Aula_19e20_SEL_3

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Universidade Federal de Alagoas – UFAL
Centro de Tecnologia – CTEC
Curso de Engenharia Civil/Ambiental
Disciplina: Cálculo Numérico
Professor: Luciana C. L. M. Vieira (lucianaclmv@lccv.ufal.br)
Aulas 19 e 20: Solução de Sistemas de 
Equações Lineares (SSEL) – Parte III
REVISÃO DOS MÉTODOS DIRETOS
Eliminação de Gauss
Escalonamento sem pivoteamento
• Repetir da primeira até a penúltima coluna;
• Repetir para as linhas abaixo da diagonal principal;
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• Aplicar operação elementar com o objetivo de zerar o 
elemento
da linha corrente abaixo da diagonal principal;
• Alterar linha da matriz dos coeficientes;
• Alterar linha do vetor das constantes.
REVISÃO DOS MÉTODOS DIRETOS
Eliminação de Gauss
Escalonamento com pivoteamento
• Repetir da primeira até a penúltima coluna;
• Verificar a necessidade de se fazer o pivoteamento;
• Procurar uma linha adequada;
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• Procurar uma linha adequada;
• No caso de encontrar, fazer a permuta das linhas;
• Verificar a necessidade de se fazer o escalonamento da 
coluna corrente;
• Repetir para as linhas abaixo da diagonal principal;
• Aplicar operação elementar com o objetivo de zerar o 
elemento da linha corrente abaixo da diagonal principal;
• Alterar linha da matriz dos coeficientes;
• Alterar linha do vetor das constantes.
MÉTODOS ITERATIVOS
Visão geral:
� Geram uma seqüência de vetores {x}k, a partir de uma aproximação
inicial {x}0.
Seja o sistema linear Ax=b, onde:
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Seja o sistema linear Ax=b, onde:
• A: matriz dos coeficientes, nxn;
• b: vetor de termos constantes, nx1;
• x: vetor de incógnitas, nx1.
Converte-se para um sistema do tipo x = Cx + g, sendo
• C é uma matriz nxn;
• g é um vetor nx1.
MÉTODOS ITERATIVOS
Visão geral:
� Sequência de convergência:
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MÉTODOS ITERATIVOS
Visão geral:
Critério de parada para os métodos iterativos:
• xk seja suficiente próximo de xk-1
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k k-1
• Número máximo de iterações.
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI
Método de Gauss-Jacobi
Idéia principal:
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Cada nova aproximação é calculada a partir da 
respectiva equação do sistema, utilizando-se do vetor 
aproximação da iteração anterior.
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI
Método de Gauss-Jacobi
Isolando-se cada termo do seguinte sistema:
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MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI
Método de Gauss-Jacobi
Generalizando-se:
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MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI
Método de Gauss-Jacobi
Exemplo:
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= =
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL
Método de Gauss-Seidel
Idéia principal:
Cada coordenada do vetor correspondente à nova 
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Cada coordenada do vetor correspondente à nova 
aproximação é calculada a partir da respectiva 
equação do sistema, utilizando-se as coordenadas do 
vetor aproximação da iteração anterior, quando essas 
ainda não foram calculadas na iteração corrente, e as 
coordenadas do vetor aproximação da iteração 
corrente, no caso contrário.
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI
Método de Gauss-Seidel
Isolando-se cada termo do seguinte sistema:
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MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI
Método de Gauss-Seidel
Generalizando-se:
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MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI
Método de Gauss-Seidel
Exemplos:
= =
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=
=
=
=
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL
Condição de suficiência para convergência dos métodos iterativos:
Sempre converge??
Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um 
sistema de equações lineares deve-se tomar cuidado pois, 
dependendo do sistema em questão, e da estimativa 
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dependendo do sistema em questão, e da estimativa 
inicial escolhida, o método pode não convergir para a 
solução do sistema.
Nada como critérios!!
Basta atender a pelo menos um dos critérios existentes 
para que a convergência ocorra independentemente da 
aproximação inicial escolhida.
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL
Critérios de convergência:
Calcula-se valores para ααααs, onde 1 <= s <= n 
O critério é satisfeito quando o valor máximo de todos os ααααs for 
inferior a 1
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inferior a 1
Critério das linhas:
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL
Critérios de convergência:
Critério das colunas:
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Critério das Sassenfeld:
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL
Critérios de convergência:
Exemplos:
=
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=
=
MÉTODOS ITERATIVOS
Exercícios extra-sala:
Façam as implementações dos métodos apresentados 
na aula de hoje.
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Sugestão: MatLab
E a implementação da eliminação de Gauss?