LISTADEEXERCÍCIOS-2unidade

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EXERCÍCIOS – ÁLGEBRA LINEAR 
2ª UNIDADE (Monitora Vivianne)
1) Verifique se as seguintes funções são transformações lineares:
 a) f: R² 
 R³ e f(x,y) = ( 2x , 0, x + y); 
 b) T : R² 
 R² e T(x,y) = (2x - y , 0); 
 c) T : R² 
 R² e T(x,y) = (x.cosθ - y.senθ , x.senθ + y.cosθ) , com θ ∈ R;
 d) T : R² 
 R² e T(x,y) = (2x² + xy , x);
 e) T : R³ 
 R³ e T(x,y,z) = (x + 3 , x + 2y + z, y – 4z); 
 f) T : R⁴ 
 R² e T(x,y,z,w) = (2x + y – z + w , x + y – 3z);
 g) T : M₂(R) 
 R e ; 
 h) T : M₂(R) 
 R e 
2) Determine as matrizes da transformação de cada uma das seguintes transformações lineares, considerando as bases indicadas:
 a) T : R² 
 R² e T(x,y) = (2x - y , 0) ; base canônica de R²;
 b) T : R³ 
 R³ e T(x,y,z) = (2x – y , 0 , y + z) ; base canônica de R³;
 c) T : R³ 
 R² e T(x,y,z) = (2x , 3x – 2y + z) ; de β = {(1,1,0) , (1,0,1) , (0,1,1)} para γ = {(1,2) , (2,5)};
 d) T : P2 
 R e T(a + bt + ct²) = a + 2b - 3c ; de β = {1 , 1 + t , (1 + t)²} para γ = {3}.
3) Seja 
 a matriz de uma transformação T : R² 
 R² numa dada base α = {v1, v2}. Seja β = {u1, u2} uma outra base de R² tal que u1 = 3v1 + v2 e u2 = 2v1 + v2. Determine a matriz da transformação T da base α para a base β.
4) Seja T[p(x)] = [p(-1) , p(0) , p(1)].
 a) Calcule T(x² + 5x + 6); 
 b) Determine, se existir, . 
5) Seja T : R³ 
 R³ , onde T (1, 0, 0) = (10, 3, −1), T (0, 1, 0) = (5, 3, −4) e T (0, 0, 1) = (4, 6, −10). Determine T (v), onde v = (9, −4, 9). 
6)a) Qual é a transformação linear f: R2 
 R3 tal que f(1,1) = (3,2,1) e f(0,-2) = (0,1,0)?
 b) Ache f(1,0) e f(0,1).
 c) Ache a matriz canônica de f. 
7) Se R(x,y) = ( 2x, x-y, y) e S (x,y,z) = (y-z, z-x);
 a) ache R 
 S; 
 b) ache S 
 R. 
 
