Álgebra Linear Algorítmica-Prova Final-20102

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<p>Prova Final�2010/2</p><p>1.1 Considere o sistema</p><p>x+ 2y + z = b</p><p>3x+ 5y + 2z = 2b</p><p>4x+ ay + 3z = 2 + b</p><p>Determine os valores de a e b para os quais:</p><p>(a) o sistema é determinado, indeterminado ou impossível;</p><p>(b) o conjunto solução do sistema é um subespaço de R3.</p><p>1.2 Determine a matriz da transformação linear de R2 que corresponde à rotação anti-</p><p>horária de um ângulo de π/6 graus seguida da projeção sobre a reta y = 5x.</p><p>2.1 Considere a transformação T : R5 → R4 cuja matriz relativa à base canônica é</p><p>A =</p><p></p><p>1 0 2 0 −1</p><p>0 1 3 0 2</p><p>0 0 0 3 9</p><p>1 0 2 0 −1</p><p></p><p>.</p><p>Determine:</p><p>(a) uma base e a dimensão do núcleo de T ;</p><p>(b) uma base e a dimensão da imagem de T ;</p><p>(c) o complemento ortogonal do núcleo de T .</p><p>2.2 Seja R a re�exão de R3 que transforma o vetor (1, 3, 2) em (3, 2, 1).</p><p>(a) Determine o plano de re�exão (o espelho).</p><p>(b) Determine a matriz de R na base canônica.</p><p>Page 26</p><p>3.1 Considere a matriz A =</p><p></p><p>1 2</p><p>2 4</p><p>3 6</p><p> .</p><p>(a) Calcule os autovalores e autovetores de B = AAt.</p><p>(b) A matriz B é diagonalizável?</p><p>(c) Determine, se existir, uma matriz ortogonal Q tal que QBQt seja uma matriz</p><p>diagonal.</p><p>3.2 Seja R a rotação de eixo ` = (1, 1, 1) que leva o vetor u1 = (1, 0, 0) em u2 = (0, 1, 0).</p><p>(a) Qual a relação entre u1 − u2 e `?</p><p>(b) Calcule R(u1 − u2) e use isto para achar a matriz de R na base canônica.</p><p>(c) Calcule R18.</p><p>Page 27</p>