!</p><p>.</p><p>Observemos que a série</p><p>∑∞</p><p>n=0</p><p>(tA)n</p><p>(n+1)! converge absolutamente posto que∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>(tA)n</p><p>(n+ 1)!</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣ ≤</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>∥(tA)n∥</p><p>(n+ 1)!</p><p>≤</p><p>∞∑</p><p>n=0</p><p>∥(tA)n∥</p><p>n!</p><p>= e∥tA∥ = et∥A∥.</p><p>Logo,</p><p>∥etA − I∥L(X) ≤ t∥A∥L(X)e</p><p>t∥A∥L(X) .</p><p>Quando t→ 0+ temos que et∥A∥ → 1 e, consequentemente ∥etA − I∥L(X) → 0 quando t→ 0+.</p><p>Reciprocamente, suponhamos que E : R+ → L(X) satisfaz (a), (b) e (c). Primeiramente vamos</p><p>mostrar que ∥E(t)∥ é uma função limitada em todo intervalo limitado. Com efeito, dado ε = 1, existe,</p><p>pela propriedade (c), δ > 0 tal que se 0 ≤ t ≤ δ então ∥E(t)− I∥ 0 e</p><p>t ≥ 0. Temos pela propriedade (c) e do fato que ∥E(t)∥ é limitada em intervalos limitados vem</p><p>∥E(t+ h)− E(t)∥L(X) = ∥E(t)E(h)− E(t)∥L(X)</p><p>≤ ∥E(t)∥L(X) ∥E(h)− I∥L(X) → 0 quando h→ 0+.</p><p>Agora, se 0</p><p>Além disso,</p><p>Jλx = x1 = Jµ(x1 + µy1) = Jµ</p><p>(</p><p>µ</p><p>λ</p><p>x+</p><p>λ− µ</p><p>λ</p><p>Jλx</p><p>)</p><p>como queŕıamos.</p><p>v) Provaremos que Aλ ∈ A</p><p>(</p><p>ω</p><p>1− λω</p><p>)</p><p>, λ > 0, ou seja, que Aλ +</p><p>ω</p><p>1− λω</p><p>I é acretivo. De fato, devemos</p><p>mostrar que, para todo x1, x2 ∈ Dλ e t ≥ 0, temos∥∥∥∥(x1 − x2) + t</p><p>[(</p><p>Aλ +</p><p>ω</p><p>1− λω</p><p>I</p><p>)</p><p>x1 −</p><p>(</p><p>Aλ +</p><p>ω</p><p>1− λω</p><p>I</p><p>)</p><p>x2</p><p>]∥∥∥∥ ≥ ∥x1 − x2∥ . (5.3.97)</p><p>Com efeito, ∥∥∥∥(x1 − x2) + tAλx1 +</p><p>tω</p><p>1− λω</p><p>x1 − tAλx2 +</p><p>tω</p><p>1− λω</p><p>x2</p><p>∥∥∥∥</p><p>=</p><p>∥∥∥∥(x1 − x2) + tω</p><p>1− λω</p><p>(x1 − x2) +</p><p>t</p><p>λ</p><p>(I − Jλ)x1 −</p><p>t</p><p>λ</p><p>(I − Jλ)x2</p><p>∥∥∥∥</p><p>=</p><p>∥∥∥∥[1 + tω</p><p>1− λω</p><p>+</p><p>t</p><p>λ</p><p>]</p><p>(x1 − x2)−</p><p>t</p><p>λ</p><p>[Jλx1 − Jλx2]</p><p>∥∥∥∥</p><p>≥</p><p>∣∣∣∣1 + tω</p><p>1− λω</p><p>+</p><p>t</p><p>λ</p><p>∣∣∣∣ ∥x1 − x2∥ − t</p><p>λ</p><p>∥Jλx1 − Jλx2∥ (5.3.98)</p><p>Contudo,</p><p>1 +</p><p>tω</p><p>1− λω</p><p>+</p><p>t</p><p>λ</p><p>= 1 +</p><p>λtω + t(1− λω)</p><p>λ(1− λω)</p><p>= 1 +</p><p>λtω + t− tλω</p><p>λ(1− λω)</p><p>= 1 +</p><p>t</p><p>λ(1− λω)</p><p>> 0.</p><p>Disso e de (5.3.98) podemos escrever∥∥∥∥(x1 − x2) + tAλx1 +</p><p>tω</p><p>1− λω</p><p>x1 − tAλx2 +</p><p>tω</p><p>1− λω</p><p>x2</p><p>∥∥∥∥</p><p>≥</p><p>(</p><p>1 +</p><p>t</p><p>λ(1− λω)</p><p>)</p><p>∥x1 − x2∥ −</p><p>t</p><p>λ</p><p>∥Jλx1 − Jλx2∥ . (5.3.99)</p><p>Porém, pelo item i), temos:</p><p>∥Jλx1 − Jλx2∥ ≤ (1− λω)−1 ∥x1 − x2∥</p><p>e consequentemente,</p><p>−∥Jλx1 − Jλx2∥ ≥ − (1− λω)−1 ∥x1 − x2∥ . (5.3.100)</p><p>De (5.3.99) e (5.3.100) vem que∥∥∥∥(x1 − x2) + tAλx1 +</p><p>tω</p><p>1− λω</p><p>x1 − tAλx2 +</p><p>tω</p><p>1− λω</p><p>x2</p><p>∥∥∥∥</p><p>≥</p><p>(</p><p>1 +</p><p>t</p><p>λ(1− λω)</p><p>)</p><p>∥x1 − x2∥ −</p><p>t</p><p>λ(1− λω)</p><p>∥x1 − x2∥</p><p>= ∥x1 − x2∥</p><p>o que prova o desejado em (5.3.97).</p><p>- 246 -</p><p>5.3 Operadores Acretivos</p><p>vi) Sejam λ > 0, x, y ∈ Dλ = Im(I + λA). Então</p><p>∥Aλx−Aλy∥ =</p><p>∥∥∥∥ 1λ (I − Jλ)x−</p><p>1</p><p>λ</p><p>(I − Jλ) y</p><p>∥∥∥∥ =</p><p>1</p><p>λ</p><p>∥(x− y)− (Jλx− Jλy)∥</p><p>≤ 1</p><p>λ</p><p>[∥x− y∥+ ∥Jλx− Jλy∥] .</p><p>Usando o fato que Jλ é lipschitziano,</p><p>∥Aλx−Aλy∥ ≤ 1</p><p>λ</p><p>∥x− y∥+ 1</p><p>λ(1− λω)</p><p>∥x− y∥</p><p>= λ−1</p><p>[</p><p>1 + (1− λω)−1</p><p>]</p><p>∥x− y∥</p><p>o que prova o item vi).</p><p>vii) Sejam µ, λ ∈ R tais que 0 0</p><p>λ(1− µω)∥Aλx∥ ≤ µ(1− µω)|Aµx∥+ (λ− µ)∥Aλx∥</p><p>- 247 -</p><p>5.3 Operadores Acretivos</p><p>e como λ(1− µω)− (λ− µ) = λ− λµω − λ+ µ = µ(1− λω) obtemos que</p><p>µ(1− λω)∥Aλx∥ ≤ µ(1− µω)∥Aµx∥</p><p>o que implica que</p><p>(1− λω)∥Aλx∥ ≤ (1− µω)∥Aµx∥</p><p>como queŕıamos mostrar no item vii).</p><p>viii) Consideremos o conjunto D(A) ∩</p><p>∩</p><p>λ>0</p><p>Dλ. Se tal conjunto for vazio, nada temos a provar. Supo-</p><p>nhamos então que tal conjunto seja não vazio e consideremos x ∈ D(A) ∩</p><p>∩</p><p>λ>0</p><p>Dλ. Pelo item ii),</p><p>temos:</p><p>∥Jλx− x∥ ≤ λ(1− λω)−1|Ax|; λ > 0.