Aula Extra 03 - Séries Temporais Modelo Clássico

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<p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle</p><p>Externo) Estatística</p><p>Autor:</p><p>Equipe Exatas Estratégia</p><p>Concursos</p><p>25 de Abril de 2024</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>Índice</p><p>..............................................................................................................................................................................................1) Séries Temporais 3</p><p>..............................................................................................................................................................................................2) Modelo Clássico 6</p><p>..............................................................................................................................................................................................3) Tendência 15</p><p>..............................................................................................................................................................................................4) Suavização Exponencial 25</p><p>..............................................................................................................................................................................................5) Operadores 29</p><p>..............................................................................................................................................................................................6) Estacionariedade 32</p><p>..............................................................................................................................................................................................7) Funções de Autocovariância e Autocorrelação 33</p><p>..............................................................................................................................................................................................8) Modelos Arima 34</p><p>..............................................................................................................................................................................................9) Questões Comentadas - Séries Temporais - Multibancas 67</p><p>..............................................................................................................................................................................................10) Questões Comentadas - Modelo Clássico - Multibancas 68</p><p>..............................................................................................................................................................................................11) Questões Comentadas - Tendência - Multibancas 77</p><p>..............................................................................................................................................................................................12) Questões Comentadas - Suavização Exponencial - Multibancas 89</p><p>..............................................................................................................................................................................................13) Questões Comentadas - Modelos ARIMA - Multibancas 91</p><p>..............................................................................................................................................................................................14) Lista de Questões - Séries Temporais - Multibancas 144</p><p>..............................................................................................................................................................................................15) Lista de Questões - Modelo Clássico - Multibancas 146</p><p>..............................................................................................................................................................................................16) Lista de Questões - Tendência - Multibancas 151</p><p>..............................................................................................................................................................................................17) Lista de Questões - Suavização Exponencial - Multibancas 158</p><p>..............................................................................................................................................................................................18) Lista de Questões - Modelos ARIMA - Multibancas 160</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>2</p><p>178</p><p>SÉRIES TEMPORAIS</p><p>Uma série temporal é um conjunto de observações ordenadas no tempo, como os índices diários da bolsa</p><p>de valores; os valores mensais de temperatura de uma cidade; a precipitação atmosférica mensal de uma</p><p>cidade; o registro de marés em um porto; etc.</p><p>Vamos supor que estivéssemos medindo a temperatura do ar ao longo do dia, durante vários instantes 𝑡,</p><p>com 𝑡 variando de 0 a 24 horas. Em certo dia, obtivemos o seguinte gráfico:</p><p>Nos outros dias da semana, foram obtidos outros gráficos, como os indicados a seguir:</p><p>Um processo estocástico é um processo controlado pelas leis da probabilidade, que pode ser visto como</p><p>um conjunto de todas as possíveis trajetórias que se pode observar de uma variável. Uma série temporal</p><p>é uma trajetória ou parte de uma trajetória, dentre as muitas que podem ter sido observadas.</p><p>10</p><p>12</p><p>14</p><p>16</p><p>18</p><p>20</p><p>22</p><p>24</p><p>26</p><p>28</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24</p><p>Temperatura</p><p>seg</p><p>10</p><p>12</p><p>14</p><p>16</p><p>18</p><p>20</p><p>22</p><p>24</p><p>26</p><p>28</p><p>30</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24</p><p>Temperatura</p><p>seg ter quarta quinta sexta</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>3</p><p>178</p><p>Portanto, cada linha nos fornece uma possível trajetória da variável temperatura ao longo do dia. Cada</p><p>trajetória é uma sucessão de valores ordenados no tempo, chamada de série temporal. Assim, a</p><p>temperatura no instante t é designada pela variável 𝑍(𝑡).</p><p>A série temporal é contínua se as observações são obtidas continuamente em um determinado intervalo</p><p>de tempo [0,T]. Por outro lado, a série temporal é discreta se o intervalo de observações pertence a um</p><p>conjunto discreto, ou seja, as observações são realizadas em intervalos de tempo específicos.</p><p>Nos exemplos iniciais, temos 3 casos de séries temporais discretas (índices diários da bolsa de valores,</p><p>temperatura e precipitação atmosférica mensal) e 1 caso de série temporal contínua (o registro de marés</p><p>em um porto).</p><p>A periodicidade das observações pode ser diária, semanal, mensal, trimestral, anual e decenal,</p><p>dependendo do caso em estudo. Determinadas variáveis, porém, por serem mais voláteis, podem exigir</p><p>períodos mais curtos, como a hora ou o minuto.</p><p>O objetivo da análise de séries temporais é descobrir os padrões de comportamento (crescimento e</p><p>mudança) nas variáveis estudadas, buscando entender o relacionamento histórico entre as observações,</p><p>para fins de previsibilidade de valores futuros da série em consideração.</p><p>Uma série temporal é dita estacionária quando ela se desenvolve aleatoriamente em torno de uma média</p><p>constante, exibindo comportamento estatístico similar ao longo do tempo. Além disso, apresenta sempre a</p><p>mesma distribuição de probabilidades no tempo (mesma média, variância, etc).</p><p>Na prática, contudo, as séries costumam ser não estacionárias, isto é, apresentar uma tendência de</p><p>crescimento ou decrescimento ao longo do tempo. Em geral, as séries econômicas apresentam tendências.</p><p>Por exemplo, quando a série se desenvolve em torno de uma reta, dizemos que há uma tendência linear.</p><p>Por fim, algumas séries não estacionárias podem apresentar comportamento explosivo. Os modelos ARIMA</p><p>são capazes de descrever séries estacionárias e não estacionárias que apresentem um comportamento não</p><p>explosivo.</p><p>Equipe Exatas Estratégia</p><p>correlação entre 𝑍𝑡 e 𝑍𝑡−2 é dada por: 𝜌(2) = −𝜃21 + 𝜃12 + 𝜃22</p><p>Substituindo os valores 𝜃1 = −0,2 e 𝜃2 = −0,4, temos: 𝜌(2) = −(−0,4)1 + (−0,2)2 + (−0,4)2</p><p>𝜌(2) = 0,41,2</p><p>𝜌(2) = 13</p><p>Alternativa E: Correta.</p><p>A função de correlação entre 𝑍𝑡 , 𝑍𝑡−1 é dada por: 𝜌(1) = −𝜃1 + 𝜃1𝜃21 + 𝜃12 + 𝜃22</p><p>Substituindo os valores 𝜃1 = −0,2 e 𝜃2 = −0,4, temos: 𝜌(1) = −(−0,2) + (−0,2) × (−0,4)1 + (−0,2)2 + (−0,4)2</p><p>𝜌(1) = 0,281,2</p><p>𝜌(1) = 28120 𝜌(1) = 730</p><p>Gabarito: E.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>49</p><p>178</p><p>Modelos Autorregressivos de Médias Móveis (ARMA)</p><p>O modelo ARMA é basicamente a mistura dos processos Autorregressivos AR(p) e Médias Móveis MA(q). 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜙2𝑍𝑡−2 +⋯+𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 − 𝜃1𝜀𝑡−1 − 𝜃2𝜀𝑡−2 −⋯− 𝜃𝑞𝜀𝑡−𝑞 𝑍𝑡 × (1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2 −⋯− 𝜙𝑝𝐵𝑝) = 𝛿 + (1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2 −⋯− 𝜃𝑞𝐵𝑞) × 𝜀𝑡 𝝓(𝑩) × 𝒁𝒕 = 𝜹 + 𝜽(𝑩) × 𝜺𝒕</p><p>O modelo ARMA(p,q) será estacionário se as raízes do polinômio 𝜙(𝐵) = 0 estiverem fora do círculo</p><p>unitário.</p><p>O modelo ARMA(p,q) será invertível se as raízes do polinômio 𝜃(𝐵) = 0 estiverem fora do círculo unitário.</p><p>Para ARMA(1,1) o processo será estacionário e invertível se |𝜙1| 1</p><p>A função de autocorrelação do modelo ARMA(1,1) é dada por:</p><p>𝜌(1) = 𝛾(1)𝛾(0) = (𝜙1 − 𝜃1)(1 − 𝜙1𝜃1)1 − 2𝜙1𝜃1 + 𝜃12</p><p>𝜌(𝜏) = 𝛾(𝜏)𝛾(0) = 𝜙1𝜏−1 × 𝜌(1), 𝜏 > 1</p><p>As questões que exploram o assunto de modelos autorregressivos de médias móveis normalmente</p><p>abordam apenas os modelos de ordem 1, ARMA(1,1).</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>51</p><p>178</p><p>Modelo Autorregressivo de Médias Móveis de Ordem 1 - ARMA(1,1) 𝒁𝒕 = 𝜹 + 𝝓𝟏𝒁𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕 − 𝜽𝟏𝜺𝒕−𝟏</p><p>Medida Fórmulas</p><p>Média Incondicional 𝐸(𝑍𝑡) = 𝛿(1 − 𝜙1)</p><p>Variância incondicional 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = (1 − 2𝜙1𝜃1 + 𝜃121 − 𝜙12 ) × 𝜎2</p><p>Função de Autocovariância</p><p>(FACV)</p><p>• 𝝉 = 𝟎: 𝛾(0) = (1 − 2𝜙1𝜃1 + 𝜃121 − 𝜙12 )× 𝜎2</p><p>• 𝝉 = 𝟏: 𝛾(1) = (𝜙1 − 𝜃1) (1 − 𝜙1𝜃11 − 𝜙12 ) × 𝜎2</p><p>• 𝝉 > 𝟏: 𝛾(𝜏) = 𝜙1𝜏−1 × 𝛾(1)</p><p>Função de Autocorrelação</p><p>(FAC)</p><p>• 𝝉 = 𝟏: 𝜌(1) = 𝛾(1)𝛾(0) = (𝜙1 − 𝜃1)(1 − 𝜙1𝜃1)1 − 2𝜙1𝜃1 + 𝜃12</p><p>• 𝝉 > 𝟏: 𝜌(𝜏) = 𝜙1𝜏−1 × 𝜌(1)</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>52</p><p>178</p><p>(CESPE/ABIN/2018) A quantidade demandada por certo produto no instante t é representada por 𝑿𝒕, em</p><p>que 𝒕 ∈ 𝒁 = ⋯ ,−𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, …, e 𝑿𝒕 segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 − 𝟐𝒂𝒕−𝟏, na</p><p>qual 𝒂𝒕 e 𝒂𝒕−𝟏 representam ruídos aleatórios com média nula e variância unitária.</p><p>A respeito dessa situação, julgue o item subsequente.</p><p>A média do processo 𝑿𝒕 é igual a 10.</p><p>Comentários:</p><p>Estamos diante de um processo autorregressivo de médias móveis, ARMA(1,1). Esses modelos são</p><p>estacionários quando as raízes do polinômio característico 𝜙(𝐵) se localizam fora do círculo unitário. No</p><p>modelo dado no enunciado, temos: 1 − 𝜙1𝐵 = 0 1 − 0,5𝑥 = 0 𝑥 = 10,5 𝑥 = 2</p><p>Portanto, a série é estacionária. Logo, temos que 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(𝑋𝑡−1) = 𝜇.</p><p>Além disso, por se tratar de um ruído branco, temos também que 𝐸(𝑎𝑡) = 0.</p><p>Assim, podemos substituir no processo: 𝑋𝑡 = 10 + 0,5𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 2𝑎𝑡−1 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(10 + 0,5𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 2𝑎𝑡−1) 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(10) + 0,5𝐸(𝑋𝑡−1) + 𝐸(𝑎𝑡) − 2𝐸(𝑎𝑡−1) 𝜇 = 10 + 0,5𝜇 + 0 − 2 × 0 0,5𝜇 = 10 𝜇 = 100,5 𝜇 = 20</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>(FCC/TRT 2ª Região/2018) No modelo ARMA(1,1), ou seja, 𝒚𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟐𝒚𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕 + 𝟎, 𝟖𝜺𝒕−𝟏, em que 𝜺𝒕</p><p>é um ruído branco de média nula e variância unitária, obtém-se que a variância de 𝒚𝒕 é igual a</p><p>a) 41/24</p><p>b) 25/12</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>53</p><p>178</p><p>c) 49/24</p><p>d) 9/4</p><p>e) 3/4</p><p>Comentários:</p><p>Na presente questão, estamos diante de um modelo ARMA(1,1), o qual é expresso por meio do seguinte</p><p>processo: 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜙2𝑍𝑡−2 +⋯+𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 − 𝜃1𝜀𝑡−1 − 𝜃2𝜀𝑡−2 −⋯− 𝜃𝑞𝜀𝑡−𝑞</p><p>A variância incondicional do modelo ARMA(1,1) é expressa por: 𝜎2 = (1 + 2𝜙𝜃 + 𝜃2)𝜎𝜀2(1 − 𝜙2)</p><p>Identificando os termos temos: 𝑦𝑡 = 10 + 0,2𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡 + 0,8𝜀𝑡−1 𝛿 = 10 𝜙1 = 0,2 𝜃1 = −0,8 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡) 𝑜𝑢 𝜎𝜀2 = 1</p><p>Assim, substituindo os valores, temos: 𝜎2 = (1 − 2𝜙𝜃 + 𝜃2)𝜎𝜀2(1 − 𝜙2)</p><p>𝜎2 = (1 − 2 × 0,2 × (−0,8) + (−0,8)2) × 1(1 − 0,22)</p><p>𝜎2 = 1,960,96 = 4924</p><p>Gabarito: C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>54</p><p>178</p><p>Modelos Autorregressivos Integrados de Médias Móveis (ARIMA)</p><p>Os modelos ARIMA (do inglês auto-regressive integrated moving average) são modelos estatísticos</p><p>lineares que correspondem à classe mais geral de modelos para análise de séries temporais. Eles são ditos</p><p>autorregressivos, integrados e de médias móveis.</p><p>O modelo ARIMA(p, d, q) basicamente generaliza o modelo ARMA, tornando o processo estacionário por</p><p>meio de operações diferenças. A série temporal que necessita ser diferenciada para se tornar estacionária</p><p>é dita integrada. No modelo ARIMA (p, d, q), temos que:</p><p>• 𝑝 é o número de termos autorregressivos;</p><p>• 𝑑 é o número de diferenciações para que a série se torne estacionária;</p><p>• 𝑞 é o número termos de médias móveis.</p><p>Portanto, os modelos ARIMA(p, d, q) podem ser aplicados tanto a dados estacionários quanto não</p><p>estacionários. Se os dados indicarem uma não estacionaridade, realizamos a sua diferenciação, para</p><p>transformar a série não estacionária em uma série estacionária.</p><p>Assim, fazemos uma diferenciação de primeira ordem(∇) se a série estiver crescendo a uma taxa constante</p><p>e uma diferenciação de segunda ordem (∇2) se a série estiver a crescendo a uma taxa crescente. Se após a</p><p>segunda diferenciação a série ainda não se tornar estacionária, podemos realizar novas diferenciações: 𝑊𝑡 = 𝛻𝑑𝑍𝑡 = (1 − 𝐵)𝑑𝑍𝑡 𝑊𝑡 = 𝛿 + 𝜙1 ×𝑊𝑡−1⏟𝐵𝑊𝑡 + 𝜙2 ×𝑊𝑡−2⏟𝐵2𝑊𝑡 +⋯+ 𝜙𝑝 ×𝑊𝑡−𝑝⏟ 𝐵𝑝𝑊𝑡 + 𝜀𝑡 − 𝜃1 𝜀𝑡−1⏟𝐵𝜀𝑡 − 𝜃2 𝜀𝑡−2⏟𝐵2𝜀𝑡 −⋯− 𝜃𝑞 𝜀𝑡−𝑞⏟𝐵𝑝𝜀𝑡</p><p>𝑊𝑡 × (1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2 −⋯− 𝜙𝑝𝐵𝑝) = 𝛿 + (1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2 −⋯− 𝜃𝑞𝐵𝑞) × 𝜀𝑡 𝑊𝑡 × 𝜙(𝐵) = 𝛿 + 𝜃(𝐵) × 𝜀𝑡 𝜵𝒅𝒁𝒕 ×𝝓(𝑩) = 𝜹 + 𝜽(𝑩) × 𝜺𝒕</p><p>Por fim, é importante notarmos que os modelos autorregressivos e os modelos de suavização exponencial</p><p>(isto é, de médias móveis exponenciais ponderadas) são casos especiais de modelos ARIMA.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>55</p><p>178</p><p>(FCC/TRT 20ª Região/2016) Sejam f(k) e h(k), 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …, respectivamente, as funções de</p><p>autocorrelação e autocorrelação parcial de um modelo ARIMA(p,d,q).</p><p>Considere as seguintes afirmações:</p><p>I. No modelo ARIMA(0,d,1), a região de admissibilidade do modelo é −𝟏 𝟐.</p><p>III. No modelo ARIMA(1,d,1) f(k) decai exponencialmente após 𝒌 = 𝟏 e h(k) é dominada por senoides</p><p>amortecidas após 𝒌 = 𝟏.</p><p>IV. No modelo ARIMA(1,d, 0) ,𝒇(𝟏) = 𝝓, onde 𝝓 é o parâmetro autorregressivo do modelo.</p><p>Está correto o que se afirma APENAS em</p><p>a) I, III e IV.</p><p>b) II, III e IV.</p><p>c) II e III.</p><p>d) I e IV.</p><p>e) I, II e IV.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos analisar cada uma das afirmações:</p><p>Afirmação I: Correta.</p><p>Dentre as séries temporais, os modelos autorregressivos integrados de médias móveis, ARIMA (p,d,q),</p><p>constituem uma generalização do modelo autorregressivo de médias móveis (ARMA), em que os</p><p>parâmetros p, d e q são números inteiros não negativos, p é o número de defasagens do modelo</p><p>autorregressivo; d é o grau de diferenciação; e q é a ordem do modelo de média móvel.</p><p>Portanto, podemos descrever todos os modelos vistos anteriormente utilizando a nomenclatura ARIMA,</p><p>isto é:</p><p>- ARIMA(p,0,0) = AR(p);</p><p>- ARIMA(0,0,q) = MA(q);</p><p>- ARIMA(p,0,q) = ARMA(p,q).</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>56</p><p>178</p><p>A equação do modelo ARIMA (p, d, q) é expressa por: 𝛻𝑑𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜙1 × 𝛻𝑑𝑍𝑡−1⏟ 𝐵𝑊𝑡 + 𝜙2 × 𝛻𝑑𝑍𝑡−2⏟ 𝐵2𝑊𝑡 +⋯+𝜙𝑝 × 𝛻𝑑𝑍𝑡−𝑝⏟ 𝐵𝑝𝑊𝑡 + 𝜀𝑡 − 𝜃1 𝜀𝑡−1⏟𝐵𝜀𝑡 − 𝜃2 𝜀𝑡−2⏟𝐵2𝜀𝑡 −⋯− 𝜃𝑞 𝜀𝑡−𝑞⏟𝐵𝑝𝜀𝑡</p><p>Para o modelo ARIMA (0,d,1), temos: 𝛻𝑑𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜀𝑡 − 𝜃1 𝜀𝑡−1⏟𝐵𝜀𝑡</p><p>𝛻𝑑𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜀𝑡 × (1 − 𝜃1𝐵) 𝛻𝑑𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜀𝑡 × 𝜃(𝐵)</p><p>Logo, esse modelo será admitido quando tivermos: −1</p><p>de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>61</p><p>178</p><p>𝑴𝑴 = ∑ 𝒁𝒕𝒌𝒊=𝒕−𝒌𝒌</p><p>SUAVIZAÇÃO EXPONENCIAL</p><p>A equação de suavização exponencial é:</p><p>�̅�𝒕 = 𝜶 × 𝒁𝒕 + (𝟏 − 𝜶) × �̅�𝒕−𝟏, �̅�𝟎 = 𝒁𝟏, 𝒕 = 𝟏,⋯ ,𝑵,</p><p>OPERADORES</p><p>Translação para o Passado</p><p>O operador de translação para o passado (𝑩) desloca o índice de tempo para trás (retarda) em uma</p><p>unidade. A letra 𝑩 vem do inglês "backward shift operator".</p><p>Definição Símbolos e Fórmulas</p><p>o operador de translação para o passado a</p><p>uma variável no tempo 𝑡, definida como 𝑍𝑡 𝑩𝒁(𝒕) = 𝒁(𝒕 − 𝟏) 𝑩𝒁𝒕 = 𝒁𝒕−𝟏</p><p>Translação para o passado para mais de um</p><p>período 𝑩𝒏𝒁𝒕 = 𝒁𝒕−𝒏</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>62</p><p>178</p><p>Translação para o Futuro</p><p>O operador de translação para o futuro (𝑭) desloca o índice de tempo para frente em uma unidade. A</p><p>letra 𝑭 vem do inglês "forward shift operator".</p><p>Definição Símbolos e Fórmulas</p><p>o operador de translação para o futuro a</p><p>uma variável no tempo 𝑡, definida como 𝑍𝑡 𝑭𝒁(𝒕) = 𝒁(𝒕 + 𝟏) 𝑭𝒁𝒕 = 𝒁𝒕+𝟏</p><p>Translação para o futuro para mais de um</p><p>período 𝑭𝒏𝒁𝒕 = 𝒁𝒕+𝒏</p><p>Diferença</p><p>Definição Símbolos e Fórmulas</p><p>O operador de diferença (∇) retorna a diferença entre dois valores</p><p>consecutivos da série temporal. Alguns autores empregam a letra</p><p>grega Δ (delta) em vez do símbolo ∇ (nabla ou del).</p><p>∇𝒁𝒕 = 𝒁𝒕 − 𝒁𝒕−𝟏</p><p>podemos escrever o operador de diferença da seguinte forma: ∇ = 𝟏 − 𝑩</p><p>o operador de diferença de ordem 𝑛 é definido como: ∇𝒏 = (𝟏 − 𝑩)𝒏</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>63</p><p>178</p><p>ESTACIONARIEDADE</p><p>Gráfico Definição</p><p>Uma série temporal é estacionária quando ela se desenvolve no tempo,</p><p>de modo aleatório, ao redor de uma média constante, refletindo, assim,</p><p>alguma forma de equilíbrio estável.</p><p>Uma série temporal é não-estacionária quando apresenta uma mudança</p><p>de nível e/ou inclinação, no gráfico temos uma série temporal com</p><p>tendência de crescimento linear, apontada pela reta na cor vermelha.</p><p>FUNÇÕES DE AUTOCOVARIÂNCIA E AUTOCORRELAÇÃO</p><p>MODELOS ARIMA</p><p>Os modelos autorregressivos integrados de médias móveis (ARIMA, do inglês autoregressive integrated</p><p>moving average) podem ser ajustados aos dados de uma série temporal para que possamos entender melhor</p><p>os dados dessa série ou para prever seus valores futuros.</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>• Descreve a covariância entre duas variáveis 𝒁𝒕𝟏 e 𝒁𝒕𝟐 do processo em dois instantes,</p><p>sendo representada por 𝜸(𝒕𝟏, 𝒕𝟐).• 𝜸 𝒕𝟏, 𝒕𝟐 = 𝑪𝒐𝒗 𝒁𝒕𝟏 , 𝒁𝒕𝟐 = 𝑬 𝒁𝒕𝟏 − 𝑬 𝒁𝒕𝟏 × 𝒁𝒕𝟐 − 𝑬 𝒁𝒕𝟐</p><p>• A funcão de autocovariância para processos estacionários é função apenas do tempo de</p><p>atraso (𝒍𝒂𝒈)𝝉.• 𝜸 𝝉 = 𝑪𝒐𝒗 𝒁𝒕+𝝉, 𝒁𝒕 = 𝑪𝒐𝒗 𝒁𝒕, 𝒁𝟎 .</p><p>Função de autocovariância (FACV)</p><p>• É uma função somente de 𝝉.• 𝝆 𝝉 = 𝜸(𝝉)𝜸(𝟎)</p><p>Função de autocorrelação</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>64</p><p>178</p><p>Modelos Autorregressivos (AR)</p><p>Modelo Autorregressivo de Ordem 1: 𝒁𝒕 = 𝜹 +𝝓𝟏𝒁𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕</p><p>Modelo Autorregressivo de Ordem 2: 𝒁𝒕 = 𝜹 +𝝓𝟏𝒁𝒕−𝟏 +𝝓𝟐𝒁𝒕−𝟐 + 𝜺𝒕</p><p>Após aplicar o operador ou polinômio autorregressivo estacionário de ordem p representado por 𝝓(𝑩): 𝒁𝒕 ×𝝓(𝑩) = 𝜹 + 𝜺𝒕</p><p>Modelo Autorregressivo de Ordem 1 - AR(1) 𝒁𝒕 = 𝜹 +𝝓𝟏𝒁𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕</p><p>Modelos de Médias Móveis (MA)</p><p>Modelo de Médias Móveis de Ordem 1 - MA(1) 𝒁𝒕 = 𝝁 + 𝜺𝒕 − 𝜽𝟏𝜺𝒕−𝟏</p><p>Modelo de Médias Móveis de Ordem 2 - MA(2) 𝒁𝒕 = 𝝁 + 𝜺𝒕 − 𝜽𝟏𝜺𝒕−𝟏 − 𝜽𝟐𝜺𝒕−𝟐</p><p>Modelo de Médias Móveis de Ordem q - MA(q) 𝒁𝒕 = 𝝁 + 𝜺𝒕 − 𝜽𝟏𝜺𝒕−𝟏 − 𝜽𝟐𝜺𝒕−𝟐 −⋯− 𝜽𝒒𝜺𝒕−𝒒</p><p>Modelos Autorregressivos de Médias Móveis (ARMA)</p><p>O modelo ARMA é basicamente a mistura dos processos Autorregressivos AR(p) e Médias Móveis MA(q). 𝝓(𝑩) × 𝒁𝒕 = 𝜹 + 𝜽(𝑩) × 𝜺𝒕</p><p>Modelo Autorregressivo de Médias Móveis de Ordem 1 - ARMA(1,1) 𝒁𝒕 = 𝜹 +𝝓𝟏𝒁𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕 − 𝜽𝟏𝜺𝒕−𝟏</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>65</p><p>178</p><p>Modelos Autorregressivos Integrados de Médias Móveis (ARIMA)</p><p>Os modelos ARIMA (do inglês auto-regressive integrated moving average) são modelos estatísticos lineares</p><p>que correspondem à classe mais geral de modelos para análise de séries temporais. Eles são ditos</p><p>autorregressivos, integrados e de médias móveis.</p><p>𝜵𝒅𝒁𝒕 ×𝝓(𝑩) = 𝜹 + 𝜽(𝑩) × 𝜺𝒕</p><p>Identificação do Modelo pela Função de Autocorrelação</p><p>Modelo Autorregressivo de Ordem 1 - AR(1)</p><p>(a) 𝒁𝒕 = 𝟎, 𝟗 × 𝒁𝒕−𝟏 (b) 𝒁𝒕 = −𝟎, 𝟗 × 𝒁𝒕−𝟏</p><p>Modelo de Médias Móveis de Ordem 1 - MA(1) Modelo de Médias Móveis de Ordem 2 - MA(2) 𝒁𝒕 = 𝜺𝒕 − 𝟎, 𝟖 × 𝜺𝒕−𝟏 𝒁𝒕 = 𝜺𝒕 − 𝟎, 𝟖 × 𝜺𝒕−𝟏 − 𝟎, 𝟕 × 𝜺𝒕−𝟐</p><p>Modelo Autorregressivo de Médias Móveis de Ordem 1 - ARMA(1,1) 𝒁𝒕 = 𝟎, 𝟗 × 𝒁𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕 − 𝟎, 𝟖 × 𝜺𝒕−𝟏 𝒁𝒕 = −𝟎, 𝟗 × 𝒁𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕 − 𝟎, 𝟖 × 𝜺𝒕−𝟏</p><p>-1</p><p>1</p><p>ρ(τ)</p><p>-2</p><p>0</p><p>2</p><p>ρ(τ)</p><p>-1</p><p>1</p><p>ρ(τ)</p><p>-1</p><p>1</p><p>ρ(τ)</p><p>-1,000</p><p>1,000</p><p>ρ(τ)</p><p>-1,000</p><p>1,000</p><p>ρ(τ)</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>66</p><p>178</p><p>QUESTÕES COMENTADAS</p><p>Séries Temporais</p><p>1. (IADES/SEAP-DF/2014) Uma série temporal é qualquer conjunto de observações ordenadas no tempo.</p><p>Acerca das séries temporais, assinale a alternativa correta.</p><p>a) As séries temporais não podem ser contínuas nem discretas.</p><p>b) Os modelos utilizados para descrever séries temporais não são controlados por fatores probabilísticos.</p><p>c) Os modelos utilizados para descrever séries temporais são processos estocásticos, isto é, processos</p><p>controlados por leis probabilísticas.</p><p>d) Um conjunto de observações ordenadas no tempo não é uma série temporal.</p><p>e) Um conjunto de índices diários da bolsa de valores não é um exemplo de série temporal.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos analisar cada alternativa:</p><p>Alternativa A: Incorreta. Não há nenhuma restrição quanto ao tipo de dado, podendo ser discreto ou</p><p>contínuo. Por exemplo, a série temporal da produção mensal de painéis solares no Brasil será constituída</p><p>por dados discretos. Por outro lado, a série temporal da variação das alturas das marés será constituída por</p><p>dados contínuos.</p><p>Alternativa B: Incorreta. Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias representando a</p><p>evolução de um sistema de valores com o tempo, ou seja, uma série temporal. É a contraparte probabilística</p><p>de um processo determinístico. Ao invés de um processo que possui um único modo de evoluir, em um</p><p>processo estocástico há uma indeterminação: mesmo que se conheça a condição inicial, existem várias, por</p><p>vezes infinitas, direções nas quais o processo pode evoluir.</p><p>Alternativa C: Correta. De fato, os modelos utilizados para descrever séries temporais são processos</p><p>estocásticos, isto é, processos controlados por leis probabilísticas.</p><p>Alternativa D: Incorreta. É exatamente o contrário - um conjunto de observações ordenadas no tempo é uma</p><p>série temporal.</p><p>Alternativa D: Incorreta. Uma série temporal é um conjunto de observações ordenadas no tempo. Os preços</p><p>das ações são observações de valores negociados de forma sequencial em determinado período (dias, horas,</p><p>minutos). Portanto, esses dados podem ser vistos como uma série temporal.</p><p>Gabarito: C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>67</p><p>178</p><p>QUESTÕES COMENTADAS</p><p>Modelo Clássico</p><p>1. (FUNDATEC/Pref. de Porto Alegre/2020) Qual método de previsão de Séries Temporais deve ser</p><p>utilizado quando temos tendência e sazonalidade presentes nos dados?</p><p>a) Decomposição.</p><p>b) Média Móvel.</p><p>c) Alisamento exponencial simples.</p><p>d) Alisamento exponencial duplo.</p><p>e) Análise de tendência com regressão linear.</p><p>Comentários:</p><p>A decomposição da série permite identificar quais componentes estão atuando no conjunto, possibilitando</p><p>a obtenção de equações para realizar previsões para períodos futuros da série.</p><p>As séries temporais podem ser decompostas em quatro componentes: tendência secular (T), variação</p><p>sazonal (S), variação cíclica (C), variação irregular ou aleatória (I). Temos dois modelos de decomposição: o</p><p>aditivo e o multiplicativo.</p><p>O modelo aditivo considera uma série temporal como o resultado da soma das componentes individuais,</p><p>isto é, a soma da componente de tendência (𝑇𝑡), da componente cíclica (𝐶𝑡), da componente sazonal (𝑆𝑡) e</p><p>da componente irregular (𝐼𝑡). Assim, o modelo aditivo tem a forma: 𝑍𝑡 = 𝑇𝑡 + 𝐶𝑡 + 𝑆𝑡 + 𝐼𝑡</p><p>O modelo multiplicativo considera uma série temporal como resultado do produto das componentes</p><p>individuais, isto é, o produto da tendência, da componente cíclica, da componente sazonal e da componente</p><p>irregular. Assim, o modelo multiplicativo tem a forma: 𝑍𝑡 = 𝑇𝑡 × 𝐶𝑡 × 𝑆𝑡 × 𝐼𝑡</p><p>Gabarito: A.