Apostila Calculo1 com Exercicios_pag118

Prévia do material em texto

<p>114</p><p>∫ b</p><p>0</p><p>e−t tk dt =</p><p>bk</p><p>eb</p><p>+ k</p><p>∫ b</p><p>0</p><p>e−ttk−1 dt</p><p>Como lim</p><p>b→∞</p><p>bk</p><p>eb</p><p>= 0 e por hipótese lim</p><p>b→∞</p><p>∫ b</p><p>0</p><p>e−t tk−1 dt = Γ(k) = (k − 1)!, concluímos</p><p>de (1) que</p><p>Γ(k + 1) = kΓ(k) = k(k − 1)! = k!</p><p>Portanto, por indução, vale a propriedade Γ(n) = (n − 1)! para todo n ∈ N e, em</p><p>particular, a integral imprópria converge para x = n ∈ N.</p><p>(1) Observemos que a função f(t) = e−t tx−1 é contínua e positiva em intervalo</p><p>aberto ]0,+∞[. Vamos então separar em dois casos: 0 0, temos 1/t1−x ≤ 1 para todo t ≥ 1. Logo,</p><p>Γ(x) =</p><p>∫ +∞</p><p>1</p><p>e−t tx−1 dt ≤</p><p>∫ +∞</p><p>1</p><p>e−t dt = e−1</p><p>Portanto, Γ(x) ≤ 1</p><p>x</p><p>+</p><p>1</p><p>e</p><p>.</p><p>Agora, se x > 1, não há singularidade de f(t) em t = 0, pois</p><p>lim</p><p>t→0+</p><p>e−t tx−1 = 0</p><p>de modo que Γ(x) é integral imprópria em t = +∞. Seja n ∈ N tal que x− 1</p>