5 - FUNÇÃO EXPONENCIAL EXERCICIOS

Prévia do material em texto

<p>Função Exponencial - Exercícios</p><p>A função exponencial é toda função de ℝ em ℝ*+ ,definida por f(x) = ax, onde a</p><p>é um número real, maior que zero e diferente de 1.</p><p>Questão 1</p><p>Um grupo de biólogos está estudando o desenvolvimento de uma</p><p>determinada colônia de bactérias e descobriu que sob condições ideais, o</p><p>número de bactérias pode ser encontrado através da expressão N(t) = 2000 .</p><p>20,5t, sendo t em horas.</p><p>Considerando essas condições, quanto tempo após o início da observação, o</p><p>número de bactérias será igual a 8192000?</p><p>RESPOSTA</p><p>Resposta: 8 192 000 bactérias após 1 dia (24 h) do início da observação.</p><p>Na situação proposta, conhecemos o número de bactérias, ou seja, sabemos</p><p>que N(t) = 8192000 e queremos descobrir o valor de t. Então, basta substituir</p><p>esse valor na expressão dada:</p><p>Para resolver essa equação, vamos escrever o número 4096 em fatores</p><p>primos, pois se tivermos a mesma base, podemos igualar os expoentes.</p><p>Portanto, fatorando o número, temos:</p><p>Logo, a cultura terá 8 192 000 bactérias após 1 dia (24 h) do início da</p><p>observação.</p><p>Questão 2</p><p>Os materiais radioativos possuem uma tendência natural, ao longo do tempo,</p><p>de desintegrar sua massa radioativa. O tempo necessário para que metade da</p><p>sua massa radioativa se desintegre é chamado de meia-vida.</p><p>A quantidade de material radioativo de um determinado elemento é dado por:</p><p>Sendo,</p><p>N(t): a quantidade de material radioativo (em gramas), em um determinado</p><p>tempo.</p><p>N0: a quantidade inicial de material (em gramas)</p><p>T: o tempo da meia vida (em anos)</p><p>t: tempo (em anos)</p><p>Considerando que a meia-vida deste elemento é igual a 28 anos, determine o</p><p>tempo necessário para que o material radioativo se reduza a 25% da sua</p><p>quantidade inicial.</p><p>RESPOSTA</p><p>Resposta: 56 anos para que a quantidade de material radioativo seja reduzida</p><p>em 25%.</p><p>Para a situação proposta A(t) = 0,25 A0 = 1/4 A0, sendo assim, podemos</p><p>escrever a expressão dada, substituindo T por 28 anos, então:</p><p>Portanto, serão necessários 56 anos para que a quantidade de material</p><p>radioativo seja reduzida em 25%.</p><p>Questão 3</p><p>O gráfico a seguir apresenta uma curva exponencial. Determine a lei de</p><p>formação desta função.</p><p>RESPOSTA</p><p>Resposta:</p><p>Uma função exponencial tem a forma .</p><p>No gráfico, observamos dois pontos de interesse: (0, 3) e (-2, 6). Aplicando na</p><p>função o ponto (0, 3):</p><p>Uma vez determinado n, o substituímos na função e aplicamos o ponto (-2, 6).</p><p>Para não trabalharmos com a raiz, podemos transformá-la em uma potência.</p><p>Aplicando na forma geral da função exponencial, temos:</p><p>Questão 4</p><p>A massa de uma substância diminui com o tempo ao ser exposta a um</p><p>reagente. Em uma experiência, uma amostra possui de 1600 g foi exposta ao</p><p>reagente. Constatou-se que sua massa era reduzida a uma taxa de 25% por</p><p>hora. Determine a função que representa a redução de massa e quanto tempo</p><p>de degradação é necessário para restar 900 g da quantidade inicial</p><p>RESPOSTA</p><p>Resposta: 2 h</p><p>Objetivo</p><p>Determinar a lei da função de redução da massa em relação ao tempo e,</p><p>determinar o tempo para que sobre 900 g da quantidade inicial.</p><p>Dados</p><p>Massa inicial = 1900 g</p><p>Taxa de redução de 25%.</p><p>Resolução</p><p>Reduzir 25% equivale a multiplicar por 0,75%.</p><p>A quantidade inicial de 1900g é multiplicada por 0,75, a cada hora.</p><p>Assim temos a função:</p><p>Para determinar em quanto tempo a massa inicial será de 900 g, fazemos:</p><p>Logo, são necessárias duas horas para a massa inicial atingir 900 g.</p>