</p><p>2. (VUNESP/EsFCEx/2020) Considere a série temporal representada graficamente a seguir:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>68</p><p>178</p><p>Considerando a decomposição clássica da série (Yt) em tendência (Tt), sazonalidade (St) e componente</p><p>aleatório (Et), assinale a alternativa correta.</p><p>a) Para avaliar a tendência nessa série através de médias móveis, deve-se usar médias móveis de ordem três</p><p>para não haver muitas perdas nas extremidades e garantir a eliminação da sazonalidade.</p><p>b) Na decomposição clássica, a avaliação dos efeitos ou dos índices sazonais deve ser realizada antes de se</p><p>avaliar a tendência.</p><p>c) Como as variações em torno da tendência aumentam de magnitude com o valor de Yt, é melhor considerar</p><p>o modelo multiplicativo: Yt=Tt x St x Et.</p><p>d) Como a tendência é linear, é melhor considerar o modelo aditivo: Yt=Tt + St + Et.</p><p>e) A sazonalidade pode ser avaliada por médias móveis apropriadas.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos analisar cada uma das alternativas:</p><p>Alternativa A: Incorreta. A tendência descreve o comportamento da variável retratada na série temporal no</p><p>longo prazo. Há dois objetivos básicos na sua identificação: avaliar o seu comportamento para utilizá-lo em</p><p>previsões, removê-la da série para facilitar a visualização das outras componentes.</p><p>A obtenção da tendência pode ser feita de três formas: modelo de regressão, médias móveis, ou ajuste</p><p>exponencial (que é uma espécie de média móvel). Portanto, nem sempre a média móvel de ordem três é a</p><p>mais adequada.</p><p>Alternativa B: Incorreta. Na decomposição clássica, a avaliação dos efeitos ou dos índices sazonais deve ser</p><p>realizada após a avaliação e a remoção da tendência.</p><p>Alternativa C: Correta. A série apresentada no enunciado tem uma tendência linear crescente e, além disso,</p><p>ocorre um aumento na amplitude das ondas. Para esse tipo de comportamento, o modelo multiplicativo é</p><p>mais indicado, ou seja, 𝑌𝑡 = 𝑇𝑡 × 𝑆𝑡 × 𝐸𝑡.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>69</p><p>178</p><p>em que 𝑇𝑡, 𝑆𝑡 e 𝐸𝑡 representam, respectivamente, tendência, sazonalidade e erro aleatório.</p><p>Alternativa D: Incorreta. Como a tendência é linear, o modelo aditivo é melhor: Yt = Tt + St + Et.</p><p>Alternativa E: Incorreta. Existem métodos específicos para a obtenção de índices sazonais, alguns, inclusive,</p><p>fundamentam-se em médias móveis. Contudo, são métodos específicos, que não se baseiam simplesmente</p><p>no cálculo da média móvel, como propõe a questão.</p><p>Gabarito: C.</p><p>3. (IADES/IGEPREV-PA/2018) Define-se como série temporal qualquer conjunto de observações ordenadas</p><p>no tempo, podendo apresentar até quatro componentes. O modelo de decomposição aditivo (𝑿𝒕 = 𝑪𝒕 +𝑻𝒕 + 𝑺𝒕 + 𝑰𝒕) considera que uma série temporal é resultante da soma das componentes</p><p>a) tendência, ciclo, sazonalidade e ruído.</p><p>b) cíclica, temporal, sistemática e irregular.</p><p>c) tendência, padrão, sistemática e ruído.</p><p>d) ciclo, tendência, padrão e temporal.</p><p>e) ciclo, tendência, senoide e interpolação.</p><p>Comentários:</p><p>Uma série temporal é um conjunto de observações ordenadas no tempo. As séries temporais podem ser</p><p>decompostas em quatro componentes: tendência secular (T), variação sazonal (S), variação cíclica (C),</p><p>variação irregular ou aleatória (I).</p><p>A tendência descreve um movimento suave (a longo prazo) dos dados, para cima ou para baixo. Ela diz</p><p>respeito ao comportamento geral dos dados de aumentarem, diminuírem ou estagnarem por um longo</p><p>período.</p><p>As variações sazonais referem-se às mudanças que ocorrem devido às forças rítmicas que atuam de forma</p><p>regular e periódica. Dessa forma, as variações sazonais são variações cíclicas a prazo relativamente curto (um</p><p>ano ou menos).</p><p>As variações cíclicas são oscilações de longo prazo em torno de uma linha de tendência. Esses ciclos podem</p><p>ou não ser periódicos, ou seja, podem ou não seguir padrões semelhantes após intervalos de tempo iguais.</p><p>As variações aleatórias são flutuações (ruídos) resultantes de forças imprevistas e imprevisíveis. Essas forças</p><p>são causadas por ocorrências raras, operam de maneira absolutamente aleatória ou errática, e não têm</p><p>nenhum padrão definido.</p><p>Gabarito: A.</p><p>4. (IBADE/IPERON/2017) Considerando uma série temporal, é correto afirmar que a tendência indica:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>70</p><p>178</p><p>a) comportamento sazonal a curto prazo.</p><p>b) ciclos de altas e quedas periódicas de valores a curto prazo.</p><p>c) comportamento independente dos dados a longo, curto e médio prazo.</p><p>d) comportamento a longo prazo.</p><p>e) somente se há um outlier conhecido como ponto influente.</p><p>Comentários:</p><p>Uma série temporal é um conjunto de observações ordenadas no tempo. As séries temporais podem ser</p><p>decompostas em quatro componentes: tendência secular (T), variação sazonal (S), variação cíclica (C),</p><p>variação irregular ou aleatória (I).</p><p>A tendência descreve um movimento suave (a longo prazo) dos dados, para cima ou para baixo. Ela diz</p><p>respeito ao comportamento geral dos dados de aumentarem, diminuírem ou estagnarem por um longo</p><p>período.</p><p>As variações sazonais referem-se às mudanças que ocorrem devido às forças rítmicas que atuam de forma</p><p>regular e periódica. Dessa forma, as variações sazonais são variações cíclicas a prazo relativamente curto (um</p><p>ano ou menos).</p><p>As variações cíclicas são oscilações de longo prazo em torno de uma linha de tendência. Esses ciclos podem</p><p>ou não ser periódicos, ou seja, podem ou não seguir padrões semelhantes após intervalos de tempo iguais.</p><p>As variações aleatórias são flutuações (ruídos) resultantes de forças imprevistas e imprevisíveis. Essas forças</p><p>são causadas por ocorrências raras, operam de maneira absolutamente aleatória ou errática, e não têm</p><p>nenhum padrão definido.</p><p>Gabarito: D.</p><p>5. (FGV/IBGE/2016) Os métodos estatísticos mais comuns para previsão de demandas, de acordo com o</p><p>tamanho, a complexidade e o tipo de demanda são: (1) média aritmética; (2) média móvel; (3) média</p><p>ponderada exponencialmente; (4) regressão; e (5) modelos econométricos. Entre essas variedades, o</p><p>conceito mais preciso para a média móvel é:</p><p>a) forma de média aritmética empregada para prever demandas sazonais;</p><p>b) média que aplica dados empíricos, incorporando termos residuais diversos, não disponíveis na série</p><p>histórica;</p><p>c) média aritmética, calculada período a período, empregada, principalmente, para a projeção de demandas;</p><p>d) medida de tendência central, obtida a partir de uma massa dispersa de dados;</p><p>e) média aritmética, de uma série de dados, com a substituição, a cada período, do dado mais antigo pelo</p><p>mais recente.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>71</p><p>178</p><p>==1365fc==</p><p>Comentários:</p><p>A média móvel é um indicador que calcula a média de uma série de dados em um determinado período. Esse</p><p>indicador é bastante utilizado para prever tendências de comportamento. A ideia do cálculo da média móvel</p><p>é eliminar a observação mais antiga em detrimento de uma mais nova.</p><p>Assim, temos que, quanto mais termos forem empregados no cálculo da média móvel, menos sensível será</p><p>a média, e quanto menos termos forem empregados no cálculo, mais sensível será a média.</p><p>Gabarito: E.</p><p>6. (ESAF/MTUR/2014) Uma série temporal pode ser definida como uma sequência de observações de uma</p><p>variável no tempo. O modelo de análise clássico distingue os seguintes componentes de uma série</p><p>temporal, a saber: tendência; estacionalidade ou sazonalidade; ciclo e aleatoriedade. Com relação a esses</p><p>componentes de uma série temporal, pode-se afirmar que:</p><p>a) tendência é um movimento não-oscilatório de curto prazo.</p><p>b) estacionalidade é um movimento oscilatório cujo comprimento de onda é, por definição, inferior a um</p><p>ano.</p><p>c) uma série com periodicidade anual apresenta o componente estacional.</p><p>d) ciclo é um movimento oscilatório com comprimento de onda inferior a um ano.</p><p>e) aleatoriedade é um movimento oscilatório de muito curto prazo.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos analisar cada uma das alternativas:</p><p>Alternativa A: Incorreta. A tendência indica um comportamento monotônico de longo prazo.</p><p>Alternativa B: Correta. De fato, a sazonalidade representa um movimento oscilatório inferior a um ano.</p><p>Alternativa C: Incorreta. Como vimos, a sazonalidade apresenta movimento oscilatório inferior a um ano e</p><p>não igual a um ano.</p><p>Alternativa D: Incorreta. Os ciclos são oscilações de longo prazo e possuem duração superior a um ano.</p><p>Alternativa E: Incorreta. A aleatoriedade não é um movimento oscilatório, mas sim um movimento irregular</p><p>e inexplicável.</p><p>Gabarito: B.</p><p>7. (ESMARN/TJ-RN/2014) O gráfico, abaixo, ilustra o comportamento da temperatura média mensal em</p><p>uma determinada região do Estado de São Paulo.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>72</p><p>178</p><p>A partir da análise do gráfico, é CORRETO afirmar que a série:</p><p>a) Apresenta tendência e sazonalidade.</p><p>b) Não apresenta tendência, mas apresenta sazonalidade.</p><p>c) Apresenta diversos outliers.</p><p>d) É não estacionária na variância.</p><p>e) Nenhuma das respostas.</p><p>Comentários:</p><p>Uma série temporal é um conjunto de observações ordenadas no tempo. As séries temporais podem ser</p><p>decompostas em quatro componentes: tendência secular (T), variação sazonal (S), variação cíclica (C),</p><p>variação irregular ou aleatória (I).</p><p>A tendência descreve um movimento suave (a longo prazo) dos dados, para cima ou para baixo. Ela diz</p><p>respeito ao comportamento geral dos dados de aumentarem, diminuírem ou estagnarem por um longo</p><p>período.</p><p>As variações sazonais referem-se às mudanças que ocorrem devido às forças rítmicas que atuam de forma</p><p>regular e periódica. Dessa forma, as variações sazonais são variações cíclicas a prazo relativamente curto (um</p><p>ano ou menos).</p><p>As variações cíclicas são oscilações de longo prazo em torno de uma linha de tendência. Esses ciclos podem</p><p>ou não ser periódicos, ou seja, podem ou não seguir padrões semelhantes após intervalos de tempo iguais.</p><p>As variações aleatórias são flutuações resultantes de forças imprevistas e imprevisíveis. Essas forças são</p><p>causadas por ocorrências raras, operam de maneira absolutamente aleatória ou errática, e não têm nenhum</p><p>padrão definido.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>73</p><p>178</p><p>Observando o gráfico, notamos que a série apresenta não apresenta comportamento de tendência, pois não</p><p>há o movimento de subida ou descida com o passar dos anos (isto é, a série é estacionária). Vejam que</p><p>podemos traçar uma linha horizontal para representar a tendência inexistente.</p><p>Além disso, a série apresenta comportamento sazonal, pois há um padrão decrescente no primeiro semestre</p><p>e crescente no segundo semestre.</p><p>Gabarito: B.</p><p>8. (UEPA/FAPESPA/2014) Definem-se séries temporais como um conjunto cronológico de observações.</p><p>Então, considere a seguinte situação: uma indústria está selecionando pessoas para trabalhar na área de</p><p>controle de qualidade por meio de currículo e entrevistas. Durante a entrevista o responsável pelo setor</p><p>faz a seguinte pergunta ao candidato ao emprego: “Quais os elementos que compõem o modelo clássico</p><p>de séries temporais?”. A alternativa correta desta indagação é:</p><p>a) regularização exponencial, variação cíclicas, variações sazonais e variações irregulares.</p><p>b) tendência, variações aditivas, médias móveis, variações regulares.</p><p>c) variações multiplicativas, variações irregulares, tendência e variações sazonais.</p><p>d) tendência cíclica, variações aditivas, variações sazonais e variações irregulares.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>74</p><p>178</p><p>e) tendência, variações cíclicas, variações sazonais e variações irregulares.</p><p>Comentários:</p><p>Uma série temporal é um conjunto de observações ordenadas no tempo. As séries temporais podem ser</p><p>decompostas em quatro componentes: tendência secular (T), variação sazonal (S), variação cíclica (C),</p><p>variação irregular ou aleatória (I).</p><p>A tendência descreve um movimento suave (a longo prazo) dos dados, para cima ou para baixo. Ela diz</p><p>respeito ao comportamento geral dos dados de aumentarem, diminuírem ou estagnarem por um longo</p><p>período.</p><p>As variações sazonais referem-se às mudanças que ocorrem devido às forças rítmicas que atuam de forma</p><p>regular e periódica. Dessa forma, as variações sazonais são variações cíclicas a prazo relativamente curto (um</p><p>ano ou menos).</p><p>As variações cíclicas são oscilações de longo prazo em torno de uma linha de tendência. Esses ciclos podem</p><p>ou não ser periódicos, ou seja, podem ou não seguir padrões semelhantes após intervalos de tempo iguais.</p><p>As variações aleatórias são flutuações (ruídos) resultantes de forças imprevistas e imprevisíveis. Essas forças</p><p>são causadas por ocorrências raras, operam de maneira absolutamente aleatória ou errática, e não têm</p><p>nenhum padrão definido.</p><p>Gabarito: E.</p><p>9. (CETRO/MCID/2013) Considerando uma série temporal, é correto afirmar que</p><p>a) a sazonalidade indica o comportamento imediato.</p><p>b) o ciclo se refere a comportamentos em determinadas épocas do ano.</p><p>c) a tendência indica comportamento a longo prazo.</p><p>d) não é possível encontrar tendência linear nesse tipo de série.</p><p>e) os ciclos se repetem em períodos muito curtos.</p><p>Comentários:</p><p>Uma série temporal é um conjunto de observações ordenadas no tempo. As séries temporais podem ser</p><p>decompostas em quatro componentes: tendência secular (T), variação sazonal (S), variação cíclica (C),</p><p>variação irregular ou aleatória (I).</p><p>A tendência descreve um movimento suave (a longo prazo) dos dados, para cima ou para baixo. Ela diz</p><p>respeito ao comportamento geral dos dados de aumentarem, diminuírem</p><p>ou estagnarem por um longo</p><p>período.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>75</p><p>178</p><p>As variações sazonais referem-se às mudanças que ocorrem devido às forças rítmicas que atuam de forma</p><p>regular e periódica. Dessa forma, as variações sazonais são variações cíclicas a prazo relativamente curto (um</p><p>ano ou menos).</p><p>As variações cíclicas são oscilações de longo prazo em torno de uma linha de tendência. Esses ciclos podem</p><p>ou não ser periódicos, ou seja, podem ou não seguir padrões semelhantes após intervalos de tempo iguais.</p><p>As variações aleatórias são flutuações resultantes de forças imprevistas e imprevisíveis. Essas forças são</p><p>causadas por ocorrências raras, operam de maneira absolutamente aleatória ou errática, e não têm nenhum</p><p>padrão definido.</p><p>Diante do exposto, concluímos que o gabarito é a alternativa C, vez que a tendência indica comportamento</p><p>a longo prazo.</p><p>Gabarito: C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>76</p><p>178</p><p>QUESTÕES COMENTADAS</p><p>Tendência</p><p>1. (FGV/RFB/2023) Considere a seguinte série temporal:</p><p>{130, 140, 135, 145, 141, 148, 144, X}.</p><p>Aplicando o método de previsão de médias móveis de dois pontos de dados, o valor para a projeção do</p><p>oitavo item (X) será</p><p>a) 148.</p><p>b) 146.</p><p>c) 122.</p><p>d) 138.</p><p>e) 141.</p><p>Comentários:</p><p>Para encontrarmos o valor de X aplicando o método de previsão de médias móveis de dois pontos de dados,</p><p>basta calcularmos a média dos dois últimos valores da amostra: 𝑋 = 148 + 1442 = 146</p><p>Portanto, a projeção do oitavo item (X) será 146.</p><p>Gabarito: B.</p><p>2. (FGV/TCU/2022) A demanda de um certo serviço público no mês t é modelada pela equação 𝟐𝟎 + 𝟑𝒕 + 𝟐𝑫(𝒕) + 𝜺𝒕, onde 𝑫(𝒕) = 𝟏, se 𝒕 = 𝟔, e 0, caso contrário, e 𝜺𝒕 é um ruído com média zero e variância</p><p>4.</p><p>As previsões de demanda nos meses 6 e 12 são, respectivamente:</p><p>a) 40 e 56;</p><p>b) 40 e 58;</p><p>c) 42 e 58;</p><p>d) 44 e 60;</p><p>e) 56 e 40.</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>77</p><p>178</p><p>O enunciado nos forneceu os valores da média e da variância do ruído: E(𝜀𝑡) = 0 e Var(𝜀𝑡) = 4. Além disso, foi</p><p>informado que a demanda é modelada pela equação: 𝐷 = 20 + 3𝑡 + 2𝐷(𝑡) + 𝜀𝑡</p><p>Para t=6, temos que D(t) = 1: 𝐷 = 20 + 3.6 + 2. 𝐷(𝑡) + 𝜀𝑡 𝐷 = 20 + 18 + 2.1 + 𝜀𝑡 𝐷 = 20 + 18 + 2 + 𝜀𝑡 𝐷 = 40 + 𝜀𝑡</p><p>O valor esperado para a demanda quando t=6 é: 𝐸(𝐷) = 𝐸(40 + 𝜀𝑡) = 40.</p><p>Para t=12, temos que D(t) = 0: 𝐷 = 20 + 3.12 + 2.0 + 𝜀𝑡 𝐷 = 20 + 36 + 𝜀𝑡 𝐷 = 56 + 𝜀𝑡</p><p>O valor esperado para a demanda quando t=12 é: 𝐸(𝐷) = 𝐸(56 + 𝜀𝑡) = 56.</p><p>Gabarito: A.</p><p>3. (FUNDATEC/GHC/2020) Uma empresa apresentou os seguintes consumos de uma determinada matéria-</p><p>prima nos últimos seis meses:</p><p>Mês Quantidade</p><p>Outubro (2019) 300</p><p>Novembro (2019) 400</p><p>Dezembro (2019) 500</p><p>Janeiro (2020) 205</p><p>Fevereiro (2020) 215</p><p>Março (2020) 240</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>78</p><p>178</p><p>Com base na tabela acima, foi solicitado ao gestor de estoque que realizasse o cálculo da média móvel dos</p><p>últimos três meses. O resultado encontrado por ele foi:</p><p>a) 400.</p><p>b) 310.</p><p>c) 240.</p><p>d) 220.</p><p>e) 110.</p><p>Comentários:</p><p>A média móvel consiste em calcular a média aritmética das 𝑘 observações mais recentes de uma série</p><p>temporal 𝑍1, 𝑍2, ⋯, 𝑍𝑛: 𝑀𝑀𝑡 = 𝑍𝑡 + 𝑍𝑡−1 + ⋯ + 𝑍𝑡−𝑘+1𝑘 .</p><p>Portanto, para calcularmos a média móvel dos últimos três meses, basta somarmos as três últimas vendas e</p><p>dividirmos por três: 𝑀𝑀3 = 205 + 215 + 2403 = 220</p><p>Gabarito: D.</p><p>4. (IBADE/IPVV/2020) Considere a série temporal de seis itens de números de sinistros a pagar no mês a</p><p>seguir: 200, 210, 205, 217, 207, 203, 209. Usando o método de previsão de médias móveis de dois pontos</p><p>de dados, o valor para a projeção do oitavo item de dado é igual a:</p><p>a) 200.</p><p>b) 203.</p><p>c) 242.</p><p>d) 207.</p><p>e) 206</p><p>Comentários:</p><p>A média móvel consiste em calcular a média aritmética das 𝑘 observações mais recentes de uma série</p><p>temporal 𝑍1, 𝑍2, ⋯, 𝑍𝑛: 𝑀𝑀𝑡 = 𝑍𝑡 + 𝑍𝑡−1 + ⋯ + 𝑍𝑡−𝑘+1𝑘 .</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>79</p><p>178</p><p>A questão solicita a previsão por média móvel de dois pontos de dados. Desse modo, a previsão para o oitavo</p><p>item será determinada pela média dos dois últimos meses, ou seja, 𝑀𝑀8 = 𝑍6 + 𝑍72 = 203 + 2092 = 4122 = 206.</p><p>Gabarito: E.</p><p>5. (IBADE/Pref. Vila Velha/2020) Considere a série temporal de seis itens de dados a seguir: {200, 210, 205,</p><p>217, 207, 203}. Usando o método de previsão de médias móveis de dois pontos de dados, o valor para a</p><p>projeção do sétimo item de dado é igual a:</p><p>a) 200.</p><p>b) 203.</p><p>c) 242.</p><p>d) 207.</p><p>e) 205</p><p>Comentários:</p><p>A média móvel consiste em calcular a média aritmética das 𝑘 observações mais recentes de uma série</p><p>temporal 𝑍1, 𝑍2, ⋯, 𝑍𝑛: 𝑀𝑀𝑡 = 𝑍𝑡 + 𝑍𝑡−1 + ⋯ + 𝑍𝑡−𝑘+1𝑘 .</p><p>A questão solicita a previsão por média móvel de ordem 2. Desse modo, a previsão para o sétimo item será</p><p>determinada pela média dos dois termos anteriores, ou seja, 𝑀𝑀7 = 𝑍5 + 𝑍62 = 207 + 2032 = 205.</p><p>Gabarito: E.</p><p>6. (VUNESP/EsFCEx/2020) A tabela a seguir apresenta parte da série trimestral de exportação de ferro do</p><p>Brasil, em milhões de dólares.</p><p>Trim./Ano Exportação de Ferro</p><p>tri1/89 467</p><p>tri2/89 558</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>80</p><p>178</p><p>tri3/89 631</p><p>tri4/89 577</p><p>tri1/90 565</p><p>tri2/90 644</p><p>tri3/90 677</p><p>tri4/90 521</p><p>Considerando tri1/89 como o primeiro valor da série; tri2/89 o segundo valor da série; e assim por diante,</p><p>qual é o valor, arredondado para número inteiro, da média móvel central de ordem quatro, referente ao</p><p>tri3/89?</p><p>a) 631.</p><p>b) 558.</p><p>c) 571.</p><p>d) 589.</p><p>e) 630.</p><p>Comentários:</p><p>No cálculo da média centrada de comprimento 4, consideramos a existência de 5 parcelas: o valor que</p><p>representa a posição central, dois valores em torno da posição central e duas parcelas mais distantes, que</p><p>entram no cálculo pela metade, ou seja,</p><p>𝑀𝑀4 = 𝑥12 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥524</p><p>Assim, com relação ao tri3/89, a sequência considerada será 467, 558, 631, 577 e 565. Portanto, a média</p><p>central de ordem quatro é expressa por:</p><p>𝑀𝑀4 = 4672 + 558 + 631 + 577 + 56524</p><p>𝑀𝑀4 = 22824 𝑀𝑀4 = 570,5.</p><p>A questão pede para arredondar para um número inteiro, logo, a média procurada é igual a 571.</p><p>Gabarito: C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>81</p><p>178</p><p>7. (FCC/Pref Manaus/2019) Analisando as vendas trimestrais realizadas pela empresa Gama no período de</p><p>2016 a 2018, obteve-se a equação da tendência utilizando o método dos mínimos quadrados com base</p><p>nestas 12 observações, ou seja, 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟏, 𝟓𝒕, em que X corresponde às vendas trimestrais (em</p><p>milhões de reais) e 𝒕 = 𝟏 representa o primeiro trimestre de 2016, 𝒕 = 𝟐 representa o segundo trimestre</p><p>de 2016 e assim por diante.</p><p>Trimestre 1º 2º 3º 4º</p><p>Índices</p><p>Sazonais</p><p>0,5 0,3 1,2 1,0</p><p>A previsão das vendas para o segundo trimestre de 2020, levando em conta o movimento sazonal do</p><p>período e considerando o modelo multiplicativo, é igual, em milhões de reais, a</p><p>a) 11,1.</p><p>b) 12,6.</p><p>c) 12,0.</p><p>d) 11,5.</p><p>e) 11,8.</p><p>Comentários:</p><p>De 2016 a</p><p>2019, temos um total de 4 anos, cada um com 4 trimestres. Logo, temos 16 trimestres. Assim, o</p><p>primeiro trimestre de 2020 representará a décima sétima observação dessa série, 𝑡 = 17; e o segundo</p><p>trimestre de 2020 representará a décima oitava observação, 𝑡 = 18.</p><p>Calculando a tendência para 𝑡 = 18, temos: 𝑋 = 10 + 1,5𝑡 𝑋 = 10 + 1,5 × 18 𝑋 = 37</p><p>O índice sazonal para o segundo trimestre foi fornecido na tabela, vale 0,3. Assim, basta multiplicarmos a</p><p>tendência encontrada pelo índice sazonal: 0,3 × 37 = 11,1</p><p>Gabarito: A.</p><p>8. (VUNESP/TJ SP/2019) Uma série de tempo consiste no consumo mensal, em unidades, de um produto</p><p>no ano de 2017. Pelo método da regressão linear, usando os estimadores de mínimos quadrados, obteve-</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>82</p><p>178</p><p>se a equação da tendência estimada �̂�𝒕 = 𝟕𝟎 + 𝟒 × 𝒕, em que 𝒕 é o tempo (mês). Essa equação foi</p><p>encontrada com base nas observações do consumo dos 12 meses de 2017, ou seja, janeiro é representado</p><p>por 𝒕 = 𝟏, fevereiro por 𝒕 = 𝟐 e assim por diante até dezembro por 𝒕 = 𝟏𝟐.</p><p>A média mensal do consumo, em unidades, desse produto, no ano de 2017, foi então igual a</p><p>a) 74</p><p>b) 94</p><p>c) 100</p><p>d) 120</p><p>e) 96</p><p>Comentários:</p><p>A média aritmética é definida pela soma dos valores de um determinado conjunto de observações, sendo o</p><p>resultado dessa soma dividido pela quantidade dos valores que foram somados. Então, para determinar a</p><p>média mensal do consumo precisamos efetuar a conta: �̅� = �̂�1 + �̂�2 + �̂�3 + ⋯ + �̂�1212</p><p>Substituindo 𝑡 = 1, 2, 3, ⋯ , 12 na equação da tendência estimada �̂�𝑡 = 70 + 4 × 𝑡, teremos: �̅� = (70 + 4 × 1) + (70 + 4 × 2) + ⋯ + (70 + 4 × 12)12</p><p>�̅� = (70 × 12) + 4 × (1 + 2 + 3 + ⋯ + 12)12</p><p>�̅� = 840 + 31212 �̅� = 96</p><p>Gabarito: E.</p><p>9. (CESGRANRIO/LIQUIGÁS/2018) A técnica de previsão que calcula a projeção por meio de uma</p><p>ponderação entre a demanda real do período anterior 𝑫𝒕–𝟏 e a projeção do período anterior 𝑴𝒕–𝟏,</p><p>utilizando um coeficiente de suavização 𝜶 para definir o peso de cada componente no cálculo da projeção,</p><p>é denominada</p><p>a) simulação</p><p>b) média exponencial móvel</p><p>c) média ponderada</p><p>d) regressão linear</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>83</p><p>178</p><p>e) linha de tendência</p><p>Comentários:</p><p>A questão informa que a técnica utiliza um coeficiente de suavização. O método da média móvel exponencial</p><p>define um peso para cada termo da série, de modo que os pesos das observações decrescem com o tempo.</p><p>Os elementos mais próximos do tempo 𝑡 atual possuem peso maior, enquanto os mais distantes possuem</p><p>peso menor. A taxa de decrescimento é a constante de suavização 𝛼.</p><p>A técnica da média móvel é obtida calculando a média aritmética das 𝑘 observações mais recentes, ou seja,</p><p>a cada período a observação mais antiga é substituída pela mais recente, calculando-se, assim, uma nova</p><p>média.</p><p>Gabarito: B.</p><p>10. (Instituto AOCP/EBSERH/2014) Dada uma série histórica de valores 4; 10; 6; 9; 15; 14; 16 obteve-se as</p><p>médias móveis simples de ordem k:</p><p>MMS1: 6,67; 8,33; 10,00; 12,67; 15,00</p><p>MMS2: 7,00; 8,00; 7,50; 12,00; 14,50; 15,00</p><p>MMS3: 7,25; 10,00; 11,00; 13,50</p><p>O vetor que identifica a ordem (K) para obtenção de MMS1, MMS2 e MMS3, respectivamente, é</p><p>a) (2, 3, 4)</p><p>b) (3, 2, 4)</p><p>c) (4, 3, 2)</p><p>d) (6, 7, 7)</p><p>e) (5, 6, 4)</p><p>Comentários:</p><p>A técnica de média móvel consiste em calcular a média aritmética das k observações mais recentes, ou seja 𝑀𝑀𝑡 = 𝑍𝑡 + 𝑍𝑡−1 + ⋯ + 𝑍𝑡−𝑘+1𝑘 .</p><p>A cada novo período de previsão se substitui o dado mais antigo pelo mais recente. Desta forma, 𝑀𝑀𝑡 é uma</p><p>estimativa que não leva em consideração as observações mais antigas.</p><p>Para a sequência apresentada, as médias móveis de ordem 2 são:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>84</p><p>178</p><p>𝑀𝑀1= 4 + 102 = 7</p><p>𝑀𝑀2= 10 + 62 = 8</p><p>𝑀𝑀3= 6 + 92 = 7,5</p><p>𝑀𝑀4= 9 + 152 = 12</p><p>𝑀𝑀5= 15 + 142 = 14,5</p><p>𝑀𝑀6= 14 + 162 = 15</p><p>De modo análogo, a sequência de médias móveis de ordem 3 é igual a: 𝑀𝑀1= 4 + 10 + 63 ≈ 6,67</p><p>𝑀𝑀2= 10 + 6 + 93 ≈ 8,33</p><p>𝑀𝑀3= 6 + 9 + 153 = 10</p><p>𝑀𝑀4= 9 + 15 + 143 ≈ 12,67</p><p>𝑀𝑀5= 15 + 14 + 163 = 15</p><p>Por fim, a sequência de médias móveis de ordem 4 será igual a: 𝑀𝑀1= 4 + 10 + 6 + 104 = 7,25</p><p>𝑀𝑀2= 10 + 6 + 9 + 64 = 10,00</p><p>𝑀𝑀3= 6 + 9 + 15 + 94 = 11,00</p><p>𝑀𝑀4= 9 + 15 + 14 + 164 = 13,50</p><p>Assim, o vetor que identifica a ordem (K) para obtenção de MMS1, MMS2 e MMS3, respectivamente, é</p><p>(3,2,4).