Para resolver a questão, precisamos calcular a produção total da mina de cobre após 5 anos, utilizando a função de taxa de produção \( R(t) = 50te^{0,1t} \) e a relação \( D[P(t)] = R(t) \). 1. Encontrar a produção total \( P(t) \): A produção total \( P(t) \) é dada pela integral da taxa de produção \( R(t) \): \[ P(t) = \int R(t) \, dt = \int 50te^{0,1t} \, dt \] 2. Calcular a integral: Para resolver a integral, podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir: - \( u = t \) → \( du = dt \) - \( dv = 50e^{0,1t} dt \) → \( v = \frac{50}{0,1} e^{0,1t} = 500e^{0,1t} \) Aplicando a fórmula de integração por partes \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \): \[ P(t) = t \cdot 500e^{0,1t} - \int 500e^{0,1t} \, dt \] A integral de \( 500e^{0,1t} \) é: \[ \int 500e^{0,1t} \, dt = \frac{500}{0,1} e^{0,1t} = 5000e^{0,1t} \] Portanto, temos: \[ P(t) = 500te^{0,1t} - 5000e^{0,1t} + C \] 3. Determinar a constante \( C \): Sabemos que \( P(0) = 0 \): \[ P(0) = 500(0)e^{0} - 5000e^{0} + C = 0 \implies C = 5000 \] Assim, a função de produção total é: \[ P(t) = 500te^{0,1t} - 5000e^{0,1t} + 5000 \] 4. Calcular \( P(5) \): Agora, substituímos \( t = 5 \): \[ P(5) = 500(5)e^{0,5} - 5000e^{0,5} + 5000 \] \[ P(5) = 2500e^{0,5} - 5000e^{0,5} + 5000 \] \[ P(5) = -2500e^{0,5} + 5000 \] 5. Calcular o valor numérico: Usando \( e^{0,5} \approx 1,6487 \): \[ P(5) \approx -2500(1,6487) + 5000 \approx -4121,75 + 5000 \approx 878,25 \] Assim, a produção da mina 5 anos após o início da produção é aproximadamente 878 mil toneladas. Portanto, a alternativa correta é: d) 878 mil toneladas.