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<p>106</p><p>∫</p><p>dx</p><p>x6 + 1</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>arctg(x)− 1</p><p>3</p><p>∫</p><p>x2 − 2</p><p>x4 − x2 + 1</p><p>dx. (2.30)</p><p>Podemos calcular a última integral acima com frações parciais, como �zemos</p><p>anteriormente. De fato,</p><p>x4 − x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1− 3x2 = (x2 + 1)2 − 3x2</p><p>=</p><p>[</p><p>(x2 + 1)−</p><p>√</p><p>3x</p><p>] [</p><p>(x2 + 1) +</p><p>√</p><p>3x</p><p>]</p><p>=</p><p>(</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>)(</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>)</p><p>de modo que</p><p>x2 − 2</p><p>x4 − x2 + 1</p><p>=</p><p>Ax+B</p><p>x3 −</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>+</p><p>Cx+D</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>.</p><p>Efetuando a soma e igualando os numeradores, obtemos</p><p>x2−2 = (A+C)x3+(</p><p>√</p><p>3(A−C)+B+D)+(A+C+</p><p>√</p><p>3(B−D))+B+D, ∀x ∈ R</p><p>se, e somente se</p><p>A =</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>, C = −</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>, B = D = −1.</p><p>Portanto,</p><p>−1</p><p>3</p><p>∫</p><p>x2 − 2</p><p>x4 − x2 + 1</p><p>dx = −1</p><p>3</p><p>[∫ √</p><p>3x/2− 1</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>dx+</p><p>∫ −</p><p>√</p><p>3x/2− 1</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>dx</p><p>]</p><p>= −</p><p>√</p><p>3</p><p>12</p><p>∫</p><p>2x−</p><p>√</p><p>3 +</p><p>√</p><p>3</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>dx+</p><p>1</p><p>3</p><p>∫</p><p>1</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>dx</p><p>+</p><p>√</p><p>3</p><p>12</p><p>∫</p><p>2x+</p><p>√</p><p>3−</p><p>√</p><p>3</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>dx+</p><p>1</p><p>3</p><p>∫</p><p>1</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>dx</p><p>=</p><p>√</p><p>3</p><p>12</p><p>[</p><p>ln(x2 −</p><p>√</p><p>3x+ 1)− ln(x2 +</p><p>√</p><p>3x+ 1)</p><p>]</p><p>+</p><p>(</p><p>1</p><p>3</p><p>− 1</p><p>4</p><p>)∫ (</p><p>1</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>+</p><p>1</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>)</p><p>dx</p><p>=</p><p>√</p><p>3</p><p>12</p><p>ln</p><p>(</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>)</p><p>+</p><p>1</p><p>12</p><p>∫ (</p><p>1</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>+</p><p>1</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>3x+ 1</p><p>)</p><p>dx</p>
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