Aula_23e24_SENL_2

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Universidade Federal de Alagoas – UFAL
Centro de Tecnologia – CTEC
Curso de Engenharia Civil/Ambiental
Aulas 23 e 24: Solução de Sistemas de 
Disciplina: Cálculo Numérico
Professor: Luciana C. L. M. Vieira (lucianaclmv@lccv.ufal.br)
Aulas 23 e 24: Solução de Sistemas de 
Equações Não Lineares (SSENL) – Parte II
MÉTODO NEWTON-RAPHSON:
Da aula passada...
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MÉTODO NEWTON-RAPHSON:
Resumo:
Características que influenciam na velocidade de convergência:
• Escolha do ponto inicial (“chute inicial”)
• Cálculo do Jacobiano (derivadas parciais)
• Solução do sistema linear
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• Solução do sistema linear
Teríamos alternativas para o cálculo da Jacobiana?
• Método de Newton-Raphson modificado
• Método da Secante
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR
Método de Newton-Raphson modificado:
� Este método consiste em tomar, em cada iteração k, a mesma
matriz Jacobiana computada no passo inicial:
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� Apesar da redução do custo computacional, este método pode ser
mais sensível à convergência, ou seja, o número de iterações
necessárias geralmente é maior que quando se usa o método de
Newton-Raphson.
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO
Exemplo:
� Dado o sistema F(X)=0:
� Considere uma tolerância de εεεε = 10-4, o número máximo de iterações
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� Como neste método utiliza-se apenas a jacobiana da iteração 1, não
será mais necessário o cálculo desta matriz.
� Considere uma tolerância de εεεε = 10 , o número máximo de iterações
kmax=2 e o chute inicial X1=[1 5]T, tem-se:
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO
Exemplo:
� k = 1 (Primeira iteração)
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MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO
Exemplo:
� k = 2 (Segunda iteração)
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SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR
Método de Secante:
� Este método consiste em calcular as derivadas da matriz Jacobiana
de forma aproximada:
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SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR
Outros métodos:
� BFGS (Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno):
� É usado para resolver problemas de otimização de funções não
lineares sem restrições.
� Pertence a uma classe de métodos que procuram por um ponto
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� Pertence a uma classe de métodos que procuram por um ponto
estacionário de uma dada função.
� Para tais problemas a condição necessária para sua otimização
é seu gradiente ser nulo.
� BFGS não converge a menos que a função possa ser
aproximada por uma expansão de Taylor quadrática próxima ao
ponto ótimo. Esse método usa a primeira e a segunda derivada
SOLUÇÃO DE SISTEMA NÃO LINEAR
Outros métodos:
� Gradiente Conjugado:
� Algoritmo para a solução numérica de
sistemas particulares de equações lineares,
aqueles cuja matriz é simétrica e positiva
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aqueles cuja matriz é simétrica e positiva
definida.
� O método do gradiente conjugado é um
método iterativo, então ele pode ser aplicado
a sistemas esparsos que são grandes
demais para ser tratados por métodos
diretos.
MÉTODOS ITERATIVOS
Exercícios extra-sala:
Como vai a implementação da eliminação de 
Gauss?
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Para tirarem dúvidas, entrem em contato comigo ou com o 
Reberth
E as implementações dos métodos para 
solução de sistemas de equações lineares??