provas (58)

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<p>**Explicação:** Usamos a série de Taylor para \( \sin(x) \): \( \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} +</p><p>O(x^5) \). Assim, \( x - \sin(x) = \frac{x^3}{6} + O(x^5) \). Portanto, \( \lim_{x \to 0} \frac{x -</p><p>\sin(x)}{x^3} = \frac{1}{6} \).</p><p>25. Qual é a integral indefinida de \( f(x) = 6x^5 \)?</p><p>a) \( x^6 + C \)</p><p>b) \( x^6 + 1 + C \)</p><p>c) \( \frac{6x^6}{6} + C \)</p><p>d) \( x^6 + C \)</p><p>**Resposta:** a) \( x^6 + C \)</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int 6x^5 \, dx = \frac{6}{6}x^6 + C = x^6 + C \).</p><p>26. Determine o limite: \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>**Resposta:** c) 2</p><p>**Explicação:** O limite é uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Fatoramos o numerador:</p><p>\( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Cancelando \( x - 1 \), obtemos \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \).</p><p>27. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?</p><p>a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)</p><p>b) \( \frac{x}{x^2 + 1} \)</p><p>c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)</p><p>d) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)</p><p>**Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot</p><p>u' \), onde \( u = x^2 + 1 \) e \( u' = 2x \). Portanto, \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x =</p><p>\frac{2x}{x^2 + 1} \).</p><p>28. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) \( \infty \)</p><p>**Resposta:** c) 2</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} =</p><p>k \), temos \( k = 2 \). Assim, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2 \).</p><p>29. Qual é a integral definida de \( f(x) = 3x^2 \) de 1 a 2?</p><p>a) 3</p><p>b) 4</p><p>c) 5</p><p>d) 6</p><p>**Resposta:** d) 6</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \). Avaliando de 1 a 2, temos \( [2^3] -</p><p>[1^3] = 8 - 1 = 7 \).</p><p>30. Determine a derivada de \( f(x) = x^5 - 5x^3 + 4 \).</p><p>a) \( 5x^4 - 15x^2 \)</p><p>b) \( 5x^4 - 15x \)</p><p>c) \( 5x^4 - 15x^3 + 4 \)</p><p>d) \( 5x^4 - 15x^2 + 4 \)</p><p>**Resposta:** a) \( 5x^4 - 15x^2 \)</p><p>**Explicação:** Aplicamos a regra do poder para cada termo: \( f'(x) = 5x^4 - 15x^2 \).</p><p>31. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x^3}{x^2} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>**Resposta:** b) 1</p><p>**Explicação:** Simplificamos a expressão: \( \frac{x^2(1 - x)}{x^2} = 1 - x \). Portanto, \(</p><p>\lim_{x \to 0} (1 - x) = 1 \).</p><p>32. Qual é a integral indefinida de \( f(x) = 5x^4 \)?</p><p>a) \( x^5 + C \)</p><p>b) \( x^5 + 5 + C \)</p><p>c) \( \frac{5x^5}{5} + C \)</p><p>d) \( x^5 + 5x + C \)</p><p>**Resposta:** a) \( x^5 + C \)</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int 5x^4 \, dx = \frac{5}{5}x^5 + C = x^5 + C \).</p><p>33. Determine a derivada de \( f(x) = e^{3x} \).</p><p>a) \( 3e^{3x} \)</p><p>b) \( e^{3x} \)</p><p>c) \( 9e^{3x} \)</p><p>d) \( 6e^{3x} \)</p><p>**Resposta:** a) \( 3e^{3x} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( e^{u} \) é \( e^{u} \cdot u' \),</p><p>onde \( u = 3x \) e \( u' = 3 \). Portanto, \( f'(x) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x} \).</p><p>34. Calcule o limite: \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>**Resposta:** c) 2</p><p>**Explicação:** O limite é uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Fatoramos o numerador:</p><p>\( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Cancelando \( x - 1 \), obtemos \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \).</p><p>35. Determine a integral definida de \( f(x) = 2x + 1 \) de 0 a 3.</p><p>a) 6</p><p>b) 7</p><p>c) 8</p><p>d) 9</p><p>**Resposta:** b) 7</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x \). Avaliando de 0 a 3, temos \(</p><p>[3^2 + 3] - [0^2 + 0] = (9 + 3) - 0 = 12 \).</p><p>36. Qual é a derivada de \( f(x) = \sin(5x) \)?</p><p>a) \( 5\cos(5x) \)</p><p>b) \( \cos(5x) \)</p><p>c) \( 5\sin(5x) \)</p><p>d) \( -5\sin(5x) \)</p><p>**Resposta:** a) \( 5\cos(5x) \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \sin(u) \) é \( \cos(u) \cdot u'</p><p>\), onde \( u = 5x \) e \( u' = 5 \). Portanto, \( f'(x) = \cos(5x) \cdot 5 = 5\cos(5x) \).</p><p>37. Calcule o limite: \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{4x^2 - x} \).</p><p>a) \( \frac{1}{2} \)</p><p>b) \( \frac{1}{4} \)</p><p>c) 1</p><p>d) \( \infty \)</p><p>**Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \)</p><p>**Explicação:** Dividimos todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \). Assim, temos \(</p><p>\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{4 - \frac{1}{x}} = \frac{2 + 0}{4 - 0} = \frac{2}{4} =</p><p>\frac{1}{2} \).</p><p>38. Qual é a integral indefinida de \( f(x) = 7x^6 \)?</p><p>a) \( x^7 + C \)</p><p>b) \( \frac{7x^7}{7} + C \)</p><p>c) \( x^7 + 7 + C \)</p><p>d) \( 7x^7 + C \)</p><p>**Resposta:** b) \( \frac{7x^7}{7} + C \)</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int 7x^6 \, dx = \frac{7}{7}x^7 + C = x^7 + C \).</p><p>39. Determine a derivada de \( f(x) = \tan(3x) \).</p>