</p><p>Gabarito: B.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>85</p><p>178</p><p>11. (CETRO/MCID/2013) Considerando a sequência 2; 4; 3; 2; 7; 6, uma média móvel de ordem 2 pode ser</p><p>dada pela sequência</p><p>a) 6,3; 5,0</p><p>b) 3; 2,5; 6,5</p><p>c) 3; 3,5; 2,5; 4,5; 6,5</p><p>d) 12,12,12,12</p><p>e) 1; 2; 1; 4; 1; 3; 1; 2; 1; 7; 1; 6</p><p>Comentários:</p><p>A média móvel consiste em calcular a média aritmética das 𝑘 observações mais recentes de uma série</p><p>temporal 𝑍1, 𝑍2, ⋯, 𝑍𝑛: 𝑀𝑀𝑡 = 𝑍𝑡 + 𝑍𝑡−1 + ⋯ + 𝑍𝑡−𝑘+1𝑘 .</p><p>Portanto, as médias móveis para a sequência apresentada no enunciado são: 2 + 42 = 3 4 + 32 = 3,5 3 + 22 = 2,5 2 + 72 = 4,5 7 + 62 = 6,5</p><p>Reparem que a média móvel foi calculada a cada 2 termos, a partir do valor inicial. Assim, a sequência</p><p>procurada pode ser: 3; 3,5; 2,5; 4,5; 6,5.</p><p>Gabarito: C.</p><p>12. (FCC/BACEN/2006) A análise do comportamento das vendas de uma empresa durante os últimos anos</p><p>permitiu apurar uma tendência linear de crescimento ao longo do tempo com sazonalidade.</p><p>Por meio do método dos mínimos quadrados, a empresa deduziu a reta de tendência como sendo 𝒀𝒕 =𝟓 + 𝟐𝟓 𝒕, em que 𝒀𝒕 são as vendas, em milhares de reais, em t, que representa o trimestre correspondente</p><p>das vendas (𝒕 = 𝟏 é o primeiro trimestre de 2001; 𝒕 = 𝟐 é o segundo trimestre de 2001, e assim por diante).</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>86</p><p>178</p><p>==1365fc==</p><p>Esta empresa poderá adotar o modelo multiplicativo, caso se verifique que os movimentos estejam</p><p>associados ao nível de tendência, ou adotar o modelo aditivo, caso se verifique movimentos em torno da</p><p>tendência que não dependam de seu nível.</p><p>O quadro a seguir fornece os fatores sazonais, caso seja adotado o modelo multiplicativo, e as médias das</p><p>diferenças (vendas observadas menos vendas obtidas pela tendência) por trimestre, caso seja adotado o</p><p>modelo aditivo.</p><p>Trimestre Fator Sazonal</p><p>Multiplicativo</p><p>Média das Diferenças</p><p>Primeiro 0,4 -280</p><p>Segundo 0,6 -205</p><p>Terceiro 1,2 150</p><p>Quarto 1,8 335</p><p>A previsão de vendas, em milhares de reais, para o primeiro trimestre de 2006 é</p><p>a) 212, caso seja adotado o método multiplicativo.</p><p>b) 210, caso seja adotado o método multiplicativo.</p><p>c) 200, caso seja adotado o método multiplicativo.</p><p>d) 245, caso seja adotado o método aditivo.</p><p>e) 225, caso seja adotado o método aditivo.</p><p>Comentários:</p><p>Para o primeiro trimestre de 2001, temos 𝑡 = 1. De 2001 a 2006, temos 5 anos, cada ano com 4 trimestres,</p><p>logo, temos um total de 20 trimestres. Portanto, o primeiro trimestre de 2006 será o vigésimo primeiro da</p><p>série, 𝑡 = 21.</p><p>Calculando a tendência para 𝑡 = 21, temos: 𝑇 = 5 + 25𝑡 𝑇 = 5 + 25 × 21 𝑇 = 530</p><p>Agora, basta multiplicarmos a tendência pelo fator sazonal do primeiro trimestre (0,4): 530 × 0,4 = 212</p><p>Gabarito: A.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600</p><p>- Naldira Luiza Vieria</p><p>87</p><p>178</p><p>13. (MARINHA/Marinha/2004)</p><p>Mês 1</p><p>Janeiro</p><p>Mês 2</p><p>Fevereiro</p><p>Mês 3</p><p>Março</p><p>Mês 4</p><p>Abril</p><p>Mês 5</p><p>Maio</p><p>98 un 90 un 96 un 75 un 81 un</p><p>As vendas mensais de um produto de determinada empresa apresentaram-se conforme o gráfico acima.</p><p>Determine a previsão de vendas, em unidades, para o mês de julho (mês 7), previsão de vendas, em</p><p>unidades, para o mês de julho (mês 7), utilizando o modelo da média móvel para os últimos três meses.</p><p>a) 80.</p><p>b) 82.</p><p>c) 84.</p><p>d) 85.</p><p>e) 88</p><p>Comentários:</p><p>A média móvel consiste em calcular a média aritmética das 𝑘 observações mais recentes de uma série</p><p>temporal 𝑍1, 𝑍2, ⋯, 𝑍𝑛: 𝑀𝑀𝑡 = 𝑍𝑡 + 𝑍𝑡−1 + ⋯ + 𝑍𝑡−𝑘+1𝑘 .</p><p>A cada novo período de previsão se substitui o dado mais antigo pelo mais recente. Desta forma, 𝑀𝑀𝑡 é uma</p><p>estimativa que não leva em consideração as observações mais antigas.</p><p>A questão solicita a previsão por média móvel de três pontos. Desse modo, a previsão para o mês de junho</p><p>será determinada pela média dos três meses anteriores, ou seja, 𝑀𝑀6 = 𝑍5 + 𝑍4 + 𝑍33 = 81 + 75 + 963 = 84.</p><p>Com isso, a previsão procurada para julho, será: 𝑀𝑀7 = 𝑍6 + 𝑍5 + 𝑍43 = 84 + 81 + 753 = 80.</p><p>Gabarito: A.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>88</p><p>178</p><p>QUESTÕES COMENTADAS</p><p>Suavização Exponencial</p><p>1. (IBADE/Pref. Vila Velha/2020) Denomina-se amortecimento exponencial o método de prever valores</p><p>em séries temporais através da expressão: 𝑿𝑷𝒓𝒆𝒗𝒊𝒔𝒕𝒐(𝒕) = (𝜶) ⋅ 𝑿(𝒕 − 𝟏) + (𝟏 − 𝜶) ⋅ 𝑿(𝒕 − 𝟐), com 𝟎 ≤ 𝜶 ≤ 𝟏.</p><p>Isto posto, assinale a única alternativa correta.</p><p>a) Se α 0,5 temos que a série valoriza mais o valor imediatamente X(t-2)</p><p>c) Valor de α =1 implica que a previsão é exatamente igual a X(t-2)</p><p>d) Valor de α = 0 implica que a previsão é exatamente igual a X(t-1)</p><p>e) À medida que aumenta o valor de t, diminui a influência dos termos da série mais distantes ao atual por</p><p>isso a denominação amortecimento exponencial</p><p>Comentários:</p><p>Vamos analisar cada uma das alternativas:</p><p>Alternativa A: Incorreta. Se 𝛼 0,5 > 𝛼. Com isso, a série valoriza o termo 𝑋(𝑡 − 2).</p><p>Alternativa B: Incorreta. Se 𝛼 > 0,5, então 1 − 𝛼</p><p>+ 𝑦𝑡−3 + 𝑢𝑡−2) + 𝑢𝑡−1) + 𝑢𝑡 𝑦𝑡 =∑𝑏𝑡−1</p><p>𝑖=0 + 𝑦0 +∑𝑢𝑡−𝑖𝑡−1</p><p>𝑖=0</p><p>Sabemos que 𝐸[𝑦0] = 0, pois 𝑦0 = 0, e que 𝐸[𝑢𝑡] = 0, então, calculando o valor médio, temos:</p><p>𝐸[𝑦𝑡] = 𝐸 [∑𝑏𝑡−1</p><p>𝑖=0 ] + 𝐸[𝑦0] + 𝐸 [∑𝑢𝑡−𝑖𝑡−1</p><p>𝑖=0 ] 𝐸[𝑦𝑡] = 𝑏𝑡 + 0 + 0 𝐸[𝑦𝑡] = 𝑏𝑡</p><p>Sabemos que 𝑉𝑎𝑟[𝑦0] = 0, pois 𝑦0 = 0, e que 𝑉𝑎𝑟[𝑢𝑡] = 𝜎2, então, calculando a variância, temos:</p><p>𝑉𝑎𝑟[𝑦𝑡] = 𝑉𝑎𝑟 [∑𝑏𝑡−1</p><p>𝑖=0 ] + 𝑉𝑎𝑟[𝑦0] + 𝑉𝑎𝑟 [∑𝑢𝑡−𝑖𝑡−1</p><p>𝑖=0 ] 𝑉𝑎𝑟[𝑦𝑡] = 0 + 0 + 𝑡𝜎2 𝑉𝑎𝑟[𝑦𝑡] = 𝑡𝜎2</p><p>Gabarito: A.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>93</p><p>178</p><p>4. (IBFC/Pref. Cuiabá/2023) Para obter resultados precisos do ajuste de modelo, alguns modelos</p><p>matemáticos podem ser usados na análise de séries temporais, entre os quais não se inclui o</p><p>modelo______.</p><p>Assinale a alternativa correta que preencha corretamente a lacuna.</p><p>a) autorregressivo integrado de médias móveis (ARIMA) Box-Jenkins</p><p>b) multivariado Box-Jenkins</p><p>c) de regressão Fine-Gray</p><p>d) de suavização exponencial de Holt-Winters</p><p>Comentários:</p><p>Na análise de séries temporais utilizamos alguns modelos matemáticos, dentre eles, temos:</p><p>Os modelos autorregressivos integrados de médias móveis (ARIMA, do inglês autoregressive integrated</p><p>moving average) podem ser ajustados aos dados de uma série temporal para que possamos entender melhor</p><p>os dados dessa série ou para prever seus valores futuros. Os modelos ARIMA também são conhecidos como</p><p>modelos de Box-Jenkins.</p><p>As séries temporais também podem ser classificadas como univariadas se as observações são únicas e</p><p>registradas sequencialmente durante intervalos de tempo iguais (dias, mês, anos, etc.) ou multivariadas se</p><p>as observações são múltiplas.</p><p>A suavização exponencial é uma técnica que utiliza uma equação de médias móveis ponderadas para</p><p>regularizar variações aleatórias em dados de séries temporais. A finalidade é a obtenção de uma imagem</p><p>mais clara de padrões não aleatórios que possam estar presentes nos dados.</p><p>O modelo de regressão Fine-Gray não é utilizado na análise de séries temporais.</p><p>Gabarito: C.</p><p>5. (IBFC/Pref. Cuiabá/2023) Considere o processo estocástico de média móvel MA(1) escrito da forma: 𝑿𝒕 = 𝜽𝟎 + 𝝐𝒕 + 𝜽𝟏𝝐𝒕−𝟏 para 𝒕 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …</p><p>em que 𝝐𝒕 é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média</p><p>0 e variância 𝝈𝟐.</p><p>Assinale a alternativa que apresenta respectivamente a média e a variância de Xt.</p><p>a) 0 𝑒 𝜎2</p><p>b) 𝜃0 𝑒 𝜎2(1 + 𝜃12)</p><p>c) 𝜃0 𝑒 𝜃1𝜎2</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>94</p><p>178</p><p>d) 𝜃0 𝑒 𝜎2𝜃12</p><p>Comentários:</p><p>O modelo de médias móveis é expresso com base em observações pregressas de ruídos brancos 𝜀𝑡, 𝜀𝑡−1, 𝜀𝑡−2, ⋯ , 𝜀𝑡−𝑞. Na questão, temos um modelo de Médias Moveis de ordem 1: 𝑋𝑡 = 𝜃0 + 𝜖𝑡 + 𝜃1𝜖𝑡−1</p><p>Vamos inicialmente calcular a média. Temos que: 𝐸(𝑋𝑡) = 𝜇 = 𝜃0. Assim, podemos substituir no processo: 𝑋𝑡 = 𝜃0 + 𝜖𝑡 + 𝜃1𝜖𝑡−1 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(𝜇) + E(𝜀𝑡 − 𝜃1𝜀𝑡−1) 𝐸(𝑋𝑡) = 𝜇 𝐸(𝑋𝑡) = 𝜃0</p><p>Para a variância, temos: 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝐸(𝑋𝑡 − 𝜇)2 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝐸(𝜇 + 𝜖𝑡 − 𝜃1𝜀𝑡−1 − 𝜇)2 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝐸(𝜖𝑡 − 𝜃1𝜀𝑡−1)2 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝐸(𝜖𝑡2 − 2𝜖𝑡𝜀𝑡−1 + 𝜃12𝜖𝑡−12 ) 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝐸(𝜖𝑡2) − 2𝐸(𝜖𝑡𝜀𝑡−1) + 𝜃12𝐸(𝜖𝑡−12 ) 𝐸(𝜖𝑡2) = 𝐸(𝜖𝑡−12 ) = 𝜎𝜖2 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝜎𝜖2 + 𝜃12𝜎𝜖2 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝜎𝜖2(1 + 𝜃12) 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝜎2(1 + 𝜃12)</p><p>Gabarito: B.</p><p>6. (IBFC/Pref. Cuiabá/2023) Considere um processo autorregressivo estacionário Zt = 20 + 0,5 Zt-1 + at,</p><p>onde at é ruído branco com variância σ2=3. Assinale a alternativa que apresenta quais são,</p><p>respectivamente, a média e a variância de Zt.</p><p>a) 20 e 5</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>95</p><p>178</p><p>b) 30 e 4,5</p><p>c) 40 e 4</p><p>d) 40 e 3</p><p>Comentários:</p><p>Para calcular a média, vamos considerar que 𝐸(𝑍𝑡) = 𝐸(𝑍𝑡−1) = 𝜇. Além disso, como 𝑎𝑡 é um ruído branco,</p><p>temos que 𝐸(𝑎𝑡) = 0. Assim, podemos substituir no processo: 𝑍𝑡 = 20 + 0,5𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡 𝐸(𝑍𝑡) = 𝐸(20 + 0,5𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡) 𝐸(𝑍𝑡) = 𝐸(20) + 0,5𝐸(𝑍𝑡−1) + 𝐸(𝑎𝑡) 𝜇 = 20 + 0,5𝜇 + 0 𝜇 − 0,5𝜇 = 20 0,5𝜇 = 20 𝜇 = 200,5 𝜇 = 40</p><p>Agora, vamos calcular a variância: 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(20 + 0,5𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡) 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(20) + 𝑉𝑎𝑟(0,5𝑍𝑡−1) + 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡)</p><p>Sabemos que a variância de 𝑎𝑡 (ruído branco) é igual a 3, dado do enunciado. Sabemos ainda que a variância</p><p>da constante é zero. Para a constante que multiplica 𝑋𝑡−1, retiramos da variância e elevamos ao quadrado,</p><p>ficando assim: 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 0 + 0,25𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡−1) + 3 𝜎2 = 0,25𝜎2 + 3 𝜎2 − 0,25𝜎2 = 3 0,75𝜎2 = 3 𝜎2 = 30,75 𝜎2 = 4</p><p>Portanto, 𝜇 = 40 e 𝜎2 = 4</p><p>Gabarito: C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>96</p><p>178</p><p>7. (CESPE/PETROBRAS/2022) Considerando uma série temporal representada por {Xt}, julgue o item a</p><p>seguir.</p><p>Se a figura abaixo apresenta a forma da função de autocorrelação parcial (facp) da série temporal {𝑋𝑡}, na</p><p>qual as correlações parciais são nulas nos lags iguais ou superiores a 2, então a autocorrelação entre 𝑋𝑡 e 𝑋𝑡−4 é igual a zero.</p><p>Comentários:</p><p>A função de autocorrelação parcial dos processos autorregressivos, AR(p), se anula para defasagens iguais</p><p>ou superiores a p, mas a autocorrelação apresenta decaimento exponencial, tendendo lentamente ao valor</p><p>zero.</p><p>Um processo AR(2), por exemplo, tem correlações parciais nulas nas defasagens iguais ou superiores a 2.</p><p>Entretanto, as autocorrelações apresentam decaimento exponencial, e podem ser maiores que zero, mesmo</p><p>para defasagens maiores que 2.</p><p>Portanto, é possível que tenhamos um processo com correlações parciais nulas para defasagens iguais ou</p><p>superiores a 2, mas cuja autocorrelação entre 𝑋𝑡 e 𝑋𝑡−4 não seja igual a zero.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>8. (CESPE/PETROBRAS/2022) Considerando uma série temporal representada por {𝑿𝒕}, julgue o item a</p><p>seguir.</p><p>Se a série temporal for gerada por um processo na forma 𝑋𝑡 = 𝜀𝑡 − 𝑋𝑡−1,</p><p>no qual 𝜀𝑡 representa um ruído branco com média zero e desvio padrão igual a 1, então a variância de 𝑋𝑡</p><p>será igual a 0,5.</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>97</p><p>178</p><p>A variância do processo pode ser calculada da seguinte forma: 𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑡] = 𝑉𝑎𝑟[𝜀𝑡−𝑋𝑡−1]</p><p>Fazendo 𝑋𝑡−1 = 𝜀𝑡−1 − 𝑋𝑡−2, podemos escrever a expressão anterior assim: 𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑡] = 𝑉𝑎𝑟[𝜀𝑡−𝑋𝑡−1] 𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑡] = 𝑉𝑎𝑟[𝜀𝑡− (𝜀𝑡−1 − 𝑋𝑡−2)] 𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑡] = 𝑉𝑎𝑟[𝜀𝑡−𝜀𝑡−1 − 𝑋𝑡−2)]</p><p>Repetindo o passo anterior várias vezes, chegamos em: 𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑡] = 𝑉𝑎𝑟[𝜀𝑡−𝜀𝑡−1−𝜀𝑡−2 −⋯]</p><p>Como 𝜀𝑡 é um ruído branco, todos os termos são independentes, de modo que podemos aplicar a</p><p>propriedade 𝑉𝑎𝑟[𝑋 ± 𝑌] = 𝑉𝑎𝑟[𝑋] + 𝑉𝑎𝑟[𝑌] 𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑡] = 𝑉𝑎𝑟[𝜀𝑡] + 𝑉𝑎𝑟[𝜀𝑡−1] + 𝑉𝑎𝑟[𝜀𝑡−2] + ⋯ 𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑡] = 𝑡 × 𝜎2 = 𝑡 × 1 = 𝑡</p><p>Portanto, a variância da série temporal não será igual a 0,5</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>9. (FCC/TRT 4ª Região/2022) Seja o modelo auto-regressivo e estacionário 𝒁𝒕 = 𝟐 + 𝝋𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 em</p><p>que 𝝋 > 𝟎 e 𝒂𝒕 é o ruído branco de média 0 e variância igual a 0,64. Se a variância de 𝒁𝒕 é igual a 1, então</p><p>o valor de 𝝋 é igual a</p><p>a) 0,8</p><p>b) 0,6</p><p>c) 0,2</p><p>d) 0,4</p><p>e) 0,3</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado forneceu 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 1 e 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) = 0,64. Com isso, podemos calcular o valor de 𝜑 por meio</p><p>da variância</p><p>do modelo autorregressivo: 𝑍𝑡 = 2 + 𝜑𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(2 + 𝜑𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡) 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(2) + 𝑉𝑎𝑟(𝜑𝑍𝑡−1) + 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 0 + 𝜑2 × 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡−1) + 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡)</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>98</p><p>178</p><p>Como 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡−1) = 1, temos: 1 = 𝜑2 + 0,64 1 − 0,64 = 𝜑2 0,36 = 𝜑2 𝜑 = √0,36 𝜑 = 0,6</p><p>Gabarito: B.</p><p>10. (FCC/TRT 5ª Região/2022) Considere os seguintes modelos de análise de séries temporais</p><p>Modelo 1: média móvel de ordem 1, MA(1), 𝒁𝒕 = 𝒂𝒕 − 𝜽𝒂𝒕−𝟏, 𝒕 ∈ 𝒁𝒕</p><p>Modelo 2: autorregressivo de ordem 1, AR(1), 𝒁𝒕 = 𝝋𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, 𝒕 ∈ 𝒁𝒕</p><p>Onde 𝒂𝒕 possui uma distribuição normal com média 𝟎 e variância 𝝈𝟐.</p><p>Então é correto afirmar que</p><p>a) o modelo 1 será invertível para quaisquer valores de 𝜃 e estacionário para valores −1 1</p><p>e) tanto o modelo 1 quanto o modelo 2 são estacionários para quaisquer valores de 𝜃 e 𝜑</p><p>Comentários:</p><p>Um processo MA(1) é invertível somente se as raízes da sua equação característica estiverem fora do círculo</p><p>unitário: 1 − 𝜃𝑧 = 0 ⇒ |𝑧| > 1 𝜃 = 1𝑧 ⇒ −1 1 𝜑 = 1𝑧 ⇒ −1 1.</p><p>e) estacionário somente se atender as condições −1 1</p><p>Temos uma equação quadrática, para encontrar suas raízes, basta fazermos: ∆= (𝜃1)2 − 4𝜃2</p><p>𝑧 = 𝜃1 ± √(𝜃1)2 − 4𝜃2−2𝜃2</p><p>Como |𝑧| > 1, podemos desenvolver a expressão anterior para encontrar os critérios de invertibilidade em</p><p>termos de 𝜃1 e 𝜃2:</p><p>|𝜃1 ±√(𝜃1)2 − 4𝜃2−2𝜃2 | > 1</p><p>|𝜃1 ±√(𝜃1)2 − 4𝜃2| > |2𝜃2| |√(𝜃1)2 − 4𝜃2| > |2𝜃2| − |𝜃1| |(𝜃1)2 − 4𝜃2| > (|2𝜃2| − |𝜃1|)2 |(𝜃1)2 − 4𝜃2| > |4(𝜃2)2| − |4𝜃1𝜃2| + (|𝜃1|)2 |−4𝜃2| > |4(𝜃2)2| − |4𝜃1𝜃2| + (|𝜃1|)2 − (𝜃1)2 |4𝜃2| > |4(𝜃2)2| − |4𝜃1𝜃2|</p><p>Dividindo os dois lados da inequação por |4𝜃2|, ficamos com:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>100</p><p>178</p><p>|𝜃2| − |𝜃1| 0 𝑒 𝜃1 > 0 ⇒ 𝜃2 − 𝜃1 0 𝑒 𝜃1 0 ⇒ 𝜃2 + 𝜃1 > −1 𝑆𝑒 𝜃2 −1</p><p>Assim, o modelo de médias móveis de ordem 𝑞 = 2 será invertível se: −1 1</p><p>Já um processo MA(q) é invertível somente se as raízes da sua equação característica estiverem fora do</p><p>círculo unitário: 1 + 𝜃1𝑧 + ⋯+ 𝜃𝑞𝑧𝑞 = 0 ⇒ |𝑧| > 1</p><p>Vamos analisar cada modelo:</p><p>a) Modelo 1 (𝑍𝑡 = 0,8𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 0,3𝑎𝑡−1):</p><p>a.1) condição para ser estacionário: 1 − 0,8𝑧 = 0</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>102</p><p>178</p><p>𝑧 = 10,8 = 1,25 ⇒ |𝒛| > 𝟏</p><p>a.2) condição para ser invertível: 1 − 0,3𝑧 = 0 𝑧 = 10,3 = 3,33 ⇒ |𝒛| > 𝟏</p><p>b) Modelo 2 (𝑍𝑡 = 1,5𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 0,6𝑎𝑡−1):</p><p>b.1) condição para ser estacionário: 1 − 1,5𝑧 = 0 𝑧 = 11,5 = 0,66 ⇒ |𝒛| 𝟏</p><p>Gabarito: D.</p><p>14. (FCC/TRT 23ª Região/2022) Considere o modelo autorregressivo de primeira ordem AR(1), 𝒁𝒕 = 𝟐 +𝟎, 𝟔𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, com 𝒂𝒕 ∼ 𝑵(𝟎, 𝝈𝟐). A previsão 𝒏 passos à frente para a variável Z convergirá para:</p><p>a) 0</p><p>b) 5</p><p>c) 0,60</p><p>d) ∞</p><p>e) 2</p><p>Comentários:</p><p>Nessa questão, temos que descobrir o valor esperado do processo autorregressivo, AR(1), 𝑛 passos à frente: 𝑍𝑡+𝑛 = 2 + 0,6𝑍𝑡+𝑛−1 + 𝑎𝑡+𝑛 𝐸[𝑍𝑡+𝑛] = 𝐸[2 + 0,6𝑍𝑡+𝑛−1 + 𝑎𝑡+𝑛] 𝐸[𝑍𝑡+𝑛] = 𝐸[2] + 𝐸[0,6𝑍𝑡+𝑛−1] + 𝐸[𝑎𝑡+𝑛]</p><p>Como 𝑎𝑡 ∼ 𝑁(0, 𝜎2), 𝐸[𝑎𝑡+𝑛] = 0: 𝐸[𝑍𝑡+𝑛] = 2 + 0,6 × 𝐸[𝑍𝑡+𝑛−1] + 0</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>4</p><p>178</p><p>==1365fc==</p><p>(IADES/SEAP-DF/2014) Uma série temporal é qualquer conjunto de observações ordenadas no tempo.</p><p>Acerca das séries temporais, assinale a alternativa correta.</p><p>a) As séries temporais não podem ser contínuas nem discretas.</p><p>b) Os modelos utilizados para descrever séries temporais não são controlados por fatores probabilísticos.</p><p>c) Os modelos utilizados para descrever séries temporais são processos estocásticos, isto é, processos</p><p>controlados por leis probabilísticas.</p><p>d) Um conjunto de observações ordenadas no tempo não é uma série temporal.</p><p>e) Um conjunto de índices diários da bolsa de valores não é um exemplo de série temporal.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos analisar cada alternativa:</p><p>Alternativa A: Incorreta. Não há nenhuma restrição quanto ao tipo de dado, podendo ser discreto ou</p><p>contínuo. Por exemplo, a série temporal da produção mensal de painéis solares no Brasil será constituída</p><p>por dados discretos. Por outro lado, a série temporal da variação das alturas das marés será constituída por</p><p>dados contínuos.</p><p>Alternativa B: Incorreta. Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias representando a</p><p>evolução de um sistema de valores com o tempo, ou seja, uma série temporal. É a contraparte probabilística</p><p>de um processo determinístico. Ao invés de um processo que possui um único modo de evoluir, em um</p><p>processo estocástico há uma indeterminação: mesmo que se conheça a condição inicial, existem várias, por</p><p>vezes infinitas, direções nas quais o processo pode evoluir.</p><p>Alternativa C: Correta. De fato, os modelos utilizados para descrever séries temporais são processos</p><p>estocásticos, isto é, processos controlados por leis probabilísticas.</p><p>Alternativa D: Incorreta. É exatamente o contrário - um conjunto de observações ordenadas no tempo é uma</p><p>série temporal.</p><p>Alternativa D: Incorreta. Uma série temporal é um conjunto de observações ordenadas no tempo. Os preços</p><p>das ações são observações de valores negociados de forma sequencial em determinado período (dias, horas,</p><p>minutos). Portanto, esses dados podem ser vistos como uma série temporal.</p><p>Gabarito: C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>5</p><p>178</p><p>MODELO CLÁSSICO</p><p>As séries temporais podem ser decompostas em quatro componentes: tendência secular (T), variação</p><p>sazonal (S), variação cíclica (C), variação irregular ou aleatória (I). Esses quatro componentes serão</p><p>detalhados nas subseções seguintes.</p><p>Tendência</p><p>A tendência descreve um movimento suave (a longo prazo) dos dados, para cima ou para baixo. As</p><p>tendências podem estar relacionadas com fatos tais como variações de população, modificações nas</p><p>preferências dos consumidores, maior ênfase em energia sustentável, etc.</p><p>A tendência diz respeito ao comportamento geral dos dados de aumentarem, diminuírem ou estagnarem</p><p>por um longo período. Por exemplo, a série temporal do consumo de eletricidade no Brasil apresenta uma</p><p>tendência ascendente ou crescente.</p><p>A tendência pode ser linear ou não. Caso não seja linear, podemos escolher outro tipo de função</p><p>(exponencial, logarítmica, quadrática) que melhor se adapte à representação gráfica da série temporal.</p><p>Variação Sazonal</p><p>As variações sazonais referem-se às mudanças que ocorrem devido às forças rítmicas que atuam de forma</p><p>regular e periódica. Essas forças geralmente seguem um padrão semelhante ano após ano. Dessa forma, as</p><p>variações sazonais são variações cíclicas a prazo relativamente curto (um ano ou menos).</p><p>Quando registramos dados semanais, mensais ou trimestrais, podemos ver e calcular as variações sazonais.</p><p>Contudo, quando uma série temporal consiste apenas em dados baseados em valores anuais, não somos</p><p>capazes de identificar variações sazonais.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>6</p><p>178</p><p>Essas variações podem ser devidas a estações do ano, época, condições climáticas, feriados, hábitos,</p><p>costumes ou tradições. Por exemplo, a venda de sorvetes aumenta no verão; a venda de livros didáticos</p><p>cresce no primeiro bimestre; a venda de roupas de frio cresce no inverno; etc.</p><p>Variação Cíclica</p><p>As variações cíclicas são oscilações de longo prazo em torno de uma linha de tendência. Esses ciclos podem</p><p>ou não ser periódicos, ou seja, podem ou não seguir padrões semelhantes após intervalos de tempo iguais.</p><p>Essas variações possuem duração maior que um ano e não mostram o tipo de regularidade observada no</p><p>caso de variações sazonais.</p><p>Um exemplo de variação cíclica ocorre nos chamados ciclos de negócios, representando intervalos de</p><p>prosperidade, recessão, depressão e recuperação. Essas fases seguem umas às outras com regularidade</p><p>constante e o período entre dois picos de prosperidade é chamado de ciclo completo. Os períodos usuais de</p><p>um ciclo de negócios podem variar entre 5 a 11 anos.</p><p>Na fase de prosperidade, os negócios prosperam, os preços sobem e os lucros se multiplicam. Isso causa</p><p>aumento da atividade econômica, dificuldades de transporte, aumento dos salários, deficiência de mão-de-</p><p>obra, altas taxas de juros e escassez de dinheiro no mercado, levando à recessão. O ponto em que a atividade</p><p>econômica atinge seu ápice é denominado de pico.</p><p>Na fase de depressão, há pessimismo no comércio e nas indústrias. A atividade econômica diminui e o</p><p>desemprego se espalha. Isso causa a ociosidade de dinheiro, a disponibilidade de dinheiro a juros baixos e o</p><p>aumento na demanda por bens e serviços, caracterizando a situação de recuperação econômica. O ponto</p><p>em que a atividade econômica atinge seu nível mais baixo é denominado de vale.</p><p>A maioria das séries econômicas e de negócios relacionadas a renda, investimento, salários e produção</p><p>mostra essa tendência.</p><p>Variação Irregular (ou aleatória)</p><p>As variações aleatórias são flutuações resultantes de forças imprevistas e imprevisíveis. Essas forças são</p><p>causadas por ocorrências raras, operam de maneira absolutamente aleatória ou errática, e não têm</p><p>nenhum padrão definido. As variações irregulares podem ser resultantes de enchentes, guerras, pandemias,</p><p>terremotos, conflitos políticos, etc.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>7</p><p>178</p><p>O gráfico a seguir ilustra a interação das 4 (quatro) componentes de uma série temporal:</p><p>(IBADE/IPERON/2017) Considerando uma série temporal, é correto afirmar que a tendência indica:</p><p>a) comportamento sazonal a curto prazo.</p><p>b) ciclos de altas e quedas periódicas de valores a curto prazo.</p><p>c) comportamento independente dos dados a longo, curto e médio prazo.</p><p>d) comportamento a longo prazo.</p><p>e) somente se há um outlier conhecido como ponto influente.</p><p>Comentários:</p><p>A tendência descreve um movimento suave (a longo prazo) dos dados, para cima ou para baixo. Ela diz</p><p>respeito ao comportamento geral dos dados de aumentarem, diminuírem ou estagnarem por um longo</p><p>período.</p><p>Gabarito: D.</p><p>Variação Cíclica</p><p>Variação Sazonal</p><p>Variação Irregular</p><p>Tendência Secular</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>8</p><p>178</p><p>(UEPA/FAPESPA/2014) Definem-se séries temporais como um conjunto cronológico de observações.</p><p>Então, considere a seguinte situação: uma indústria está selecionando pessoas para trabalhar na área de</p><p>controle de qualidade por meio de currículo e entrevistas. Durante a entrevista o responsável pelo setor</p><p>103</p><p>178</p><p>Além disso, 𝐸[𝑍𝑡+𝑛] = 𝐸[𝑍𝑡+𝑛−1] = 𝜇. Assim, temos que: 𝜇 = 2 + 0,6 × 𝜇 0,4 × 𝜇 = 2 𝐸[𝑍𝑡+𝑛] = 𝜇 = 5</p><p>Gabarito: B.</p><p>15. (FGV/TJDFT/2022) Sejam os modelos ARIMA(2,0,0) a seguir.</p><p>I. 𝒛𝒕 = 𝟎, 𝟒𝒛𝒕−𝟏 + 𝟎, 𝟖𝒛𝒕−𝟐 + 𝜺𝒕</p><p>II. 𝒛𝒕 = 𝟎, 𝟖𝒛𝒕−𝟏 − 𝟎, 𝟒𝒛𝒕−𝟐 + 𝜺𝒕</p><p>III. 𝒛𝒕 = −𝟎, 𝟒𝒛𝒕−𝟏 + 𝟎, 𝟖𝒛𝒕−𝟐 + 𝜺𝒕</p><p>Sendo (𝜺𝟏, 𝜺𝟐,..., 𝜺𝒕) variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, iid, com média zero</p><p>e variância constante, ou seja, os εt′s, formam uma sequência de ruídos brancos.</p><p>A condição de estacionariedade é satisfeita somente no(s) modelo(s):</p><p>a) I;</p><p>b) II;</p><p>c) III;</p><p>d) I e II;</p><p>e) I e III.</p><p>Comentários:</p><p>Os modelos em questão são autorregressivos do tipo AR(2), os quais podem ser representados por: 𝑍𝑡 = 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜙2𝑍𝑡−2 + 𝜀𝑡</p><p>Um processo 𝐴𝑅(2) é estacionário somente se as raízes da equação característica estiverem fora do círculo</p><p>unitário: 1 − 𝜙1𝑧 − 𝜙1𝑧2 = 0 ⇒ |𝑧| > 1</p><p>Vamos analisar cada modelo:</p><p>I. 