Aula 16 - Análise combinatória Permutação Parte II

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<p>Análise combinatória: Permutação – Parte II</p><p>Matemática</p><p>3o bimestre – Aula 16</p><p>Ensino Médio</p><p>2a</p><p>SÉRIE</p><p>2024_EM_V1</p><p>Permutações com repetição.</p><p>Compreender como a presença de elementos repetidos influencia o número total de permutações possíveis;</p><p>Resolver problemas práticos que envolvam a organização e a contagem de permutações com elementos repetidos.</p><p>Nesta aula, veremos como calcular a quantidade de permutações quando há elementos repetidos.</p><p>Conteúdo</p><p>Objetivos</p><p>2024_EM_V1</p><p>(EM13MAT310) Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.</p><p>São 3 letras, o que levaria, a princípio, a 3! = 3 · 2 · 1 = 6 anagramas.</p><p>São eles:</p><p>ASA, AAS, SAA, SAA, ASA, AAS</p><p>Esses anagramas são distintos?</p><p>Não, pois há anagramas repetidos.</p><p>São distintos: ASA, AAS e SAA.</p><p>Ou seja, a palavra ASA tem 3 anagramas.</p><p>Quais são os anagramas da palavra ASA?</p><p>CONTINUA</p><p>VIREM E CONVERSEM</p><p>5 MINUTOS</p><p>Para começar</p><p>2024_EM_V1</p><p>São 5 letras, sendo 3 A’s e 2 R’s.</p><p>Observe que permutar as letras iguais não vai gerar novos anagramas.</p><p>Por isso, dividimos o total de permutações (n!) pelo produto entre as permutações dos elementos repetidos.</p><p>5 letras (5!): 3 A’s (3!) e 2 R’s (2!)</p><p>A palavra arara tem 10 anagramas.</p><p>Quantos são os anagramas da palavra ARARA?</p><p>Dica: Observe o valor do fatorial mais alto no denominador para simplificar o numerador sem desenvolver todo o fatorial.</p><p>Para começar</p><p>2024_EM_V1</p><p>Permutação com repetição</p><p>A fórmula para o cálculo das permutações simples (n!) é uma versão simplificada dessa fórmula da permutação com repetição, pois como todos os elementos devem ser distintos, o denominador é igual a 1!, ou seja, 1.</p><p>Foco no conteúdo</p><p>2024_EM_V1</p><p>Um anagrama é formado pela troca de posição das letras de uma palavra, podendo ou não ter significado na língua de origem.</p><p>Em alguns casos, pode haver elementos repetidos.</p><p>Quantos são os anagramas da palavra:</p><p>A) CARRO?</p><p>B) ANAGRAMA?</p><p>C) BANANA?</p><p>Atividade 1</p><p>Na prática</p><p>2024_EM_V1</p><p>Correção: Atividade 1</p><p>Na prática</p><p>2024_EM_V1</p><p>Em uma prova composta de 10 questões de verdadeiro ou falso, de quantas maneiras distintas um estudante pode responder:</p><p>7 questões como verdadeiras e 3 questões como falsas?</p><p>6 questões como verdadeiras e 4 questões como falsas?</p><p>5 questões como verdadeiras e 5 questões como falsas?</p><p>Atividade 2</p><p>Dica: Considere a sequência de respostas como uma palavra de 10 letras formada por V ou F, havendo repetição.</p><p>Na prática</p><p>2024_EM_V1</p><p>Correção: Atividade 2</p><p>Em uma prova composta de 10 questões de verdadeiro ou falso, de quantas maneiras distintas um</p><p>estudante pode responder:</p><p>Na prática</p><p>2024_EM_V1</p><p>Um aluno encontrou 20 como resposta em um site como mostrado ao lado. Em grupos, façam o que se pede:</p><p>Calculem essa quantidade usando a fórmula.</p><p>Em quantas dessas maneiras há 3 livros de Matemática lado a lado? Calculem.</p><p>De quantas maneiras podemos organizar 3 livros de Português e 3 livros de Matemática em uma prateleira?</p><p>https://www.economaster.com.br/geradores/gerador-anagrama/</p><p>TODO MUNDO ESCREVE</p><p>10 MINUTOS</p><p>Aplicando</p><p>2024_EM_V1</p><p>Correção: De quantas maneiras podemos organizar 3 livros de Português e 3 livros de Matemática em uma prateleira?</p><p>CONTINUA</p><p>Aplicando</p><p>2024_EM_V1</p><p>Correção: De quantas maneiras podemos organizar 3 livros de Português e 3 livros de Matemática em uma prateleira?