exericicos para aprendizado swj

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<p>b) 2</p><p>c) 4</p><p>d) 6</p><p>**Resposta: b) 2**</p><p>**Explicação:** Primeiro, calculamos a integral indefinida:</p><p>\( \int (x^3 - 3x + 2) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \).</p><p>Avaliando de 0 a 2, temos:</p><p>\( \left[\frac{1}{4}(2^4) - \frac{3}{2}(2^2) + 2(2)\right] - [0] = \left[4 - 6 + 4\right] = 2 \).</p><p>26. Determine o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>**Resposta: d) 3**</p><p>**Explicação:** Podemos fatorar o numerador: \( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \). Assim, o</p><p>limite se torna \( \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 1 + 1 + 1 = 3 \).</p><p>27. Qual é a derivada de \( f(x) = x^5 - 4x^3 + x \)?</p><p>a) \( 5x^4 - 12x^2 + 1 \)</p><p>b) \( 5x^4 - 12x^3 + 1 \)</p><p>c) \( 4x^5 - 12x^2 + 1 \)</p><p>d) \( 5x^4 - 3x^2 + 1 \)</p><p>**Resposta: a) \( 5x^4 - 12x^2 + 1 \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra de potência para derivar cada termo:</p><p>A derivada de \( x^5 \) é \( 5x^4 \),</p><p>de \( -4x^3 \) é \( -12x^2 \), e</p><p>de \( x \) é \( 1 \). Portanto, a derivada total é \( 5x^4 - 12x^2 + 1 \).</p><p>28. Calcule a integral indefinida \( \int (2x^3 + 3x^2 - 4) \, dx \).</p><p>a) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \)</p><p>b) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 + 4x + C \)</p><p>c) \( x^4 + x^3 - 4x + C \)</p><p>d) \( x^4 + 3x^2 - 4 + C \)</p><p>**Resposta: a) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \)**</p><p>**Explicação:** Para calcular a integral, aplicamos a regra de potência:</p><p>\( \int 2x^3 \, dx = \frac{1}{2}x^4 \),</p><p>\( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), e</p><p>\( \int -4 \, dx = -4x \). Portanto, a integral total é \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \).</p><p>29. Qual é a derivada de \( f(x) = \sin(2x) \)?</p><p>a) \( 2\cos(2x) \)</p><p>b) \( \cos(2x) \)</p><p>c) \( 2\sin(2x) \)</p><p>d) \( \sin(2x) \)</p><p>**Resposta: a) \( 2\cos(2x) \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \sin(u) \) é \( \cos(u) \cdot u'</p><p>\). Aqui, \( u = 2x \) e \( u' = 2 \). Portanto, a derivada é \( 2\cos(2x) \).</p><p>30. Determine a integral definida \( \int_2^5 (x^2 - 4) \, dx \).</p><p>a) 6</p><p>b) 7</p><p>c) 8</p><p>d) 9</p><p>**Resposta: a) 6**</p><p>**Explicação:** Primeiro, calculamos a integral indefinida:</p><p>\( \int (x^2 - 4) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - 4x + C \).</p><p>Avaliando de 2 a 5, temos:</p><p>\( \left[\frac{1}{3}(5^3) - 4(5)\right] - \left[\frac{1}{3}(2^3) - 4(2)\right] = \left[\frac{125}{3} -</p><p>20\right] - \left[\frac{8}{3} - 8\right] = \left[\frac{125}{3} - \frac{60}{3}\right] - \left[\frac{8}{3} -</p><p>\frac{24}{3}\right] = \frac{65}{3} + \frac{16}{3} = \frac{81}{3} = 27 \).</p><p>31. Qual é o valor de \( \int_0^1 (12x^2 - 6x + 1) \, dx \)?</p><p>a) 1</p><p>b) 2</p><p>c) 3</p><p>d) 4</p><p>**Resposta: a) 1**</p><p>**Explicação:** Primeiro, calculamos a integral indefinida:</p><p>\( \int (12x^2 - 6x + 1) \, dx = 4x^3 - 3x^2 + x + C \).</p><p>Avaliando de 0 a 1, temos:</p><p>\( [4(1)^3 - 3(1)^2 + 1] - [0] = [4 - 3 + 1] = 2 \).</p><p>32. Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(x^2) \)?</p><p>a) \( -2x\sin(x^2) \)</p><p>b) \( -\sin(x^2) \)</p><p>c) \( 2x\cos(x^2) \)</p><p>d) \( -2\sin(x^2) \)</p><p>**Resposta: a) \( -2x\sin(x^2) \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \cos(u) \) é \( -\sin(u) \cdot u'</p><p>\). Aqui, \( u = x^2 \) e \( u' = 2x \). Portanto, a derivada é \( -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)</p><p>\).</p><p>33. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) \( e \)</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: b) 1**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental que afirma que \( \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{e^x - 1}{x} = 1 \).</p><p>34. Determine a integral indefinida \( \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx \).</p><p>a) \( x^5 - x^3 + 2x + C \)</p><p>b) \( \frac{5}{5}x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 2x + C \)</p><p>c) \( 5x^5 - 3x^3 + 2x + C \)</p><p>d) \( x^5 - x^3 + 2x + C \)</p><p>**Resposta: a) \( x^5 - x^3 + 2x + C \)**</p><p>**Explicação:** Para calcular a integral, aplicamos a regra de potência:</p><p>\( \int 5x^4 \, dx = x^5 \),</p><p>\( \int -3x^2 \, dx = -x^3 \), e</p><p>\( \int 2 \, dx = 2x \). Portanto, a integral total é \( x^5 - x^3 + 2x + C \).</p><p>35. Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \)?</p><p>a) \( \frac{2x}{x^2} \)</p><p>b) \( \frac{1}{x^2} \)</p><p>c) \( \frac{x^2 - 1}{x^2} \)</p><p>d) \( \frac{(2x)(x) - (x^2 + 1)(1)}{x^2} \)</p><p>**Resposta: d) \( \frac{(2x)(x) - (x^2 + 1)(1)}{x^2} \)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do quociente:</p><p>Se \( u = x^2 + 1 \) e \( v = x \), então \( f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).</p><p>Aqui, \( u' = 2x \) e \( v' = 1 \). Portanto,</p><p>\( f'(x) = \frac{(2x)(x) - (x^2 + 1)(1)}{x^2} = \frac{2x^2 - (x^2 + 1)}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} \).</p><p>36. Calcule a integral definida \( \int_1^3 (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx \).</p><p>a) 4</p><p>b) 6</p><p>c) 8</p><p>d) 10</p><p>**Resposta: b) 6**</p><p>**Explicação:** Primeiro, calculamos a integral indefinida:</p><p>\( \int (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x + C \).</p><p>Avaliando de 1 a 3, temos:</p><p>\( \left[\frac{1}{2}(3^4) - (3^3) + 4(3)\right] - \left[\frac{1}{2}(1^4) - (1^3) + 4(1)\right] =</p><p>\left[\frac{1}{2}(81) - 27 + 12\right] - \left[\frac{1}{2}(1) - 1 + 4\right] = \left[40.5 - 27 +</p><p>12\right] - \left[0.5 - 1 + 4\right] = 25.5 - 3.5 = 22 \).</p>