𝑧𝑡 = 0,4𝑧𝑡−1 + 0,8𝑧𝑡−2 + 𝜀𝑡</p><p>A equação característica é: 1 − 0,4𝑧 − 0,8𝑧2 = 0 𝛥 = 0,16 + 3,2 = 3,36 𝑧 = 0,4 ± 1,833−1,6 = {−1,3950,895</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>104</p><p>178</p><p>O processo não é estacionário, pois uma das raízes é interna ao círculo unitário.</p><p>II. 𝑧𝑡 = 0,8𝑧𝑡−1 − 0,4𝑧𝑡−2 + 𝜀𝑡 (Estacionário)</p><p>A equação característica é: 1 − 0,8𝑧 + 0,4𝑧2 = 0 𝛥 = 0,64 − 1,6 = −0,96 𝑧 = 0,8 ± 0,98𝑖0,8 = {1 + 1,11𝑖1 − 1,11𝑖</p><p>O processo é estacionário, pois as duas raízes estão fora do círculo unitário.</p><p>III. 𝑧𝑡 = −0,4𝑧𝑡−1 + 0,8𝑧𝑡−2 + 𝜀𝑡 (Não estacionário)</p><p>A equação característica é: 1 + 0,4𝑧 − 0,8𝑧2 = 0 𝛥 = 0,16 + 3,2 = 3,36 𝑧 = −0,4 ± 1,833−1,6 = {−0,8951,395</p><p>O processo não é estacionário, pois uma das raízes é interna ao círculo unitário.</p><p>Gabarito: B.</p><p>16. (FGV/TJDFT/2022) O gráfico a seguir representa uma série temporal.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>105</p><p>178</p><p>Com a finalidade de identificar o modelo, devem ser observadas a função de autocorrelação (FAC) e a</p><p>função de autocorrelação parcial (FACP) da série com uma diferença que está ilustrada nos gráficos a</p><p>seguir.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>106</p><p>178</p><p>Seja a notação de modelo tipo ARIMA (p, d, q), sendo p, a ordem da parte autorregressiva; d, o grau da</p><p>diferenciação; e q, a ordem da parte de médias móveis.</p><p>O modelo que melhor representa a série temporal é:</p><p>a) ARIMA(0,0,1);</p><p>b) ARIMA(0,1,1);</p><p>c) ARIMA(1,0,1);</p><p>d) ARIMA(1,1,0);</p><p>e) ARIMA(1,1,1).</p><p>Comentários:</p><p>Ao analisarmos o primeiro gráfico, percebemos que a série em questão não é estacionária, sendo necessária</p><p>uma integração de ordem 1. É, portanto, uma série temporal que se torna estacionária com a primeira</p><p>diferença, logo, d=1.</p><p>A partir do segundo gráfico, conseguimos verificar que a função de autocorrelação apresenta decaimento</p><p>exponencial e, com base no terceiro, verificamos que a função de autocorrelação parcial é truncada na</p><p>primeira defasagem, vez que para as demais defasagens os valores são muito próximos de zero.</p><p>Isso ocorre quando a série temporal é do tipo autorregressiva. Quando a função de autocorrelação parcial</p><p>trunca a partir da defasagem 𝑝, temos um indicativo de que o processo é do tipo 𝐴𝑅(𝑝). Portanto, na</p><p>presente questão, temos 𝑝 = 1.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>107</p><p>178</p><p>Por fim, o modelo não indica a presença de médias móveis, vez que, se fosse o caso, os gráficos</p><p>apresentariam o comportamento inverso. Assim, considerando a notação ARIMA(p, d, q), temos um modelo</p><p>do tipo ARIMA(1,1,0).</p><p>Gabarito: D.</p><p>17. (FGV/TJDFT/2022) No contexto de Séries Temporais são impostas restrições de estacionariedade e</p><p>invertibilidade para os modelos ARIMA(p, d, q).</p><p>Considerando a notação na forma de operador retardo (𝟏 − 𝝓𝟏𝑩 −⋯−𝝓𝒑𝑩𝒑)𝒁𝒕 = (𝟏 −𝜽𝟏𝑩−. . . −𝜽𝟏𝑩𝒒)𝜺𝒕, sendo 𝜺𝒕 ∼ 𝑵(𝟎, 𝝈𝟐), o modelo, na forma de equação de diferenças, que está de</p><p>acordo com as restrições é:</p><p>a) 𝑍𝑡 = 0,5𝑍𝑡−1 + 𝜀𝑡</p><p>b) 𝑍𝑡 = 0,5𝑍𝑡−1 − 1,3𝜀𝑡−1 − 0,4𝜀𝑡−2 + 𝜀𝑡</p><p>c) 𝑍𝑡 = 1,5𝑍𝑡−1 + 0,6𝑍𝑡−2 + 𝜀𝑡</p><p>d) 𝑍𝑡 = 1,5𝑍𝑡−1 + 𝜀𝑡</p><p>e) 𝑍𝑡 = 0,5𝑍𝑡−1 − 1,3𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡</p><p>Comentários:</p><p>Um processo 𝐴𝑅(𝑝) é estacionário somente se as raízes da equação característica estiverem fora do círculo</p><p>unitário: 1 − 𝜙1𝑧 − ⋯− 𝜙𝑝𝑧𝑝 = 0 ⇒ |𝑧| > 1</p><p>Já um processo MA(q) é invertível somente se as raízes da sua equação característica estiverem fora do</p><p>círculo unitário: 1 + 𝜃1𝑧 + ⋯+ 𝜃𝑞𝑧𝑝 = 0 ⇒ |𝑧| > 1</p><p>Sabendo disso, analisaremos cada série:</p><p>a) 𝑍𝑡 = 0,5𝑍𝑡−1 + 𝜀𝑡</p><p>Correta. A série representa um processo AR(1), cuja condição de estacionariedade pode ser verificada</p><p>fazendo-se: 𝑍𝑡 − 0,5𝑍𝑡−1 (1 − 0,5𝐵)𝑍𝑡 1 − 0,5𝑧 = 0 ⇒ 𝑧 = 2 > 1</p><p>Além disso, todo processo autoregressivo também é invertível.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>108</p><p>178</p><p>==1365fc==</p><p>b) 𝑍𝑡 = 0,5𝑍𝑡−1 − 1,3𝜀𝑡−1 − 0,4𝜀𝑡−2 + 𝜀𝑡</p><p>Incorreta. A série representa um processo ARMA(1,2), cuja condição de estacionariedade pode ser verificada</p><p>fazendo-se: 𝑍𝑡 − 0,5𝑍𝑡−1 (1 − 0,5𝐵)𝑍𝑡 1 − 0,5𝑧 = 0 ⇒ 𝑧 = 2 > 1</p><p>Portanto, o processo é estacionário. Já para a condição de invertibilidade, precisamos verificar: −1,3𝑧 − 0,4𝑧2 + 1 = 0 𝛥 = 1,69 + 1,6 = 3,29 𝑧 = 1,3 ± 1,8−0,8 = { −3,87−0,625</p><p>O processo não é invertível, pois uma das raízes é interna ao círculo unitário.</p><p>c) 𝑍𝑡 = 1,5𝑍𝑡−1 + 0,6𝑍𝑡−2 + 𝜀𝑡</p><p>Incorreta. A série representa um processo AR(2). A equação característica é: 1 − 1,5𝑧 − 0,6𝑧2 = 0 𝛥 = 2,25 + 2,4 = 4,65 𝑧 = 1,5 ± 2,15−1,2 = {−3,040,54</p><p>O processo não é estacionário, pois uma das raízes é interna ao círculo unitário.</p><p>d) 𝑍𝑡 = 1,5𝑍𝑡−1 + 𝜀𝑡</p><p>Incorreta. A série representa um modelo AR(1). Verificando-se a regra apresentada anteriormente, temos: 1 − 1,5𝑧 = 0 ⇒ 𝑧 = 0,66</p><p>os seguintes processos de séries temporais (𝟏 – 𝟏, 𝟐𝑩)𝒀𝒕 = 𝒂𝒕 e 𝒁𝒕 = (𝟏 − 𝟎, 𝟐𝑩 + 𝟎, 𝟖𝑩𝟐)𝒂𝒕, em que 𝒂𝒕 representa um choque aleatório no instante t e B representa o</p><p>operador transição para o passado. Neste caso, é correto afirmar que</p><p>a) 𝑍𝑡 e 𝑌𝑡 são processos invertíveis.</p><p>b) 𝑍𝑡 possui um processo autoregressivo de ordem 2.</p><p>c) 𝑌𝑡 é um processo estacionário e 𝑍𝑡 é um processo invertível.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>110</p><p>178</p><p>d) 𝑍𝑡 e 𝑌𝑡 são processos estacionários.</p><p>e) 𝑌𝑡 é um processo invertível e 𝑍𝑡 não é um processo estacionário.</p><p>Comentários:</p><p>Inicialmente, precisamos identificar o modelo das séries temporais apresentadas. Temos a série: (1 – 1,2𝐵)𝑌𝑡 = at</p><p>O modelo autorregressivo está relacionado à correlação da variável com seus próprios valores anteriores. O</p><p>modelo autorregressivo de ordem 1 é representado por: 𝑦𝑡 = 𝛿 + 𝜙1𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡</p><p>Aplicando o operador de translação para o passado B (backshift) chegaremos à seguinte equação: 𝑦𝑡(1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2 −⋯− 𝜙𝑝𝐵𝑝) − 𝛿 = 𝜀𝑡</p><p>Aqui, temos o que chamamos de operador ou polinômio autorregressivo estacionário de ordem p, (1 −𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2 −⋯− 𝜙𝑝𝐵𝑝), que pode ser representado por 𝜙(𝐵). Substituindo na equação, temos: 𝜙(𝐵)𝑦𝑡 = 𝛿 + 𝜀𝑡</p><p>Perceba que em 𝑌𝑡 temos um modelo autorregressivo de ordem 1, que sempre é invertível.</p><p>O processo AR(p) será estacionário se as raízes do polinômio 𝝓(𝑩) estiverem fora do círculo unitário.</p><p>Portanto, para sabermos se 𝑌𝑡 é estacionário, precisamos calcular as raízes do polinômio.</p><p>Agora, vamos analisar a série 𝑍𝑡: 𝑍𝑡 = (1 − 0,2𝐵 + 0,8𝐵2)at</p><p>Temos um modelo de médias móveis de ordem 2. Podemos inferir que o MA(q) é reescrito como observações</p><p>pregressas de ruídos brancos. Temos que o modelo é dado por: 𝑦𝑡 = 𝜇 + 𝜀𝑡 − 𝜃1𝜀𝑡−1 − 𝜃2𝜀𝑡−2 −⋯− 𝜃𝑞𝜀𝑡−𝑞</p><p>Aplicando o operador de translação para o passado B (backshift): 𝑦𝑡 = 𝜇 + (1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2 −⋯− 𝜃𝑞𝐵𝑞)𝜀𝑡</p><p>Aqui, temos o que chamamos de operador de médias móveis de ordem q, (1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2 −⋯− 𝜃𝑞𝐵𝑞),</p><p>que pode ser representado por 𝜃(𝐵). Substituindo na equação, temos: 𝑦𝑡 = 𝜇 + 𝜃(𝐵)𝜀𝑡</p><p>Assim, podemos estabelecer que, se 𝑞 é finito, o processo MA(q) será sempre estacionário. Portanto, o</p><p>modelo 𝑍𝑡 é estacionário.</p><p>O processo MA(q) será invertível se as raízes do polinômio 𝜃(𝐵) estiverem fora do círculo unitário. Portanto,</p><p>para sabermos se 𝑍𝑡 é invertível, precisamos calcular as raízes do polinômio. Então, temos: 1 − 0,2𝐵 + 0,8𝐵2 = 0</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>111</p><p>178</p><p>∆= (−0,2)2 − 4 × 1 × 0,8 ∆= 0,04 − 3,2 ∆= −3,16</p><p>Chegamos a um valor de ∆ negativo, porém, as raízes podem ser complexas. O que devemos avaliar é se as</p><p>raízes são maiores que 1 para determinarmos se o processo é invertível, para isso observaremos o módulo</p><p>das raízes. Calculando as raízes temos: 𝑏 = 0,2 ± √−3,161,6</p><p>𝑏 = 0,21,6 ± √3,161,6 × 𝑖</p><p>Em que 𝑖 = √−1.</p><p>Calcularemos agora o módulo de um número complexo: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2</p><p>Assim, teremos: 𝑏 = 0,2 ÷ 0,21,6 ÷ 0,2 ± √3,161,6 × 𝑖</p><p>𝑏 = 18 ± √3,161,6 × 𝑖</p><p>|𝑏| = √(18)2 + (√3,161,6 )2</p><p>|𝑏| = √ 164 + 3,162,56</p><p>|𝑏| = √ 164 + 3,16 × 2564</p><p>|𝑏| = √ 164 + 7964</p><p>|𝑏| = √8064</p><p>|𝑏| = √108 = √1,25 > 1</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>112</p><p>178</p><p>Assim, concluímos que as raízes do polinômio de 𝑍𝑡 estão fora do círculo unitário. Portanto, 𝑍𝑡 também é</p><p>invertível.</p><p>Então, temos que 𝑌𝑡 é invertível e 𝑍𝑡 é estacionário e invertível.</p><p>Analisando as alternativas, a única correta é a letra A.</p><p>Gabarito: A.</p><p>20. (CESPE/ALECE/2021) Uma série temporal é gerada por um modelo na forma 𝑿𝒕 = 𝟎, 𝟐𝟑𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 −𝟎, 𝟐𝟑𝒂𝒕−𝟏, em que 𝒕 ∈ 𝒁 é um índice que representa o tempo; 𝒂𝒕 é um ruído branco no tempo t, tendo</p><p>média nula e variância constante; e 𝑿𝒕 denota que a variável aleatória 𝑿 é observada no instante de tempo</p><p>t.</p><p>Com base nessas informações, infere-se que a correlação linear entre 𝑿𝒕 e 𝑿𝒕−𝟏 é igual a</p><p>a) 0,46.</p><p>b) + 0,46.</p><p>c) 0,23.</p><p>d) 0,00.</p><p>e) + 0,23.</p><p>Comentários:</p><p>O enunciado informa que a série temporal é gerada por um modelo na forma: 𝑋𝑡 = 0,23𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 0,23𝑎𝑡−1</p><p>Utilizando o operador de defasagem 𝐵𝑍𝑡 = 𝑍𝑡−1, podemos reescrever nossa série como: 𝑋𝑡 = 0,23𝐵𝑋𝑡 + 𝑎𝑡 − 0,23𝐵𝑎𝑡</p><p>Agrupando os termos, obtemos: 𝑋𝑡 − 0,23𝐵𝑋𝑡 = 𝑎𝑡 − 0,23𝐵𝑎𝑡 (1 − 0,23𝐵)𝑋𝑡 = (1 − 0,23𝐵)𝑎𝑡 𝑋𝑡 = 𝑎𝑡</p><p>Assim, concluímos que a correlação entre 𝑋𝑡 e 𝑋𝑡−1 é igual à correlação entre 𝑎𝑡 e 𝑎𝑡−1, mas como cada 𝑎 é</p><p>um ruído branco, as variáveis 𝑎𝑡 e 𝑎𝑡−1 são independentes e possuem correlação nula.</p><p>Gabarito: D.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>113</p><p>178</p><p>21. (CESPE/MJSP/2021) Julgue o próximo item, considerando um modelo de séries temporais do tipo 𝒁𝒕 =𝟐 + 𝟎, 𝟑𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, no qual 𝒂𝒕 ∼ 𝑵(𝟎, 𝟏) forma uma sequência de ruídos aleatórios independentes e</p><p>identicamente distribuídos.</p><p>A média do processo 𝑍𝑡 é igual a 2.</p><p>Comentários:</p><p>O processo em questão é do tipo 𝐴𝑅(1). Calculando o valor esperado do processo, temos que: 𝐸[𝑍𝑡] = 𝐸[2] + 𝐸[0,3𝑍𝑡−1] + 𝐸[𝑎𝑡]</p><p>Como os valores esperados de 𝑍𝑡 para cada 𝑡 são idênticos, podemos denominar a média de 𝜇. Além disso,</p><p>como 𝑎𝑡 ∼ 𝑁(0,1), temos 𝐸[𝑎𝑡] = 0. Assim, obtemos: 𝜇 = 2 + 0,3𝜇 + 0 𝜇 − 0,3𝜇 = 2 𝜇 = 20,7 ≈ 2,86</p><p>Portanto, a média do processo 𝑍𝑡 é aproximadamente 2,86.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>22. (CESPE/MJSP/2021) Julgue o próximo item, considerando um modelo de séries temporais do tipo 𝒁𝒕 =𝟐 + 𝟎, 𝟑𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, no qual 𝒂𝒕 ∼ 𝑵(𝟎, 𝟏) forma uma sequência de ruídos aleatórios independentes e</p><p>identicamente distribuídos.</p><p>A autocorrelação entre 𝑍𝑡 e 𝑍𝑡−2 é igual a 0,09.</p><p>Comentários:</p><p>A série temporal em questão é um processo do tipo 𝐴𝑅(1), que pode ser representado da seguinte forma: 𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜀𝑡</p><p>com 𝜇 e 𝜙1 constantes e 𝜀𝑡 ∼ 𝑁(0,1).</p><p>A autocorrelação entre observações distantes 𝑘 períodos é dada por 𝜌𝑘 = 𝜙1𝑘</p><p>Como o enunciado pede a autocorrelação entre 𝑍𝑡 e 𝑍𝑡−2, utilizaremos 𝑘 = 2. Além disso, já sabemos que 𝜙1 = 0,3. Portanto, 𝜌2 = 0,32 = 0,09</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>114</p><p>178</p><p>23. (CESPE/MJSP/2021) Julgue o próximo item, considerando um modelo de séries temporais do tipo 𝒁𝒕 =𝟐 + 𝟎, 𝟑𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, no qual 𝒂𝒕 ∼ 𝑵(𝟎, 𝟏) forma uma sequência de ruídos aleatórios independentes e</p><p>identicamente distribuídos.</p><p>A autocorrelação parcial entre 𝑍𝑡+2 e 𝑍𝑡−2 é superior a 0,01.</p><p>Comentários:</p><p>A série temporal em questão é um processo do tipo 𝐴𝑅(1), que pode ser representado da seguinte forma: 𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜀𝑡</p><p>com 𝜇 e 𝜙1 constantes e 𝜀𝑡 ∼ 𝑁(0,1).</p><p>Todo processo autorregressivo, 𝐴𝑅(𝑝), tem a função de autocorrelação parcial nula para defasagens iguais</p><p>ou superiores a 𝑝. Portanto, o processo 𝐴𝑅(1) tem correlações parciais nulas para defasagens iguais ou</p><p>superiores a 1. Logo, a autocorrelação parcial entre 𝑍𝑡+2 e 𝑍𝑡−2 será zero.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>24. (CESPE/MJSP/2021) Julgue o próximo item, considerando um modelo de séries temporais do tipo 𝒁𝒕 =𝟐 + 𝟎, 𝟑𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, no qual 𝒂𝒕 ∼ 𝑵(𝟎, 𝟏) forma uma sequência de ruídos aleatórios independentes e</p><p>identicamente distribuídos.</p><p>A série</p><p>temporal 𝑊𝑡 = (1 − 0,3𝐵)𝑍𝑡, em que B denota o operador backshift, segue um processo white noise</p><p>(ruído branco) que possui média zero e variância 1.</p><p>Comentários:</p><p>Utilizando o operador de defasagem 𝐵𝑍𝑡 = 𝑍𝑡−1, podemos escrever a série como: 𝑍𝑡 = 2 + 0,3𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡 𝑍𝑡 = 2 + 0,3𝐵𝑍𝑡 + 𝑎𝑡</p><p>Reorganizando os termos, temos: 𝑍𝑡 − 0,3𝐵𝑍𝑡 = 2 + 𝑎𝑡 (1 − 0,3𝐵)𝑍𝑡 = 2 + 𝑎𝑡</p><p>Portanto, o processo 𝑊𝑡 = (1 − 0,3𝐵)𝑍𝑡 pode ser definido como: 𝑊𝑡 = 2 + 𝑎𝑡</p><p>Como 𝑎𝑡 ∼ 𝑁(0,1), verificamos que a variável 𝑊𝑡 também segue distribuição normal, posto que deriva da</p><p>soma entre uma constante e uma variável normal: 𝑊𝑡 = 2⏟𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 + 𝑎𝑡⏟𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>115</p><p>178</p><p>Agora, calculando o valor esperado e a variância, temos: 𝐸(𝑊𝑡) = 𝐸(2 + 𝑎𝑡) = 2 + 𝐸(𝑎𝑡) = 2 𝑉𝑎𝑟(𝑊𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(2 + 𝑎𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) = 1</p><p>Para ser considerado um ruído branco, a média de 𝑊𝑡 deveria ser igual a zero.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>25. (FGV/FEMPAR/2021) Consórcio de veículos de imprensa passa a divulgar dados mais detalhados sobre</p><p>a pandemia de Covid-19 no Brasil.</p><p>Além dos números diários de casos e mortes, um novo indicador, recomendado por especialistas e</p><p>adotado por diversos veículos da imprensa internacional, passa a ser divulgado: a média móvel. Ao adotar</p><p>tal critério, os gráficos passam a mostrar o número de casos e mortes de cada dia em barras, e uma linha</p><p>mostrará a média móvel dos últimos 7 dias.</p><p>Fonte: g1.globo.com (Adaptado). Acesso em 09/07/2020.</p><p>Em Estatística, a média móvel é um estimador calculado a partir de uma sequência de observações que</p><p>suaviza flutuações curtas e privilegia tendências de longo prazo. A “média móvel dos últimos 7 dias”, citada</p><p>na reportagem, é a média aritmética dos 7 últimos valores observados. No dia seguinte, o novo registro</p><p>substitui o registro mais antigo da série e a média aritmética é recalculada.</p><p>Nos primeiros 7 dias de janeiro, a média móvel de mortes confirmadas por Covid-19 no Brasil divulgada</p><p>foi 741. No dia 8 de janeiro, esse número aumentou para 872.</p><p>Com relação ao número de mortes por Covid-19 no dia 1° de janeiro, o dia 8 desse mesmo mês apresentou,</p><p>a mais,</p><p>a) 19 óbitos.</p><p>b) 131 óbitos.</p><p>c) 806 óbitos.</p><p>d) 917 óbitos.</p><p>e) 1.834 óbitos</p><p>Comentários:</p><p>Conforme o enunciado, a média móvel dos primeiros 7 dias de janeiro é de 741 mortes, então: 741 = 𝑀1 +𝑀2 +𝑀3 +𝑀4 +𝑀5 +𝑀6 +𝑀77 𝑀1 +𝑀2 +𝑀3 +𝑀4 +𝑀5 +𝑀6 +𝑀7 = 5187 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠</p><p>em que 𝑀𝑖, 𝑖 = 1,2, . . . 7, representa a quantidade de mortes nos dias 1 a 7.</p><p>No dia 8 de janeiro, a média móvel aumentou para 872, ou seja,</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>116</p><p>178</p><p>872 = 𝑀2 +𝑀3 +𝑀4 +𝑀5 +𝑀6 +𝑀7 +𝑀87 𝑀2 +𝑀3 +𝑀4 +𝑀5 +𝑀6 +𝑀7 +𝑀8 = 6104 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠</p><p>Juntando as duas expressões, temos: 𝑀2 +𝑀3 +𝑀4 +𝑀5 +𝑀6 +𝑀7 +𝑀8 = 6104 5187 −𝑀1 +𝑀8 = 6104 𝑀8 −𝑀1 = 917 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠</p><p>Portanto, com relação ao número de mortes por Covid-19 no dia 1° de janeiro, o dia 8 desse mesmo mês</p><p>apresentou 917 mortes a mais.</p><p>Gabarito: D.</p><p>26. (VUNESP/EBSERH/2020) A variável y segue um processo representado por 𝒚𝒕 = 𝝓𝟏𝒚𝒕−𝟏 +𝝓𝟐𝒚𝒕−𝟐 +𝜺𝒕 + 𝜽𝜺𝒕−𝟏, sendo 𝜺𝒕 um ruído branco.</p><p>Esse processo é denominado</p><p>a) ARMA(2,1).</p><p>b) ARMA(1,2).</p><p>c) AR(2).</p><p>d) ARIMA(2,1,1).</p><p>e) ARIMA(1,2,1).</p><p>Comentários:</p><p>O modelo autorregressivo e de médias móveis de ordens p e q, ARMA(p,q), faz a junção dos modelos</p><p>autoregressivo de ordem p, AR(p), e de média móvel de ordem q, 𝑀𝐴(q), sendo representado por: 𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑍𝑡−1 +⋯+ 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 − 𝜃1𝜀𝑡−1 −⋯− 𝜃𝑞𝜀𝑡−𝑞</p><p>em que 𝜇, 𝜙1, … , 𝜙𝑝, 𝜃1, … , 𝜃𝑞 são parâmetros reais e 𝜀𝑡 é um ruído branco, isto é, i.i.d. com 𝐸(𝜀𝑡) = 0 e 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡) = 𝜎2.</p><p>Sabendo disso, o processo 𝑦𝑡 = 𝜙1𝑦𝑡−1 + 𝜙2𝑦𝑡−2 + 𝜀𝑡 + 𝜃𝜀𝑡−1,</p><p>é um modelo 𝐴𝑅𝑀𝐴(2,1), sendo uma junção de um modelo 𝐴𝑅(2) com um 𝑀𝐴(1).</p><p>Gabarito: A.</p><p>27. (VUNESP/EBSERH/2020) O processo 𝒀𝒕 = √𝟐𝒀𝒕−𝟏 − 𝒀𝒕−𝟐 + 𝜺𝒕 é</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>117</p><p>178</p><p>a) um ruído branco.</p><p>b) não estacionário.</p><p>c) estacionário de 2ª ordem.</p><p>d) estacionário em torno da tendência.</p><p>e) fortemente estacionário.</p><p>Comentários:</p><p>O modelo em questão é um processo autorregressivo de ordem 2, AR(2). De modo geral, o modelo</p><p>autorregressivo de ordem p, AR(p), é representado por: 𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜙1𝑍𝑡−1 +⋯+ 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡</p><p>em que 𝜇, 𝜙1, … , 𝜙𝑝 são parâmetros reais e 𝜀𝑡 é um ruído branco, isto é, i.i.d. com 𝐸(𝜀𝑡) = 0 e 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡) =𝜎2.</p><p>Um processo 𝐴𝑅(𝑝) é estacionário somente se as raízes da equação característica estiverem fora do círculo</p><p>unitário: 1 − 𝜙1𝑧 − ⋯− 𝜙𝑝𝑧𝑝 = 0 ⇒ |𝑧| > 1</p><p>Na presente questão, temos que 𝜙1 = √2 > 1</p><p>Portanto, 𝑦𝑡 é não estacionário.</p><p>Gabarito: B.</p><p>28. (VUNESP/EsFCEx/2020) Seja uma série temporal estacionária, cujos gráficos das funções de</p><p>autocorrelação e autocorrelação parcial são apresentados a seguir:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>118</p><p>178</p><p>Seja a notação de modelo tipo ARIMA (p, d, q), sendo p a ordem da parte autorregressiva, d o grau da</p><p>diferenciação e q a ordem da parte de médias móveis. O modelo que representa melhor a série temporal</p><p>em questão é:</p><p>a) ARIMA (2, 1, 1).</p><p>b) ARIMA (0, 0, 2).</p><p>c) ARIMA (0, 0, 1).</p><p>d) ARIMA (0, 1, 0).</p><p>e) ARIMA (1, 0, 0).</p><p>Comentários:</p><p>Para a interpretação do correlograma, podemos adotar as seguintes regras:</p><p>Modelo</p><p>Função de Autocorrelação</p><p>(FAC)</p><p>Função de Autocorrelação</p><p>Parcial</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>119</p><p>178</p><p>(FACP)</p><p>AR(p) Decaimento exponencial Truncada na defasagem 𝑝</p><p>MA(q) Truncada na defasagem 𝑞 Decaimento exponencial</p><p>ARMA(p,q)</p><p>Decaimento exponencial</p><p>para 𝜆 > q</p><p>Decaimento exponencial</p><p>para 𝜆 > p</p><p>Conforme podemos observar, a função de autocorrelação apresenta decaimento exponencial, enquanto a</p><p>função de autocorrelação parcial é truncada na primeira defasagem, o que caracteriza um modelo AR(1).</p><p>Com relação à notação ARIMA(p, d, q), temos que: 𝐴𝑅(1) = 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(1,0,0).</p><p>Gabarito: E.</p><p>29. (FGV/DPE RJ/2019) Após uma análise sobre a série de tempo que reflete o volume de recursos</p><p>envolvidos nos feitos em que a Defensoria Pública atua, verificou-se a existência de um processo do tipo</p><p>MA(2).</p><p>Adicionalmente, estimou-se essa equação que modela a série sendo dada por: 𝒚𝒕 = 𝑲+ 𝟎, 𝟒. 𝜺𝒕−𝟐 + 𝟎, 𝟐. 𝜺𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕</p><p>Onde K é uma constante e 𝜺𝒕 um ruído branco, 𝑬(𝜺𝒕) = 𝟎 e 𝑬(𝜺𝒕𝟐) = 𝝈𝟐. Daí pode-se concluir que:</p><p>a) a média do processo é dada por</p><p>𝐾(1−0,4−0,2);</p><p>b) a variância do processo é dada por 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 0,20𝜎2;</p><p>c) se as raízes do polinômio 0,4𝐷2 + 0,2𝐷 + 1 estiverem fora do círculo unitário, o processo será</p><p>estacionário;</p><p>d) a correlação entre 𝑦𝑡 e 𝑦𝑡−2é igual a 0,4. 𝜎2;</p><p>e) a correlação entre 𝑦𝑡 e 𝑦𝑡−1 é igual a 7/30 .</p><p>Comentários:</p><p>Vamos analisar cada uma das alternativas:</p><p>Alternativa A: Errada.</p><p>Inicialmente, vamos calcular a média. Sabemos que 𝐸(𝜀𝑡) = 𝐸(𝜀𝑡−1) = 𝐸(𝜀𝑡−2) = 0. Assim,</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>120</p><p>178</p><p>𝑦𝑡 = 𝑘 + 0,4𝜀𝑡−2 + 0,2𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡 𝐸(𝑦𝑡) = 𝐸(𝑘 + 0,4𝜀𝑡−2 + 0,2𝜀𝑡−1</p><p>+ 𝜀𝑡) 𝐸(𝑦𝑡) = 𝐸(𝑘) + 0,4 × 𝐸(𝜀𝑡−2) + 0,2 × 𝐸(𝜀𝑡−1) + 𝐸(𝑎𝑡) 𝐸(𝑦𝑡) = 𝑘</p><p>Alternativa B: Errada.</p><p>Para a variância, temos que: 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(𝑘 + 0,4𝜀𝑡−2 + 0,2𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡) 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(𝑘) + 0,4² × 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡−2) + 0,2² × 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡−1) + 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡) 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 0 + 0,16𝜎2 + 0,04𝜎2 + 𝜎2 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 1,2𝜎2</p><p>Alternativa C: Errada.</p><p>Para que um processo de médias móveis seja estacionário é necessário que o polinômio característico tenha</p><p>raízes dentro do círculo unitário. No presente caso, o polinômio característico é gerado pela troca de variável 𝐷𝑗𝑎𝑡 = 𝑎𝑡−𝑗. Utilizando a relação, temos: 𝑦𝑡 = 𝑘 + 0,4𝐷2𝑎𝑡 + 0,2𝐷𝑎𝑡 + 𝑎𝑡</p><p>Colocando 𝑎𝑡 em evidência, temos: 𝑦𝑡 = 𝑘 + (0,4𝐷2 + 0,2𝐷 + 1⏟ )𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑎𝑡</p><p>Alternativa D: Errada.</p><p>Em um processo de médias móveis da forma 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜃1𝜀𝑡−1 + 𝜃2𝜀𝑡−2 +⋯+ 𝜀𝑡</p><p>A função de correlação entre 𝑍𝑡 e 𝑍𝑡−2 é dada por: 𝜌2 = − 𝜃21 + 𝜃12 + 𝜃22</p><p>Substituindo os valores 𝜃1 = 0,2 e 𝜃2 = 0,4, temos: 𝜌2 = − 0,41 + 0,22 + 0,42</p><p>𝜌2 = 0,41,2</p><p>𝜌2 = 13</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>121</p><p>178</p><p>Alternativa E: Correta.</p><p>A função de correlação entre 𝑍𝑡 , 𝑍𝑡−1 é dada por: 𝜌1 = − 𝜃1 + 𝜃1𝜃21 + 𝜃12 + 𝜃22</p><p>Substituindo os valores 𝜃1 = 0,2 e 𝜃2 = 0,4, temos: 𝜌1 = − 0,2 + 0,2 × 0,41 + 0,22 + 0,42</p><p>𝜌1 = 0,281,2</p><p>𝜌1 = 28120</p><p>𝜌1 = 730</p><p>Gabarito: E.</p><p>30. (CESPE/ABIN/2018) A quantidade demandada por certo produto no instante t é representada por 𝑿𝒕,</p><p>em que 𝒕 ∈ 𝒁 = ⋯ ,−𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, …, e 𝑿𝒕 segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 −𝟐𝒂𝒕−𝟏, na qual 𝒂𝒕 e 𝒂𝒕−𝟏 representam ruídos aleatórios com média nula e variância unitária.</p><p>A respeito dessa situação, julgue o item subsequente.</p><p>A média do processo 𝑿𝒕 é igual a 10.</p><p>Comentários:</p><p>Estamos diante de um processo autorregressivo de médias móveis, ARMA(1,1). Esses modelos são</p><p>estacionários quando as raízes do polinômio característico 𝜙(𝐵) se localizam fora do círculo unitário. No</p><p>modelo dado no enunciado, temos: 1 − 𝜙1𝐵 = 0 1 − 0,5𝑥 = 0 𝑥 = 10,5 𝑥 = 2</p><p>Portanto, a série é estacionária. Logo, temos que 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(𝑋𝑡−1) = 𝜇.</p><p>Além disso, por se tratar de um ruído branco, temos também que 𝐸(𝑎𝑡) = 0.</p><p>Assim, podemos substituir no processo:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>122</p><p>178</p><p>𝑋𝑡 = 10 + 0,5𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 2𝑎𝑡−1 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(10 + 0,5𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 2𝑎𝑡−1) 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(10) + 0,5𝐸(𝑋𝑡−1) + 𝐸(𝑎𝑡) − 2𝐸(𝑎𝑡−1) 𝜇 = 10 + 0,5𝜇 + 0 − 2 × 0 0,5𝜇 = 10 𝜇 = 100,5 𝜇 = 20</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>31. (CESPE/EBSERH/2018) A série temporal da quantidade mensal de pacientes submetidos a determinado</p><p>procedimento cirúrgico segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 − 𝟎, 𝟓𝒂𝒕−𝟏, em que</p><p>{𝒂𝒕} representa uma série temporal de ruídos aleatórios com média nula e variância 9.</p><p>A respeito desse processo, julgue o item que se segue.</p><p>A variância do processo {𝑋𝑡} é igual a 9.</p><p>Comentários:</p><p>Nessa questão, estamos diante de um processo 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1). Logo, as variáveis 𝑋𝑡 e os erros 𝑎𝑡 são</p><p>independentes. Assim, temos que: 𝑋𝑡 = 100 + 0,5 × 𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 0,5 × 𝑎𝑡−1</p><p>Primeiro, vamos multiplicar o modelo por 𝑎𝑡 e tirar a esperança: 𝑋𝑡 × 𝑎𝑡 = 100 × 𝑎𝑡 + 0,5 × 𝑋𝑡−1 × 𝑎𝑡 + 𝑎𝑡 × 𝑎𝑡 − 0,5 × 𝑎𝑡 × 𝑎𝑡−1 𝐸[𝑋𝑡 × 𝑎𝑡] = 𝐸[100 × 𝑎𝑡 + 0,5 × 𝑋𝑡−1 × 𝑎𝑡 + 𝑎𝑡2 − 0,5 × 𝑎𝑡 × 𝑎𝑡−1] 𝐸[𝑋𝑡 × 𝑎𝑡] = 𝐸[100 × 𝑎𝑡] + 𝐸[0,5 × 𝑋𝑡−1 × 𝑎𝑡] + 𝐸[𝑎𝑡2] + 𝐸[−0,5 × 𝑎𝑡 × 𝑎𝑡−1] 𝐸[𝑋𝑡 × 𝑎𝑡] = 100 × 𝐸[𝑎𝑡] + 0,5 × 𝐸[𝑋𝑡−1 × 𝑎𝑡] + 𝐸[𝑎𝑡2] − 0,5 × 𝐸[𝑎𝑡 × 𝑎𝑡−1] 𝐸[𝑋𝑡 × 𝑎𝑡] = 𝐸[𝑎𝑡2] = 𝜎2</p><p>Nesse ponto, fizemos uso das relações 𝐸[𝑋𝑡−1 × 𝑎𝑡] = 0, 𝐸[𝑎𝑡] = 0 e 𝐸[𝑎𝑡 × 𝑎𝑡−1] = 0</p><p>Vejamos agora a variância do modelo: 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(100 + 0,5𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 0,5𝑎𝑡−1) 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(100) + 𝑉𝑎𝑟(0,5𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 0,5𝑎𝑡−1) + 2 × 𝐶𝑜𝑣(100, 0,5𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 0,5𝑎𝑡−1) 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(0,5𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 0,5𝑎𝑡−1)</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>123</p><p>178</p><p>Agora, para três variáveis aleatórias quaisquer X, Y e Z, temos que: 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 + 𝑐𝑍)= 𝑎2𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑏2𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 𝑐2𝑉𝑎𝑟(𝑍) + 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) + 2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑍) + 2𝑎𝑐𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑍)</p><p>Empregando a expressão acima, ficamos com: 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 0,52 × 𝜎2 + 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) + (−0,5)2 × 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡−1) + 2 × 0,5 × 1 × 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑡−1, 𝑎𝑡)+ 2 × 1 × (−0,5) × 𝐶𝑜𝑣(𝑎𝑡, 𝑎𝑡−1) + 2 × 0,5 × (−0,5) × 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑡−1, 𝑎𝑡−1) 𝜎2 = 0,52 × 𝜎2 + 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) + (−0,5)2 × 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡−1) + 2 × 0,5 × 1 × 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑡−1, 𝑎𝑡)+ 2 × 1 × (−0,5) × 𝐶𝑜𝑣(𝑎𝑡, 𝑎𝑡−1) + 2 × 0,5 × (−0,5) × 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑡−1, 𝑎𝑡−1) 𝜎2 = 0,52 × 𝜎2 + 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) + (−0,5)2 × 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡−1) + 2 × 0,5 × (−0,5) × 𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑡−1, 𝑎𝑡−1) 𝜎2 = 0,52 × 𝜎2 + 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) + 0,52 × 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) − 2 × 0,25 × 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) (1 − 0,52) × 𝜎2 = (0,52) × 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) 𝜎2 = (1 − 0,5 + 0,52) × 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡)(1 − 0,52)</p><p>𝜎2 = (0,5 + 0,52) × 9(1 − 0,52) = 6,750,75 = 9</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>32. (CESPE/STM/2018) A respeito da autocorrelação dos erros de um modelo de regressão linear, julgue o</p><p>item subsequente.