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MAT034 - A´lgebra - A - Problemas 1 Bhalchandra D. Thatte Departamento de Matema´tica, UFMG bhalchandra@mat.ufmg.br August 23, 2013 Conjuntos e lo´gica Sejam A e B conjuntos tais que |A| = n, |B| = m, m,n ∈ N. 1. Calcule |∅|. 2. Calcule |∅ × ∅|. 3. Calcule P(∅) := 2∅, onde no´s usamos a notac¸a˜o P(S) ou 2S para o conjunto dos subcon- juntos de S ou conjunto das partes de S (powerset em ingleˆs)). 4. Calcule |2∅|, |2A|. 5. Calcule {f : ∅ → ∅}. 6. Calcule {f : ∅ → ∅ | f e´ bijec¸a˜o}. 7. Calcule |{f : A→ B}|. 8. Qual e´ o valor de 0!? 9. Qual e´ o valor de 00? 10. Qual e´ o conjunto D0 de permutac¸o˜es cao´ticas de ∅? 11. Qual e´ a cardinalidade de D0? 12. Qual e´ o conjunto de partic¸o˜es de ∅? 13. Qual e´ o valor de B0? (Usamos a notac¸a˜o Bn, n ∈ N para o nu´mero de Bell, isso e´, o nu´mero de partic¸o˜es de um conjunto de cardinalidade n.) 14. Sejam I = ∅ e U o conjunto universo. Prove que ∪i∈IAi = ∅ e ∩i∈IAi = U . Quais sa˜o os valores de ∑ i∈I ai, ∏ i∈I ai, e 2 ( ∑ i∈I ai)? 1 15. Fac¸a a negac¸a˜o de (∀� ∈ R, � > 0) (∃δ ∈ R, δ > 0) (∀n ∈ N, n > δ) (|an − a| < �). Fac¸a a negac¸a˜o de a negac¸a˜o. Escreva a afirmac¸a˜o acima e a sua negac¸a˜o em portugueˆs. Construa um exemplo de sequencia an tal que a afirmac¸a˜o acima e´ verdadeira e deˆ um exemplo de sequencia an tal que a afirmac¸a˜o acima na˜o e´ verdadeira. 16. Sejam an, n = 1, 2, . . . uma sequencia em R e a ∈ R. Justifique se as proposic¸o˜es seguintes sa˜o verdadeiras ou falsas em geral: (∀� ∈ R, � > 0) (∃δ ∈ R, δ > 0) (∀n ∈ N, n > δ) (|an − a| < �) =⇒ (∃δ ∈ R, δ > 0) (∀� ∈ R, � > 0) (∀n ∈ N, n > δ) (|an − a| < �) e (∃δ ∈ R, δ > 0) (∀� ∈ R, � > 0) (∀n ∈ N, n > δ) (|an − a| < �) =⇒ (∀� ∈ R, � > 0) (∃δ ∈ R, δ > 0) (∀n ∈ N, n > δ) (|an − a| < �) 17. Fac¸a converso, negac¸a˜o e contrapositivo da afirmac¸a˜o: Para cada inteiro positivo n, se 22 n−1 e´ primo enta˜o n e´ primo. Escreva todas essas afirmac¸o˜es em s´ımbolos (e.g., ∀, ∃, N, e P para o conjunto dos primos) e em portugueˆs. Coeficiente binomial 1. Prove a identidade de Pascal ( n+1 k ) = ( n k ) + ( n k−1 ) , 0 ≤ k ≤ n sem usando a formula para o coeficiente binomial. (Assuma que ( n k ) = 0 quando n < k ou k < 0.) 2. Prove a formula ( n k ) = n! (n− k)!k! , 0 ≤ k ≤ n usando a identidade de Pascal e o me´todo de induc¸a˜o na varia´vel n+ k. 3. Qual e´ o nu´mero de soluc¸o˜es da equac¸a˜o x1+x2+· · ·+xk = n, 0 < k ≤ n, tal que ∀i xi > 0. 4. Prove teorema binomial (a+ b)n = n∑ k=0 ( n k ) an−kbk, n ≥ 0 usando a identidade de Pascal e o me´todo de induc¸a˜o (e na˜o usando a formula para coeficiente binomial). 5. Prove que n∑ k=0 ( n k ) = 2n em duas maneiras: usando o teorema binomial e pela enumerac¸a˜o. 2
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