</p><p>Tomando o limite quando λ→ 0+ obtemos</p><p>lim</p><p>λ→0+</p><p>∥Jλx− x∥ = 0,</p><p>isto é,</p><p>lim</p><p>λ→0+</p><p>Jλx = x, ∀x ∈ D(A) ∩</p><p>∩</p><p>λ>0</p><p>Dλ. (5.3.104)</p><p>Seja agora x ∈ D(A) ∩</p><p>∩</p><p>λ>0</p><p>Dλ e ε > 0. Considere y ∈ D(A) ∩</p><p>∩</p><p>λ>0</p><p>Dλ tal que</p><p>∥x− y∥ 0</p><p>Dλ considerado temos:</p><p>1 ∥Jλx− x∥ ≤ ∥Jλx− Jλy∥+ ∥Jλy − y∥+ ∥y − x∥ . (5.3.106)</p><p>Por i) vem que</p><p>∥Jλx− Jλy∥ ≤ (1− λω)−1∥x− y∥. (5.3.107)</p><p>Combinando (5.3.106) e (5.3.107) resulta que</p><p>∥Jλx− x∥ ≤</p><p>[</p><p>(1− λω)−1 + 1</p><p>]</p><p>∥x− y∥+ ∥Jλy − y∥ . (5.3.108)</p><p>Assim, quando λ→ 0+, temos</p><p>0 ≤ lim</p><p>λ→0+</p><p>∥Jλx− x∥ ≤ 2∥x− y∥</p><p>e, de 5.3.105, segue que</p><p>0 ≤ lim</p><p>λ→0+</p><p>∥Jλx− x∥ ≤ ε.</p><p>Da arbitrariedade do ε > 0 segue o resultado.</p><p>Exemplo 5.9 a) Seja T : X −→ X lipschitziana com constante α. Então, para t > 0 temos que</p><p>I − T</p><p>t</p><p>∈ A</p><p>(</p><p>α− 1</p><p>t</p><p>)</p><p>. Com efeito, temos</p><p>∥Tx1 − Tx2∥ ≤ α∥x1 − x2∥, ∀x1, x2 ∈ D(T ).</p><p>1Como x pode não estar no domı́nio de Jλ, estamos considerando sua extensão definida como lim</p><p>y→x</p><p>Jλy, y ∈ Dλ que</p><p>ainda é lipschitziana</p><p>- 248 -</p><p>5.3 Operadores Acretivos</p><p>Provaremos que∥∥∥∥(x1 − x2) + λ</p><p>[(</p><p>I − T</p><p>t</p><p>+</p><p>α− 1</p><p>t</p><p>I</p><p>)</p><p>x1 −</p><p>(</p><p>I − T</p><p>t</p><p>+</p><p>α− 1</p><p>t</p><p>I</p><p>)</p><p>x2</p><p>]∥∥∥∥ ≥ ∥x1 − x2∥. (5.3.109)</p><p>De fato, ∥∥∥∥(x1 − x2) + λ</p><p>[(</p><p>I − T</p><p>t</p><p>+</p><p>α− 1</p><p>t</p><p>I</p><p>)</p><p>x1 −</p><p>(</p><p>I − T</p><p>t</p><p>+</p><p>α− 1</p><p>t</p><p>I</p><p>)</p><p>x2</p><p>]∥∥∥∥</p><p>=</p><p>∥∥∥∥(x1 − x2) + λ</p><p>[</p><p>x1 − Tx1 + αx1 − x1</p><p>t</p><p>− x2 − Tx2 + αx2 − x2</p><p>t</p><p>]∥∥∥∥</p><p>=</p><p>∥∥∥∥(x1 − x2) + λ</p><p>t</p><p>[α(x1 − x2)− (Tx1 − Tx2)]</p><p>∥∥∥∥</p><p>≥</p><p>∥∥∥∥(1 + λα</p><p>t</p><p>)</p><p>(x1 − x2)</p><p>∥∥∥∥− λ</p><p>t</p><p>∥Tx1 − Tx2∥</p><p>≥</p><p>(</p><p>1 +</p><p>λα</p><p>t</p><p>)</p><p>∥x1 − x2∥ −</p><p>λ</p><p>t</p><p>α∥x1 − x2∥</p><p>= ∥x1 − x2∥</p><p>o qu e prova o desejado</p><p>b) Se T : X −→ X é não expansiva, isto é, ∥y1 − y2∥ ≤ ∥x1 − x2∥ para todo (x1, y1), (x2, y2) ∈ T ,</p><p>então I − T é um operador acretivo. De fato, como T é não expansiva, então T é lipschitziana com</p><p>constante igual a 1. Pelo item anterior, com t = 1, −(I − T ) é acretivo e consequentemente, I − T</p><p>é acretivo.</p><p>Observação 5.72 Sejam ω ∈ R e A ∈ A(ω) e</p><p>D =</p><p>∪</p><p>µ>0</p><p> ∩</p><p>00</p><p>(1− λω)∥Aλx∥. (5.3.110)</p><p>(Observemos que nada impede que tenhamos ∥|Ax∥| = +∞).</p><p>Proposição 5.73 Sejam A ∈ A(ω) e λ > 0 tal que λω 0</p><p>(1− ξω)∥Aξx∥ ≥ (1−λω)∥Aλx∥. Assim, se λ ∈ (0, λ0), não há mais o que fazer. Se λ ≥ λ0,</p><p>pelo Teorema 5.71-(vii), segue que</p><p>(1− λω)∥Aλx∥ ≤ (1− λ0ω)∥Aλ0</p><p>x∥ ≤ ∥|Ax∥|.</p><p>(ii) Seja x ∈ D.</p><p>Caso 1: ∥|Ax∥| 0. Existe λ0 > 0 tal que (1 − λ0ω)∥Aλ0</p><p>x∥ ≥ M . Se 0 0 é arbitrário, o resultado segue.</p><p>(iii) Temos pelo item (ii) do Teorema 5.71 que</p><p>∥Jµx− x∥ ≤ µ(1− µω)−1|Ax|, ∀x ∈ D(A) ∩Dµ. (5.3.111)</p><p>Logo,</p><p>(1− µω)∥Aµx∥ ≤ |Ax|, ∀x ∈ D(A) ∩Dµ (5.3.112)</p><p>Por hipótese, x ∈ D(A)∩Dµ para todo µω 0</p><p> ∩</p><p>0 0.</p><p>- 250 -</p><p>5.4 Operadores Máximo Acretivos e m-Acretivos</p><p>Portanto</p><p>lim</p><p>λ→0+</p><p>∥Aλx∥ = lim</p><p>λ→0+</p><p>λ−1∥x− Jλx∥ = +∞.</p><p>Assim, x ̸∈ D̂(A).</p><p>2</p><p>Proposição 5.75 Seja A fechado, A ∈ A(ω) e λ > 0 tal que λω</p><p>na topologia uniforme de L(X). Resulta</p><p>dáı sua integrabilidade no sentido de Riemann relativamente à topologia uniforme de L(X), e, além disso,</p><p>do teorema da média (veja exerćıcio 1.1.5 (v) da seção anterior) tem-se</p><p>lim</p><p>h→0+</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>E(t) dt = E(0) = I em L(X).</p><p>Logo, dado ε = 1, existe δ > 0 tal que∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣1δ</p><p>∫ δ</p><p>0</p><p>E(t) dt− I</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>∣∣∣∣∣</p><p>L(X)</p><p>0 e h > 0 resulta que</p><p>E(t+ h)− E(t)</p><p>h</p><p>= E(t)</p><p>(</p><p>E(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>e como E(h)−I</p><p>h converge em norma para A, temos que E(t+h)−E(t)</p><p>h converge em norma para E(t)A quando</p><p>h→ 0+. Resulta dáı que E é derivável à direita para todo t ≥ 0, relativamente à topologia uniforme de</p><p>L(X) e</p><p>d+E(t)</p><p>dt</p><p>= E(t)A. (1.2.29)</p><p>Analogamente, sejam t, h > 0 tais que 0 0 e