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<p>Monitoria Econometria II</p><p>REC 2312 - 1o Semestre 2015</p><p>Monitor(a):Victória Mazás Martinez</p><p>1a Lista de exercícios</p><p>1. Quais as hipóteses para que uma variável seja considerada uma boa variável</p><p>instrumental? Explique.</p><p>Seja x uma variável explicativa correlacionada com o erro, u, e z uma</p><p>candidata a variável instrumental, temos que a última será considerada</p><p>uma VI se:</p><p>i) cov(z, u) , a variável instrumental z não deve ser correlacionada com o</p><p>erro, o instrumento deve ser exógeno</p><p>ii)cov(x, z) 6= 0, ou seja, a variável instrumental deve explicar parcialmente</p><p>a variável endógena, dadas as outras covariadas</p><p>2. Suponha que queiramos estimar o efeito do uso de maconha na nota média</p><p>de graduação. Em uma população de alunos veteranos de uma universi-</p><p>dade, de�na diasusados como o número de dias do mês anterior que um</p><p>aluno fumou maconha e considere a equação estrutural</p><p>supGPA = β0 + β1diasusados+ β2SAT + u(1)</p><p>(a) De�na percento como a porcentagem de uma sala do ensino médio que</p><p>informou uso regular de maconha. Se ela for uma candidata a VI de</p><p>diasusados, escreva a forma reduzida de diasusados. Você acha que</p><p>percento é verdadeiramente exógena na equação estrutural? Que pro-</p><p>blemas podem surgir nesse caso?</p><p>diasusados = α0 + α1percento+ α2SAT + v , com α1 6= 0</p><p>Substituindo a forma reduzida de diasusados na equação (1)</p><p>supGPA = β0 + β1(α0 + α1percento+ α2SAT + v) + β2SAT + u</p><p>1</p><p>supGPA = β0 + β1α0 + β1α1percento+ β1α2SAT + β1v + β2SAT + u</p><p>supGPA = δ0 + δ1percento+ δ2SAT + ε</p><p>Temos que assumir que a porcentagem de estudantes que fumava maconha</p><p>em uma escola de ensino médio não está correlacionada com fatores não</p><p>observados que afetam a nota média no curso superior. Embora estejamos,</p><p>até certo ponto, controlando a qualidade do ensino médio ao incluirmos</p><p>sat na equação, isso pode não ser su�ciente.Talvez as escolas de ensino</p><p>médio que tenham feito um melhor trabalho na preparação dos estudantes</p><p>para a universidade também tenham tido um menor número de alunos que</p><p>fumavam maconha. Ou, o uso de maconha poderia estar correlacionado</p><p>com os níveis médios de renda.</p><p>3. Considere um modelo simples para estimar o efeito da propriedade de um</p><p>computador pessoal (PC) na nota média de graduação de formandos de</p><p>uma grande universidade pública:</p><p>supGPA = β0 + β1PC + u</p><p>em que PC é uma variável binária que indica a propriedade de um PC</p><p>(a) Por que a propriedade de um PC pode estar correlacionada com u? Na</p><p>equação acima a única covariada é PC, portanto, podemos supor que</p><p>temos, em u , como uma das variáveis omitidas a renda familiar. Desta</p><p>forma, teriamos uma correlação entre u e PC, uma vez que a renda</p><p>familiar está correlacionada com possuir ou não um computador.</p><p>(b) Explique por que PC possivelmente está relacionado à renda anual dos</p><p>pais. Isso signi�ca que a renda dos pais será uma boa VI de PC? Por</p><p>quê?</p><p>É coerente que famílias com renda mais elevada tenham maior propen-</p><p>são a adquirir um computador para seu �lho, assim sendom, podemos</p><p>supor uma correlação entre estas duas variáveis.Para que renda dos pais</p><p>seja uma boa VI de PC, é necessário que ela atenda a duas condições</p><p>fundamentais:</p><p>(i)Cov(PC, rendpais) 6= 0;</p><p>(ii)Cov(rendpais, u) = 0</p><p>2</p><p>O primeiro requisito, como argumentado acima, supomos ser verda-</p><p>deiro. Para que rendpais seja uma boa VI, não pode haver argumento</p><p>plausível que estabeleça uma correlação entre rendpais e u. Mas neste</p><p>caso, podemos supor que renda dos pais pode estar relacionada ao erro,</p><p>podemos citar a capacidade de o aluno ter aulas particulares ou a não</p><p>necessidade de trabalhar como um exemplos.</p><p>(c) Suponha que, quatro anos atrás, a universidade tenha concedido sub-</p><p>sídios para a compra de computadores a aproximadamente metade dos</p><p>alunos novos, e que os alunos que receberam esses subsídios tenham sido</p><p>escolhidos aleatoriamente. Explique cuidadosamente como você usaria</p><p>essa informação para construir uma variável instrumental de PC.</p><p>Ser subsidiado está correlacionado com a chance de um aluno ter um</p><p>computador, desta forma, o primeiro requisito para que seja uma va-</p><p>riável instrumental é satisfeito. Além disso, o subsídio foi atribuído</p><p>aleatoriamente portando não é relacionado com qualquer característica</p><p>do indivíduo.</p><p>4. Explique detalhadamente como você resolveria problema de ter um número</p><p>de variáveis instrumentais maior do que o número de variáveis endógenas</p><p>no modelo.