lista-1-AL20081

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A´LGEBRA LINEAR
LISTA DE EXERCI´CIOS (10-03-2008)
(1) Seja
V =M3×2(R) =

a1,1 a1,1a2,1 a2,2
a3,1 a3,2
 | ai,j ∈ R

o conjunto das matrizes 3× 2 reais. Definemosa1,1 a1,2a2,1 a2,2
a3,1 a3,2
+
b1,1 b1,2b2,1 b2,2
b3,1 b3,2
 =
a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2
a3,1 + b3,1 a3,2 + b3,2

e
a ·
a1,1 a1,2a2,1 a2,2
a3,1 a3,2
 =
a · a1,1 a · a1,2a · a2,1 a · a2,2
a · a3,1 a · a3,2

para todo a ∈ R. Mostre que (V,+, ·) e´ um espac¸o vetorial.
Quem e´ o vetor nulo? Dado o vetor
v =
a1,1 a1,2a2,1 a2,2
a3,1 a3,2
 ∈ V,
quem e´ −v?
(2) Seja (V,+, ·) um espac¸o vetorial, onde V 6= {0V }. Sejam v1, . . . , vn vetores de V .
Diga porque as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o com certeza falsas.
(a) v1, . . . , vn e´ uma base de V .
(b) {v1, . . . , vn, 0V } e´ uma base de V .
(c) {v1, . . . , vn} = V .
(3) Seja (V,+, ·) o espac¸o vetorial das matrizes 2× 2. Sejam
v1 =
[
1 2
3 0
]
, v2 =
[
1 3
2 0
]
, v1 =
[−1 2
3 0
]
.
(a) O conjunto {v1, v2, v3} e´ L.I.?
(b) Seja v =
[
4 15
15 0
]
. Determine a1, a2, a3 ∈ R tais que v = a1v1 + a2v2 + a3v3.
(c) O vetor v do item (b) pertence ao subespac¸o vetorial [v1, v2, v3]?
(4) Dado o espac¸o vetorial (R3,+, ·), e dados os vetores
v1 = (1, 0, 3), v2 = (2, 1, 0), v3 = (4, 1, 6),
o conjunto {v1, v2, v3} e´ L.I.?
(5) Seja (V,+, ·), onde V = P2 = {a0 + a1X + a2X2 | ai ∈ R}, o espac¸o vetorial dos polinoˆmios a
coeficientes reais de grau ≤ 2.
(a) De´ a definic¸a˜o de base de um espac¸o vetorial.
(b) Sejam v1 = 2 +X, v2 = −X, v3 = 2 +X2. Mostre que β = {v1, v2, v3} e´ uma base de P2.
1
2
(6) Dado o espac¸o vetorial (R3,+, ·), sejam
U = {(a1, a2, a3) | a2 = a3 = 0} ⊆ V,
W = {(a1, a2, a3) | a1 = a3 = 0} ⊆ V.
(a) Mostre que U,W sa˜o subespac¸os vetoriais de V .
(b) Mostre que o subconjunto U ∪W ⊆ V na˜o e´ um subespac¸o vetorial.