Lista - Numeros primos

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MAT034 - A´lgebra A - Lista de problemas 2
Bhalchandra D. Thatte, Departamento de Matema´tica, UFMG
bhalchandra@mat.ufmg.br
September 4, 2013
Primos
Seja P := {2, 3, 5, . . .} o conjunto dos primos. Prove as afirmac¸o˜es ou resolva os problemas
seguintes.
1. (Teorema de Euclid) Existem infinitos de primos.
2. Para cada n ∈ N, existe n inteiros consecutivos positivos que na˜o sa˜o primos. (Considere
x, x + 1, . . . , x + n− 1, onde x = (n + 1)! + 2. Prove que esses inteiros na˜o sa˜o primos.)
3. Para qualquer primos distintos p1, p2, . . . , pk, existe um primo diferente de p1, p2, . . . , pk.
4. Cada inteiro da forma 3n + 2 tem um fator primo da mesma forma.
5. Fac¸a a lista de todos triplos n, n + 2, n + 4 tal que n, n + 2, n + 4 sa˜o primos.
6. O u´nico primo da forma n3 − 1 e´ 7.
7. O u´nico primo p tal que 3p + 1 e´ inteiro quadrado e´ 5.
8. O u´nico primo da forma n2 − 4 e´ 5.
9. Se p ∈ P e p | an, enta˜o pn | an.
10. Seja mdc(a, b) = p ∈ P. Quais sa˜o as possibilidades para mdc(a2, b2), mdc(a2, b), e mdc(a3, b2).
11. Para cada n ∈ Z+, n > 1, o inteiro n4 + 4 e´ composto (na˜o e´ primo).
12. Se n > 4 e´ composto, n | (n− 1)!.
13. Se n ∈ Z+, enta˜o 8n + 1 e´ composto.
14. Fac¸a a lista dos fatores primos de 50!.
15. Seja p, q ∈ P, p ≥ q ≥ 5. Enta˜o 24 | p2 − q2.
16. Se 2k − 1 e´ primo e k > 2, enta˜o k na˜o e´ par.
17. Se n ∈ Z e n > 1 e n na˜o e´ da forma 6k + 3 enta˜o n2 + 2n e´ composto.
18. Se n ∈ Z, n > 1 e´ inteiro quadrado, enta˜o cada expoente de primo na fatorac¸a˜o de n e´ par.
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