</p><p>Ocorre autocorrelação dos erros caso os erros da regressão sigam um processo autorregressivo de ordem 1,</p><p>ou seja, um AR(1).</p><p>Comentários:</p><p>Dizemos que 𝑍𝑡, 𝑡 ∈ ℤ é um processo autorregressivo de ordem 1, isto é, 𝑦𝑡 ∼ 𝐴𝑅(𝑝), quando podemos</p><p>escrevê-lo na seguinte forma: 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜀𝑡</p><p>Em que: 𝜙1: parâmetro autorregressivo de ordem 1; 𝑍𝑡−1: série de tempo defasado um período; 𝜀𝑡: termo do erro do modelo, também denominado ruído branco;</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>124</p><p>178</p><p>Na expressão anterior, temos que 𝛿, 𝜙1 são parâmetros reais. Além disso, para o ruído branco, temos que 𝐸(𝜀𝑡) = 0 e a 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡) = 𝜎2.</p><p>Desta forma, podemos definir a função de autocorrelação de uma série temporal (𝑦𝑡 𝑒 𝑦𝑡−1) por: 𝜌𝑘 = 𝜙|τ|, τ ∈ ℤ</p><p>Para 𝑍𝑡 ∼ 𝐴𝑅(1), temos que τ = 1.</p><p>Portanto, existe autocorrelação dos erros no modelo 𝐴𝑅(1).</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>33. (CESPE/ABIN/2018) A respeito de séries temporais, julgue o item seguinte.</p><p>A série temporal modelada por 𝒚𝒕 = 𝟎, 𝟔𝒚𝒕−𝟏 + 𝟏, 𝟐𝒕 + 𝒆𝒕 é uma série autorregressiva AR(1) com</p><p>tendência.</p><p>Comentários:</p><p>A tendência é definida como um padrão de crescimento/decrescimento da variável em um determinado</p><p>período. Normalmente, a tendência é caracterizada como uma função de 𝑡 somada aos termos da série.</p><p>Além disso, sabemos que uma série temporal do tipo autorregressivo de ordem 𝑝 𝐴𝑅(𝑝) é dada por: 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜙2𝑍𝑡−2 +⋯+ 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡</p><p>em que 𝛿, 𝜙1,⋯, 𝜙𝑝 são parâmetros reais e 𝜀𝑡 é independente e identicamente distribuída (iid), com 𝐸(𝜀𝑡) =0 e 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡) = 𝜎2. Um caso particular desse modelo é o processo autorregressivo de ordem 1, 𝐴𝑅(1): 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜀𝑡</p><p>Com isso, concluímos que o modelo apresentado é um processo autorregressivo de ordem 1, com tendência</p><p>linear. Evidenciando a tendência, temos: 𝑦𝑡 = 0,6𝑦𝑡−1 + 1,2𝑡 + 𝑒𝑡 𝑦𝑡 = 0,6𝑦𝑡−1 + 𝑒𝑡⏟ 𝐴𝑅(1), 𝜙1=0,6 + 1,2𝑡⏟𝑇𝑒𝑛𝑑ê𝑛𝑐𝑖𝑎</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>34. (CESPE/ABIN/2018) A respeito de séries temporais, julgue o item seguinte.</p><p>A série temporal {𝑥𝑡; 𝑡 = 0, 1, 2,⋯ } expressa por 𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−1 + 𝑒𝑡, em que 𝑒𝑡 é um termo de variação com</p><p>média zero e variância</p><p>constante, é denominada ruído branco.</p><p>Comentários:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>125</p><p>178</p><p>A série temporal apresentada é denominada de modelo autoregressivo de ordem 𝑝 = 1, ou seja, um</p><p>modelo 𝐴𝑅(1) com coeficientes 𝜙0 = 0 e 𝜙1 = 1.</p><p>Um modelo autorregressivo de ordem 𝑝 pode ser expresso, de forma genérica, pela seguinte expressão: 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜙2𝑍𝑡−2 +⋯+ 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡</p><p>Em que: 𝜙1: parâmetro autorregressivo de ordem 1; 𝑦𝑡−1: série de tempo defasado em um período; 𝜀𝑡: termo do erro do modelo, também denominado ruído branco.</p><p>Portanto, no modelo apresentado, apenas o erro (𝜀𝑡) é denominado ruído branco. Um ruído branco é uma</p><p>variável aleatória independente e identicamente distribuída que possui média zero, 𝐸(𝜀𝑡) = 0, e variância</p><p>constante, 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡) = 𝜎2.</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>35. (CESPE/ABIN/2018) A quantidade demandada por certo produto no instante t é representada por 𝑿𝒕,</p><p>em que 𝒕 ∈ 𝒁 = ⋯ ,−𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, …, e 𝑿𝒕 segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 − 𝟐𝒂𝒕−𝟏, na qual 𝒂𝒕 e 𝒂𝒕−𝟏 representam ruídos aleatórios com média nula e variância unitária.</p><p>A respeito dessa situação, julgue o item subsequente.</p><p>O processo em tela segue um modelo ARMA(1, 1), e a série temporal 𝑋𝑡: 𝑡 ∈ ℤ é estacionária.</p><p>Comentários:</p><p>O modelo ARMA(𝑝, 𝑞) é expresso por: 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜙2𝑍𝑡−2 +⋯+𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 − 𝜃1𝜀𝑡−1 − 𝜃2𝜀𝑡−2 −⋯− 𝜃𝑞𝜀𝑡−𝑞 𝑍𝑡 × (1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2 −⋯− 𝜙𝑝𝐵𝑝) = 𝛿 + (1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2 −⋯− 𝜃𝑞𝐵𝑞)𝜀𝑡 𝜙(𝐵) × 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜃(𝐵)𝜀𝑡</p><p>Um modelo ARMA(p,q) é estacionário quando as raízes do polinômio característico 𝜙(𝐵) se localizam fora</p><p>do círculo unitário. 1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2 −⋯−𝜙𝑝𝐵𝑝 = 0</p><p>No modelo ARMA(1,1) dado no enunciado temos: 1 − 0,5𝑥 = 0 𝑥 = 10,5 𝑥 = 2</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>126</p><p>178</p><p>Portanto, a série é estacionária.</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>36. (CESPE/ABIN/2018) A quantidade demandada por certo produto no instante t é representada por 𝑿𝒕,</p><p>em que 𝒕 ∈ 𝒁 = ⋯ ,−𝟐,−𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, …, e 𝑿𝒕 segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 − 𝟐𝒂𝒕−𝟏, na qual 𝒂𝒕 e 𝒂𝒕−𝟏 representam ruídos aleatórios com média nula e variância unitária.</p><p>A respeito dessa situação, julgue o item subsequente.</p><p>A autocorrelação entre 𝑿𝒕 e 𝑿𝒕−𝟏 é nula.</p><p>Comentários:</p><p>A série temporal apresentada é um processo ARMA(1,1), ou seja, um processo autorregressivo e de médias</p><p>móveis de ordem (1,1): 𝑋𝑡 = 𝛿 + 𝜙𝑋𝑡−1 + 𝜀𝑡 − 𝜃𝜀𝑡−1</p><p>Temos que a autocorrelação entre 𝑋𝑡 e 𝑋𝑡−1 é dada por: 𝜌1 = (𝜙 − 𝜃)(1 − 𝜙 × 𝜃)1 − 2 × 𝜙 × 𝜃 + 𝜙2</p><p>Em que 𝜙 = 0,5 e 𝜃 = 2. 𝜌1 = (0,5 − 2)(1 − 0,5 × 2)1 − 2 × 0,5 × 2 + 0,52 𝜌1 = 0</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>37. (CESPE/EBSERH/2018) A série temporal da quantidade mensal de pacientes submetidos a determinado</p><p>procedimento cirúrgico segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 − 𝟎, 𝟓𝒂𝒕−𝟏, em que {𝒂𝒕}</p><p>representa uma série temporal de ruídos aleatórios com média nula e variância 9.</p><p>A respeito desse processo, julgue o item que se segue.</p><p>A série temporal {𝑿𝒕} é estacionária.</p><p>Comentários:</p><p>Dizemos que uma série é estacionária quando suas características estatísticas (média, variância e função de</p><p>autocorrelação) não mudam no decorrer do tempo. Uma série estacionária é aquela que se desenvolve</p><p>aleatoriamente no tempo, em torno de uma média constante, refletindo uma forma de equilíbrio estatístico.</p><p>Sendo assim, podemos calcular a 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(𝑋𝑡−1) = 𝜇. Temos também que 𝐸(𝑎𝑡) = 0.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>127</p><p>178</p><p>𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(100 + 0,5 × 𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 0,5𝑎𝑡−1) 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(100) + 0,5 × 𝐸(𝑋𝑡−1) + 𝐸(𝑎𝑡) − 0,5 × 𝐸(𝑎𝑡−1) 𝜇 = 100 + 0,5𝜇 + 0 − 0,5 × 0 𝜇 − 0,5𝜇 = 100 0,5𝜇 = 100 𝜇 = 1000,5 𝜇 = 200</p><p>Portanto, a série temporal {𝑿𝒕} é estacionária.</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>38. (CESPE/EBSERH/2018) A série temporal da quantidade mensal de pacientes submetidos a determinado</p><p>procedimento cirúrgico segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 − 𝟎, 𝟓𝒂𝒕−𝟏, em que {𝒂𝒕}</p><p>representa uma série temporal de ruídos aleatórios com média nula e variância 9.</p><p>A respeito desse processo, julgue o item que se segue.</p><p>A média do processo {𝑋𝑡} é igual a 100.</p><p>Comentários:</p><p>Se X e Y são duas variáveis aleatórias quaisquer. Então, 𝐸(𝑎 × 𝑋 + 𝑏 × 𝑌) = 𝑎 × 𝐸(𝑋) + 𝑏 × 𝐸(𝑌)</p><p>para quaisquer números reais 𝑎 e 𝑏.</p><p>Além disso, sabemos que 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(𝑋𝑡−1) = 𝜇. Temos também que 𝐸(𝑎𝑡) = 0. Assim, podemos substituir</p><p>no processo: 𝑋𝑡 = 100 + 0,5𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 0,5𝑎𝑡−1 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(100 + 0,5𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 0,5𝑎𝑡−1) 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(100) + 0,5𝐸(𝑋𝑡−1) + 𝐸(𝑎𝑡) − 0,5 × 𝐸(𝑎𝑡−1) 𝜇 = 100 + 0,5𝜇 + 0 − 0,5 × 0 𝜇 − 0,5𝜇 = 100 0,5𝜇 = 100 𝜇 = 1000,5 𝜇 = 200</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>128</p><p>178</p><p>Gabarito: Errado.</p><p>39. (CESPE/EBSERH/2018) A série temporal da quantidade mensal de pacientes submetidos a determinado</p><p>procedimento cirúrgico segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 − 𝟎, 𝟓𝒂𝒕−𝟏, em que {𝒂𝒕}</p><p>representa uma série temporal de ruídos aleatórios com média nula e variância 9.</p><p>A respeito desse processo, julgue o item que se segue.</p><p>A autocorrelação entre 𝑋𝑡 e 𝑋𝑡−1 é igual a 0.</p><p>Comentários:</p><p>A série temporal apresentada é um processo ARMA(1,1), ou seja, um processo autorregressivo e de médias</p><p>móveis de ordem (1,1): 𝑋𝑡 = 𝛿 + 𝜙𝑋𝑡−1 + 𝜀𝑡 − 𝜃𝜀𝑡−1</p><p>Temos que a autocorrelação entre 𝑿𝒕 e 𝑿𝒕−𝟏 é dada por: 𝜌1 = (𝜙 − 𝜃)(1 − 𝜙 × 𝜃)1 − 2 × 𝜙 × 𝜃 + 𝜙2</p><p>Em que 𝜙 = 0,5 e 𝜃 = 0,5. Portanto: 𝜌1 = (0,5 − 05)(1 − 0,5 × 0,5)1 − 2 × 0,5 × 0,5 + 0,52 𝜌1 = 0</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>40. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2018) Grande parte dos procedimentos de análise de séries temporais</p><p>pressupõe séries estacionárias. Um procedimento comum para converter uma série temporal não</p><p>estacionária em uma série estacionária reside na utilização de diferenças sucessivas da série original até</p><p>se obter uma série estacionária. Seja a primeira diferença 𝜟𝒚𝒕 = 𝒚𝒕 − 𝒚𝒕−𝟏 A média de 𝜟𝒚𝒕 é</p><p>a)</p><p>𝑦𝑡−𝑦1𝑛</p><p>b)</p><p>𝑦𝑡−𝑦1𝑛−1</p><p>c)</p><p>𝑦𝑡+𝑦𝑡−1+⋯+𝑦1𝑛</p><p>d)</p><p>𝑦𝑡+𝑦𝑡−1+⋯+𝑦1𝑛−1</p><p>e)</p><p>𝑦𝑡+2𝑦𝑡−1+⋯+2𝑦2+𝑦1𝑛−1</p><p>Comentários:</p><p>A média de uma série temporal 𝑌𝑡 contendo 𝑛 observações é por:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>129</p><p>178</p><p>𝑌�̅� =∑𝑌𝑖𝑛𝑛</p><p>𝑖=1 .</p><p>Se calcularmos diferenças sucessivas sobre a série {𝑌1, 𝑌2, 𝑌3, ⋯ , 𝑌𝑛}, teremos uma nova série temporal, no</p><p>seguinte formato: 𝛥𝑌𝑡 = {𝑌2 − 𝑌1, 𝑌3 − 𝑌2, ⋯ , 𝑌𝑡−1 − 𝑌𝑡−2, 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1} 𝛥𝑌𝑡 = {𝛥𝑌1, 𝛥𝑌2, ⋯ , 𝛥𝑌𝑡},</p><p>cuja média é dada por:</p><p>𝛥𝑌𝑡̅̅ ̅̅̅ =∑ 𝛥𝑌𝑖𝑛 − 1𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>Notem que a série gerada pelas diferenças sucessivas possui um termo a menos que a série original, ou seja, 𝑛 − 1 termos.</p><p>Com isso, a média da série temporal das diferenças sucessivas será:</p><p>𝛥𝑌𝑡̅̅ ̅̅̅ = ∑ 𝛥𝑌𝑖𝑛 − 1𝑛−1</p><p>𝑖=1</p><p>= 𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 + 𝑌𝑡−1 − 𝑌𝑡−2 +⋯+ 𝑌3 − 𝑌2 + 𝑌2 − 𝑌1𝑛 − 1</p><p>= 𝑌𝑡 − 𝑌1𝑛 − 1</p><p>Gabarito: B.</p><p>41. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2018) Seja o modelo autorregressivo integrado médias móveis</p><p>ARIMA(2,1,0) representado pela equação 𝑿𝒕 = (𝟏 +𝝓𝟏)𝑿𝒕−𝟏 + (𝝓𝟐 −𝝓𝟏)𝑿𝒕−𝟐 − (𝝓𝟐)𝑿𝒕−𝟑 + 𝜺𝒕,</p><p>onde 𝜺𝒕~𝑹𝑩(𝟎, 𝝈𝜺𝟐).</p><p>O valor da função de autocorrelação no lag 1 da forma estacionária de 𝑿𝒕 é dada</p><p>por</p><p>a) 𝜌1 = 𝜙1</p><p>b) 𝜌1 = 𝜙2</p><p>c) 𝜌1 =</p><p>𝜙11−𝜙2</p><p>d) 𝜌1 = 𝜙21−𝜙1</p><p>e) 𝜌1 = 𝜙1𝜙2</p><p>Comentários:</p><p>A questão trata do modelo ARIMA(2,1,0) apresentado a seguir: 𝑋𝑡 = (1 + 𝜙1)𝑋𝑡−1 + (𝜙2 − 𝜙1)𝑋𝑡−2 − (𝜙2)𝑋𝑡−3 + 𝜀𝑡 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 + 𝜙1𝑋𝑡−1 + 𝜙2𝑋𝑡−2 − 𝜙1𝑋𝑡−2 − 𝜙2𝑋𝑡−3 + 𝜀𝑡</p><p>Redistribuindo os parâmetros, chegamos à seguinte expressão:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>130</p><p>178</p><p>𝑋𝑡 − 𝑋𝑡−1 = 𝜙1(𝑋𝑡−1 − 𝑋𝑡−2) + 𝜙2(𝑋𝑡−2 − 𝑋𝑡−3) + 𝜀𝑡</p><p>Agora, vamos fazer uma transformação na série temporal 𝑋𝑡, fazendo com que: 𝑍𝑡 = 𝑋𝑡 − 𝑋𝑡−1</p><p>Logo, também teremos que: 𝑍𝑡−1 = 𝑋𝑡−1 − 𝑋𝑡−2 𝑍𝑡−2 = 𝑋𝑡−2 − 𝑋𝑡−3</p><p>Portanto, a série anterior se transforma em um processo autorregressivo de ordem 2: 𝑍𝑡 = 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜙2𝑍𝑡−2 + 𝜀𝑡</p><p>A função de autocorrelação desse processo é definida por: 𝜌(𝜏) = 𝛾(𝜏)𝛾(0) , 𝜏 ∈ 𝑍</p><p>em que 𝛾𝜏 é a função de autocovariância, ou seja, 𝛾𝜏 = 𝐸[𝑍𝑡𝑍𝑡+𝜏].</p><p>Retomando a série temporal, temos que: 𝑍𝑡 = 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜙2𝑍𝑡−2 + 𝜀𝑡 𝑍𝑡𝑍𝑡+𝜏 = 𝜙1𝑍𝑡−1𝑍𝑡+𝜏 + 𝜙2𝑍𝑡−2𝑍𝑡+𝜏 + 𝜀𝑡𝑍𝑡+𝜏</p><p>Calculando o valor esperado dessa expressão, descobrimos que: 𝐸[𝑍𝑡𝑍𝑡+𝜏] = 𝜙1𝐸[𝑍𝑡−1𝑍𝑡+𝜏] + 𝜙2𝐸[𝑍𝑡−2𝑍𝑡+𝜏] + 𝐸[𝜀𝑡𝑍𝑡+𝜏] 𝛾𝜏 = 𝜙1𝛾𝜏+1 + 𝜙2𝛾𝜏+2</p><p>Como queremos a autocorrelação no lag 1, fazemos 𝜏 = −1: 𝛾−1 = 𝜙1𝛾1−1 + 𝜙2𝛾2−1 𝛾−1 = 𝜙1𝛾0 + 𝜙2𝛾1 𝛾−1𝛾0 = 𝜙1𝛾0𝛾0 + 𝜙2𝛾1𝛾0 𝜌(−1) = 𝜙1 + 𝜙2𝜌(1)</p><p>Como a série é estacionária, sabemos que 𝜌(−1) = 𝜌(1), logo, temos que: 𝜌(1) = 𝜙1 + 𝜙2𝜌(1) (1 − 𝜙2)𝜌(1) = 𝜙1 𝜌(1) = 𝜙11 − 𝜙2</p><p>Gabarito: C.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>131</p><p>178</p><p>42. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2018) Considere o modelo de séries temporais cuja equação é dada por (𝟏 − 𝑳)(𝟏 + 𝟎, 𝟒𝑳𝟕)𝑿𝒕 = (𝟏 − 𝟎, 𝟑𝑳 + 𝟏, 𝟐𝑳𝟐)𝜺𝒕, 𝜺𝒕~𝑵(𝟎, 𝝈𝜺𝟐), levando em conta polinômios</p><p>autoregressivos e médias móveis, ambos completos.</p><p>Tal modelo é um</p><p>a) ARIMA(1,1,2), e os parâmetros satisfazem as condições de estacionariedade e invertiblidade.</p><p>b) ARIMA(7,1,2), e os parâmetros não satisfazem as condições de estacionariedade e invertiblidade.</p><p>c) ARIMA(7,1,2), e os parâmetros satisfazem as condições de estacionariedade e invertiblidade.</p><p>d) ARIMA(0,1,2)x(1,0,0)7 , e os parâmetros não satisfazem as condições de estacionariedade e invertiblidade.</p><p>e) ARIMA(2,1,0)x(1,0,0)7 , e os parâmetros satisfazem as condições de estacionariedade e invertibilidade.</p><p>Comentários:</p><p>Um modelo 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝, 𝑑, 𝑞) é um modelo derivado a partir de um modelo 𝐴𝑅𝑀𝐴, em que 𝑝 é a ordem da</p><p>componente autorregressiva, 𝑑 é o número de diferenças tomadas na série e 𝑞 é a ordem da componente</p><p>de médias móveis.</p><p>A partir da análise dos polinômios característicos, verificamos que o polinômio de médias móveis é de grau</p><p>2: 1 − 0,3𝐿 + 1,2𝐿2</p><p>Logo, teremos 𝑞 = 2.</p><p>Do outro lado da equação, temos uma multiplicação de polinômios, que representa a operação de</p><p>diferenciação e a componente de sazonalidade. Assim: 𝐵(𝐿) = (1 − 𝐿) (𝑝 = 1) 𝑆(𝐿) = 1 + 0,4𝐿7 (𝑠 = 7)</p><p>A existência da componente sazonal de período 𝑠 define o modelo 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝, 𝑑, 𝑞) × (𝑃, 𝐷, 𝑄)𝑠</p><p>multiplicativo, também conhecido na literatura como 𝑆𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝, 𝑑, 𝑞) × (𝑃, 𝐷, 𝑄)𝑠. Portanto, temos um</p><p>modelo da forma: 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(0,1,2) × (1,0,0)7</p><p>Gabarito: D.</p><p>43. (FCC/TRT 2ª Região/2018) No modelo ARMA(1,1), ou seja, 𝒚𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟐𝒚𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕 + 𝟎, 𝟖𝜺𝒕−𝟏, em que 𝜺𝒕 é um ruído branco de média nula e variância unitária, obtém-se que a variância de 𝒚𝒕 é igual a</p><p>a) 41/24</p><p>b) 25/12</p><p>c) 49/24</p><p>d) 9/4</p><p>e) 3/4</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>132</p><p>178</p><p>Comentários:</p><p>Na presente questão, estamos diante de um modelo ARMA(1,1), o qual é expresso por meio do seguinte</p><p>processo: 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜙2𝑍𝑡−2 +⋯+𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 − 𝜃1𝜀𝑡−1 − 𝜃2𝜀𝑡−2 −⋯− 𝜃𝑞𝜀𝑡−𝑞</p><p>A variância incondicional do modelo ARMA(1,1) é expressa por: 𝜎2 = (1 + 2𝜙𝜃 + 𝜃2)𝜎𝜀2(1 − 𝜙2)</p><p>Identificando os termos temos: 𝑦𝑡 = 10 + 0,2𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡 + 0,8𝜀𝑡−1 𝛿 = 10 𝜙1 = 0,2 𝜃1 = 0,8 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡) 𝑜𝑢 𝜎𝜀2 = 1</p><p>Assim, substituindo os valores, temos: 𝜎2 = (1 + 2𝜙𝜃 + 𝜃2)𝜎𝜀2(1 − 𝜙2) = (1 + 2 × 0,2 × 0,8 + 0,82) × 1(1 − 0,22) = 1,960,96 = 4924</p><p>Gabarito: C.</p><p>44. (CESPE/TCE-PE/2017) Julgue o item que se segue, relativo ao modelo de séries temporais expresso por 𝒁𝒕 = 𝟎, 𝟔𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, em que 𝒂𝒕 representa um ruído branco com média zero e variância de 0,8.</p><p>A variância do processo 𝒁𝒕 é igual a 1,25.</p><p>Comentários:</p><p>Primeiro, vamos verificar se o processo em questão é estacionário. O operador autorregressivo estacionário</p><p>é dado por: 𝜙(𝐵) = 1 − 𝜙1𝐵 𝜙(𝐵) = 1 − 0,6 × 𝐵</p><p>Agora, vamos resolver a equação 𝜙(𝐵) = 0: 1 − 0,6 × 𝐵 = 0 0,6 × 𝐵 = 1 𝐵 = 10,6 = 106 ≅ 1,67</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>133</p><p>178</p><p>Como a raiz é maior do que 1, isto é, como a raiz está situada fora do círculo unitário, o processo é dito</p><p>estacionário. Nesse caso, a variância do processo é constante, 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡−1)</p><p>Assim, temos que: 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(0,6 × 𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡) 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(0,6 × 𝑍𝑡−1) + 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) + 2 × 𝐶𝑜𝑣(0,6 × 𝑍𝑡−1, 𝑎𝑡) 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 0,62 × 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡−1) + 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) + 2 × 0,6 × 𝐶𝑜𝑣(𝑍𝑡−1, 𝑎𝑡)</p><p>Como as variáveis 𝑍𝑡−1 e 𝑎𝑡 são independentes, temos que 𝐶𝑜𝑣(𝑍𝑡−1, 𝑎𝑡) = 0. Portanto, chegamos a: 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 0,62 × 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡−1) + 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡)</p><p>Como 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡−1), temos que: 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 0,62 × 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) + 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) − 0,62 × 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) × (1 − 0,62) = 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡) 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡)(1 − 0,62) 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 0,8(1 − 0,62) 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 0,80,64 = 1,25</p><p>Outra forma de resolver essa questão é por meio da aplicação direta da fórmula da variância incondicional</p><p>do processo 𝐴𝑅(1), dada por: 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝜎21 − 𝜙12</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 0,81 − 0,62</p><p>𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 0,80,64 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 1,25</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>45. (CESPE/TCE-PE/2017) Julgue o item que se segue, relativo ao modelo de séries temporais expresso por 𝒁𝒕 = 𝟎, 𝟔𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, em que 𝒂𝒕 representa um ruído branco com média zero e variância de 0,8.</p><p>A autocorrelação entre 𝒁𝒕 e 𝒁𝒕−𝟏 é igual a 0,6, ao passo que a autocorrelação entre 𝒁𝒕 e 𝒁𝒕−𝟑 é igual a zero.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>134</p><p>178</p><p>Comentários:</p><p>A função de autocorrelação é dada por: 𝜌τ = 𝜙1𝜌τ−1 𝜌τ = 𝜙1τ, τ ≥ 1</p><p>No processo autorregressivo de ordem 1 estacionário, ǀ𝜙1ǀ</p><p>dos parâmetros estimados por MQO, conclui-se que:</p><p>a) o nível da violência tende a subir com o passar do tempo;</p><p>b) o nível da violência tende a reduzir com o passar do tempo;</p><p>c) não se pode prever se a violência tende a crescer ou baixar por causa da presença do termo aleatório;</p><p>d) o nível de violência tende a oscilar, mas permanecendo, em média, ao redor do valor 16;</p><p>e) a variância da medida do nível de violência tende a se reduzir com o passar do tempo.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos analisar cada uma das alternativas:</p><p>Alternativa A: Errada.</p><p>Precisamos verificar se o processo autorregressivo de ordem 1, AR(1), dado na questão é estacionário. O</p><p>operador autorregressivo estacionário é dado por: 𝜙(𝐵) = 1 − 𝜙1𝐵 𝜙(𝐵) = 1 − 0,25 × 𝐵</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>135</p><p>178</p><p>Agora, vamos resolver a equação 𝜙(𝐵) = 0: 1 − 0,25 × 𝐵 = 0 0,25 × 𝐵 = 1 𝐵 = 10,25 = 10025 = 4</p><p>Como a raiz é maior do que 1, isto é, como a raiz está situada fora do círculo unitário, o processo é dito</p><p>estacionário, portanto, tende a oscilar em torno de sua própria média.</p><p>Alternativa B: Errada. Conforme visto no item anterior, a série é estacionária. Portanto, ela tende a oscilar</p><p>em torno de sua média.</p><p>Alternativa C: Errada. Uma vez determinado o modelo matemático, podemos analisar o comportamento da</p><p>série temporal, determinando os prováveis valores que assumirão as variáveis aleatórias futuras. O horizonte</p><p>de previsão está relacionado ao erro de previsão, que, por sua vez, está associado a cada componente de</p><p>erro aleatório.</p><p>Alternativa D: Correta. Como vimos, a série é estacionária, portanto, tende a oscilar em torno de sua média.</p><p>Como esse valor médio se mantém constante ao longo do tempo, podemos fazer: 𝑦𝑡 = 12 + 0,25𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡 𝐸(𝑦𝑡) = 𝐸(12 + 0,25𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡) 𝐸(𝑦𝑡) = 𝐸(12) + 0,25 × 𝐸(𝑦𝑡−1) + 𝐸(𝜀𝑡)</p><p>A média do ruído branco é zero, 𝐸(𝜀𝑡) = 0. Além disso, como a média é constante, temos que 𝐸(𝑦𝑡) =𝐸(𝑦𝑡−1) = 𝜇. Assim, 𝜇 = 12 + 0,25𝜇 + 0 𝜇 − 0,25𝜇 = 12 0,75𝜇 = 12 𝜇 = 120,75 𝜇 = 16</p><p>Alternativa E: Errada. Tanto a variância como a média são constantes ao longo do tempo.</p><p>Gabarito: D.</p><p>47. (CESPE/FUNPRESP-JUD/2016) Um processo estacionário autorregressivo de ordem 1 é escrito como 𝒁𝒕 = 𝟎, 𝟕𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 em que 𝒂𝒕 é um ruído branco e t é um número inteiro. Com relação a esse processo,</p><p>julgue o seguinte item.</p><p>A autocorrelação entre 𝒁𝒕 e 𝒁𝒕−𝟐 é igual ou inferior a 0,5.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>136</p><p>178</p><p>Comentários:</p><p>A função de autocovariância para um lag (τ) é expressa por: γ(τ) = ( σ21 − ϕ12) × ϕτ</p><p>em que σ2 é a variância da variável 𝑎𝑡.</p><p>Dessa forma, a autocorrelação entre 𝒁𝒕 e 𝒁𝒕−2 é dada por: 𝜌2 = γ(2)γ(0)</p><p>𝜌2 = ( σ21 − ϕ12) × ϕ2( σ21 − ϕ12) × ϕ0</p><p>𝜌2 = ϕ2ϕ0</p><p>𝜌2 = ϕ21 𝜌2 = ϕ2 𝜌2 = 0,72 = 0,49</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>48. (FCC/TRT 20ª Região/2016) Sejam f(k) e h(k), 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …, respectivamente, as funções de</p><p>autocorrelação e autocorrelação parcial de um modelo ARIMA(p,d,q). Considere as seguintes afirmações:</p><p>I. No modelo ARIMA(0,d,1), a região de admissibilidade do modelo é −𝟏 𝟐.</p><p>III. No modelo ARIMA(1,d,1) f(k) decai exponencialmente após 𝒌 = 𝟏 e h(k) é dominada por senoides</p><p>amortecidas após 𝒌 = 𝟏.</p><p>IV. No modelo ARIMA(1,d, 0) ,𝒇(𝟏) = 𝝓, onde 𝝓 é o parâmetro autorregressivo do modelo.</p><p>Está correto o que se afirma APENAS em</p><p>a) I, III e IV.</p><p>b) II, III e IV.</p><p>c) II e III.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>137</p><p>178</p><p>d) I e IV.</p><p>e) I, II e IV.</p><p>Comentários:</p><p>Vamos analisar cada uma das afirmações:</p><p>Afirmação I: Correta.</p><p>Dentre as séries temporais, os modelos autorregressivos integrados de médias móveis, ARIMA (p,d,q),</p><p>constituem uma generalização do modelo autorregressivo de médias móveis (ARMA), em que os parâmetros</p><p>p, d e q são números inteiros não negativos, p é o número de defasagens do modelo autorregressivo; d é o</p><p>grau de diferenciação; e q é a ordem do modelo de média móvel.</p><p>Portanto, podemos descrever todos os modelos vistos anteriormente utilizando a nomenclatura ARIMA, isto</p><p>é:</p><p>a) ARIMA(p,0,0) = AR(p);</p><p>b) ARIMA(0,0,q) = MA(q);</p><p>c) ARIMA(p,0,q) = ARMA(p,q).</p><p>A equação do modelo ARIMA (p, d, q) é expressa por: 𝛻𝑑𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜙1 × 𝛻𝑑𝑍𝑡−1⏟ 𝐵𝑊𝑡 +𝜙2 × 𝛻𝑑𝑍𝑡−2⏟ 𝐵2𝑊𝑡 +⋯+𝜙𝑝 × 𝛻𝑑𝑍𝑡−𝑝⏟ 𝐵𝑝𝑊𝑡 + 𝜀𝑡 − 𝜃1 𝜀𝑡−1⏟𝐵𝜀𝑡 − 𝜃2 𝜀𝑡−2⏟𝐵2𝜀𝑡 −⋯− 𝜃𝑞 𝜀𝑡−𝑞⏟𝐵𝑝𝜀𝑡</p><p>Para o modelo ARIMA (0,d,1), temos: 𝛻𝑑𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜀𝑡 − 𝜃1 𝜀𝑡−1⏟𝐵𝜀𝑡</p><p>𝛻𝑑𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜀𝑡 × (1 − 𝜃1𝐵) 𝛻𝑑𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜀𝑡 × 𝜃(𝐵)</p><p>Logo, esse modelo será admitido quando tivermos: −1</p><p>= 0 + 0,25 × 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡−1) + 3 𝜎2 = 0,25𝜎2 + 3 𝜎2 − 0,25𝜎2 = 3 0,75𝜎2 = 3 𝜎2 = 30,75 𝜎2 = 4</p><p>Para encontrarmos o desvio padrão, basta tirarmos a raiz da variância: 𝜎 = √4 𝜎 = 2</p><p>De fato, o desvio padrão vale 2.</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>50. (FCC/CNMP/2015) Para o modelo ARMA (2,0) dado por</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>140</p><p>178</p><p>𝒁𝒕 = 𝜽𝒁𝒕−𝟏 +𝝓𝒁𝒕−𝟐 + 𝒂𝒕,</p><p>onde 𝒂𝒕 é o ruído branco de média zero e variância 𝝈𝟐 e 𝜽 e 𝝓são os parâmetros do modelo. Considere as</p><p>seguintes afirmações:</p><p>I. A condição de estacionariedade do modelo é dada por: |𝝓| 𝟐.