</p><p>CONTINUA</p><p>Aplicando</p><p>2024_EM_V1</p><p>Permutação simples</p><p>BOCA: 24 anagramas</p><p>Correção: C) Proponham uma atividade em que esse site</p><p>poderia ser usado na aula sobre permutação com exemplos de:</p><p>Permutação com uma repetição</p><p>BOLO: 12 anagramas</p><p>Permutação com mais de</p><p>uma repetição</p><p>CANECA: 120 anagramas</p><p>Aplicando</p><p>2024_EM_V1</p><p>Professor, aqui apresentamos uma proposta em que os alunos devem indicar palavras com cada uma das categorias. Porém, a criação da atividade fica a critério de cada grupo, sendo importante verificar se o site foi utilizado e dar sugestões várias de metodologias que poderiam ser usadas nessa atividade, auxiliando os alunos a compreender os diversos tipos de problemas envolvendo anagramas e permutação de uma forma geral.</p><p>59</p><p>120</p><p>119</p><p>118</p><p>60</p><p>CONTINUA</p><p>5 MINUTOS</p><p>MOSTRE-ME</p><p>ENEM 2020 (Digital) – Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as sete letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @. O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem. Ele sabe que o e-mail eduardo@site.com.br já foi criado por outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado. De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado?</p><p>Aprofundando</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>2024_EM_V1</p><p>Correção: ENEM 2020 (Digital) – Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as sete letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @. O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem. Ele sabe que o e-mail eduardo@site.com.br já foi criado por outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado.</p><p>De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado?</p><p>59</p><p>120</p><p>119</p><p>118</p><p>60</p><p>Aprofundando</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>2024_EM_V1</p><p>(Unicamp – 2021) O número de anagramas da palavra REFLORESTAMENTO que começam com a sequência FLORES é:</p><p>5 MINUTOS</p><p>MOSTRE-ME</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>Aprofundando</p><p>2024_EM_V1</p><p>Correção: (Unicamp – 2021) O número de anagramas da palavra</p><p>REFLORESTAMENTO que começam com a sequência FLORES é:</p><p>Identificando “flores” como um bloco:</p><p>REFLORESTAMENTO</p><p>Posicionando no inicio da palavra, tem-se:</p><p>FLORESRETAMENTO</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>Aprofundando</p><p>2024_EM_V1</p><p>Compreendemos como a presença de elementos repetidos influencia o número total de permutações possíveis;</p><p>Resolvemos problemas práticos que envolvam a organização e a contagem de permutações com elementos repetidos.</p><p>O que aprendemos hoje?</p><p>2024_EM_V1</p><p>LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista. São Paulo, 2019.</p><p>Referências</p><p>2024_EM_V1</p><p>Lista de imagens e vídeos</p><p>Imagem de capa: SEDUC</p><p>Slides 3, 4, 8, 14, 16 e 18 - © Freepik.</p><p>Slides 10 a 13 – Economaster. Disponível em: https://www.economaster.com.br/geradores/gerador-anagrama/html/anagram-generator.html. Acesso em: 18 jun. 2024</p><p>Slide 14 – INEP. Disponível em: https://download.inep.gov.br/enem/provas_e_gabaritos/2020_PV_digital_D2_CD7.pdf. Acesso em: 18 jun. 2024.</p><p>Slide 16 – Comvest. Disponível em: https://www.comvest.unicamp.br/vest2021/F1/f12021E_G.pdf. Acesso em: 18 jun. 2024.</p><p>Referências</p><p>2024_EM_V1</p><p>2024_EM_V1</p><p>image4.png</p><p>image3.png</p><p>image1.png</p><p>image7.png</p><p>image2.png</p><p>image23.png</p><p>image11.png</p><p>image15.png</p><p>image10.png</p><p>image13.png</p><p>image17.png</p><p>image14.jpg</p><p>image20.png</p><p>image19.png</p><p>image27.png</p><p>image22.png</p><p>image24.png</p><p>image16.png</p><p>image26.png</p><p>image42.png</p><p>image18.png</p><p>image29.png</p><p>image25.png</p><p>image39.png</p><p>image50.png</p><p>image45.png</p><p>image33.png</p><p>image34.jpg</p><p>image32.png</p><p>image31.png</p><p>image30.png</p><p>image46.png</p><p>image37.png</p><p>image40.png</p><p>image48.png</p><p>image38.png</p><p>image47.png</p><p>image51.png</p><p>image52.png</p><p>image43.png</p><p>image44.png</p><p>image49.png</p><p>image41.png</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p>