matematica na pratica b hir

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<p>d) \( 5x^5 - 2x^3 + 2x + C \)</p><p>**Resposta:** a) \( x^5 - x^3 + 2x + C \)</p><p>**Explicação:** Aplicando a regra da potência, temos: \( \int 5x^4 \, dx = x^5 \), \( \int -</p><p>3x^2 \, dx = -x^3 \), e \( \int 2 \, dx = 2x \). Portanto, a integral total é \( x^5 - x^3 + 2x + C \).</p><p>13. Encontre a derivada da função \( f(x) = e^{2x} \cos(x) \).</p><p>a) \( e^{2x}(\cos(x) - 2\sin(x)) \)</p><p>b) \( 2e^{2x} \cos(x) \)</p><p>c) \( e^{2x}(-\sin(x) - 2\cos(x)) \)</p><p>d) \( e^{2x}(\sin(x) + 2\cos(x)) \)</p><p>**Resposta:** a) \( e^{2x}(\cos(x) - 2\sin(x)) \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do produto: \( (uv)' = u'v + uv' \). Aqui, \( u = e^{2x} \) e \(</p><p>v = \cos(x) \). Temos \( u' = 2e^{2x} \) e \( v' = -\sin(x) \). Assim, \( f'(x) = 2e^{2x} \cos(x) +</p><p>e^{2x}(-\sin(x)) = e^{2x}(\cos(x) - 2\sin(x)) \).</p><p>14. Calcule \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \).</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) 3</p><p>d) 0</p><p>**Resposta:** c) 3</p><p>**Explicação:** O limite resulta em uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Podemos</p><p>fatorar o numerador: \( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \). Assim, temos \( \lim_{x \to 1} x^2 + x +</p><p>1 = 3 \).</p><p>15. Qual é a integral definida \( \int_0^1 (2x^3 + 3x^2) \, dx \)?</p><p>a) \( \frac{1}{2} \)</p><p>b) \( \frac{1}{3} \)</p><p>c) \( \frac{1}{4} \)</p><p>d) \( \frac{1}{6} \)</p><p>**Resposta:** b) \( \frac{1}{4} \)</p><p>**Explicação:** A integral indefinida é \( \int (2x^3 + 3x^2) \, dx = \frac{1}{2}x^4 + x^3 + C</p><p>\). Avaliando de 0 a 1: \( [\frac{1}{2}(1)^4 + (1)^3] - [0] = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \).</p><p>16. Qual é a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)?</p><p>a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)</p><p>b) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \)</p><p>c) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)</p><p>d) \( \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \)</p><p>**Resposta:** a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \sqrt{u} \) é \(</p><p>\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \). Aqui, \( u = x^2 + 1 \) e \( u' = 2x \). Assim, \( f'(x) =</p><p>\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}(2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \).</p><p>17. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).</p><p>a) 1</p><p>b) 0</p><p>c) \( e \)</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta:** a) 1</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental para a função exponencial.</p><p>Temos \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = e^0 = 1 \).</p><p>18. Qual é a integral \( \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx \)?</p><p>a) \( x^3 + x^2 + x + C \)</p><p>b) \( 3x^3 + x^2 + x + C \)</p><p>c) \( x^3 + x^2 + 1 + C \)</p><p>d) \( 3x^3 + 2x^2 + x + C \)</p><p>**Resposta:** a) \( x^3 + x^2 + x + C \)</p><p>**Explicação:** Aplicando a regra da potência, temos: \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), \( \int 2x</p><p>\, dx = x^2 \), e \( \int 1 \, dx = x \). Portanto, a integral total é \( x^3 + x^2 + x + C \).</p><p>19. Determine a derivada da função \( f(x) = \tan(x) \).</p><p>a) \( \sec^2(x) \)</p><p>b) \( \sin(x) \)</p><p>c) \( \cos^2(x) \)</p><p>d) \( \sec(x) \)</p><p>**Resposta:** a) \( \sec^2(x) \)</p><p>**Explicação:** A derivada da tangente é uma regra padrão: \( \frac{d}{dx}(\tan(x)) =</p><p>\sec^2(x) \).</p><p>20. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x^2}{3x^3 - 4} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) \( \frac{5}{3} \)</p><p>d) \( \infty \)</p><p>**Resposta:** c) \( \frac{5}{3} \)</p><p>**Explicação:** Dividimos o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x \), que</p><p>é \( x^3 \): \( \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{3 - \frac{4}{x^3}} = \frac{5 + 0}{3 - 0} =</p><p>\frac{5}{3} \).</p><p>21. Qual é a derivada da função \( f(x) = x^3 \ln(x) \)?</p><p>a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \)</p><p>b) \( 3x^2 \ln(x) + x^3 \)</p><p>c) \( 3x^2 \)</p><p>d) \( 3x^2 \ln(x) + 3x^2 \)</p><p>**Resposta:** a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do produto: \( (uv)' = u'v + uv' \). Aqui, \( u = x^3 \) e \( v =</p><p>\ln(x) \). Temos \( u' = 3x^2 \) e \( v' = \frac{1}{x} \). Assim, \( f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^3 \cdot</p><p>\frac{1}{x} = 3x^2 \ln(x) + x^2 \).</p><p>22. Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \).</p><p>a) 2</p><p>b) 1</p><p>c) 0</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta:** a) 2</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} =</p><p>k \), onde \( k = 2 \), temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\sin(2x)}{2x} = 2 \cdot 1 = 2 \).</p><p>23. Qual é a integral definida \( \int_1^3 (4x + 2) \, dx \)?</p><p>a) 10</p><p>b) 12</p><p>c) 20</p><p>d) 8</p><p>**Resposta:** b) 12</p><p>**Explicação:** A integral indefinida é \( \int (4x + 2) \, dx = 2x^2 + 2x + C \). Avaliando de</p><p>1 a 3: \( [2(3^2) + 2(3)] - [2(1^2) + 2(1)] = [18 + 6] - [2 + 2] = 24 - 4 = 20 \).</p><p>24. Qual é a derivada da função \( h(x) = \frac{1}{x^2} \)?</p><p>a) \( -\frac{2}{x^3} \)</p><p>b) \( \frac{2}{x^3} \)</p><p>c) \( -\frac{1}{x^3} \)</p><p>d) \( \frac{1}{x^3} \)</p><p>**Resposta:** a) \( -\frac{2}{x^3} \)</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do poder. A derivada de \( x^{-2} \) é \( -2x^{-3} = -</p><p>\frac{2}{x^3} \).</p><p>25. Determine a integral \( \int (6x^5 + 2x^3) \, dx \).</p><p>a) \( x^6 + \frac{1}{2}x^4 + C \)</p><p>b) \( 6x^6 + \frac{1}{2}x^4 + C \)</p><p>c) \( 6x^6 + \frac{1}{4}x^4 + C \)</p><p>d) \( x^6 + 2x^4 + C \)</p><p>**Resposta:** a) \( x^6 + \frac{1}{2}x^4 + C \)</p><p>**Explicação:** Aplicando a regra da potência, temos: \( \int 6x^5 \, dx = x^6 \) e \( \int</p><p>2x^3 \, dx = \frac{1}{2}x^4 \). Portanto, a integral total é \( x^6 + \frac{1}{2}x^4 + C \).</p><p>26. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1} \).</p><p>a) 4</p>