</p><p>IV. A função de autocorrelação de 𝒁𝒕 é uma mistura de exponenciais ou ondas senoides amortecidas.</p><p>Está correto o que se afirma APENAS em</p><p>a) I e IV.</p><p>b) II e III.</p><p>c) II, III e IV.</p><p>d) I, II e IV.</p><p>e) I e III.</p><p>Comentários:</p><p>Analisando as afirmações:</p><p>Afirmação I: Errada. Para que o processo seja estacionário as raízes do polinômio devem estar fora do círculo</p><p>unitário. 1 − 𝜃𝐵 − 𝜙𝐵2 = 0</p><p>Portanto, é necessário que as raízes do polinômio estejam fora do círculo unitário, isto é, tenham módulo</p><p>maior que 1:</p><p>𝐵 = 𝜃 ± √𝜃2 + 4𝜙−2𝜙</p><p>Portanto, as condições |𝜙|</p><p>diversos, não disponíveis na série</p><p>histórica;</p><p>c) média aritmética, calculada período a período, empregada, principalmente, para a projeção de demandas;</p><p>d) medida de tendência central, obtida a partir de uma massa dispersa de dados;</p><p>e) média aritmética, de uma série de dados, com a substituição, a cada período, do dado mais antigo pelo</p><p>mais recente.</p><p>6. (ESAF/MTUR/2014) Uma série temporal pode ser definida como uma sequência de observações de uma</p><p>variável no tempo. O modelo de análise clássico distingue os seguintes componentes de uma série</p><p>temporal, a saber: tendência; estacionalidade ou sazonalidade; ciclo e aleatoriedade. Com relação a esses</p><p>componentes de uma série temporal, pode-se afirmar que:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>147</p><p>178</p><p>a) tendência é um movimento não-oscilatório de curto prazo.</p><p>b) estacionalidade é um movimento oscilatório cujo comprimento de onda é, por definição, inferior a um</p><p>ano.</p><p>c) uma série com periodicidade anual apresenta o componente estacional.</p><p>d) ciclo é um movimento oscilatório com comprimento de onda inferior a um ano.</p><p>e) aleatoriedade é um movimento oscilatório de muito curto prazo.</p><p>7. (ESMARN/TJ-RN/2014) O gráfico, abaixo, ilustra o comportamento da temperatura média mensal em</p><p>uma determinada região do Estado de São Paulo.</p><p>A partir da análise do gráfico, é CORRETO afirmar que a série:</p><p>a) Apresenta tendência e sazonalidade.</p><p>b) Não apresenta tendência, mas apresenta sazonalidade.</p><p>c) Apresenta diversos outliers.</p><p>d) É não estacionária na variância.</p><p>e) Nenhuma das respostas.</p><p>8. (UEPA/FAPESPA/2014) Definem-se séries temporais como um conjunto cronológico de observações.</p><p>Então, considere a seguinte situação: uma indústria está selecionando pessoas para trabalhar na área de</p><p>controle de qualidade por meio de currículo e entrevistas. Durante a entrevista o responsável pelo setor</p><p>faz a seguinte pergunta ao candidato ao emprego: “Quais os elementos que compõem o modelo clássico</p><p>de séries temporais?”. A alternativa correta desta indagação é:</p><p>a) regularização exponencial, variação cíclicas, variações sazonais e variações irregulares.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>148</p><p>178</p><p>==1365fc==</p><p>b) tendência, variações aditivas, médias móveis, variações regulares.</p><p>c) variações multiplicativas, variações irregulares, tendência e variações sazonais.</p><p>d) tendência cíclica, variações aditivas, variações sazonais e variações irregulares.</p><p>e) tendência, variações cíclicas, variações sazonais e variações irregulares.</p><p>9. (CETRO/MCID/2013) Considerando uma série temporal, é correto afirmar que</p><p>a) a sazonalidade indica o comportamento imediato.</p><p>b) o ciclo se refere a comportamentos em determinadas épocas do ano.</p><p>c) a tendência indica comportamento a longo prazo.</p><p>d) não é possível encontrar tendência linear nesse tipo de série.</p><p>e) os ciclos se repetem em períodos muito curtos.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>149</p><p>178</p><p>GABARITO</p><p>Modelo Clássico</p><p>1. LETRA A</p><p>2. LETRA C</p><p>3. LETRA A</p><p>4. LETRA D</p><p>5. LETRA E</p><p>6. LETRA B</p><p>7. LETRA B</p><p>8. LETRA E</p><p>9. LETRA C</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>150</p><p>178</p><p>LISTA DE QUESTÕES</p><p>Tendência</p><p>1. (FGV/RFB/2023) Considere a seguinte série temporal:</p><p>{130, 140, 135, 145, 141, 148, 144, X}.</p><p>Aplicando o método de previsão de médias móveis de dois pontos de dados, o valor para a projeção do</p><p>oitavo item (X) será</p><p>a) 148.</p><p>b) 146.</p><p>c) 122.</p><p>d) 138.</p><p>e) 141.</p><p>2. (FGV/TCU/2022) A demanda de um certo serviço público no mês t é modelada pela equação 𝟐𝟎 + 𝟑𝒕 + 𝟐𝑫(𝒕) + 𝜺𝒕, onde 𝑫(𝒕) = 𝟏, se 𝒕 = 𝟔, e 0, caso contrário, e 𝜺𝒕 é um ruído com média zero e variância</p><p>4.</p><p>As previsões de demanda nos meses 6 e 12 são, respectivamente:</p><p>a) 40 e 56;</p><p>b) 40 e 58;</p><p>c) 42 e 58;</p><p>d) 44 e 60;</p><p>e) 56 e 40.</p><p>3. (FUNDATEC/GHC/2020) Uma empresa apresentou os seguintes consumos de uma determinada matéria-</p><p>prima nos últimos seis meses:</p><p>Mês Quantidade</p><p>Outubro (2019) 300</p><p>Novembro (2019) 400</p><p>Dezembro (2019) 500</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>151</p><p>178</p><p>Janeiro (2020) 205</p><p>Fevereiro (2020) 215</p><p>Março (2020) 240</p><p>Com base na tabela acima, foi solicitado ao gestor de estoque que realizasse o cálculo da média móvel dos</p><p>últimos três meses. O resultado encontrado por ele foi:</p><p>a) 400.</p><p>b) 310.</p><p>c) 240.</p><p>d) 220.</p><p>e) 110.</p><p>4. (IBADE/IPVV/2020) Considere a série temporal de seis itens de números de sinistros a pagar no mês a</p><p>seguir: 200, 210, 205, 217, 207, 203, 209. Usando o método de previsão de médias móveis de dois pontos</p><p>de dados, o valor para a projeção do oitavo item de dado é igual a:</p><p>a) 200.</p><p>b) 203.</p><p>c) 242.</p><p>d) 207.</p><p>e) 206</p><p>5. (IBADE/Pref. Vila Velha/2020) Considere a série temporal de seis itens de dados a seguir: {200, 210, 205,</p><p>217, 207, 203}. Usando o método de previsão de médias móveis de dois pontos de dados, o valor para a</p><p>projeção do sétimo item de dado é igual a:</p><p>a) 200.</p><p>b) 203.</p><p>c) 242.</p><p>d) 207.</p><p>e) 205</p><p>6. (VUNESP/EsFCEx/2020) A tabela a seguir apresenta parte da série trimestral de exportação de ferro do</p><p>Brasil, em milhões de dólares.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>152</p><p>178</p><p>==1365fc==</p><p>Trim./Ano Exportação de Ferro</p><p>tri1/89 467</p><p>tri2/89 558</p><p>tri3/89 631</p><p>tri4/89 577</p><p>tri1/90 565</p><p>tri2/90 644</p><p>tri3/90 677</p><p>tri4/90 521</p><p>Considerando tri1/89 como o primeiro valor da série; tri2/89 o segundo valor da série; e assim por diante,</p><p>qual é o valor, arredondado para número inteiro, da média móvel central de ordem quatro, referente ao</p><p>tri3/89?</p><p>a) 631.</p><p>b) 558.</p><p>c) 571.</p><p>d) 589.</p><p>e) 630.</p><p>7. (FCC/Pref Manaus/2019) Analisando as vendas trimestrais realizadas pela empresa Gama no período de</p><p>2016 a 2018, obteve-se a equação da tendência utilizando o método dos mínimos quadrados com base</p><p>nestas 12 observações, ou seja, 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟏, 𝟓𝒕, em que X corresponde às vendas trimestrais (em</p><p>milhões de reais) e 𝒕 = 𝟏 representa o primeiro trimestre de 2016, 𝒕 = 𝟐 representa o segundo trimestre</p><p>de 2016 e assim por diante.</p><p>Trimestre 1º 2º 3º 4º</p><p>Índices</p><p>Sazonais</p><p>0,5 0,3 1,2 1,0</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>153</p><p>178</p><p>A previsão das vendas para o segundo trimestre de 2020, levando em conta o movimento sazonal do</p><p>período e considerando o modelo multiplicativo, é igual, em milhões de reais, a</p><p>a) 11,1.</p><p>b) 12,6.</p><p>c) 12,0.</p><p>d) 11,5.</p><p>e) 11,8.</p><p>8. (VUNESP/TJ SP/2019) Uma série de tempo consiste no consumo mensal, em unidades, de um produto</p><p>no ano de 2017. Pelo método da regressão linear, usando os estimadores de mínimos quadrados, obteve-</p><p>se a equação da tendência estimada �̂�𝒕 = 𝟕𝟎 + 𝟒 × 𝒕, em que 𝒕 é o tempo (mês). Essa equação foi</p><p>encontrada com base nas observações do consumo dos 12 meses de 2017, ou seja, janeiro é representado</p><p>por 𝒕 = 𝟏, fevereiro por 𝒕 = 𝟐 e assim por diante até dezembro por 𝒕 = 𝟏𝟐.</p><p>A média mensal do consumo, em unidades, desse produto, no ano de 2017, foi então igual a</p><p>a) 74</p><p>b) 94</p><p>c) 100</p><p>d) 120</p><p>e) 96</p><p>9. (CESGRANRIO/LIQUIGÁS/2018) A técnica de previsão que calcula a projeção por meio de uma</p><p>ponderação entre a demanda real do período anterior 𝑫𝒕–𝟏 e a projeção do período anterior 𝑴𝒕–𝟏,</p><p>utilizando um coeficiente de suavização 𝜶 para definir o peso de cada componente no cálculo da projeção,</p><p>é denominada</p><p>a) simulação</p><p>b) média exponencial móvel</p><p>c) média ponderada</p><p>d) regressão linear</p><p>e) linha de tendência</p><p>10. (Instituto AOCP/EBSERH/2014) Dada uma série histórica de valores 4; 10; 6; 9; 15; 14; 16 obteve-se as</p><p>médias móveis simples de ordem k:</p><p>MMS1: 6,67; 8,33; 10,00; 12,67; 15,00</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>154</p><p>178</p><p>MMS2: 7,00; 8,00; 7,50; 12,00; 14,50; 15,00</p><p>MMS3: 7,25; 10,00; 11,00; 13,50</p><p>O vetor que identifica a ordem (K) para obtenção de MMS1, MMS2 e MMS3, respectivamente, é</p><p>a) (2, 3, 4)</p><p>b) (3, 2, 4)</p><p>c) (4, 3, 2)</p><p>d) (6, 7, 7)</p><p>e) (5, 6, 4)</p><p>11. (CETRO/MCID/2013) Considerando a sequência 2; 4; 3; 2; 7; 6, uma média móvel de ordem 2 pode ser</p><p>dada pela sequência</p><p>a) 6,3; 5,0</p><p>b) 3; 2,5; 6,5</p><p>c) 3; 3,5; 2,5; 4,5; 6,5</p><p>d) 12,12,12,12</p><p>e) 1; 2; 1; 4; 1; 3; 1; 2; 1; 7; 1; 6</p><p>12. (FCC/BACEN/2006) A análise do comportamento das vendas de uma empresa durante os últimos anos</p><p>permitiu apurar uma tendência linear de crescimento ao longo do tempo com sazonalidade.</p><p>Por meio do método dos mínimos quadrados, a empresa deduziu a reta de tendência como sendo 𝒀𝒕 =𝟓 + 𝟐𝟓 𝒕, em que 𝒀𝒕 são as vendas, em milhares de reais, em t, que representa o trimestre correspondente</p><p>das vendas (𝒕 = 𝟏 é o primeiro trimestre de 2001; 𝒕 = 𝟐 é o segundo trimestre de 2001, e assim por diante).</p><p>Esta empresa poderá adotar o modelo multiplicativo, caso se verifique que os movimentos estejam</p><p>associados ao nível de tendência, ou adotar o modelo aditivo, caso se verifique movimentos em torno da</p><p>tendência que não dependam de seu nível.</p><p>O quadro a seguir fornece os fatores sazonais, caso seja adotado o modelo multiplicativo, e as médias das</p><p>diferenças (vendas observadas menos vendas obtidas pela tendência) por trimestre, caso seja adotado o</p><p>modelo aditivo.</p><p>Trimestre Fator Sazonal</p><p>Multiplicativo</p><p>Média das Diferenças</p><p>Primeiro 0,4 -280</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>155</p><p>178</p><p>Segundo 0,6 -205</p><p>Terceiro 1,2 150</p><p>Quarto 1,8 335</p><p>A previsão de vendas, em milhares de reais, para o primeiro trimestre de 2006 é</p><p>a) 212, caso seja adotado o método multiplicativo.</p><p>b) 210, caso seja adotado o método multiplicativo.</p><p>c) 200, caso seja adotado o método multiplicativo.</p><p>d) 245, caso seja adotado o método aditivo.</p><p>e) 225, caso seja adotado o método aditivo.</p><p>13. (MARINHA/Marinha/2004)</p><p>Mês 1</p><p>Janeiro</p><p>Mês 2</p><p>Fevereiro</p><p>Mês 3</p><p>Março</p><p>Mês 4</p><p>Abril</p><p>Mês 5</p><p>Maio</p><p>98 un 90 un 96 un 75 un 81 un</p><p>As vendas mensais de um produto de determinada empresa apresentaram-se conforme o gráfico acima.</p><p>Determine a previsão de vendas, em unidades, para o mês de julho (mês 7), previsão de vendas, em</p><p>unidades, para o mês de julho (mês 7), utilizando o modelo da média móvel para os últimos três meses.</p><p>a) 80.</p><p>b) 82.</p><p>c) 84.</p><p>d) 85.</p><p>e) 88</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>156</p><p>178</p><p>GABARITO</p><p>Tendência</p><p>1. LETRA B</p><p>2. LETRA A</p><p>3. LETRA D</p><p>4. LETRA E</p><p>5. LETRA E</p><p>6. LETRA C</p><p>7. LETRA A</p><p>8. LETRA E</p><p>9. LETRA B</p><p>10. LETRA B</p><p>11. LETRA C</p><p>12. LETRA A</p><p>13. LETRA A</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>157</p><p>178</p><p>LISTA DE QUESTÕES</p><p>Suavização Exponencial</p><p>1. (IBADE/Pref. Vila Velha/2020) Denomina-se amortecimento exponencial o método de prever valores</p><p>em séries temporais através da expressão: 𝑿𝑷𝒓𝒆𝒗𝒊𝒔𝒕𝒐(𝒕) = (𝜶) ⋅ 𝑿(𝒕 − 𝟏) + (𝟏 − 𝜶) ⋅ 𝑿(𝒕 − 𝟐), com 𝟎 ≤ 𝜶 ≤ 𝟏.</p><p>Isto posto, assinale a única alternativa correta.</p><p>a) Se α 0,5 temos que a série valoriza mais o valor imediatamente X(t-2)</p><p>c) Valor de α =1 implica que a previsão é exatamente igual a X(t-2)</p><p>d) Valor de α = 0 implica que a previsão é exatamente igual a X(t-1)</p><p>e) À medida que aumenta o valor de t, diminui a influência dos termos da série mais distantes ao atual por</p><p>isso a denominação amortecimento exponencial</p><p>2. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2018) Considere o método de suavização exponencial simples para</p><p>previsão. Suponha que a taxa de amortecimento seja 0,9, e que a previsão de 1 passo à frente na origem 𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 é �̂�𝟏𝟎𝟎 = 𝟓𝟎. Se 𝑿𝟏𝟎𝟏 = 𝟓𝟓, qual é a previsão de 1 passo à frente em 𝒕 = 𝟏𝟎𝟏?</p><p>a) 49,5</p><p>b) 50</p><p>c) 50,5</p><p>d) 54,5</p><p>e) 55</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>158</p><p>178</p><p>GABARITO</p><p>Suavização Exponencial</p><p>1. LETRA E 2. LETRA D</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>159</p><p>178</p><p>==1365fc==</p><p>LISTA DE QUESTÕES</p><p>Modelos ARIMA</p><p>1. (Instituto Verbena/TJ-AC/2024) A formulação do modelo de séries temporais 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(1,1,1) é dada por</p><p>a) (1 − 𝜙𝐵)𝑍𝑡 = 𝑎𝑡</p><p>b) 𝑍𝑡 = (1 − 𝜃𝐵)𝑎𝑡</p><p>c) (1 − 𝜙𝐵)𝑍𝑡 = (1 − 𝜃𝐵)𝑎𝑡</p><p>d) (1 − 𝜙𝐵)(1 − 𝐵)𝑍𝑡 = (1 − 𝜃𝐵)𝑎𝑡</p><p>2. (FCC/TRT 18ª Região/2023) Considere o modelo de série temporal dado por: 𝒀𝒕 = 𝒀𝒕−𝟏 − 𝟎, 𝟐𝟓𝒀𝒕−𝟐 + 𝒆𝒕 − 𝟎, 𝟏 𝒆𝒕−𝟏, 𝒔𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒕 ~ 𝑵(𝟎, 𝝈𝟐)</p><p>Trata-se do modelo</p><p>a) ARMA (1,1) e o processo resultante é estacionário e não invertível.</p><p>b) MA (2) e o processo resultante é não estacionário e invertível.</p><p>c) ARIMA cujo processo resultante é não estacionário e não invertível.</p><p>d) ARMA (2,1) e o processo resultante é estacionário e invertível.</p><p>e) AR (1) e o processo resultante é estacionário e não invertível.</p><p>3. (FGV/CGE SC/2023) Considere o modelo de séries temporais 𝒚𝒕 = 𝒃𝒕 + 𝒚𝒕−𝟏 + 𝒖𝒕.</p><p>em que 𝒕 é uma tendência temporal, 𝒃 é o parâmetro do modelo, e 𝒖𝒕 é um ruído branco que segue</p><p>distribuição 𝑵(𝟎, 𝝈𝟐) e apresenta autocovariância nula.</p><p>Considere 𝒚𝟎 = 𝟎.</p><p>Logo, a média e a variância de 𝒚𝒕 serão iguais, respectivamente, a</p><p>a) 𝑏𝑡 e 𝑡𝜎2.</p><p>b) 𝑏𝑡 e 𝜎2.</p><p>c) 𝑏𝑡 e 0.</p><p>d) 0 e 𝜎2.</p><p>e) 0 e 𝑡𝜎2.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>160</p><p>178</p><p>4. (IBFC/Pref. Cuiabá/2023) Para obter resultados precisos do ajuste de modelo, alguns modelos</p><p>matemáticos podem ser usados na análise de séries temporais, entre os quais não se inclui o</p><p>modelo______.</p><p>Assinale a alternativa correta que preencha corretamente a lacuna.</p><p>a) autorregressivo integrado de médias móveis (ARIMA) Box-Jenkins</p><p>b) multivariado Box-Jenkins</p><p>c) de regressão Fine-Gray</p><p>d) de suavização exponencial de Holt-Winters</p><p>5. (IBFC/Pref. Cuiabá/2023) Considere o processo estocástico de média móvel MA(1) escrito da forma: 𝑿𝒕 = 𝜽𝟎 + 𝝐𝒕 + 𝜽𝟏𝝐𝒕−𝟏 para 𝒕 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …</p><p>em que 𝝐𝒕 é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média</p><p>0 e variância 𝝈𝟐.</p><p>Assinale a alternativa que apresenta respectivamente a média e a variância de Xt.</p><p>a) 0 𝑒 𝜎2</p><p>b) 𝜃0 𝑒 𝜎2(1 + 𝜃12)</p><p>c) 𝜃0 𝑒 𝜃1𝜎2</p><p>d) 𝜃0 𝑒 𝜎2𝜃12</p><p>6. (IBFC/Pref. Cuiabá/2023) Considere um processo autorregressivo estacionário Zt = 20 + 0,5</p><p>faz a seguinte pergunta ao candidato ao emprego: “Quais os elementos que compõem o modelo clássico</p><p>de séries temporais?”. A alternativa correta desta indagação é:</p><p>a) regularização exponencial, variação cíclicas, variações sazonais e variações irregulares.</p><p>b) tendência, variações aditivas, médias móveis, variações regulares.</p><p>c) variações multiplicativas, variações irregulares, tendência e variações sazonais.</p><p>d) tendência cíclica, variações aditivas, variações sazonais e variações irregulares.</p><p>e) tendência, variações cíclicas, variações sazonais e variações irregulares.</p><p>Comentários:</p><p>Uma série temporal é um conjunto de observações ordenadas no tempo. As séries temporais podem ser</p><p>decompostas em quatro componentes: tendência secular (T), variação sazonal (S), variação cíclica (C),</p><p>variação irregular ou aleatória (I).</p><p>A tendência descreve um movimento suave (a longo prazo) dos dados, para cima ou para baixo. Ela diz</p><p>respeito ao comportamento geral dos dados de aumentarem, diminuírem ou estagnarem por um longo</p><p>período.</p><p>As variações sazonais referem-se às mudanças que ocorrem devido às forças rítmicas que atuam de forma</p><p>regular e periódica. Dessa forma, as variações sazonais são variações cíclicas a prazo relativamente curto (um</p><p>ano ou menos).</p><p>As variações cíclicas são oscilações de longo prazo em torno de uma linha de tendência. Esses ciclos podem</p><p>ou não ser periódicos, ou seja, podem ou não seguir padrões semelhantes após intervalos de tempo iguais.</p><p>As variações aleatórias são flutuações (ruídos) resultantes de forças imprevistas e imprevisíveis. Essas forças</p><p>são causadas por ocorrências raras, operam de maneira absolutamente aleatória ou errática, e não têm</p><p>nenhum padrão definido.</p><p>Gabarito: E.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>9</p><p>178</p><p>Modelos Aditivo e Multiplicativo</p><p>O modelo aditivo considera uma série temporal como o resultado da soma das componentes individuais,</p><p>isto é, a soma da componente de tendência (𝑻𝒕), da componente cíclica (𝑪𝒕), da componente sazonal (𝑺𝒕)</p><p>e da componente irregular (𝑰𝒕). Assim, o modelo aditivo tem a forma: 𝒁𝒕 = 𝑻𝒕 + 𝑪𝒕 + 𝑺𝒕 + 𝑰𝒕</p><p>O modelo aditivo pressupõe que os componentes não interagem entre si e são independentes. Esse</p><p>comportamento, no entanto, não é o que observamos na prática. Muitas vezes, um movimento do</p><p>componente sazonal pode influenciar a tendência, fazendo com que o modelo aditivo se torne inadequado.</p><p>O modelo aditivo deve ser empregado quando a série temporal não apresentar uma modificação</p><p>significativa na amplitude com o incremento do nível ao longo do tempo, ou seja, a decomposição pode</p><p>ser feita pelo método aditivo se as magnitudes das flutuações sazonais não variam com nível da série ao</p><p>longo do tempo.</p><p>Finalmente, no modelo aditivo, todas as componentes são expressas em suas unidades originais. As</p><p>componentes 𝐶𝑡, 𝑆𝑡 e 𝐼𝑡 representam desvios em torno da tendência 𝑇𝑡.</p><p>O modelo multiplicativo considera uma série temporal como resultado do produto das componentes</p><p>individuais, isto é, o produto da tendência, da componente cíclica, da componente sazonal e da</p><p>componente irregular. Assim, o modelo multiplicativo tem a forma:</p><p>𝒁𝒕 = 𝑻𝒕 × 𝑪𝒕 × 𝑺𝒕 × 𝑰𝒕</p><p>O modelo multiplicativo pressupõe que os componentes interagem entre si e não são independentes.</p><p>Como dissemos anteriormente, na prática, o que se visualiza é exatamente esse comportamento. Por isso, o</p><p>modelo multiplicativo é mais empregado que o modelo aditivo.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>10</p><p>178</p><p>==1365fc==</p><p>A decomposição pode ser feita pelo método multiplicativo se as magnitudes das flutuações sazonais</p><p>variam com nível da série ao longo do tempo, isto é, se a série temporal apresenta um comportamento</p><p>sazonal estatisticamente significativo, conforme mostra a figura a seguir:</p><p>No modelo multiplicativo, apenas a tendência T é expressa na unidade original (p. ex., 10t). As demais</p><p>componentes C, S e I são expressas em porcentagens da tendência.</p><p>(FUNDATEC/Pref. de Porto Alegre/2020) Qual método de previsão de Séries Temporais deve ser utilizado</p><p>quando temos tendência e sazonalidade presentes nos dados?</p><p>a) Decomposição.</p><p>b) Média Móvel.</p><p>c) Alisamento exponencial simples.</p><p>d) Alisamento exponencial duplo.</p><p>e) Análise de tendência com regressão linear.</p><p>Comentários:</p><p>A decomposição da série permite identificar quais componentes estão atuando no conjunto, possibilitando</p><p>a obtenção de equações para realizar previsões para períodos futuros da série.</p><p>As séries temporais podem ser decompostas em quatro componentes: tendência secular (T), variação</p><p>sazonal (S), variação cíclica (C), variação irregular ou aleatória (I). Temos dois modelos de decomposição: o</p><p>aditivo e o multiplicativo.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>11</p><p>178</p><p>O modelo aditivo considera uma série temporal como o resultado da soma das componentes individuais,</p><p>isto é, a soma da componente de tendência (𝑇𝑡), da componente cíclica (𝐶𝑡), da componente sazonal (𝑆𝑡) e</p><p>da componente irregular (𝐼𝑡). Assim, o modelo aditivo tem a forma: 𝑍𝑡 = 𝑇𝑡 + 𝐶𝑡 + 𝑆𝑡 + 𝐼𝑡</p><p>O modelo multiplicativo considera uma série temporal como resultado do produto das componentes</p><p>individuais, isto é, o produto da tendência, da componente cíclica, da componente sazonal e da componente</p><p>irregular. Assim, o modelo multiplicativo tem a forma: 𝑍𝑡 = 𝑇𝑡 × 𝐶𝑡 × 𝑆𝑡 × 𝐼𝑡</p><p>Gabarito: A.</p><p>(FCC/Pref Manaus/2019) Analisando as vendas trimestrais realizadas pela empresa Gama no período de</p><p>2016 a 2018, obteve-se a equação da tendência utilizando o método dos mínimos quadrados com base</p><p>nestas 12 observações, ou seja, 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟏, 𝟓𝒕, em que X corresponde às vendas trimestrais (em</p><p>milhões de reais) e 𝒕 = 𝟏 representa o primeiro trimestre de 2016, 𝒕 = 𝟐 representa o segundo trimestre</p><p>de 2016 e assim por diante.</p><p>A previsão das vendas para o segundo trimestre de 2020, levando em conta o movimento sazonal do</p><p>período e considerando o modelo multiplicativo, é igual, em milhões de reais, a</p><p>a) 11,1.</p><p>b) 12,6.</p><p>c) 12,0.</p><p>d) 11,5.</p><p>e) 11,8.</p><p>Comentários:</p><p>De 2016 a 2019, temos um total de 4 anos, cada um com 4 trimestres. Logo, temos 16 trimestres. Assim, o</p><p>primeiro trimestre de 2020 representará a décima sétima observação dessa série, 𝑡 = 17; e o segundo</p><p>trimestre de 2020 representará a décima oitava observação, 𝑡 = 18.</p><p>Calculando a tendência para 𝑡 = 18, temos: 𝑋 = 10 + 1,5𝑡 𝑋 = 10 + 1,5 × 18</p><p>Trimestre 1º 2º 3º 4º</p><p>Índices</p><p>Sazonais</p><p>0,5 0,3 1,2 1,0</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>12</p><p>178</p><p>𝑋 = 37</p><p>O índice sazonal para o segundo trimestre foi fornecido na tabela, vale 0,3. Assim, basta multiplicarmos a</p><p>tendência encontrada pelo índice sazonal: 0,3 × 37 = 11,1</p><p>Gabarito: A.</p><p>(FCC/BACEN/2006) A análise do comportamento das vendas de uma empresa durante os últimos anos</p><p>permitiu apurar uma tendência linear de crescimento ao longo do tempo com sazonalidade.</p><p>Por meio do método dos mínimos quadrados, a empresa deduziu a reta de tendência como sendo 𝒀𝒕 =𝟓 + 𝟐𝟓 𝒕, em que 𝒀𝒕 são as vendas, em milhares de reais, em t, que representa o trimestre correspondente</p><p>das vendas (𝒕 = 𝟏 é o primeiro trimestre de 2001; 𝒕 = 𝟐 é o segundo trimestre de 2001, e assim por diante).</p><p>Esta empresa poderá adotar o modelo multiplicativo, caso se verifique que os movimentos estejam</p><p>associados ao nível de tendência,</p><p>Zt-1 + at,</p><p>onde at é ruído branco com variância σ2=3. Assinale a alternativa que apresenta quais são,</p><p>respectivamente, a média e a variância de Zt.</p><p>a) 20 e 5</p><p>b) 30 e 4,5</p><p>c) 40 e 4</p><p>d) 40 e 3</p><p>7. (CESPE/PETROBRAS/2022) Considerando uma série temporal representada por {Xt}, julgue o item a</p><p>seguir.</p><p>Se a figura abaixo apresenta a forma da função de autocorrelação parcial (facp) da série temporal {𝑋𝑡}, na</p><p>qual as correlações parciais são nulas nos lags iguais ou superiores a 2, então a autocorrelação entre 𝑋𝑡 e 𝑋𝑡−4 é igual a zero.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>161</p><p>178</p><p>8. (CESPE/PETROBRAS/2022) Considerando uma série temporal representada por {𝑿𝒕}, julgue o item a</p><p>seguir.</p><p>Se a série temporal for gerada por um processo na forma 𝑋𝑡 = 𝜀𝑡 − 𝑋𝑡−1,</p><p>no qual 𝜀𝑡 representa um ruído branco com média zero e desvio padrão igual a 1, então a variância de 𝑋𝑡</p><p>será igual a 0,5.</p><p>9. (FCC/TRT 4ª Região/2022) Seja o modelo auto-regressivo e estacionário 𝒁𝒕 = 𝟐 + 𝝋𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 em</p><p>que 𝝋 > 𝟎 e 𝒂𝒕 é o ruído branco de média 0 e variância igual a 0,64. Se a variância de 𝒁𝒕 é igual a 1, então</p><p>o valor de 𝝋 é igual a</p><p>a) 0,8</p><p>b) 0,6</p><p>c) 0,2</p><p>d) 0,4</p><p>e) 0,3</p><p>10. (FCC/TRT 5ª Região/2022) Considere os seguintes modelos de análise de séries temporais</p><p>Modelo 1: média móvel de ordem 1, MA(1), 𝒁𝒕 = 𝒂𝒕 − 𝜽𝒂𝒕−𝟏, 𝒕 ∈ 𝒁𝒕</p><p>Modelo 2: autorregressivo de ordem 1, AR(1), 𝒁𝒕 = 𝝋𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, 𝒕 ∈ 𝒁𝒕</p><p>Onde 𝒂𝒕 possui uma distribuição normal com média 𝟎 e variância 𝝈𝟐.</p><p>Então é correto afirmar que</p><p>a) o modelo 1 será invertível para quaisquer valores de 𝜃 e estacionário para valores −1 1</p><p>e) tanto o modelo 1 quanto o modelo 2 são estacionários para quaisquer valores de 𝜃 e 𝜑</p><p>11. (FCC/TRT 17ª Região/2022) Considere o modelo de média móvel de ordem 𝒒 = 𝟐, MA(2), dado por 𝒁𝒕 = 𝒂𝒕 − 𝜽𝟏𝒂𝒕−𝟏 − 𝜽𝟐𝒂𝒕−𝟐, 𝒕 ∈ 𝒁, com ruído branco 𝒂𝒕~𝑵(𝟎, 𝝈𝟐). Então o processo resultante será</p><p>a) invertível para quaisquer valores de 𝜃1 e 𝜃2.</p><p>b) estacionário somente para valores 𝜃1 + 𝜃2 1.</p><p>e) estacionário somente se atender as condições −1</p><p>0,46.</p><p>c) 0,23.</p><p>d) 0,00.</p><p>e) + 0,23.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>167</p><p>178</p><p>21. (CESPE/MJSP/2021) Julgue o próximo item, considerando um modelo de séries temporais do tipo 𝒁𝒕 =𝟐 + 𝟎, 𝟑𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, no qual 𝒂𝒕 ∼ 𝑵(𝟎, 𝟏) forma uma sequência de ruídos aleatórios independentes e</p><p>identicamente distribuídos.