M > 0 tais que ∥S(t)∥ ≤M, para todo t ∈ [0, δ]. (1.3.33)</p><p>Com efeito, suponhamos, por contradição, que tal fato não ocorra, ou seja, que para todo intervalo</p><p>da forma [0, δ], a aplicação ∥S(t)∥ não seja limitada. Em outras palavras, para todo δ > 0 e M > 0</p><p>admitamos que existe tδ,M ∈ [0, δ] de modo que ∥S(tδ,M )∥ > M . Segue dáı que para δ = 1/n e M = n,</p><p>n ∈ N, existe tn ∈ [0, 1/n] tal que ∥S(tn)∥ > n. Logo, existe tn → 0+ tal que ∥S(tn)∥ > n, para todo</p><p>n ∈ N. Então, pelo Teorema da Limitação Uniforme (Banach-Steinhauss) existe x ∈ X para o qual</p><p>∥S(tn)x∥ não é limitado para todo n ∈ N, o que é uma contradição com a propriedade (iii) do semigrupo</p><p>S que é suposto de classe C0, o que prova a afirmação dada em (1.3.33). Além disso, notemos que M ≥ 1</p><p>pois ∥S(t)∥ ≤M , para todo t ∈ [0, δ] e, em particular, ∥S(0)∥ = ∥I∥ = 1 ≤M .</p><p>Agora, consideremos t ∈ [0, T ], onde T > 0 é tomado arbitrariamente. Então, t = nδ + r, par</p><p>algum n ∈ N e 0 ≤ r 0</p><p>p(t)</p><p>t</p><p>.</p><p>Demonstração: Pondo-se</p><p>ω0 := inf</p><p>t>0</p><p>p(t)</p><p>t</p><p>,</p><p>temos que ω0 ≥ −∞. Consideremos inicialmente o caso ω0 > −∞. Então, dado ε > 0, existe T = T (ε) ></p><p>0 tal que</p><p>p(T )</p><p>T</p><p>0 tem-se que</p><p>ω0 = lim inf</p><p>t→+∞</p><p>p(t)</p><p>t</p><p>= lim sup</p><p>t→+∞</p><p>p(t)</p><p>t</p><p>,</p><p>e, portanto, segue o desejado.</p><p>Consideremos, agora, o caso ω0 = −∞. Neste caso, para cada real ω, existe T = T (ω) > 0, tal que</p><p>p(T )</p><p>T</p><p>≤ ω.</p><p>Sejam t ∈ R+ e ω ∈ R. Então, existem T = T (ω) > 0 e n ∈ N tais que</p><p>p(T )</p><p>T</p><p>≤ ω e t = nT + r, com 0 ≤ r 0.</p><p>Logo,</p><p>lim inf</p><p>t→+∞</p><p>p(t)</p><p>t</p><p>≤ ω e lim sup</p><p>t→+∞</p><p>p(t)</p><p>t</p><p>≤ ω.</p><p>- 28 -</p><p>1.3 Semigrupos de classe C0</p><p>Pela artitrariedade de ω segue que</p><p>lim</p><p>t→+∞</p><p>p(t)</p><p>t</p><p>= −∞,</p><p>o que encerra a prova.</p><p>2</p><p>Proposição 1.26 Seja S um semigrupo de classe C0. Então:</p><p>lim</p><p>t→+∞</p><p>ln ∥S(t)∥</p><p>t</p><p>= inf</p><p>t>0</p><p>ln ∥S(t)∥</p><p>t</p><p>= ω0, (1.3.44)</p><p>e para cada ω > ω0, existe uma constante M ≥ 1</p><p>tal que</p><p>∥S(t)∥ ≤Meωt, para todo t ≥ 0. (1.3.45)</p><p>Demonstração: Como</p><p>ln ∥S(t+ s)∥ = ln ∥S(t)S(s)∥ ≤ ln ∥S(t)∥ ∥S(s)∥</p><p>= ln ∥S(t)∥+ ln ∥S(s)∥,</p><p>posto que a função logaŕıtmo é crescente, temos que ln ∥S(t)∥ é subaditiva. Pela Proposição 1.22 temos</p><p>que ∥S(t)∥ é limitada em todo intervalo limitado e portanto ln ∥S(t)∥ é limitado superiormente. Logo,</p><p>pondo-se p(t) = ln ∥S(t)∥ tem-se, pelo Lema 1.25, que</p><p>lim</p><p>t→+∞</p><p>ln ∥S(t)∥</p><p>t</p><p>= inf</p><p>t>0</p><p>ln ∥S(t)∥</p><p>t</p><p>= ω0.</p><p>Seja ω > ω0. Afirmamos que existe t0 ∈ R+ tal que</p><p>ln ∥S(t)∥</p><p>t</p><p>0. Logo, pela definição de limite existe t0 ∈ R+ tal</p><p>que ∣∣∣∣ ln ∥S(t)∥t</p><p>− ω0</p><p>∣∣∣∣ 0 e, portanto, de (1.3.46)</p><p>vem que</p><p>ln ∥S(t)∥ 0 em [0, t0] que</p><p>ln ∥S(t)∥ ≤ ω(t− t0) + lnM0, para todo t ≥ 0.</p><p>Assim,</p><p>∥S(t)∥ ≤M0e</p><p>ω(t−t0), para todo t ≥ 0.</p><p>Pondo-se M =M0e</p><p>−ωt0 fica provada a proposição.</p><p>2</p><p>Observação 1.27 Quando ω0 0. Provaremos que S(t)x ∈ D(A), ou seja, que existe o limite</p><p>lim</p><p>h→0+</p><p>(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>S(t)x. (1.3.52)</p><p>Com efeito, sendo h > 0, temos(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>S(t)x =</p><p>(S(t+ h)− S(t))x</p><p>h</p><p>= S(t)</p><p>(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>x. (1.3.53)</p><p>Como x ∈ D(A) temos que</p><p>lim</p><p>h→0+</p><p>(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>x = Ax</p><p>e pelo fato de S(t) ∈ L(X) obtemos de (1.3.53) que</p><p>lim</p><p>h→0+</p><p>S(t)</p><p>(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>x = S(t) lim</p><p>h→0+</p><p>(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>x = S(t)Ax,</p><p>o que nos permite concluir que S(t)x ∈ D(A) e, portanto, pela própria definição de A, temos</p><p>AS(t)x = S(t)Ax.</p><p>Provaremos, agora, que é válida a identidade (1.3.49). De fato, se h > 0 e t > 0 então, pelo que já</p><p>foi visto acima</p><p>d</p><p>dt</p><p>+</p><p>S(t)x = lim</p><p>h→0+</p><p>(S(t+ h)− S(t))x</p><p>h</p><p>= S(t)Ax = AS(t)x. (1.3.54)</p><p>- 31 -</p><p>1.3 Semigrupos de classe C0</p><p>Consideremos, agora, 0 0. (1.3.63)</p><p>- 33 -</p><p>1.3 Semigrupos de classe C0</p><p>Contudo, de (1.3.45) existe C > 0 tal que</p><p>∥S(t)Axn − S(t)y∥ ≤ ∥S(t)∥L(X)∥Axn − y∥ (1.3.64)</p><p>≤ C∥Axn − y∥, para todo t ∈ [0, h].