Lista de Exercícios 1 - Vetores

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Lista de Exercícios 1 - Álgebra Linear 
 
1) Sejam u = (2, –7, 1), v = (–3, 0, 4) e w = (0, 5, –8). Encontre: 
 a) 3u – 4v 
 b) 2u + 3v - 5w 
2) Se 𝑎 = [3,2,1] e 𝑏 = [1,5,6], solucione a seguinte equação vetorial para 𝑥: 
3𝑎 + 2𝑥 = 5𝑏. 
3) Considere em 𝑅2 o conjunto 𝑆 = {(1,1), (2,2)} 
 a) Mostre que o vetor [−5,− 5] é combinação linear dos vetores de S. 
 b) Mostre que o vetor (1,0) não é combinação linear dos vetores de S. 
c) O conjunto S gera R2? 
4) Encontre x e y tais que valham as igualdades: 
 a) (x, 3) = (2, x + y) 
 b) (4, y) = x.(2, 3) 
5) Escreva o vetor v = (1, –2, 5) como uma combinação linear dos vetores 
u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3) e u3 = (2, –1, 1) 
6) Escreva v= (2, –5, 3) como uma combinação linear de u1 = (1, –3, 2), 
u2 = (2, –4, –1) e u3 = (1, –5, 7) 
7) Obtenha u.v, sendo 
 a) u = (2, –5, 6) e v = (8, 2, –3), 
 b) u = (4, 2, –3, 5, –1) e v = (2, 6, –1, –4, 8) 
8) Mostre que os vetores [2,3,1], [1,0,4], [2,4,1], [0,3,2] são linearmente 
dependentes. 
9) Expresse o polinômio 𝑍 = 𝑡² + 4𝑡 − 3 em 𝑃(𝑡) como uma combinação linear 
dos polinômios 𝑝1 = 𝑡² − 2𝑡 + 5, 𝑝2 = 2𝑡² − 3𝑡 e 𝑝3 = 𝑡 + 1. 
10) Sejam u = (5, 4, 1), v = (3, –4, 1) e w = (1, –2, 3). Quais pares desses 
vetores (se houver) são perpendiculares (ortogonais)? 
 
11) Obtenha k tal que u e v sejam ortogonais, nos casos seguintes. 
 a) u = (1, k, –3) e v = (2, –5, 4), 
 b) u = (2, 3k, –4, 1, 5) e v = (6, –1, 3, 7, 2k). 
12) Encontre ||u||, nos casos (a) u = (3, –12, –4), (b) u = (2, –3, 8, –7) 
13) Normalize 
 a) u = (3, –4), 
 b) v = (4, –2, –3, 8) 
 c) w = (1/2, 2/3, -1/4) 
14) Normalize os seguintes vetores: 𝑇 = (1,−3,4,2) e 𝑊 = (1/2,−1/6,5/6,1/6). 
15) Normalize os vetores pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt 
 
16) Considere os vetores 𝑢 = (1,−2,1) e 𝑣 = (0,−3,4) de 𝑅3. Determine: 
 a) 2𝑢 − 𝑣 
 b) ‖𝑢‖ 
 c) 〈𝑢, 𝑣〉 (Produto Interno entre 𝑢 e 𝑣) 
 d) 𝑑 (𝑢, 𝑣) (Distância entre 𝑢 e 𝑣) e) Normalize v 
17) Sejam 𝐴 = (1,−3,4) e 𝐵 = (3,4,7). Determine: 
 a) cos𝜃, onde 𝜃 é o ângulo entre 𝐴 e 𝐵. 
 
 b) 𝑑(𝐴,𝐵), a distância entre 𝐴 e 𝐵. 
18) Sejam u = (1, –3, 4) e v = (3, 4, 7). Encontre: 
 a) onde θ o ângulo entre u e v; 
 b) a projeção proj(u,v) de u sobre v ; 
 c) a distância d(u,v) entre u e v. 
19) Demonstre os Teorema i), ii), iii) e iv), Dados quaisquer u, v e w em Rn e 
r em R. 
 i) (u + v). w = u.w + v.w, 
 ii) (ru). v = r. (u.v) 
 iii) u.v = v.u 
 iv) u.u 0 e u.u = 0 se, e somente se, u=0. 
20) Determine as coordenadas do vetor 𝑃 de 𝑅2 em relação à base 𝑆 = [𝑢1,𝑢2] 
= [(1,1),(2,3)], onde: 
 a) 𝑃 = (4,−3) 
 b) 𝑃 = (𝑎, 𝑏) 
21) Seja 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3} = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)}. Transforme o conjunto em 
ortonormal pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. 
22) Considere as coordenadas do vetor (9,4) com respeito à base canônica do 
plano. Agora, substitua o vetor (1,0) pelo vetor (1,2). Como mudam as 
coordenadas de (9,4)? 
23) Determine se cada lista de vetores de 𝑅3dada abaixo é ou não linearmente 
dependente: 
a) 𝑢1 = (1,2,5), 𝑢2 = (1,3,1), 𝑢3 = (2,5,7), 𝑢4 = (3,1,4); 
 b) 𝑢 = (1,2,5), 𝑣 = (2,5,1), 𝑤 = (1,5,2); 
c) 𝑢 = (1,2,3), 𝑣 = (0,0,0), 𝑤 = (1,5,6); 
24) Dados 𝑢 = [5,1,3],𝑣 = [3,1,−1],𝑤 = [7,5,8] e 𝑥 = [𝑥1,𝑥2,𝑥3], escreva os 
vetores colunas 𝑢,𝑣,𝑤 e 𝑥, e calcule: 
 a) 𝑢. 𝑣 
 b) 𝑢 + 𝑤 
 c) 𝑥. 𝑥 
 d) 𝑣 + 𝑢 
 e) 𝑣. 𝑤 
 f) 𝑤. 𝑥 
25) Determine k para que 𝑢 e 𝑣 sejam ortogonais, onde: , 
a) 𝑢 = (1, 𝑘, −3) e 𝑣 = (2,−5,4) 
b) 𝑢 = (2,3𝑘, −4,1,5) e 𝑣 = (6,−1,3,7,2𝑘) 
26) Considere as coordenadas do vetor (2,5,4) com respeito à base canônica do 
𝑅3. Determine como mudam as coordenadas deste vetor quando o vetor (1,0,0) é 
substituído pelo vetor (4,3,2).