</p><p>A média do processo 𝑍𝑡 é igual a 2.</p><p>22. (CESPE/MJSP/2021) Julgue o próximo item, considerando um modelo de séries temporais do tipo 𝒁𝒕 =𝟐 + 𝟎, 𝟑𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, no qual 𝒂𝒕 ∼ 𝑵(𝟎, 𝟏) forma uma sequência de ruídos aleatórios independentes e</p><p>identicamente distribuídos.</p><p>A autocorrelação entre 𝑍𝑡 e 𝑍𝑡−2 é igual a 0,09.</p><p>23. (CESPE/MJSP/2021) Julgue o próximo item, considerando um modelo de séries temporais do tipo 𝒁𝒕 =𝟐 + 𝟎, 𝟑𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, no qual 𝒂𝒕 ∼ 𝑵(𝟎, 𝟏) forma uma sequência de ruídos aleatórios independentes e</p><p>identicamente distribuídos.</p><p>A autocorrelação parcial entre 𝑍𝑡+2 e 𝑍𝑡−2 é superior a 0,01.</p><p>24. (CESPE/MJSP/2021) Julgue o próximo item, considerando um modelo de séries temporais do tipo 𝒁𝒕 =𝟐 + 𝟎, 𝟑𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, no qual 𝒂𝒕 ∼ 𝑵(𝟎, 𝟏) forma uma sequência de ruídos aleatórios independentes e</p><p>identicamente distribuídos.</p><p>A série temporal 𝑊𝑡 = (1 − 0,3𝐵)𝑍𝑡, em que B denota o operador backshift, segue um processo white noise</p><p>(ruído branco) que possui média zero e variância 1.</p><p>25. (FGV/FEMPAR/2021) Consórcio de veículos de imprensa passa a divulgar dados mais detalhados sobre</p><p>a pandemia de Covid-19 no Brasil.</p><p>Além dos números diários de casos e mortes, um novo indicador, recomendado por especialistas e</p><p>adotado por diversos veículos da imprensa internacional, passa a ser divulgado: a média móvel. Ao adotar</p><p>tal critério, os gráficos passam a mostrar o número de casos e mortes de cada dia em barras, e uma linha</p><p>mostrará a média móvel dos últimos 7 dias.</p><p>Fonte: g1.globo.com (Adaptado). Acesso em 09/07/2020.</p><p>Em Estatística, a média móvel é um estimador calculado a partir de uma sequência de observações que</p><p>suaviza flutuações curtas e privilegia tendências de longo prazo. A “média móvel dos últimos 7 dias”, citada</p><p>na reportagem, é a média aritmética dos 7 últimos valores observados. No dia seguinte, o novo registro</p><p>substitui o registro mais antigo da série e a média aritmética é recalculada.</p><p>Nos primeiros 7 dias de janeiro, a média móvel de mortes confirmadas por Covid-19 no Brasil divulgada</p><p>foi 741. No dia 8 de janeiro, esse número aumentou para 872.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>168</p><p>178</p><p>==1365fc==</p><p>Com relação ao número de mortes por Covid-19 no dia 1° de janeiro, o dia 8 desse mesmo mês apresentou,</p><p>a mais,</p><p>a) 19 óbitos.</p><p>b) 131 óbitos.</p><p>c) 806 óbitos.</p><p>d) 917 óbitos.</p><p>e) 1.834 óbitos</p><p>26. (VUNESP/EBSERH/2020) A variável y segue um processo representado por 𝒚𝒕 = 𝝓𝟏𝒚𝒕−𝟏 + 𝝓𝟐𝒚𝒕−𝟐 +𝜺𝒕 + 𝜽𝜺𝒕−𝟏, sendo 𝜺𝒕 um ruído branco.</p><p>Esse processo é denominado</p><p>a) ARMA(2,1).</p><p>b) ARMA(1,2).</p><p>c) AR(2).</p><p>d) ARIMA(2,1,1).</p><p>e) ARIMA(1,2,1).</p><p>27. (VUNESP/EBSERH/2020) O processo 𝒀𝒕 = √𝟐𝒀𝒕−𝟏 − 𝒀𝒕−𝟐 + 𝜺𝒕 é</p><p>a) um ruído branco.</p><p>b) não estacionário.</p><p>c) estacionário de 2ª ordem.</p><p>d) estacionário em torno da tendência.</p><p>e) fortemente estacionário.</p><p>28. (VUNESP/EsFCEx/2020) Seja uma série temporal estacionária, cujos gráficos das funções de</p><p>autocorrelação e autocorrelação parcial são apresentados a seguir:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>169</p><p>178</p><p>Seja a notação de modelo tipo ARIMA (p, d, q), sendo p a ordem da parte autorregressiva, d o grau da</p><p>diferenciação e q a ordem da parte de médias móveis. O modelo que representa melhor a série temporal</p><p>em questão é:</p><p>a) ARIMA (2, 1, 1).</p><p>b) ARIMA (0, 0, 2).</p><p>c) ARIMA (0, 0, 1).</p><p>d) ARIMA (0, 1, 0).</p><p>e) ARIMA (1, 0, 0).</p><p>29. (FGV/DPE RJ/2019) Após uma análise sobre a série de tempo que reflete o volume de recursos</p><p>envolvidos nos feitos em que a Defensoria Pública atua, verificou-se a existência de um processo do tipo</p><p>MA(2).</p><p>Adicionalmente, estimou-se essa equação que modela a série sendo dada por: 𝒚𝒕 = 𝑲 + 𝟎, 𝟒. 𝜺𝒕−𝟐 + 𝟎, 𝟐. 𝜺𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>170</p><p>178</p><p>Onde K é uma constante e 𝜺𝒕 um ruído branco, 𝑬(𝜺𝒕) = 𝟎 e 𝑬(𝜺𝒕𝟐) = 𝝈𝟐. Daí pode-se concluir que:</p><p>a) a média do processo é dada por</p><p>𝐾(1−0,4−0,2);</p><p>b) a variância do processo é dada por 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 0,20𝜎2;</p><p>c) se as raízes do polinômio 0,4𝐷2 + 0,2𝐷 + 1 estiverem fora do círculo unitário, o processo será</p><p>estacionário;</p><p>d) a correlação entre 𝑦𝑡 e 𝑦𝑡−2é igual a 0,4. 𝜎2;</p><p>e) a correlação entre 𝑦𝑡 e 𝑦𝑡−1 é igual a 7/30 .</p><p>30. (CESPE/ABIN/2018) A quantidade demandada por certo produto no instante t é representada por 𝑿𝒕,</p><p>em que 𝒕 ∈ 𝒁 = ⋯ , −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, …, e 𝑿𝒕 segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 −𝟐𝒂𝒕−𝟏, na qual 𝒂𝒕 e 𝒂𝒕−𝟏 representam ruídos aleatórios com média nula e variância unitária.</p><p>A respeito dessa situação, julgue o item subsequente.</p><p>A média do processo 𝑿𝒕 é igual a 10.</p><p>31. (CESPE/EBSERH/2018) A série temporal da quantidade mensal de pacientes submetidos a determinado</p><p>procedimento cirúrgico segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 − 𝟎, 𝟓𝒂𝒕−𝟏, em que</p><p>{𝒂𝒕} representa uma série temporal de ruídos aleatórios com média nula e variância 9.</p><p>A respeito desse processo, julgue o item que se segue.</p><p>A variância do processo {𝑋𝑡} é igual a 9.</p><p>32. (CESPE/STM/2018) A respeito da autocorrelação dos erros de um modelo de regressão linear, julgue o</p><p>item subsequente.</p><p>Ocorre autocorrelação dos erros caso os erros da regressão sigam um processo autorregressivo de ordem 1,</p><p>ou seja, um AR(1).</p><p>33. (CESPE/ABIN/2018) A respeito de séries temporais, julgue o item seguinte.</p><p>A série temporal modelada por 𝒚𝒕 = 𝟎, 𝟔𝒚𝒕−𝟏 + 𝟏, 𝟐𝒕 + 𝒆𝒕 é uma série autorregressiva AR(1) com</p><p>tendência.</p><p>34. (CESPE/ABIN/2018) A respeito de séries temporais, julgue o item seguinte.</p><p>A série temporal {𝑥𝑡; 𝑡 = 0, 1, 2, ⋯ } expressa por 𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−1 + 𝑒𝑡, em que 𝑒𝑡 é um termo de variação com</p><p>média zero e variância constante, é denominada ruído branco.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>171</p><p>178</p><p>35. (CESPE/ABIN/2018) A quantidade demandada por certo produto no instante t é representada por 𝑿𝒕,</p><p>em que 𝒕 ∈ 𝒁 = ⋯ , −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, …, e 𝑿𝒕 segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 − 𝟐𝒂𝒕−𝟏, na qual 𝒂𝒕 e 𝒂𝒕−𝟏 representam ruídos aleatórios com média nula e variância unitária.</p><p>A respeito dessa situação, julgue o item subsequente.</p><p>O processo em tela segue um modelo ARMA(1, 1), e a série temporal 𝑋𝑡: 𝑡 ∈ ℤ é estacionária.</p><p>36. (CESPE/ABIN/2018) A quantidade demandada por certo produto no instante t é representada por 𝑿𝒕,</p><p>em que 𝒕 ∈ 𝒁 = ⋯ , −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, …, e 𝑿𝒕 segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 − 𝟐𝒂𝒕−𝟏, na qual 𝒂𝒕 e 𝒂𝒕−𝟏 representam ruídos aleatórios com média nula e variância unitária.</p><p>A respeito dessa situação, julgue o item subsequente.</p><p>A autocorrelação entre 𝑿𝒕 e 𝑿𝒕−𝟏 é nula.</p><p>37. (CESPE/EBSERH/2018) A série temporal da quantidade mensal de pacientes submetidos a determinado</p><p>procedimento cirúrgico segue um processo na</p><p>forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 − 𝟎, 𝟓𝒂𝒕−𝟏, em que {𝒂𝒕}</p><p>representa uma série temporal de ruídos aleatórios com média nula e variância 9.</p><p>A respeito desse processo, julgue o item que se segue.</p><p>A série temporal {𝑿𝒕} é estacionária.</p><p>38. (CESPE/EBSERH/2018) A série temporal da quantidade mensal de pacientes submetidos a determinado</p><p>procedimento cirúrgico segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 − 𝟎, 𝟓𝒂𝒕−𝟏, em que {𝒂𝒕}</p><p>representa uma série temporal de ruídos aleatórios com média nula e variância 9.</p><p>A respeito desse processo, julgue o item que se segue.</p><p>A média do processo {𝑋𝑡} é igual a 100.</p><p>39. (CESPE/EBSERH/2018) A série temporal da quantidade mensal de pacientes submetidos a determinado</p><p>procedimento cirúrgico segue um processo na forma 𝑿𝒕 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 − 𝟎, 𝟓𝒂𝒕−𝟏, em que {𝒂𝒕}</p><p>representa uma série temporal de ruídos aleatórios com média nula e variância 9.</p><p>A respeito desse processo, julgue o item que se segue.</p><p>A autocorrelação entre 𝑋𝑡 e 𝑋𝑡−1 é igual a 0.</p><p>40. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2018) Grande parte dos procedimentos de análise de séries temporais</p><p>pressupõe séries estacionárias. Um procedimento comum para converter uma série temporal não</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>172</p><p>178</p><p>estacionária em uma série estacionária reside na utilização de diferenças sucessivas da série original até</p><p>se obter uma série estacionária. Seja a primeira diferença 𝜟𝒚𝒕 = 𝒚𝒕 − 𝒚𝒕−𝟏 A média de 𝜟𝒚𝒕 é</p><p>a)</p><p>𝑦𝑡−𝑦1𝑛</p><p>b)</p><p>𝑦𝑡−𝑦1𝑛−1</p><p>c)</p><p>𝑦𝑡+𝑦𝑡−1+⋯+𝑦1𝑛</p><p>d)</p><p>𝑦𝑡+𝑦𝑡−1+⋯+𝑦1𝑛−1</p><p>e)</p><p>𝑦𝑡+2𝑦𝑡−1+⋯+2𝑦2+𝑦1𝑛−1</p><p>41. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2018) Seja o modelo autorregressivo integrado médias móveis</p><p>ARIMA(2,1,0) representado pela equação 𝑿𝒕 = (𝟏 + 𝝓𝟏)𝑿𝒕−𝟏 + (𝝓𝟐 − 𝝓𝟏)𝑿𝒕−𝟐 − (𝝓𝟐)𝑿𝒕−𝟑 + 𝜺𝒕,</p><p>onde 𝜺𝒕~𝑹𝑩(𝟎, 𝝈𝜺𝟐). O valor da função de autocorrelação no lag 1 da forma estacionária de 𝑿𝒕 é dada</p><p>por</p><p>a) 𝜌1 = 𝜙1</p><p>b) 𝜌1 = 𝜙2</p><p>c) 𝜌1 =</p><p>𝜙11−𝜙2</p><p>d) 𝜌1 = 𝜙21−𝜙1</p><p>e) 𝜌1 = 𝜙1𝜙2</p><p>42. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2018) Considere o modelo de séries temporais cuja equação é dada por (𝟏 − 𝑳)(𝟏 + 𝟎, 𝟒𝑳𝟕)𝑿𝒕 = (𝟏 − 𝟎, 𝟑𝑳 + 𝟏, 𝟐𝑳𝟐)𝜺𝒕, 𝜺𝒕~𝑵(𝟎, 𝝈𝜺𝟐), levando em conta polinômios</p><p>autoregressivos e médias móveis, ambos completos.</p><p>Tal modelo é um</p><p>a) ARIMA(1,1,2), e os parâmetros satisfazem as condições de estacionariedade e invertiblidade.</p><p>b) ARIMA(7,1,2), e os parâmetros não satisfazem as condições de estacionariedade e invertiblidade.</p><p>c) ARIMA(7,1,2), e os parâmetros satisfazem as condições de estacionariedade e invertiblidade.</p><p>d) ARIMA(0,1,2)x(1,0,0)7 , e os parâmetros não satisfazem as condições de estacionariedade e invertiblidade.</p><p>e) ARIMA(2,1,0)x(1,0,0)7 , e os parâmetros satisfazem as condições de estacionariedade e invertibilidade.</p><p>43. (FCC/TRT 2ª Região/2018) No modelo ARMA(1,1), ou seja, 𝒚𝒕 = 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟐𝒚𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕 + 𝟎, 𝟖𝜺𝒕−𝟏, em que 𝜺𝒕 é um ruído branco de média nula e variância unitária, obtém-se que a variância de 𝒚𝒕 é igual a</p><p>a) 41/24</p><p>b) 25/12</p><p>c) 49/24</p><p>d) 9/4</p><p>e) 3/4</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>173</p><p>178</p><p>44. (CESPE/TCE-PE/2017) Julgue o item que se segue, relativo ao modelo de séries temporais expresso por 𝒁𝒕 = 𝟎, 𝟔𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, em que 𝒂𝒕 representa um ruído branco com média zero e variância de 0,8.</p><p>A variância do processo 𝒁𝒕 é igual a 1,25.</p><p>45. (CESPE/TCE-PE/2017) Julgue o item que se segue, relativo ao modelo de séries temporais expresso por 𝒁𝒕 = 𝟎, 𝟔𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, em que 𝒂𝒕 representa um ruído branco com média zero e variância de 0,8.</p><p>A autocorrelação entre 𝒁𝒕 e 𝒁𝒕−𝟏 é igual a 0,6, ao passo que a autocorrelação entre 𝒁𝒕 e 𝒁𝒕−𝟑 é igual a zero.</p><p>46. (FGV/MPE-BA/2017) O comportamento da variável que reflete o nível de violência em determinado</p><p>centro urbano parece ter uma dinâmica própria, do ponto de vista estatístico, adaptada à seguinte</p><p>estrutura modelar: 𝒚𝒕 = 𝟏𝟐 + 𝟎, 𝟐𝟓. 𝒚𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕</p><p>onde 𝒚𝒕 é o nível de violência em t e 𝜺𝒕 o erro aleatório com os pressupostos usuais.</p><p>Considerando os valores dos parâmetros estimados por MQO, conclui-se que:</p><p>a) o nível da violência tende a subir com o passar do tempo;</p><p>b) o nível da violência tende a reduzir com o passar do tempo;</p><p>c) não se pode prever se a violência tende a crescer ou baixar por causa da presença do termo aleatório;</p><p>d) o nível de violência tende a oscilar, mas permanecendo, em média, ao redor do valor 16;</p><p>e) a variância da medida do nível de violência tende a se reduzir com o passar do tempo.</p><p>47. (CESPE/FUNPRESP-JUD/2016) Um processo estacionário autorregressivo de ordem 1 é escrito como 𝒁𝒕 = 𝟎, 𝟕𝒁𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕 em que 𝒂𝒕 é um ruído branco e t é um número inteiro. Com relação a esse processo,</p><p>julgue o seguinte item.</p><p>A autocorrelação entre 𝒁𝒕 e 𝒁𝒕−𝟐 é igual ou inferior a 0,5.</p><p>48. (FCC/TRT 20ª Região/2016) Sejam f(k) e h(k), 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …, respectivamente, as funções de</p><p>autocorrelação e autocorrelação parcial de um modelo ARIMA(p,d,q). Considere as seguintes afirmações:</p><p>I. No modelo ARIMA(0,d,1), a região de admissibilidade do modelo é −𝟏 𝟐.</p><p>III. No modelo ARIMA(1,d,1) f(k) decai exponencialmente após 𝒌 = 𝟏 e h(k) é dominada por senoides</p><p>amortecidas após 𝒌 = 𝟏.</p><p>IV. No modelo ARIMA(1,d, 0) ,𝒇(𝟏) = 𝝓, onde 𝝓 é o parâmetro autorregressivo do modelo.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>174</p><p>178</p><p>Está correto o que se afirma APENAS em</p><p>a) I, III e IV.</p><p>b) II, III e IV.</p><p>c) II e III.</p><p>d) I e IV.</p><p>e) I, II e IV.</p><p>49. (CESPE/TCU/2015) Uma empresa publicou um relatório acerca das previsões para sua receita</p><p>operacional nos próximos meses. Essas previsões foram obtidas com base em um modelo estacionário de</p><p>séries temporais na forma 𝑿𝒕 = 𝟐 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, em que 𝑿𝒕 representa a receita operacional no mês</p><p>t e 𝒂𝒕 é um ruído branco (no instante t) que possui média nula e variância igual a 3.</p><p>A partir dessas informações, julgue o item abaixo.</p><p>O modelo apresentado é um processo autorregressivo de primeira ordem, AR(1), em que a média e o desvio</p><p>padrão de 𝑿𝒕 são, respectivamente, iguais a 4 e 2.</p><p>50. (FCC/CNMP/2015) Para o modelo ARMA (2,0) dado por 𝒁𝒕 = 𝜽𝒁𝒕−𝟏 + 𝝓𝒁𝒕−𝟐 + 𝒂𝒕,</p><p>onde 𝒂𝒕 é o ruído branco de média zero e variância 𝝈𝟐 e 𝜽 e 𝝓são os parâmetros do modelo. Considere as</p><p>seguintes afirmações:</p><p>I. A condição de estacionariedade do modelo é dada por: |𝝓| 𝟐.</p><p>IV. A função de autocorrelação de 𝒁𝒕 é uma mistura de exponenciais ou ondas senoides amortecidas.</p><p>Está correto o que se afirma APENAS em</p><p>a) I e IV.</p><p>b) II e III.</p><p>c) II, III e IV.</p><p>d) I, II e IV.</p><p>e) I e III.</p><p>51. (CESPE/ANATEL/2014) Acerca das propriedades dos modelos econométricos de séries temporais,</p><p>julgue o item subsequente.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>175</p><p>178</p><p>A função de autocorrelação de um processo AR(1), 𝑪𝒐𝒓(𝒚𝒕, 𝒚𝒕−𝒌) cresce exponencialmente à medida que k</p><p>aumenta.</p><p>52. (CESPE/ANTT/2013) Acerca dos modelos de séries temporais, julgue o item que se segue.</p><p>Um modelo autorregressivo de 1.ª ordem 𝒀𝒕 = 𝒄 + 𝜽𝒀𝒕−𝟏 + 𝝐𝒕, com |𝜽|</p><p>ou adotar o modelo aditivo, caso se verifique movimentos em torno da</p><p>tendência que não dependam de seu nível.</p><p>O quadro a seguir fornece os fatores sazonais, caso seja adotado o modelo multiplicativo, e as médias das</p><p>diferenças (vendas observadas menos vendas obtidas pela tendência) por trimestre, caso seja adotado o</p><p>modelo aditivo.</p><p>A previsão de vendas, em milhares de reais, para o primeiro trimestre de 2006 é</p><p>a) 212, caso seja adotado o método multiplicativo.</p><p>b) 210, caso seja adotado o método multiplicativo.</p><p>c) 200, caso seja adotado o método multiplicativo.</p><p>d) 245, caso seja adotado o método aditivo.</p><p>e) 225, caso seja adotado o método aditivo.</p><p>Comentários:</p><p>Para o primeiro trimestre de 2001, temos 𝑡 = 1. De 2001 a 2006, temos 5 anos, cada ano com 4 trimestres,</p><p>logo, temos um total de 20 trimestres. Portanto, o primeiro trimestre de 2006 será o vigésimo primeiro da</p><p>série, 𝑡 = 21.</p><p>Trimestre</p><p>Fator Sazonal</p><p>Multiplicativo</p><p>Média das Diferenças</p><p>Primeiro 0,4 -280</p><p>Segundo 0,6 -205</p><p>Terceiro 1,2 150</p><p>Quarto 1,8 335</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>13</p><p>178</p><p>Calculando a tendência para 𝑡 = 21, temos: 𝑇 = 5 + 25𝑡 𝑇 = 5 + 25 × 21 𝑇 = 530</p><p>Agora, basta multiplicarmos a tendência pelo fator sazonal do primeiro trimestre (0,4): 530 × 0,4 = 212</p><p>Gabarito: A.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>14</p><p>178</p><p>TENDÊNCIA</p><p>A tendência se refere ao movimento dos dados a longo prazo, para cima e para baixo. Há duas finalidades</p><p>básicas ao isolar a tendência numa série temporal. Uma é identificar a tendência e usá-la, digamos, em</p><p>previsões. A outra é remover a tendência, de modo a permitir o estudo das outras componentes da série.</p><p>Os movimentos de tendência podem ofuscar outros componentes de uma série temporal. Os padrões</p><p>sazonal e cíclico podem se tomar menos evidentes quando a tendência está presente. Em geral, estratégias</p><p>a curto prazo dependem mais de fatores sazonais e cíclicos do que de uma tendência a longo prazo.</p><p>Há dois métodos gerais para isolar a tendência. No primeiro, empregamos modelos de regressão para</p><p>estimar a linha de tendência. No outro, usamos médias móveis para eliminar os outros componentes.</p><p>Regressão Linear</p><p>Se substituirmos a variável independente 𝑥 pelo tempo (𝑡 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑛) e usarmos os correspondentes</p><p>valores da série temporal como variável dependente, podemos aplicar os modelos de regressão à análise de</p><p>dados de séries temporais.</p><p>A tabela a seguir contém dados de uma série temporal para um período de 20 (vinte) anos.</p><p>Ano Toneladas Ano Toneladas</p><p>2001 12 2011 18</p><p>2002 14 2012 20</p><p>2003 13 2013 21</p><p>2004 12 2014 18</p><p>2005 14 2015 17</p><p>2006 16 2016 19</p><p>2007 17 2017 23</p><p>2008 18 2018 25</p><p>2009 15 2019 21</p><p>2010 16 2020 23</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>15</p><p>178</p><p>Reparem que o gráfico dessa série temporal sugere a existência de uma tendência linear:</p><p>Vejamos como aplicar a técnica de regressão linear para obter a reta de tendência. Substituindo a escala (𝑥)</p><p>da variável independente por uma escala de tempo (𝑡), obtemos uma equação da forma: 𝑍𝑡 = 𝑎 + 𝑏 × 𝑡</p><p>em que: 𝑍𝑡: valor previsto da série temporal; 𝑎: valor de 𝑍𝑡 quando 𝑡 = 0; 𝑏: coeficiente angular da reta; e 𝑡: número de períodos.</p><p>As equações para 𝑎 e 𝑏 são expressas pelas seguintes fórmulas:</p><p>𝒃 = 𝒏 ∑ 𝒕𝒁 − ∑ 𝒕 ∑ 𝒁𝒏 ∑ 𝒕𝟐 − (∑ 𝒕)𝟐</p><p>𝒂 = ∑ 𝒁 − 𝒃 ∑ 𝒕𝒏 = �̅� − 𝒃�̅�</p><p>em que 𝑛 é o número de observações.</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>Toneladas</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>16</p><p>178</p><p>A tabela a seguir calcula os valores necessários nas fórmulas: ∑ 𝑡, ∑ 𝑡2, ∑(𝑡 × 𝑍) e ∑ 𝑍. Reparem que os anos</p><p>foram substituídos por 1, 2, 3, etc. Isso simplifica os cálculos e resulta em um valor para a em 𝑡 = 0.</p><p>Ano 𝒕 𝒁 𝒕 × 𝒁 𝒕𝟐</p><p>2001 1 12 𝟏 × 𝟏𝟐 = 𝟏𝟐 1</p><p>2002 2 14 𝟐 × 𝟏𝟒 = 𝟐𝟖 4</p><p>2003 3 13 𝟑 × 𝟏𝟑 = 𝟑𝟗 9</p><p>2004 4 12 𝟒 × 𝟏𝟐 = 𝟒𝟖 16</p><p>2005 5 14 𝟓 × 𝟏𝟒 = 𝟕𝟎 25</p><p>2006 6 16 𝟔 × 𝟏𝟔 = 𝟗𝟔 36</p><p>2007 7 17 𝟕 × 𝟏𝟕 = 𝟏𝟏𝟗 49</p><p>2008 8 18 𝟖 × 𝟏𝟖 = 𝟏𝟒𝟒 64</p><p>2009 9 15 𝟗 × 𝟏𝟓 = 𝟏𝟑𝟓 81</p><p>2010 10 16 𝟏𝟎 × 𝟏𝟔 = 𝟏𝟔𝟎 100</p><p>2011 11 18 𝟏𝟏 × 𝟏𝟖 = 𝟏𝟗𝟎 121</p><p>2012 12 20 𝟏𝟐 × 𝟐𝟎 = 𝟐𝟒𝟎 144</p><p>2013 13 21 𝟏𝟑 × 𝟐𝟏 = 𝟐𝟕𝟑 169</p><p>2014 14 18 𝟏𝟒 × 𝟏𝟖 = 𝟐𝟓𝟐 196</p><p>2015 15 17 𝟏𝟓 × 𝟏𝟕 = 𝟐𝟓𝟓 225</p><p>2016 16 19 𝟏𝟔 × 𝟏𝟗 = 𝟑𝟎𝟒 256</p><p>2017 17 23 𝟏𝟕 × 𝟐𝟑 = 𝟑𝟗𝟏 289</p><p>2018 18 25 𝟏𝟖 × 𝟐𝟓 = 𝟒𝟓𝟎 324</p><p>2019 19 21 𝟏𝟗 × 𝟐𝟏 = 𝟑𝟗𝟗 361</p><p>2020 20 23 𝟐𝟎 × 𝟐𝟑 = 𝟒𝟔𝟎 400</p><p>Σ 210 352 4.073 2.870</p><p>De posse dos valores de ∑ 𝑡, ∑ 𝑡2, ∑(𝑡 × 𝑍) e ∑ 𝑍, podemos calcular os parâmetros da reta de regressão: 𝑏 = 𝑛 × ∑(𝑡 × 𝑍) − (∑ 𝑡) × (∑ 𝑍)𝑛 × (∑ 𝑡2) − (∑ 𝑡)2 = 20 × (4.073) − 210 × 35220 × 2.870 − (210)2 = 81.460 − 73.92057.400 − 44.100 = 7.54013.300 ≅ 0,567</p><p>𝑎 = ∑ 𝑍 − 𝑏 × ∑ 𝑡𝑛 = 352 − 0,567 × 21020 = 11,65</p><p>Assim, a componente linear desses dados é representada pela equação: 𝑍𝑡 = 11,65 + 0,567 × 𝑡.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>17</p><p>178</p><p>A reta pode ser traçada mediante a identificação de dois pontos quaisquer. Naturalmente, já temos o ponto</p><p>em que a reta intercepta o eixo 𝑦: o valor de 𝑎. Logo, para 𝑡 = 0 (2001), 𝑍𝑡 = 𝑎 = 11,65. Outro ponto pode</p><p>ser o valor de 𝑍𝑡 quando 𝑡 = 20: 𝑍𝑡 = 11,65 + 0,567 × 20 = 22,99.</p><p>O traçado da linha de tendência é apresentado na figura a seguir:</p><p>Se os dados são exportações anuais em toneladas, e a finalidade da análise é prever exportações futuras,</p><p>podemos levar os valores de 𝑡 na equação para obter as exportações projetadas para anos futuros. Por</p><p>exemplo, a estimativa para 2021 (t = 21) seria: 𝑍𝑡 = 11,65 + 0,567 × 21 = 23,56.</p><p>Médias Móveis</p><p>A média móvel também pode ser aplicada à análise de tendência de uma série. Uma média móvel é uma</p><p>média das últimas 𝒌 observações, digamos as 5, 10 ou 15 últimas. A média é móvel porque, à medida que</p><p>incluímos uma nova observação, desprezamos também a mais antiga.</p><p>Assim, uma média móvel é a média aritmética das últimas 𝒌 observações 𝒁𝒕:</p><p>𝑴𝑴 = ∑ 𝒁𝒕𝒌𝒊=𝒕−𝒌𝒌</p><p>Zt = 0,567 t + 11,65</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>Toneladas</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>18</p><p>178</p><p>Consideremos a seguinte série, para a qual foi estabelecida uma média móvel de cinco períodos:</p><p>𝒕 𝒁𝒕 Total Móvel (5 períodos) Média Móvel = Total Móvel/5</p><p>1 10</p><p>2 15</p><p>3 10</p><p>4 5</p><p>5 10 = 10 + 15 + 10 + 5 + 10 = 50 = 50/5 = 10</p><p>6 15 = 15 + 10 + 5 + 10 + 15 = 55 = 55/5 = 11</p><p>7 20 = 10 + 5 + 10 + 15 + 20 = 60 = 60/5 = 12</p><p>8 25 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 = 75 = 75/5 = 15</p><p>9 15 = 10 + 15 + 20 + 25 +15 = 85 = 85/5 = 17</p><p>10 5 = 15 + 20 + 25 +15 + 5 = 80 = 80/5 = 16</p><p>Reparem que sempre calculamos a soma das cinco últimas observações (total móvel), e que a média móvel</p><p>foi obtida dividindo-se o total móvel pelo número de períodos (valores) naquele total. Assim, há sempre k</p><p>observações no total móvel.</p><p>O efeito da utilização de uma média móvel é a remoção de variações sazonais, cíclicas, irregulares e</p><p>aleatórias; restando apenas o que é considerado tendência. Contudo, devemos adotar um período bastante</p><p>longo para que a média móvel seja capaz de remover variações cíclicas e irregulares.</p><p>Quanto</p><p>mais dados incluímos na média, menos sensível ela se torna a observações recentes.</p><p>Inversamente, quanto menos dados, mais sensível ela se torna a mudanças recentes. Às vezes, podemos</p><p>utilizar um esquema de ponderação (suavização exponencial) que atribui maior peso às observações mais</p><p>recentes.</p><p>Quanto mais dados incluímos na média, menos sensível ela se torna a observações</p><p>recentes. Inversamente, quanto menos dados, mais sensível ela se torna a mudanças</p><p>recentes</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>19</p><p>178</p><p>A tabela a seguir ilustra a média móvel de 5 períodos para os mesmos dados analisados por regressão:</p><p>Ano 𝒕 𝒁 Total Móvel (5 períodos) MM = Total Móvel/5</p><p>2001 1 12</p><p>2002 2 14</p><p>2003 3 13</p><p>2004 4 12</p><p>2005 5 14 12 + 14 + 13 + 12 + 14 = 65 65/5 = 13,0</p><p>2006 6 16 14 + 13 + 12 + 14 + 16 = 69 69/5 = 13,8</p><p>2007 7 17 13 + 12 + 14 + 16 + 17 = 72 72/5 = 14,4</p><p>2008 8 18 12 + 14 + 16 + 17 + 18 = 77 77/5 = 15,4</p><p>2009 9 15 14 + 16 + 17 + 18 + 15 = 80 80/5 = 16,0</p><p>2010 10 16 16 + 17 + 18 + 15 + 16 = 82 82/ 5 = 16,4</p><p>2011 11 18 17 + 18 + 15 + 16 + 18 = 84 84/5 = 16,8</p><p>2012 12 20 18 + 15 + 16 + 18 + 20 = 87 87/5 = 17,4</p><p>2013 13 21 15 + 16 + 18 + 20 + 21 = 90 90/5 = 18,0</p><p>2014 14 18 16 + 18 + 20 + 21 + 18 = 93 93/5 = 18,6</p><p>2015 15 17 18 + 20 + 21 + 18 + 17 = 94 94/5 = 18,8</p><p>2016 16 19 20 + 21 + 18 + 17 + 19 = 95 95/5 = 19,0</p><p>2017 17 23 21 + 18 + 17 + 19 + 23 = 98 98/5 = 19,6</p><p>2018 18 25 18 + 17 + 19 + 23 + 25 = 102 102/5 = 20,4</p><p>2019 19 21 17 + 19 + 23 + 25 + 21 = 105 105/5 = 21,0</p><p>2020 20 23 19 + 23 + 25 + 21 + 23 = 111 111/5 = 22,2</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>20</p><p>178</p><p>==1365fc==</p><p>A figura a seguir compara os dois métodos discutidos: regressão e média móvel. A vantagem do método das</p><p>médias móveis é que ele abrange tanto tendências lineares como não-lineares. A desvantagem é que os</p><p>primeiros valores não possuem valores correspondentes na média móvel, enquanto na tendência linear sim.</p><p>(IBADE/IPVV/2020) Considere a série temporal de seis itens de números de sinistros a pagar no mês a</p><p>seguir: 200, 210, 205, 217, 207, 203, 209. Usando o método de previsão de médias móveis de dois pontos</p><p>de dados, o valor para a projeção do oitavo item de dado é igual a:</p><p>a) 200.</p><p>b) 203.</p><p>c) 242.</p><p>d) 207.</p><p>e) 206</p><p>Comentários:</p><p>A média móvel consiste em calcular a média aritmética das 𝑘 observações mais recentes de uma série</p><p>temporal 𝑍1, 𝑍2, ⋯, 𝑍𝑛: 𝑀𝑀𝑡 = 𝑍𝑡 + 𝑍𝑡−1 + ⋯ + 𝑍𝑡−𝑘+1𝑘 .</p><p>Zt = 0,57 t + 11,647</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>Toneladas</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>21</p><p>178</p><p>A questão solicita a previsão por média móvel de dois pontos de dados. Desse modo, a previsão para o oitavo</p><p>item será determinada pela média dos dois últimos meses, ou seja, 𝑀𝑀8 = 𝑍6 + 𝑍72 = 203 + 2092 = 4122 = 206.</p><p>Gabarito: E.</p><p>4. (IBADE/Pref. Vila Velha/2020) Considere a série temporal de seis itens de dados a seguir: {200, 210, 205,</p><p>217, 207, 203}. Usando o método de previsão de médias móveis de dois pontos de dados, o valor para a</p><p>projeção do sétimo item de dado é igual a:</p><p>a) 200.</p><p>b) 203.</p><p>c) 242.</p><p>d) 207.</p><p>e) 205</p><p>Comentários:</p><p>A média móvel consiste em calcular a média aritmética das 𝑘 observações mais recentes de uma série</p><p>temporal 𝑍1, 𝑍2, ⋯, 𝑍𝑛: 𝑀𝑀𝑡 = 𝑍𝑡 + 𝑍𝑡−1 + ⋯ + 𝑍𝑡−𝑘+1𝑘 .