</p><p>De (1.3.62) e (1.3.64) conclúımos que</p><p>S(t)Axn → S(t)y quando n→∞. (1.3.65)</p><p>Assim, de (1.3.62), (1.3.63) e (1.3.65) e do fato que S(h) ∈ L(X) obtemos, na situação limite que</p><p>S(h)x− x =</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>S(t)y dt,</p><p>donde,</p><p>S(h)x− x</p><p>h</p><p>=</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>S(t)y dt.</p><p>Tomando-se o limite na identidade acima quando h → 0+ e observando-se o Teorema da Média</p><p>resulta que x ∈ D(A) e Ax = y, o que conclui a prova.</p><p>2</p><p>Exemplo 1.3.1: Seja S um semigrupo de classe C0, A o gerador infinitesimal de S e λ ∈ C. Então</p><p>S̃(t) := e−λtS(t), t ≥ 0,</p><p>é um semigrupo de classe C0 cujo gerador infinitesimal é (A− λI).</p><p>Com efeito, é claro que para todo t ≥ 0, S̃(t) ∈ L(X) uma vez que S(t) ∈ L(X). Além disso,</p><p>(i) S̃(0) = S(0) = I.</p><p>(ii) S̃(t+ s) = e−λ(t+s)S(t+ s) = e−λte−λsS(t)S(s) = S̃(t)S̃(s).</p><p>(iii)</p><p>∥S̃(t)x− x∥ = ∥e−λtS(t)x− x∥</p><p>≤ ∥e−λtS(t)x− e−λtx∥+ ∥e−λtx− x∥</p><p>= |e−λt| ∥S(t)x− x∥+ |e−λt − 1| ∥x∥ → 0 quando t→ 0+,</p><p>já que o semigrupo S é de classe C0 e, portanto,</p><p>lim</p><p>t→0+</p><p>∥S(t)x− x∥ = 0, como também lim</p><p>t→0+</p><p>|e−λt − 1| = 0.</p><p>Logo, S̃ é um semigrupo de classe C0. Por outro lado, sendo à o gerador infinitesimal de S̃, então,</p><p>D(Ã) =</p><p>{</p><p>x ∈ X; existe o lim</p><p>h→0+</p><p>S̃(h)x− x</p><p>h</p><p>}</p><p>.</p><p>- 34 -</p><p>1.3 Semigrupos</p><p>de classe C0</p><p>Temos, para todo x ∈ X, que</p><p>S̃(h)x− x</p><p>h</p><p>=</p><p>e−λhS(h)x− x</p><p>h</p><p>(1.3.66)</p><p>=</p><p>e−λhS(h)x− e−λhx</p><p>h</p><p>+</p><p>e−λhx− x</p><p>h</p><p>=</p><p>e−λh(S(h)x− x)</p><p>h</p><p>+</p><p>(e−λh − 1)x</p><p>h</p><p>.</p><p>Logo, para todo x ∈ D(Ã) decorre de (1.3.66) que</p><p>S(h)x− x</p><p>h</p><p>= eλh</p><p>(</p><p>S̃(h)x− x</p><p>h</p><p>)</p><p>− eλh</p><p>(</p><p>e−λh − 1</p><p>h</p><p>)</p><p>x→ Ãx+ λx quando h→ 0+,</p><p>uma vez que</p><p>lim</p><p>h→0+</p><p>eλh = 1, lim</p><p>h→0+</p><p>(</p><p>e−λh − 1</p><p>h</p><p>)</p><p>= −λ e lim</p><p>h→0+</p><p>S̃(h)x− x</p><p>h</p><p>= Ãx ( pois x ∈ D(Ã)).</p><p>Desta forma, se x ∈ D(Ã) então, x ∈ D(A), ou seja, D(Ã) ⊂ D(A) e Ax = Ãx + λx, ou ainda,</p><p>Ãx = Ax− λx. Tomando-se, agora, x ∈ D(A), de (1.3.66) vem, de maneira análoga, que</p><p>S̃(h)x− x</p><p>h</p><p>=</p><p>e−λh(S(h)x− x)</p><p>h</p><p>+</p><p>(e−λh − 1)x</p><p>h</p><p>→ Ax− λx, quando h→ 0+,</p><p>ou seja, x ∈ D(Ã), isto é, D(A) ⊂ D(Ã) e Ãx = Ax− λx. Desta forma, conclúımos que D(Ã) = D(A) e</p><p>que Ãx = Ax− λx.</p><p>1.3.1 Exerćıcios</p><p>Exerćıcio 1.3.1 Sejam S1 e S2 semigrupos de classe C0 e A o gerador infinitesimal de S1 e S2. Prove que</p><p>S1 = S2.</p><p>Exerćıcio 1.3.2 As funções exponenciais são exemplos de semigrupos de classe C0 o que decorre do</p><p>Teorema 1.1 e do fato que a convergência uniforme implica a convergência forte. Prove que o gerador</p><p>infinitesimal de etA, A ∈ L(X), é A.</p><p>Exerćıcio 1.3.3 Seja X um espaço de Banach e considere f : (a, b) → X uma função cont́ınua tal que</p><p>f ′+(t) = 0, para todo t ∈ (a, b). Prove que f é constante em (a, b).</p><p>Exerćıcio 1.3.4 (Lema de Dini) Seja X um espaço de Banach e considere f : (a, b) → X uma função</p><p>cont́ınua em (a, b) tal que admite uma derivada à direita f ′+ cont́ınua em (a, b). Prove que f é de classe</p><p>C1(a, b). [Kosaku Yosida - Functional Analysis]</p><p>Exerćıcio 1.3.5 Seja Cb(R) o espaço de Banach das funções uniformemente cont́ınuas e limitadas em R,</p><p>com norma ∥u∥ = sup</p><p>x∈R</p><p>|u(x)|. Consideremos a seguinte aplicação:</p><p>S : R+ → L(Cb(R)),</p><p>definida por</p><p>(S(t)u)(x) = ut(x) = u(x+ t), para todo x ∈ R.</p><p>Prove que:</p><p>- 35 -</p><p>1.3 Semigrupos de classe C0</p><p>• S está bem definida.</p><p>• S(t) é uma isometria.</p><p>• S é um semigrupo de classe C0.</p><p>• Determine o gerador infinitesimal A de S (usar o Lema de Dini - Exer. 1.3.4).</p><p>Exerćıcio 1.3.6 Seja Nt, t > 0, a função definida em Rn por</p><p>Nt(x) = (4πt)−</p><p>n</p><p>2 e−</p><p>∥x∥2</p><p>4t .