</p><p>Caso tenhamos mais instrumentos que o número de variáveis endógenas,</p><p>podemos realizar a estimação de mínimos quadrados em dois estágios. Pri-</p><p>meiramente, regredimos (MQO) as variavéis instrumentais e as variáveis</p><p>exógenas do modelo na variável endógena. Obtemos, desta forma, o valor</p><p>ajustado x̂k. Posteriormente, realizamos a regressão inicial, substituindo a</p><p>variável endógena pelo valor seu ajustado e realizamos novamente o MQO,</p><p>este é o segundo estágio da regressão.</p><p>5. Derive a fórmula do estimador de variáveis instrumentais no caso sobrei-</p><p>denti�cado explicitando as hipóteses necessarias.</p><p>Para o caso de mais instrumentos do que variáveis endógenas utilizamos o</p><p>estimador MQO2E. Para o caso do modelo sobre-identi�cado ( L>J , onde</p><p>L é o número de instrumentos e J é o número de variáveis endógenas) o</p><p>MQO2E é igual ao estimador de variável instrumental do caso exatamente</p><p>3</p><p>identi�cado, β̂IV = (Z ′X)−1Z ′y , substituindo no lugar do instrumento Z,</p><p>o valor de X̂, onde X̂ = Z(Z ′Z)−1Z ′X que consiste no valor predito de</p><p>x a partir de uma regressão MQO de x sobre z. Do 1o estágio obtemos</p><p>o vetor de coe�cientes, γ = (Z ′Z)−1Z ′X, para calcular o valor predito</p><p>X̂ = Z(Z ′Z)−1Z ′X. No segundo estágio regredimos y sobre o valor predito</p><p>x̂, que resultará no β̂MQO2E = [X ′PZX]−1[X ′PZy], onde PZ = Z(Z ′Z)−1Z ′</p><p>é idempotente.</p><p>6. Considere o problema de estimar o efeito causal de faltar às aulas sobre as</p><p>notas do exame �nal. Em uma estrutura de regressão simples, temos:</p><p>nota = β0 + β1faltas+ u,</p><p>em que nota é a nota no exame �nal e faltas é o número total de faltas</p><p>às aulas durante o semestre. Suponha que você não tenha uma boa candi-</p><p>data a variável instrumental de faltas. Entretanto, você tem duas outras</p><p>informações sobre os alunos: a nota média ponderada de matemática e</p><p>habilidade verbal do estudante para ingresso em curso superior (SAT) e a</p><p>nota média acumulada anterior ao semestre (GPA). O que você faria em</p><p>vez da estimação de VI?</p><p>Inicialmente temos que argumentar que faltas está correlacionado com o</p><p>erro, o que inviabilizaria a estimação por MQO. Sabemos que faltar às</p><p>aulas pode estar correlacionado com a aptidão do aluno, que por sua vez</p><p>também afeta as notas obtidas por ele. Portanto, temos que aptidão está</p><p>no termo de erro e a Cov(faltas, aptido) 6= 0, assim, uma estimação por</p><p>MQO resultaria em um estimador viesado. Se tivéssemos uma boa VI</p><p>poderíamos estimar constistentemente o coe�ciente por MQO, utilizando</p><p>o instrumento no lugar da variável faltas. Ao invés da VI temos, neste</p><p>exercício, duas informações adicionais, o SAT e oGPA. Desta forma, como</p><p>as variáveis disponibilizadas são fortemente correlacionadas com aptidão,</p><p>podemos utilizá-las como proxies e estimar um MQO com as covariadas</p><p>faltas, SAT e GPA , e obteremos um estimador não viesádo de faltas.</p><p>Lembremos as hipóteses necessárias para termos viés de variável omitida e</p><p>uma proxy.</p><p>No caso da equação acima teremos :</p><p>4</p><p>β̂1,MQO</p><p>p−→ β +</p><p>Cov(faltas, u)</p><p>V ar(faltas)</p><p>Nosso viés vem da Cov(faltas, u) 6= 0 , lembre-se de que aptidão está no</p><p>termo de erro. Para termos uma proxy as seguintes hipóteses sobre o não</p><p>observado devem ser satisfeitas:</p><p>Seja u = α0 + α1aptido+ ε</p><p>(a) Cov(aptido, ε) = 0</p><p>(b) Cov(aptido, faltas) 6= 0</p><p>(c) Cov(ε, faltas) = 0</p><p>Nossa proxy consitirá em uma variável que seja muito correlacinada</p><p>com aptidão e desta forma possa ser inserida na regressão permitindo</p><p>controlar a variável não observada, aptidão. *Tente observar neste exer-</p><p>cício a diferença entre uma proxy e uma VI.</p><p>7. Considere um modelo simples de séries temporais no qual a variável expli-</p><p>cativa tem erro clássico de medida:</p><p>yt = β0 + β1x</p><p>∗</p><p>t + ut</p><p>xt = x∗t + et</p><p>em que ut tem</p><p>media zero e é não correlacionado com x∗t e et. Observamos</p><p>somente yt e xt.Suponha que et tem média zero e é não correlacionado</p><p>com x∗t e que x∗t também tem média zero ( esta última hipótese é só para</p><p>simpli�car a álgebra).</p><p>(a) Escreva x∗t = xt − et e insira essa expressão na equação acima. Mostre</p><p>que o termo de erro da nova equação, digamos vt, é negativamente</p><p>correlacionado com xt se β1 > 0. O que isso sugere sobre o estimador</p><p>MQO de β1 da regressão de yt sobre xt?</p><p>Reescrevendo yt , temos:</p><p>5</p><p>yt + β0 + β1(xt − et) + ut</p><p>yt + β0 + β1xt + ut − β1et</p><p>yt + β0 + β1xt + vt, onde vt = ut − β1et</p><p>Mostrando a correlação negativa, Cov(xt, vt)</p>