</p><p>A questão solicita a previsão por média móvel de ordem 2. Desse modo, a previsão para o sétimo item será</p><p>determinada pela média dos dois termos anteriores, ou seja, 𝑀𝑀7 = 𝑍5 + 𝑍62 = 207 + 2032 = 205.</p><p>Gabarito: E.</p><p>7. (VUNESP/EsFCEx/2020) A tabela a seguir apresenta parte da série trimestral de exportação de ferro do</p><p>Brasil, em milhões de dólares.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>22</p><p>178</p><p>Considerando tri1/89 como o primeiro valor da série; tri2/89 o segundo valor da série; e assim por diante,</p><p>qual é o valor, arredondado para número inteiro, da média móvel central de ordem quatro, referente ao</p><p>tri3/89?</p><p>a) 631.</p><p>b) 558.</p><p>c) 571.</p><p>d) 589.</p><p>e) 630.</p><p>Comentários:</p><p>No cálculo da média centrada de comprimento 4, consideramos a existência de 5 parcelas: o valor que</p><p>representa a posição central, dois valores em torno da posição central e duas parcelas mais distantes, que</p><p>entram no cálculo pela metade, ou seja,</p><p>𝑀𝑀4 = 𝑥12 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥524</p><p>Assim, com relação ao tri3/89, a sequência considerada será 467, 558, 631, 577 e 565. Portanto, a média</p><p>central de ordem quatro é expressa por:</p><p>𝑀𝑀4 = 4672 + 558 + 631 + 577 + 56524 𝑀𝑀4 = 22824</p><p>Trim./Ano Exportação de Ferro</p><p>tri1/89 467</p><p>tri2/89 558</p><p>tri3/89 631</p><p>tri4/89 577</p><p>tri1/90 565</p><p>tri2/90 644</p><p>tri3/90 677</p><p>tri4/90 521</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>23</p><p>178</p><p>𝑀𝑀4 = 570,5.</p><p>A questão pede para arredondar para um número inteiro, logo, a média procurada é igual a 571.</p><p>Gabarito: C.</p><p>(VUNESP/TJ SP/2019) Uma série de tempo consiste no consumo mensal, em unidades, de um produto no</p><p>ano de 2017. Pelo método da regressão linear, usando os estimadores de mínimos quadrados, obteve-se</p><p>a equação da tendência estimada �̂�𝒕 = 𝟕𝟎 + 𝟒 × 𝒕, em que 𝒕 é o tempo (mês). Essa equação foi encontrada</p><p>com base nas observações do consumo dos 12 meses de 2017, ou seja, janeiro é representado por 𝒕 = 𝟏,</p><p>fevereiro por 𝒕 = 𝟐 e assim por diante até dezembro por 𝒕 = 𝟏𝟐.</p><p>A média mensal do consumo, em unidades, desse produto, no ano de 2017, foi então igual a</p><p>a) 74</p><p>b) 94</p><p>c) 100</p><p>d) 120</p><p>e) 96</p><p>Comentários:</p><p>A média aritmética é definida pela soma dos valores de um determinado conjunto de observações, sendo o</p><p>resultado dessa soma dividido pela quantidade dos valores que foram somados. Então, para determinar a</p><p>média mensal do consumo precisamos efetuar a conta: �̅� = �̂�1 + �̂�2 + �̂�3 + ⋯ + �̂�1212</p><p>Substituindo 𝑡 = 1, 2, 3, ⋯ , 12 na equação da tendência estimada �̂�𝑡 = 70 + 4 × 𝑡, teremos: �̅� = (70 + 4 × 1) + (70 + 4 × 2) + ⋯ + (70 + 4 × 12)12 �̅� = (70 × 12) + 4 × (1 + 2 + 3 + ⋯ + 12)12 �̅� = 840 + 31212 �̅� = 96</p><p>Gabarito: E.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>24</p><p>178</p><p>SUAVIZAÇÃO EXPONENCIAL</p><p>A suavização exponencial é uma técnica que utiliza uma equação de médias móveis ponderadas</p><p>exponencialmente para regularizar variações aleatórias em dados de séries temporais. A finalidade é a</p><p>obtenção de uma imagem mais clara de padrões não aleatórios que possam estar presentes nos dados.</p><p>De modo geral, ao empregarmos uma técnica de médias móveis, devemos considerar a quantidade de</p><p>períodos a serem incluídos na média. Quanto maior o número de períodos, menos sensível será a média a</p><p>cada novo dado; quanto menor o número de períodos, mais sensível será a média a novos dados.</p><p>O grau de suavização depende da magnitude das flutuações aleatórias. Se tivermos muitas flutuações</p><p>aleatórias, precisaremos de um elevado grau de regularização para reduzir o impacto delas; se tivermos</p><p>poucas flutuações aleatórias, haverá menor necessidade de regularização.</p><p>A equação de suavização exponencial é</p><p>�̅�𝒕 = 𝜶 × 𝒁𝒕 + (𝟏 − 𝜶) × �̅�𝒕−𝟏, �̅�𝟎 = 𝒁𝟏, 𝒕 = 𝟏, ⋯ , 𝑵,</p><p>em que �̅�𝑡 é o valor exponencialmente suavizado e 𝛼 é a constante de suavização, 0 ≤ 𝛼 ≤ 1.</p><p>Reparem que o efeito do fator de</p><p>suavização é tomar uma percentagem da diferença entre a última média</p><p>e o próximo dado individual e somá-la à última média para obter a nova média. Por exemplo, sendo 80 a</p><p>última média, 100 a nova observação, e 𝛼 = 0,20. A nova média se calcula como:</p><p>�̅�𝑡 = 𝛼 × 𝑍𝑡 + (1 − 𝛼) × �̅�𝑡−1 �̅�𝑡 = 0,2 × 100 + (1 − 0,2) × 90 �̅�𝑡 = 20 + (0,8) × 90 �̅�𝑡 = 20 + 72 = 92</p><p>Como cada média anterior é calculada exatamente da mesma maneira, todos as observações passadas estão</p><p>incorporadas a �̅�𝑡−1. Com isso, a necessidade de armazenar dados históricos é reduzida, pois as únicas</p><p>informações necessárias são o valor anterior, o novo valor e o fator de suavização.</p><p>Quando os dados apresentam grandes variações, adotamos um fator de suavização, 𝛼, pequeno.</p><p>Inversamente, na presença de pequenas variações aleatórias, empregamos um valor maior para 𝛼, pois há</p><p>menor necessidade de regularizar os dados. Comumente, os valores de 𝛼 vão de 0,01 a 0,30.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>25</p><p>178</p><p>Consideremos os dados da tabela a seguir, vejamos o efeito da utilização de constantes de suavização de 0,1</p><p>a 0,3 sobre esses dados.</p><p>Ano 𝒕 𝒁𝒕</p><p>�̅�𝒕 = 𝜶 × 𝒁𝒕 + (𝟏 − 𝜶) × �̅�𝒕−𝟏 𝜶 = 𝟎, 𝟏 𝜶 = 𝟎, 𝟐 𝜶 = 𝟎, 𝟑</p><p>2001 1 12 12,0 12,0 12,0</p><p>2002 2 14 12,2 12,4 12,6</p><p>2003 3 13 12,3 12,5 12,7</p><p>2004 4 12 12,3 12,4 12,5</p><p>2005 5 14 12,4 12,7 13,0</p><p>2006 6 16 12,8 13,4 13,9</p><p>2007 7 17 13,2 14,1 14,8</p><p>2008 8 18 13,7 14,9 15,8</p><p>2009 9 15 13,8 14,9 15,5</p><p>2010 10 16 14,0 15,1 15,7</p><p>2011 11 18 14,4 15,7 16,4</p><p>2012 12 20 15,0 16,6 17,5</p><p>2013 13 21 15,6 17,4 18,5</p><p>2014 14 18 15,8 17,6 18,4</p><p>2015 15 17 15,9 17,4 18,0</p><p>2016 16 19 16,3 17,8 18,3</p><p>2017 17 23 16,9 18,8 19,7</p><p>2018 18 25 17,7 20,0 21,3</p><p>2019 19 21 18,1 20,2 21,2</p><p>2020 20 23 18,6 20,8 21,7</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>26</p><p>178</p><p>==1365fc==</p><p>Notem que a constante maior (0,3) resulta em valores que tendem a seguir mais de perto os dados originais</p><p>do que os valores retornados pela constante menor (0,1):</p><p>(IBADE/Pref. Vila Velha/2020) Denomina-se amortecimento exponencial o método de prever valores em</p><p>séries temporais através da expressão: 𝑿𝑷𝒓𝒆𝒗𝒊𝒔𝒕𝒐(𝒕) = (𝜶) ⋅ 𝑿(𝒕 − 𝟏) + (𝟏 − 𝜶) ⋅ 𝑿(𝒕 − 𝟐), com 𝟎 ≤ 𝜶 ≤ 𝟏.</p><p>Isto posto, assinale a única alternativa correta.</p><p>a) Se α 0,5 temos que a série valoriza mais o valor imediatamente X(t-2)</p><p>c) Valor de α =1 implica que a previsão é exatamente igual a X(t-2)</p><p>d) Valor de α = 0 implica que a previsão é exatamente igual a X(t-1)</p><p>e) À medida que aumenta o valor de t, diminui a influência dos termos da série mais distantes ao atual por</p><p>isso a denominação amortecimento exponencial</p><p>Comentários:</p><p>Vamos analisar cada uma das alternativas:</p><p>Alternativa A: Incorreta. Se 𝛼 0,5 > 𝛼. Com isso, a série valoriza o termo 𝑋(𝑡 − 2).</p><p>Alternativa B: Incorreta. Se 𝛼 > 0,5, então 1 − 𝛼</p><p>seguidas (∇2), teremos: 𝛻2𝑍𝑡 = 𝛻(𝛻𝑍𝑡) = 𝛻(𝑍𝑡 − 𝑍𝑡−1) = 𝛻𝑍𝑡 − 𝛻𝑍𝑡−1 = (𝑍𝑡 − 𝑍𝑡−1) − (𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2) 𝛻2𝑍𝑡 = 𝑍𝑡 − 2 × 𝑍𝑡−1 + 𝑍𝑡−2</p><p>Agora, é importante observarmos que os operadores de diferente e de translação para o passado estão</p><p>relacionados. Já sabemos que: ∇𝑍𝑡 = 𝑍𝑡 − 𝑍𝑡−1</p><p>Também já vimos que 𝐵𝑍𝑡 = 𝑍𝑡−1.</p><p>Assim, temos que: ∇𝑍𝑡 = 𝑍𝑡 − 𝑍𝑡−1⏟𝐵𝑍𝑡</p><p>∇𝑍𝑡 = 𝑍𝑡 − 𝐵𝑍𝑡 ∇𝑍𝑡 = (1 − 𝐵) × 𝑍𝑡</p><p>Dessa forma, podemos escrever o operador de diferença da seguinte forma: ∇ = 𝟏 − 𝑩</p><p>De maneira geral, o operador de diferença de ordem 𝑛 é definido como: ∇𝒏 = (𝟏 − 𝑩)𝒏</p><p>Por exemplo, aplicando o operador de ordem 1 a 𝑍3, teremos: ∇𝑍3 = 𝑍3 − 𝑍3−1 = 𝑍3 − 𝑍2 = 4,2 − 3,8 = 0,4</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>31</p><p>178</p><p>ESTACIONARIEDADE</p><p>Uma série temporal é estacionária quando ela se desenvolve no tempo, de modo aleatório, ao redor de</p><p>uma média constante, refletindo, assim, alguma forma de equilíbrio estável. Na figura a seguir, temos</p><p>uma série temporal em equilíbrio, que se desenvolve ao longo de uma média constante.</p><p>Na prática, o que ocorre é que a maioria das séries apresenta algum tipo de não estacionariedade, o que</p><p>torna necessário uma mudança de nível e/ou inclinação. Na figura a seguir, temos uma série temporal com</p><p>tendência de crescimento linear, apontada pela reta na cor vermelha.</p><p>Se os dados não formam uma série estacionária, podemos utilizar o operador de diferença até obtermos</p><p>uma série estacionária. Normalmente, a aplicação do operador de diferença uma ou duas vezes é suficiente</p><p>para que a série se torne estacionária. Isso é feito no modelo ARIMA (a ser explicado posteriormente),</p><p>para tornar a série estacionária por meio de diferenciação.</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>12</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>10</p><p>12</p><p>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>32</p><p>178</p><p>FUNÇÕES DE AUTOCOVARIÂNCIA E AUTOCORRELAÇÃO</p><p>Em um processo estacionário, a distribuição conjunta de (𝑍𝑡1 , 𝑍𝑡2 , ⋯ , 𝑍𝑡𝑛) é a mesma da distribuição</p><p>conjunta do vetor deslocado (𝑍𝑡1+𝜏, 𝑍𝑡2+𝜏, ⋯ , 𝑍𝑡𝑛+𝜏) para todos 𝑡1, 𝑡2, ⋯, 𝑡𝑛, 𝑛 e 𝜏. Em outras palavras,</p><p>desde que as distâncias relativas entre as observações sejam fixas, a distribuição conjunta não muda.</p><p>A função de autocovariância (FACV) descreve a covariância entre duas variáveis 𝒁𝒕𝟏 e 𝒁𝒕𝟐 do processo em</p><p>dois instantes, sendo representada por 𝜸(𝒕𝟏, 𝒕𝟐). Por definição, temos: 𝛾(𝑡1, 𝑡2) = 𝐶𝑜𝑣(𝑍𝑡1 , 𝑍𝑡2) = 𝐸[(𝑍𝑡1 − 𝐸[𝑍𝑡1]) × (𝑍𝑡2 − 𝐸[𝑍𝑡2])]</p><p>A estacionariedade implica que 𝒁𝒕 e 𝒁𝒕+𝝉 possuem a mesma distribuição para todos os valores de 𝒕 e 𝝉.</p><p>Dessa forma, se o momento de primeira ordem existir, podemos atribuir 𝜏 = −𝑡 para verificarmos que: 𝐸[𝑍𝑡] = 𝐸[𝑍𝑡+τ] = 𝐸[𝑍0] = 𝑚</p><p>em que 𝑚 é uma constante. De forma similar, a estacionariedade implica que (𝒁𝒕, 𝒁𝒔) e (𝒁𝒕+𝛕, 𝒁𝒔+𝛕)</p><p>possuem a mesma distribuição para todos os valores de 𝒕, 𝒔 e 𝝉, e em particular para 𝜏 = −𝑠. Desse modo,</p><p>se o momento de segunda ordem existir, teremos que: 𝐸[𝑍𝑡 × 𝑍𝑠] = 𝐸[𝑍𝑡+τ × 𝑍𝑠+τ] = 𝐸[𝑍𝑡−𝑠 × 𝑍0]</p><p>ou 𝛾(𝑡, 𝑠) = 𝐶𝑜𝑣(𝑍𝑡, 𝑍𝑠) = 𝛾(𝑡 − 𝑠)</p><p>em que adotamos a mesma notação 𝛾, porém, com um único parâmetro. Assim, a função de autocovariância</p><p>para processos estacionários é função apenas do tempo de atraso (𝑙𝑎𝑔) τ,</p><p>𝜸(𝛕) = 𝑪𝒐𝒗(𝒁𝒕+𝛕, 𝒁𝒕) = 𝑪𝒐𝒗(𝒁𝝉, 𝒁𝟎).</p><p>De forma similar, a função de autocorrelação (FAC) é uma função somente de 𝛕,</p><p>𝝆(𝛕) = 𝜸(𝛕)𝜸(𝟎)</p><p>assumindo que 𝛾(0) ≠ 0. A autocorrelação 𝝆(𝛕) mede a correlação entre 𝒁𝒕+𝛕 e 𝒁𝒕 como uma função das</p><p>diferenças dos índices, independentemente de 𝑡, ou seja, a função de autocorrelação mede a dependência</p><p>linear entre os valores de uma série temporal com atraso (lag) igual a 𝛕.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>33</p><p>178</p><p>==1365fc==</p><p>MODELOS ARIMA</p><p>Os modelos autorregressivos integrados de médias móveis (ARIMA, do inglês autoregressive integrated</p><p>moving average) podem ser ajustados aos dados de uma série temporal para que possamos entender melhor</p><p>os dados dessa série ou para prever seus valores futuros. Os modelos ARIMA também são conhecidos como</p><p>modelos de Box-Jenkins.</p><p>Nos tópicos seguintes, serão estudados quatro tipos de modelos lineares: os modelos autorregressivos,</p><p>AR(p); os modelos de médias móveis, MA(q); os modelos autorregressivos de médias móveis, ARMA(p,q); e</p><p>os modelos autorregressivos integrados, de médias móveis ARIMA(p,d,q).</p><p>Modelos Autorregressivos (AR)</p><p>Temos que um modelo autorregressivo de ordem p é dado por:</p><p>𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜙2𝑍𝑡−2 +⋯+ 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 = 𝛿 +∑ 𝜙𝑗𝑍𝑡−𝑗𝑝𝑗=1 + 𝜀𝑡</p><p>Em que: 𝜙1 → parâmetro autorregressivo de ordem 1; 𝑍𝑡−1 → série de tempo defasado um período; 𝜀𝑡 → termo do erro do modelo, também denominado ruído branco;</p><p>Assim, se considerarmos que 𝑍𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑍, podemos afirmar que temos um modelo autorregressivo de ordem 𝑝(𝑍𝑡 ∼ 𝐴𝑅(𝑝)).</p><p>Na expressão dada temos que 𝛿, 𝜙1, 𝜙2, … , 𝜙𝑝 são parâmetros reais.</p><p>Então, como já dissemos, o modelo autorregressivo está relacionado à correlação da variável com seus</p><p>próprios valores anteriores. Assim, temos que para cada ordem de modelo autorregressivo é adicionado uma</p><p>variável seguinte:</p><p>Modelo Autorregressivo de Ordem 1:</p><p>𝒁𝒕 = 𝜹 +𝝓𝟏𝒁𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>34</p><p>178</p><p>Modelo Autorregressivo de Ordem 2:</p><p>𝒁𝒕 = 𝜹 +𝝓𝟏𝒁𝒕−𝟏 +𝝓𝟐𝒁𝒕−𝟐 + 𝜺𝒕</p><p>Se isolarmos o erro da equação teremos o seguinte: 𝑍𝑡 − 𝛿 − 𝜙1𝑍𝑡−1 − 𝜙2𝑍𝑡−2 −⋯− 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 = 𝜀𝑡</p><p>Agora, podemos aplicar o operador 𝑩 (backshift) na nossa equação do modelo de autorregressão, obtendo</p><p>a seguinte expressão: 𝑍𝑡 − 𝛿 − 𝜙1𝐵𝑍𝑡 − 𝜙2𝐵2𝑍𝑡 −⋯− 𝜙𝑝𝐵𝑝𝑍𝑡 = 𝜀𝑡</p><p>Colocando 𝑍𝑡 em evidência, fica: 𝑍𝑡 × (1 − 𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2 −⋯− 𝜙𝑝𝐵𝑝) − 𝛿 = 𝜀𝑡</p><p>Aqui temos o que chamamos de operador ou polinômio autorregressivo estacionário de ordem p, (1 −𝜙1𝐵 − 𝜙2𝐵2 −⋯− 𝜙𝑝𝐵𝑝), que pode ser representado por 𝝓(𝑩). Substituindo na equação, temos:</p><p>𝒁𝒕 ×𝝓(𝑩) = 𝜹 + 𝜺𝒕</p><p>Estacionariedade e Invertibilidade</p><p>Vamos destacar alguns pontos importantes relativos ao modelo:</p><p>O processo AR(p) será estacionário se as raízes do polinômio 𝝓(𝑩) estiverem fora do círculo unitário, ou</p><p>seja, se igualarmos 𝜙(𝐵) a zero, e encontrarmos suas raízes, todas as raízes do polinômio devem estar</p><p>localizadas fora do círculo unitário (círculo de raio 1).</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>35</p><p>178</p><p>Uma série temporal é invertível se, quando representamos 𝑍𝑡 em função dos valores anteriores, a sequência</p><p>dos pesos associados a cada componente 𝑍𝑡−1, 𝑍𝑡−2, ⋯, 𝑍𝑡−𝑝 é convergente. Para modelos</p><p>autorregressivos, o processo é sempre invertível.</p><p>Um modelo não invertível implica que os pesos, 𝜙𝑗, aplicados às observações passadas de 𝑍𝑡 não decaem à</p><p>medida que se desloca a série no passado. Contudo, o que normalmente observamos é que a observação</p><p>atual é influenciada pelas observações mais recentes, portanto, as mais recentes devem receber pesos</p><p>maiores. Isso é garantido se a condição de invertibilidade for respeitada.</p><p>Para AR(1) é necessário apenas que |𝜙1|</p><p>como calcular a média incondicional do processo autorregressivo de ordem 1, AR(1): 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜀𝑡 𝐸(𝑍𝑡) = 𝐸(𝛿 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜀𝑡) 𝐸(𝑍𝑡) = 𝐸(𝛿) + 𝐸(𝜙1𝑍𝑡−1) + 𝐸(𝜀𝑡)</p><p>Sabemos que 𝛿 é constante, logo 𝐸(𝛿) = 𝛿. Além disso, temos que 𝜙1 também é constante, portanto, 𝐸(𝜙1𝑍𝑡−1) = 𝜙1 × 𝐸(𝑍𝑡−1). Assim, temos que: 𝐸(𝑍𝑡) = 𝛿 + 𝜙1 × 𝐸(𝑍𝑡−1) + 𝐸(𝜀𝑡)</p><p>Agora, sabemos que, por ser um processo estacionário, 𝐸(𝑍𝑡) = 𝐸(𝑍𝑡−1) = 𝜇. Também sabemos que, por</p><p>se tratar de um ruído branco, 𝐸(𝜀𝑡) = 0. 𝜇 = 𝛿 + 𝜙1 × 𝜇 (1 − 𝜙1) × 𝜇 = 𝛿</p><p>𝑬(𝒁𝒕) = 𝝁 = 𝜹(𝟏 − 𝝓𝟏)</p><p>Ou seja, a esperança incondicional de 𝑍𝑡 é constante e não varia no tempo.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>36</p><p>178</p><p>Agora, vamos calcular a variância incondicional do processo AR(1). 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(𝛿 + 𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜀𝑡)</p><p>Como as variáveis são independentes, a variância da soma é igual à soma das variâncias: 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(𝛿) + 𝑉𝑎𝑟(𝜙1𝑍𝑡−1) + 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡)</p><p>Sabemos que a variância de uma constante é sempre zero, então 𝑉𝑎𝑟(𝛿) = 0. Além disso, como o processo</p><p>é estacionário, |𝜙1| 𝟏</p><p>Reparem que, no AR(1) estacionário, |𝝓𝟏| 𝟏: 𝛾(𝜏) = ( 𝜎21 − 𝜙12) × 𝜙1𝜏</p><p>Função de Autocorrelação</p><p>(FAC)</p><p>• 𝝉 = 𝟏: 𝜌(1) = 𝛾(1)𝛾(0) = 𝜙1</p><p>• 𝝉 > 𝟏: 𝜌(𝜏) = 𝜙1𝜏</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>39</p><p>178</p><p>(CESPE/TCU/2015) Uma empresa publicou um relatório acerca das previsões para sua receita operacional</p><p>nos próximos meses. Essas previsões foram obtidas com base em um modelo estacionário de séries</p><p>temporais na forma 𝑿𝒕 = 𝟐 + 𝟎, 𝟓𝑿𝒕−𝟏 + 𝒂𝒕, em que 𝑿𝒕 representa a receita operacional no mês t e 𝒂𝒕</p><p>é um ruído branco (no instante t) que possui média nula e variância igual a 3.</p><p>A partir dessas informações, julgue o item abaixo.</p><p>O modelo apresentado é um processo autorregressivo de primeira ordem, AR(1), em que a média e o desvio</p><p>padrão de 𝑿𝒕 são, respectivamente, iguais a 4 e 2.</p><p>Comentários:</p><p>Estamos diante de um modelo autorregressivo de ordem 1, vez que, além da tendência constante (2) e do</p><p>ruído branco (𝒂𝒕), 𝑋𝑡 é representado exclusivamente em função de 𝑋𝑡−1.</p><p>Como o modelo é estacionário, sua média se mantém constante independente de 𝑡: 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(𝑋𝑡−1) = 𝜇.</p><p>Além disso, como 𝒂𝒕 é um ruído branco, temos ainda que: 𝐸(𝑎𝑡) = 0.</p><p>Agora, para encontrarmos a média, basta substituirmos esses valores no processo apresentado: 𝑋𝑡 = 2 + 0,5 × 𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(2 + 0,5 × 𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡) 𝐸(𝑋𝑡) = 𝐸(2) + 0,5 × 𝐸(𝑋𝑡−1) + 𝐸(𝑎𝑡) 𝜇 = 2 + 0,5𝜇 + 0 𝜇 − 0,5𝜇 = 2 0,5𝜇 = 2 𝜇 = 20,5 𝜇 = 4</p><p>Em sequência, vamos calcular a variância: 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(2 + 0,5𝑋𝑡−1 + 𝑎𝑡)</p><p>Como as variáveis não são correlacionadas, a variância da soma é igual a soma das variâncias: 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(2) + 𝑉𝑎𝑟(0,5𝑋𝑡−1) + 𝑉𝑎𝑟(𝑎𝑡)</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>40</p><p>178</p><p>Sabemos que a variância de 𝑎𝑡(ruído branco) vale 3, conforme informado no enunciado. Além disso, sabemos</p><p>que a variância da constante é zero. Para a constante que multiplica 𝑋𝑡−1, basta retirarmos a constante da</p><p>variância e elevarmos ao quadrado, ficando assim: 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) = 0 + 0,25 × 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡−1) + 3 𝜎2 = 0,25𝜎2 + 3 𝜎2 − 0,25𝜎2 = 3 0,75𝜎2 = 3 𝜎2 = 30,75 𝜎2 = 4</p><p>Para encontrarmos o desvio padrão, basta tirarmos a raiz da variância: 𝜎 = √4 𝜎 = 2</p><p>De fato, o desvio padrão vale 2.</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>(CESPE/ANATEL/2014) Acerca das propriedades dos modelos econométricos de séries temporais, julgue o</p><p>item subsequente.</p><p>A função de autocorrelação de um processo AR(1), 𝐶𝑜𝑟(𝑦𝑡, 𝑦𝑡−𝑘) cresce exponencialmente à medida que k</p><p>aumenta.</p><p>Comentários:</p><p>A função de autocovariância para um lag (τ) é expressa por: γ(τ) = ( σ21 − ϕ12) × ϕ1τ</p><p>em que σ2 é a variância da variável 𝑎𝑡.</p><p>Dessa forma, a autocorrelação entre 𝒁𝒕 e 𝒁𝒕−𝝉 é dada por: 𝜌τ = γ(τ)γ(0)</p><p>Desta forma, a função de autocorrelação do processo AR(1) é expressa por: ρτ = ϕ1 × ρτ−1 ρτ = 𝜙1τ, τ ≥ 1</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>41</p><p>178</p><p>Em um processo autorregressivo de primeira ordem estacionário, |𝝓𝟏|</p><p>𝜙1𝑍𝑡−1 + 𝜙2𝑍𝑡−2 +⋯+ 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 𝑍𝑡 − 𝛿 − 𝜙1𝑍𝑡−1 − 𝜙2𝑍𝑡−2 −⋯− 𝜙𝑝𝑍𝑡−𝑝 = 𝜀𝑡 (1 − 𝜙1𝐵 −⋯− 𝜙𝑝𝐵𝑝) × 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜀𝑡 𝜙(𝐵) × 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜀𝑡</p><p>Assim, podemos reescrever: 𝜙(𝐵) × 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜃1𝜀𝑡−1 + 𝜃2𝜀𝑡−2 +⋯+ 𝜃𝑝𝜀𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡</p><p>Gabarito: Certo.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>42</p><p>178</p><p>Modelos de Médias Móveis (MA)</p><p>Agora, vamos entender como funciona o modelo de médias móveis (MA, do inglês moving average). O</p><p>modelo de médias móveis é expresso com base em observações pregressas de ruídos brancos 𝜀𝑡, 𝜀𝑡−1, 𝜀𝑡−2, ⋯ , 𝜀𝑡−𝑞.</p><p>Assim, o modelo de médias móveis de ordem q, escrito 𝑀𝐴(𝑞), é dado por: 𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜀𝑡 − 𝜃1𝜀𝑡−1 − 𝜃2𝜀𝑡−2 −⋯− 𝜃𝑞𝜀𝑡−𝑞</p><p>Podemos reescrever a expressão anterior com o auxílio do operador de translação para o passado, 𝑩</p><p>(backshift). Aplicando o operador, obtemos: 𝑍𝑡 = 𝜇 + 𝜀𝑡 − 𝜃1 𝜀𝑡−1⏟𝐵𝜀𝑡 − 𝜃2 𝜀𝑡−2⏟𝐵2𝜀𝑡 −⋯− 𝜃𝑞 𝜀𝑡−𝑞⏟𝐵𝑞𝜀𝑡</p><p>𝑍𝑡 = 𝜇 + (1 − 𝜃1𝐵 − 𝜃2𝐵2 −⋯− 𝜃𝑞𝐵𝑞) × 𝜀𝑡</p><p>A expressão entre parênteses é denominada de operador de médias móveis de ordem q e simbolizada por 𝜃(𝐵). Substituindo na equação, temos: 𝒁𝒕 = 𝝁 + (𝟏 − 𝜽𝟏𝑩− 𝜽𝟐𝑩𝟐 −⋯− 𝜽𝒒𝑩𝒒)⏟ 𝜽(𝑩) × 𝜺𝒕</p><p>𝒚𝒕 = 𝝁 + 𝜽(𝑩)𝜺𝒕</p><p>Assim, se 𝑞 é finito, o processo MA(q) é sempre estacionário.</p><p>Além disso, o processo MA(q) é invertível se as raízes do polinômio 𝜽(𝑩) = 𝟎 estiverem situadas fora do</p><p>círculo unitário.</p><p>Para MA(1) é necessário apenas que ǀ𝜃1ǀ 𝑞, as funções de autocovariância e autocorrelação do processo</p><p>MA(q) assumem o valor zero.</p><p>Agora, vamos derivar, a partir das fórmulas anteriores, as funções de autocorrelação para os processos de</p><p>médias móveis de ordens 1 e 2. Para o processo MA(1), temos a seguinte formulação:</p><p>• Sendo 𝜏 = 1, temos:</p><p>𝝆(𝟏) = 𝜸(𝟏)𝜸(𝟎) = −𝜽𝟏𝟏 + 𝜽𝟏𝟐</p><p>• Sendo 𝜏 > 1, temos:</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>44</p><p>178</p><p>𝝆(𝝉 > 𝟏) = 𝟎</p><p>Para o processo MA(2), temos a seguinte fórmula de autocorrelação:</p><p>• Sendo 𝜏 = 1, temos:</p><p>𝝆(𝟏) = 𝜸(𝟏)𝜸(𝟎) = −𝜽𝟏 + 𝜽𝟏 × 𝜽𝟐𝟏 + 𝜽𝟏𝟐 + 𝜽𝟐𝟐</p><p>• Sendo 𝜏 = 2, temos:</p><p>𝝆(𝟐) = 𝜸(𝟐)𝜸(𝟎) = −𝜽𝟐𝟏 + 𝜽𝟏𝟐 + 𝜽𝟐𝟐</p><p>• Sendo 𝜏 > 2, temos: 𝝆(𝝉 > 𝟐) = 𝟎</p><p>As questões que exploram o assunto de modelos de médias móveis costumam abordar, de forma</p><p>mais frequente, o modelo de ordem 1, MA (1). Todavia, o modelo MA (2) também aparece em</p><p>algumas questões.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>45</p><p>178</p><p>Modelo de Médias Móveis de Ordem 1 - MA(1) 𝒁𝒕 = 𝝁 + 𝜺𝒕 − 𝜽𝟏𝜺𝒕−𝟏</p><p>Medida Fórmulas</p><p>Média Incondicional 𝐸(𝑍𝑡) = 𝜇</p><p>Variância incondicional 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝜎2 × (1 + 𝜃12)</p><p>Função de Autocovariância</p><p>(FACV)</p><p>• 𝝉 = 𝟎: 𝛾(0) = 𝜎2 × (1 + 𝜃12)</p><p>• 𝝉 = 𝟏: 𝛾(1) = 𝜎2 × (−𝜃1)</p><p>• 𝝉 > 𝟏: 𝛾(𝜏) = 0</p><p>Função de Autocorrelação</p><p>(FAC)</p><p>• 𝝉 = 𝟏: 𝜌(1) = 𝛾(1)𝛾(0) = −𝜃11 + 𝜃12</p><p>• 𝝉 > 𝟏: 𝜌(𝜏) = 0</p><p>Modelo de Médias Móveis de Ordem 2 - MA(2) 𝒁𝒕 = 𝝁 + 𝜺𝒕 − 𝜽𝟏𝜺𝒕−𝟏 − 𝜽𝟐𝜺𝒕−𝟐</p><p>Medida Fórmulas</p><p>Média Incondicional 𝐸(𝑍𝑡) = 𝜇</p><p>Variância incondicional 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝜎2 × (1 + 𝜃12 + 𝜃22)</p><p>Função de Autocovariância</p><p>(FACV)</p><p>• 𝝉 = 𝟎: 𝛾(0) = 𝜎2 × (1 + 𝜃12 + 𝜃22)</p><p>• 𝝉 = 𝟏: 𝛾(1) = 𝜎2 × (−𝜃1 + 𝜃1 × 𝜃2)</p><p>• 𝝉 = 𝟐: 𝛾(2) = 𝜎2 × (−𝜃2)</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>46</p><p>178</p><p>• 𝝉 > 𝟐: 𝛾(𝜏) = 0</p><p>Função de Autocorrelação</p><p>(FAC)</p><p>• 𝝉 = 𝟏: 𝜌(1) = 𝛾(1)𝛾(0) = −𝜃1 + 𝜃1 × 𝜃21 + 𝜃12 + 𝜃22</p><p>• 𝝉 = 𝟐: 𝜌(2) = 𝛾(2)𝛾(0) = −𝜃21 + 𝜃12 + 𝜃22</p><p>• 𝝉 > 𝟐: 𝜌(𝜏) = 0</p><p>Modelo de Médias Móveis de Ordem q - MA(q) 𝒁𝒕 = 𝝁 + 𝜺𝒕 − 𝜽𝟏𝜺𝒕−𝟏 − 𝜽𝟐𝜺𝒕−𝟐 −⋯− 𝜽𝒒𝜺𝒕−𝒒</p><p>Medida Fórmulas</p><p>Média Incondicional 𝐸(𝑍𝑡) = 𝜇</p><p>Variância incondicional 𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡) = 𝜎2 × (1 + 𝜃12 + 𝜃22 +⋯+ 𝜃𝑞2)</p><p>Função de Autocovariância</p><p>(FACV)</p><p>• 𝝉 = 𝟎: 𝛾(0) = 𝜎2 × (1 + 𝜃12 + 𝜃22 +⋯+ 𝜃𝑞2)</p><p>• 𝝉 = 𝟏,⋯ , 𝒒: 𝛾(𝜏) = 𝜎2 × (−𝜃𝜏 + 𝜃1 × 𝜃𝜏+1 + 𝜃2 × 𝜃𝜏+2 +⋯+ 𝜃𝑞 × 𝜃𝑞−𝜏)</p><p>• 𝝉 > 𝒒: 𝛾(𝜏) = 0</p><p>Função de Autocorrelação</p><p>(FAC)</p><p>• 𝝉 = 𝟏,⋯ , 𝒒: 𝜌(𝜏) = 𝛾(𝜏)𝛾(0) = −𝜃𝜏 + 𝜃1 × 𝜃𝜏+1 + 𝜃2 × 𝜃𝜏+2 +⋯+ 𝜃𝑞 × 𝜃𝑞−𝜏1 + 𝜃12 + 𝜃22 +⋯+ 𝜃𝑞2</p><p>• 𝝉 > 𝒒: 𝜌(𝜏) = 0</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>47</p><p>178</p><p>(FGV/DPE RJ/2019) Após uma análise sobre a série de tempo que reflete o volume de recursos envolvidos</p><p>nos feitos em que a Defensoria Pública atua, verificou-se a existência de um processo do tipo MA(2).</p><p>Adicionalmente, estimou-se essa equação que modela a série sendo dada por: 𝒚𝒕 = 𝑲+ 𝟎, 𝟒. 𝜺𝒕−𝟐 + 𝟎, 𝟐. 𝜺𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕</p><p>Onde K é uma constante e 𝜺𝒕 um ruído branco, 𝑬(𝜺𝒕) = 𝟎 e 𝑬(𝜺𝒕𝟐) = 𝝈𝟐. Daí pode-se concluir que:</p><p>a) a média do processo é dada por</p><p>𝐾(1−0,4−0,2);</p><p>b) a variância do processo é dada por 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 0,20𝜎2;</p><p>c) se as raízes do polinômio 0,4𝐷2 + 0,2𝐷 + 1 estiverem fora do círculo unitário, o processo será</p><p>estacionário;</p><p>d) a correlação entre 𝑦𝑡 e 𝑦𝑡−2é igual a 0,4. 𝜎2;</p><p>e) a correlação entre 𝑦𝑡 e 𝑦𝑡−1 é igual a 7/30 .</p><p>Comentários:</p><p>Vamos analisar cada uma das alternativas:</p><p>Alternativa A: Errada.</p><p>Inicialmente, vamos calcular a média. Sabemos que 𝐸(𝜀𝑡) = 𝐸(𝜀𝑡−1) = 𝐸(𝜀𝑡−2) = 0. Assim, 𝑦𝑡 = 𝑘 + 0,4𝜀𝑡−2 + 0,2𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡 𝐸(𝑦𝑡) = 𝐸(𝑘 + 0,4𝜀𝑡−2 + 0,2𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡) 𝐸(𝑦𝑡) = 𝐸(𝑘) + 0,4 × 𝐸(𝜀𝑡−2) + 0,2 × 𝐸(𝜀𝑡−1) + 𝐸(𝑎𝑡) 𝐸(𝑦𝑡) = 𝑘</p><p>Alternativa B: Errada.</p><p>Para a variância, temos que: 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(𝑘 + 0,4𝜀𝑡−2 + 0,2𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡) 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 𝑉𝑎𝑟(𝑘) + 0,4² × 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡−2) + 0,2² × 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡−1) + 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑡) 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 0 + 0,16𝜎2 + 0,04𝜎2 + 𝜎2 𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 1,2𝜎2</p><p>Alternativa C: Errada.</p><p>Equipe Exatas Estratégia Concursos</p><p>Aula 14</p><p>TCU (Auditor Federal de Controle Externo) Estatística</p><p>www.estrategiaconcursos.com.br</p><p>39471799600 - Naldira Luiza Vieria</p><p>48</p><p>178</p><p>Para que um processo de médias móveis seja estacionário é necessário que o polinômio característico tenha</p><p>raízes dentro do círculo unitário. No presente caso, o polinômio característico é gerado pela troca de variável 𝐷𝑗𝑎𝑡 = 𝑎𝑡−𝑗. Utilizando a relação, temos: 𝑦𝑡 = 𝑘 + 0,4𝐷2𝑎𝑡 + 0,2𝐷𝑎𝑡 + 𝑎𝑡</p><p>Colocando 𝑎𝑡 em evidência, temos: 𝑦𝑡 = 𝑘 + (0,4𝐷2 + 0,2𝐷 + 1⏟ )𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑎𝑡</p><p>Alternativa D: Errada.</p><p>Em um processo de médias móveis da forma 𝑍𝑡 = 𝛿 + 𝜃1𝜀𝑡−1 + 𝜃2𝜀𝑡−2 +⋯+ 𝜀𝑡</p><p>A função de</p>