</p><p>Definamos:</p><p>S : [0,∞)→ L(L2(Rn))</p><p>[S(0)u](x) = u(x), ∀x ∈ Rn,</p><p>[S(t)u](x) = (Nt ∗ u)(x), ∀x ∈ Rn, ∀t > 0.</p><p>Prove que:</p><p>• S está bem definida e que</p><p>∥S(t)u∥L2(Rn) ≤ ∥u∥L2(Rn), ∀u ∈ L2(Rn).</p><p>• Prove que S é um semigrupo de classe C0.</p><p>• Determine o gerador infinitesimal A de S.</p><p>Exerćıcio 1.3.7 Seja S um semigrupo de classe C0 e A seu gerador infinitesimal. Definamos A0 = I,</p><p>A1 = A, e supondo que An−1 esteja definido, definamos An por</p><p>D(An) = {x;x ∈ D(An−1) e An−1x ∈ D(A)},</p><p>Anx = A(An−1x), ∀x ∈ D(A).</p><p>Prove que:</p><p>• D(An) é um subespaço de X e An é um operador linear de X.</p><p>• Se x ∈ D(An) então S(t)x ∈ D(An) para todo t ≥ 0 e</p><p>dn</p><p>dtn</p><p>S(t)x = AnS(t)x = S(t)Anx, ∀n ∈ N.</p><p>• Se x ∈ D(An), prove que é válida a fórmula de Taylor:</p><p>S(t)x =</p><p>n−1∑</p><p>k=0</p><p>(t− a)k</p><p>k!</p><p>AkS(a)x+</p><p>1</p><p>(n− 1)!</p><p>∫ t</p><p>a</p><p>(t− u)n−1AnS(u)x du.</p><p>• Prove que:</p><p>(S(t)− I)nx =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>· · ·</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>S(u1 + · · ·+ un)A</p><p>nx du1 · · · dun, ∀x ∈ D(An).</p><p>• Prove que</p><p>∩</p><p>n</p><p>D(An) é denso em X.</p><p>- 36 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>Nesta seção apresentaremos uma condição necessária e suficiente para que um ope-rador linear A</p><p>seja o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0. Antes, porém, faremos algumas considerações</p><p>iniciais.</p><p>Seja A um operador linear de um espaço de Banach X. O conjunto formado pelos λ ∈ C</p><p>para os quais o operador λI − A é inverśıvel, seu inverso é limitado e densamente definido é dito</p><p>conjunto resolvente de A e é representado por ρ(A). O conjunto σ(A) = C\ρ(A) é denominado o</p><p>espectro de A.</p><p>Se λ ∈ ρ(A), o operador (λI − A)−1 representado por R(λ,A), é dito resolvente de A. Assim,</p><p>R(λ,A) é, por definição, um operador linear e limitado e densamente definido.</p><p>Proposição 1.32 Seja A um operador linear fechado de um espaço de Banach X e consideremos λ ∈</p><p>ρ(A). Então, D(R(λ,A)) = X, e portanto, R(λ,A) é fechado.</p><p>Demonstração: Seja y ∈ X. Sendo D(R(λ,A)) denso em X, existe (yn)n∈N ⊂ D(R(λ,A)) tal que</p><p>yn → y em X. (1.4.67)</p><p>Contudo, para cada cada n ∈ N, existe xn ∈ D(λI −A) tal que</p><p>yn = (λI −A)xn. (1.4.68)</p><p>Por outro lado, para todo x ∈ D(A), temos pela continuidade de R(λ,A), que</p><p>∥x∥ = ∥R(λ,A)(λI −A)x∥ ≤ C1∥(λI −A)x∥,</p><p>onde C1 é uma constante positiva. Logo,</p><p>∥(λI −A)x∥ ≥ C2∥x∥, para todo x ∈ D(A), (1.4.69)</p><p>onde C2 é uma constante positiva. Em particular, para a sequência (xn)n∈N resulta de (1.4.69) que</p><p>∥(λI −A)xn − (λI −A)xm∥ = ∥(λI −A)(xn − xm)∥ (1.4.70)</p><p>≥ C2∥xn − xm∥, para todo m,n ∈ N.</p><p>Assim de (1.4.67) e (1.4.70) resulta que a sequência (xn)n∈N é de Cauchy em X e, portanto, existe</p><p>x ∈ X tal que</p><p>xn → x em X. (1.4.71)</p><p>Mas de (1.4.67) e (1.4.68) decorre que</p><p>(λI −A)xn → y em X. (1.4.72)</p><p>Entretanto, sendo A fechado, (λI −A) também o é e de (1.4.71) e (1.4.72) resulta que</p><p>x ∈ D(A) e (λI −A)x = y,</p><p>ou seja, y ∈ Im(λI −A) = D(R(λ,A)), o que prova que D(R(λ,A)) = X.</p><p>Desta forma, R(λ,A) é um operador cont́ınuo, definido em todo espaço X e, portanto, fechado, o</p><p>- 37 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>que encerra a prova.</p><p>2</p><p>Proposição 1.33 Seja S um semigrupo de classe C0 com gerador infinitesimal A. Se λ ∈ C é tal que</p><p>Reλ > ω0, onde</p><p>ω0 = lim</p><p>t→∞</p><p>ln ∥S(t)∥</p><p>t</p><p>,</p><p>então a integral</p><p>∫∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt existe para todo x ∈ X e λ ∈ ρ(A). Além disso,</p><p>R(λ,A)x =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt, para todo x ∈ X.</p><p>Demonstração: Sejam x ∈ X e λ ∈ C tal que Reλ > ω0. Consideremos Reλ > ω > ω0. Então, de</p><p>(1.3.45) existe M ≥ 1 tal que</p><p>∥S(t)∥ ≤Meωt; para todo t ≥ 0. (1.4.73)</p><p>Segue de (1.4.73) que</p><p>∥e−λtS(t)x∥ ≤ M∥x∥e(−Reλ)teωt (1.4.74)</p><p>= M∥x∥e−(Reλ−ω)t.</p><p>Contudo, a função t ∈ [0,∞) 7→M∥x∥e(−Reλ)teωt ∈ R é cont́ınua e integrável em [0,∞) pois∫ ∞</p><p>0</p><p>M∥x∥e(−Reλ)teωt dt = M∥x∥</p><p>[</p><p>e−(Reλ−ω)t</p><p>−(Reλ− ω)</p><p>]t+∞</p><p>t=0</p><p>(1.4.75)</p><p>=</p><p>M∥x∥</p><p>Reλ− ω</p><p>ω. Ora, sendo a aplicação t ∈ [0,∞) 7→ e−λtS(t)x ∈ X é cont́ınua e, portanto,</p><p>integrável em todo intervalo da forma [0, b], b > 0, resulta dáı, de (1.4.74) e (1.4.75) em virtude do teste</p><p>de Weierstrass que a integral ∫ ∞</p><p>0</p><p>∥e−λtS(t)x∥ dt ω > ω0, o seguinte operador linear de X:</p><p>Rλx =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt.</p><p>De (1.4.74) e (1.4.75) vem que</p><p>∥Rλx∥ ≤</p><p>(</p><p>M</p><p>Reλ− ω</p><p>)</p><p>∥x∥,</p><p>isto é,</p><p>Rλ ∈ L(X) e ∥Rλ∥L(X) ≤</p><p>M</p><p>Reλ− ω</p><p>. (1.4.76)</p><p>- 38 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>Afirmamos que</p><p>lim</p><p>h→0+</p><p>(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>Rλx = λRλx− x, para todo x ∈ X. (1.4.77)</p><p>De fato, seja h > 0. Temos(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>Rλx =</p><p>(</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt</p><p>=</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t+ h)x dt− 1</p><p>h</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt</p><p>=</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ ∞</p><p>h</p><p>e−λ(ξ−h)S(ξ)x dξ − 1</p><p>h</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt</p><p>=</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ ∞</p><p>h</p><p>e−λ(t−h)S(t)x dt+</p><p>1</p><p>h</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>e−λ(t−h)S(t)x dt</p><p>− 1</p><p>h</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>e−λ(t−h)S(t)x dt− 1</p><p>h</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt</p><p>=</p><p>eλh</p><p>h</p><p>∫ ∞</p><p>h</p><p>e−λtS(t)x dt+</p><p>eλh</p><p>h</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt</p><p>−e</p><p>λh</p><p>h</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt− 1</p><p>h</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt</p><p>=</p><p>(</p><p>eλh − 1</p><p>h</p><p>)∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt− eλh</p><p>h</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt,</p><p>ou seja, (</p><p>S(h)− I</p><p>h</p><p>)</p><p>Rλx =</p><p>(</p><p>eλh − 1</p><p>h</p><p>)∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt− eλh</p><p>h</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt. (1.4.78)</p><p>Mas, por L’Hospital,(</p><p>eλh − 1</p><p>h</p><p>)∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt→ λ</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt = λRλx em X quando h→ 0+,</p><p>e pelo Teorema da Média</p><p>eλh</p><p>h</p><p>∫ h</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt→ x em X quando h→ 0+.</p><p>Das convergências acima e de (1.4.78) decorre o desejado em (1.4.77). Resulta dáı que</p><p>Rλx ∈ D(A) e ARλx = λRλx− x, para todo x ∈ X. (1.4.79)</p><p>Assim, de (1.4.79) obtemos</p><p>x = λRλx−ARλx = (λI −A)Rλx, para todo x ∈ X, (1.4.80)</p><p>ou seja, Rλ é o inverso à direita de λI − A. Resta-nos provar que Rλ é também o inverso à esquerda de</p><p>λI −A. Com efeito, seja x ∈ D(A). Então,</p><p>S(t)x ∈ D(A) e AS(t)x = S(t)Ax,</p><p>- 39 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>o que implica que, para λ ∈ C, com Re(λ) > ω > ω0, podemos escrever</p><p>RλAx =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)Axdt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtAS(t)x dt.</p><p>(1.4.81)</p><p>Sendo A um operador linear fechado, segue do teorema que diz (sejam A um operador fechado de</p><p>X, i.é, um operador fechado com domı́nio e imagem contidos em X e f uma função cont́ınua em [a, b], com</p><p>valores em D(A) e tal que Af é cont́ınua em [a, b]. Então,</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(t)dt ∈ D(A) e A</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(t)dt =</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>Af(t)dt)</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtAS(t)x dt = A</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt. (1.4.82)</p><p>Das identidades (1.4.81) e (1.4.82) conclúımos que</p><p>RλAx = ARλx, para todo x ∈ D(A). (1.4.83)</p><p>Finalmente, de (1.4.79) e (1.4.83) chegamos a</p><p>RλAx = λRλx− x; para todo x ∈ D(A),</p><p>isto é,</p><p>x = λRλx−RλAx = Rλ(λI −A)x,</p><p>o que prova que Rλ é o inverso à esquerda de λI −A e, portanto,</p><p>Rλ = (λI −A)−1, para todo λ ∈ C tal que Re(λ) > ω0.</p><p>Consequentemente, (λI − A)−1 existe, é limitado (consequência do Teorema da Aplicação aberta</p><p>e posto que Rλ o é), e, além disso,</p><p>D((λI −A)−1) = D(Rλ) = X,</p><p>de onde resulta que (λI −A)−1 é densamente definido. Desta forma, λ ∈ ρ(A) e</p><p>R(λ,A)x = Rλx =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt, para todo x ∈ X,</p><p>o que encerra a prova.</p><p>2</p><p>Corolário 1.34 Nas mesmas condições da Proposição 1.33, temos</p><p>(i)</p><p>dn</p><p>dλn</p><p>R(λ,A)x = (−1)nn!R(λ,A)n+1x, para todo x ∈ X.</p><p>(ii)</p><p>dn</p><p>dλn</p><p>R(λ,A)x =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λt(−t)nS(t)x dt, para todo x ∈ X.</p><p>Demonstração: (i) Mostraremos inicialmente que</p><p>lim</p><p>µ→λ</p><p>R(µ,A)x = R(λ,A)x, para todo x ∈ X. (1.4.84)</p><p>Seja λ ∈ C tal que Re(λ) > ω1 > ω > ω0 e consideremos uma sequência (µν) ⊂ C tal que µν → λ</p><p>- 40 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>quando ν → +∞ e Re(µν) > ω1. Afirmamos que</p><p>Para cada x ∈ X e t ∈ R+, temos que (1.4.85)</p><p>lim</p><p>ν→+∞</p><p>e−µνtS(t)x = e−λtS(t)x em X.</p><p>Com efeito,</p><p>∥e−µνtS(t)x− e−λtS(t)x∥ = |e−µνt − e−λt|∥S(t)x∥ → 0, quando ν → +∞,</p><p>uma vez que a função exponencial é cont́ınua, o que prova (1.4.85).</p><p>Por outro lado, notemos que de (1.4.74) temos</p><p>∥e−µνtS(t)x∥ = |e−µνt|∥S(t)x∥</p><p>≤ e−Re(µνt)∥S(t)∥L(X)∥x∥</p><p>≤ Me−(Reµν−ω)t∥x∥</p><p>≤ Me−(ω1−ω)t∥x∥.</p><p>Como −(ω1 − ω) 0.</p><p>Logo, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue resulta que</p><p>lim</p><p>ν→∞</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−µνtS(t)x dt︸ ︷︷ ︸</p><p>=R(µν ,A)</p><p>=</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt︸ ︷︷ ︸</p><p>=R(λ,A)</p><p>,</p><p>0 que prova (1.4.84).</p><p>Agora, se Reλ > ω0 e Reµ > ω0, resulta que</p><p>[(λI −A)(µI −A)]−1 = (µI −A)−1(λI −A)−1</p><p>e, como (λI −A)(µI −A) = (µI −A)(λI −A) segue que</p><p>[(λI −A)(µI −A)]−1 = [(µI −A)(λI −A)]−1 = (λI −A)−1(µI −A)−1,</p><p>logo,</p><p>(µI −A)−1(λI −A)−1 = (λI −A)−1(µI −A)−1.</p><p>Desta forma,</p><p>R(λ,A)−R(µ,A) = (λI −A)−1 − (µI −A)−1</p><p>= (µI −A)(µI −A)−1(λI −A)−1 − (λI −A)(λI −A)−1(µI −A)−1</p><p>= [(µI −A)− (λI −A)](λI −A)−1(µI −A)−1</p><p>= (µ− λ)I(λI −A)−1(µI −A)−1</p><p>= (µ− λ)IR(λ,A)R(µ,A).</p><p>- 41 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>Assim, podemos escrever</p><p>R(λ,A)−R(µ,A) = (µ− λ)R(λ,A)R(µ,A),</p><p>o que implica</p><p>R(λ,A)−R(µ,A)</p><p>(µ− λ)</p><p>= R(λ,A)R(µ,A), (µ ̸= λ),</p><p>ou ainda,</p><p>R(µ,A)−R(λ,A)</p><p>(µ− λ)</p><p>= −R(λ,A)R(µ,A), (µ ̸= λ). (1.4.86)</p><p>Seja µ ∈ C tal que µ→ λ. Então, de (1.4.84) e (1.4.86) e tendo em mente que R(λ,A) é cont́ınuo,</p><p>lim</p><p>µ→λ</p><p>[</p><p>R(µ,A)−R(λ,A)</p><p>(µ− λ)</p><p>]</p><p>x = lim</p><p>µ→λ</p><p>[−R(λ,A)R(µ,A)]x</p><p>= −R(λ,A) lim</p><p>µ→λ</p><p>R(µ,A)x = −R(λ,A)2x.</p><p>Portanto,</p><p>d</p><p>dλ</p><p>R(λ,A)x = −R(λ,A)2x, para todo x ∈ X, (1.4.87)</p><p>ficando provado o ı́tem (i) para n = 1. Usaremos indução em n. Para isso, suponhamos a identidade (i)</p><p>válida para n e provemos para n+ 1. Da hipótese indutiva vem que</p><p>dn+1</p><p>dλn+1</p><p>R(λ,A)x =</p><p>d</p><p>dλ</p><p>(</p><p>dn</p><p>dλn</p><p>R(λ,A)</p><p>)</p><p>x (1.4.88)</p><p>=</p><p>d</p><p>dλ</p><p>(</p><p>(−1)nn!R(λ,A)n+1x</p><p>)</p><p>= (−1)nn! d</p><p>dλ</p><p>R(λ,A)n+1x.</p><p>Afirmamos que</p><p>d</p><p>dλ</p><p>R(λ,A)nx = nR(λ,A)n−1 d</p><p>dλ</p><p>R(λ,A)x =︸︷︷︸</p><p>1.4.87</p><p>−nR(λ,A)n+1x. (1.4.89)</p><p>Para n = 1 a identidade (1.4.89) se verifica em vista de (1.4.87). Suponhamos (1.4.89) válido para</p><p>n e provemos para n+ 1. Temos,</p><p>d</p><p>dλ</p><p>R(λ,A)n+1x =</p><p>d</p><p>dλ</p><p>(R(λ,A)R(λ,A)nx)</p><p>=</p><p>d</p><p>dλ</p><p>R(λ,A)R(λ,A)nx+R(λ,A)</p><p>d</p><p>dλ</p><p>R(λ,A)nx</p><p>= −R(λ,A)2R(λ,A)nx+R(λ,A)(−nR(λ,A)n+1x)</p><p>= −R(λ,A)n+2x− nR(λ,A)n+2x</p><p>= −(n+ 1)R(λ,A)n+2x,</p><p>o que prova (1.4.89). Assim, combinando (1.4.88) e (1.4.89) deduzimos</p><p>dn+1</p><p>dλn+1</p><p>R(λ,A)x = (−1)nn! d</p><p>dλ</p><p>R(λ,A)n+1x = (−1)n+1n!(n+ 1)R(λ,A)n+2x</p><p>= (−1)n+1(n+ 1)!R(λ,A)n+2x,</p><p>- 42 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>o que conclui o ı́tem (i).</p><p>(ii) Inicialmente notemos que a função tne−λtS(t)x é cont́ınua como função de λ bem como sua</p><p>derivada em relação à λ que é −tn+1e−λtS(t)x. Além disso, para Re(λ) > ω1 > ω > ω0, temos</p><p>∥tne−λtS(t)x∥ ≤ tn|e−λt|∥S(t)∥L(X)∥x∥ (1.4.90)</p><p>≤ tne−Re(λ)tMeωt∥x∥</p><p>= Mtne−(Re(λ)−ω)t</p><p>≤ Mtne−(ω1−ω)t∥x∥.</p><p>Afirmamos que ∫ ∞</p><p>0</p><p>tne−(ω1−ω)t dt ω > ω0. (1.4.91)</p><p>Com efeito, provaremos por indução em n. Para n = 0 vem que∫ ∞</p><p>0</p><p>e−(ω1−ω)t dt =</p><p>1</p><p>ω1 − ω</p><p>0 e</p><p>consideremos a integral ∫ b</p><p>0</p><p>tn+1e−(ω1−ω)t dt.</p><p>Integrando por partes, obtemos,∫ b</p><p>0</p><p>tn+1︸︷︷︸</p><p>=u</p><p>e−(ω1−ω)t︸ ︷︷ ︸</p><p>=dv</p><p>dt =</p><p>−tn+1e(ω1−ω)t</p><p>ω1 − ω</p><p>∣∣∣∣b</p><p>0</p><p>(1.4.92)</p><p>+</p><p>n+ 1</p><p>ω1 − ω</p><p>∫ b</p><p>0</p><p>tne−(ω1−ω)t dt.</p><p>Note que:</p><p>−tn+1e(ω1−ω)t</p><p>ω1 − ω</p><p>∣∣∣∣b</p><p>0</p><p>=</p><p>−bn+1e−(ω1−ω)b</p><p>ω1 − ω</p><p>,</p><p>e, portanto, por L’Hôpital,</p><p>lim</p><p>b→∞</p><p>−bn+1e−(ω1−ω)b</p><p>ω1 − ω</p><p>=</p><p>−1</p><p>ω1 − ω</p><p>lim</p><p>b→∞</p><p>bn+1</p><p>e(ω1−ω)b</p><p>= 0.</p><p>Além disso, pela hipótese de indução</p><p>lim</p><p>b→∞</p><p>∫ b</p><p>0</p><p>tne−(ω1−ω)t dt ω1 > ω > ω0,</p><p>e ∫ ∞</p><p>0</p><p>Mtne−(ω1−ω)t∥x∥ dt ω1 > ω > ω0, e n = 0, 1, · · · . Sendo assim,∫ ∞</p><p>0</p><p>tn+1e−λtS(t)x dt</p><p>também converge absoluta e uniformemente para Re(λ) > ω1 > ω > ω0 e, portanto, é permitido diferen-</p><p>ciar a integral ∫ ∞</p><p>0</p><p>tne−λtS(t)x dt,</p><p>com respeito à λ para obtermos</p><p>d</p><p>dλ</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>tne−λtS(t)x dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>d</p><p>dλ</p><p>(</p><p>tne−λtS(t)x</p><p>)</p><p>dt (1.4.93)</p><p>= −</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>tn+1e−λtS(t)x dt.</p><p>Passemos, agora, à prova de (ii) que será feita por indução em n. Para n = 0, já foi provado na</p><p>Proposição 1.33 que</p><p>R(λ,A)x =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λtS(t)x dt,</p><p>e, portanto, a expressão é válida. Suponhamos que a fórmula em (ii) seja verdadeira para n e provemos</p><p>para n+ 1. De fato, da hipótese de indução e de (1.4.93) resulta que</p><p>dn+1</p><p>dλn+1</p><p>R(λ,A)x =</p><p>d</p><p>dλ</p><p>(</p><p>dn</p><p>dλn</p><p>R(λ,A)x</p><p>)</p><p>=</p><p>d</p><p>dλ</p><p>(∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λt(−t)nS(t)x dt</p><p>)</p><p>= (−1)n d</p><p>dλ</p><p>(∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λttnS(t)x dt</p><p>)</p><p>= (−1)n(−1)</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>tn+1e−λtS(t)x dt</p><p>=</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λt(−t)n+1S(t)x dt,</p><p>o que encerra a prova.</p><p>2</p><p>Provaremos, a seguir, o principal resultado desta seção, que permite caracterizar o gerador infini-</p><p>tesimal de um semigrupo de classe C0.</p><p>- 44 -</p><p>1.4 O Teorema de Hille-Yosida</p><p>Teorema 1.35 [Hille-Yosida] Para que um operador linear A, definido em D(A) ⊂ X e com valores em</p><p>X, seja o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0 é necessário e suficiente que: (i) A seja</p><p>fechado e seu domı́nio seja denso em X.</p><p>(ii) Existam números reais M e ω tais que para cada real λ > ω se tenha λ ∈ ρ(A) e</p><p>∥R(λ,A)n∥L(X) ≤</p><p>M</p><p>(λ− ω)n</p><p>, para todo n ∈ N.</p><p>Neste caso, ∥S(t)∥L(X) ≤Meωt, t > 0.</p><p>Demonstração:</p><p>(1) Necessidade.</p><p>Suponhamos que um operador linear A : D(A) ⊂ X → X seja o gerador infinitesimal de um</p><p>semigrupo de classe C0. Então, o item (i) do teorema em questão decorre imediatamente da Proposição</p><p>1.31. Provaremos o item (ii). Seja ω > ω0 = limt→∞</p><p>ln∥S(t)∥</p><p>t . Sendo S um semigrupo de classe C0, então,</p><p>de (1.3.45) existe M ≥ 1 tal que</p><p>∥S(t)∥ ≤Meωt, t ≥ 0. (1.4.94)</p><p>Logo, se λ > ω, então, pela Proposição 1.33, λ ∈ ρ(A) e pelo item (i) do Corolário 1.34 temos,</p><p>R(λ,A)nx =</p><p>(−1)n−1</p><p>(n− 1)!</p><p>dn−1</p><p>dλn−1</p><p>R(λ,A)x, para todo x ∈ X,</p><p>que ainda pelo pelo item (ii) do Corolário 1.34 é igual a:</p><p>R(λ,A)nx =</p><p>(−1)n−1</p><p>(n− 1)!</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λt(−t)n−1S(t)x dt (1.4.95)</p><p>=</p><p>1</p><p>(n− 1)!</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−λttn−1S(t)x dt.</p><p>Assim, para cada x ∈ X, de (1.4.94) e (1.4.95) resulta que</p><p>∥R(λ,A)nx∥ ≤ M∥x∥</p><p>(n− 1)!</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>tn−1e−(λ−ω)t dt. (1.4.96)</p><p>Provaremos, a seguir, que</p>Mais conteúdos dessa disciplina
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