8) Sejam, f: R2 
 R3, uma transformação linear. E = {(1,-1), (0,2)} e F= {(1,0,-1), (0,1,2), (1,2,0)} bases de R2 e R³ respectivamente. Ache f(x,y). Sabendo que a matriz de T na base E para a base F é: 1 0
 -1 1
 0 1 
9) Seja T : R² 
 R², onde a matriz da transformação linear na base v1 = (1, 1), v2 = (1, 2) é representada por
. Calcule T (x, y). 
10) Seja T : R³ 
 R³, onde a matriz da transformação linear na base v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1) é representada por . Calcule T (x, y, z). 
11) Seja T uma transformação linear em R³ dada por T(x,y,z) = (z , x-y , -z).
 a) Indique o núcleo de T, a sua dimensão e uma base. 
 b) Determine a dimensão da imagem de R³ dada por T. 
 c) T é sobrejetiva? Justifique. 
12) Seja P2 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Considere a transformação linear 
T : P₂ 
 P₂ definida por T[p(x)] = p(x + 1) – p(x) , ∀ p(x) ∈ P₂ . 
 a)Indique uma base e a dimensão para a imagem de T. 
 b)Determine o núcleo de T, sua dimensão e uma base. 
13) Seja P3 = conjunto dos polinômios com grau menor ou igual à 3.
 a) T : P3 
P3
 f 
f’ (derivada). Mostre que T é linear.
 b) ache Ker(T) e encontre uma base e a dimensão de Ker(T). 
 c) ache a Im(T) e encontre uma base e a dimensão da Im(T). 
14) Seja T : R² 
 R², onde a matriz da transformação linear na base v1 = (1, 1), v2 = (1,−1) é representada por . Calcule bases para Ker(T) e para Im(T). 
15) Calcule bases para Ker(T) e para Im(T) de cada uma das seguintes transformações lineares e verifique se elas são injetivas, sobrejetivas e/ou bijetivas:
 a) T: R² 
 R² e Y(x,y) = ( 2x + y , 2x + y); 
 b) T : R² 
 R³ e T(x,y) = (x + y , x - y , x); 
 c) T : R³ 
 R³ e T(x,y,z) = (x + 2y – z , 2x + 4y – 2z , -x -2y +z); 
 d) T : R³ 
 R² e T(x,y,z) = (x – z , y + z); 
 e) T : R³ 
 R² e T(x,y,z) = (2x + y – 3z , -6x – 3y + 9z); 
 f) T : M2
 R e ;
 g) T : P₂ 
 P₂ e T(a + bt + ct²) = a + c + (b - c)t². 
16) Seja T : R³ 
 R³, onde a matriz da transformação linear na base v1 = (−1, 1, 1), v2 = (1,−1, 1), v3 = (1, 1,−1) é representada por . Calcule bases para Ker(T) e para Im(T). 
17) Seja T : R³ 
 R³, onde a matriz da transformação linear na base canônica de R³ é representada por 
 a) Calcule uma base para o núcleo de T. T é injetiva? 
 b) Calcule uma base para a imagem de T. T é sobrejetiva? 
 c) Resolva a equação T(x, y, z) = (3, 3, 0) 
18) Seja T : R² 
 R², onde a matriz da transformação linear na base v1 = (1, 1), v 2 = (1, 0) é representada por 
 a) Calcule uma base para o núcleo de T. T é injetiva? 
 b) Calcule uma base para a imagem de T. T é sobrejetiva? 
 c) Resolva a equação T(x, y) = (3, 2) 
19) Seja T : R³ 
 R³ a transformação linear definida por T (x, y, z) = (x + y + z, x + 2y − 4z, z) .
 a) Calcule a matriz que representa T na base canônica. 
 b) Mostre que T é bijetiva e calcule 
 c) Resolva a equação linear T(x, y, z) = (1, 1, 2).
 
20) Seja T : P₂ 
 P₂ a transformação linear definida por T(p(t)) = t²p”(t) − 2p(t).
 a) Calcule a matriz que representa T na base {p1(t), p2(t), p3(t)} com p1(t) = 1, p2(t) = t, p3(t) = t².
 b) Calcule uma base para Ker(T) e conclua que T não é injetiva nem sobrejetiva.
21) Ache o polinômio característico de A : 
 
22) Seja 
. 
 a) Determine os autovalores de A e os respectivos autovetores. 
 b) Ache D = P-1.A.P onde P é a matriz coluna dos autovetores. 
23) Seja T : R² 
 R² a transformação linear definida por T(x,y) = (x + y, x + y).
Mostre que os vetores v1 = (1,−1) e v2 = (1, 1) determinam uma base de R² constituída por autovetores de T. Calcule a representação matricial de T nessa base. 
24) Seja T : R² 
 R² a transformação linear definida por T(x, y) = (x + 2y, 3y).
 a) Calcule o polinômio característico de T.
 b) Calcule os autovalores e os subespaços associados aos autovalores de T.
 c) Determine uma base de R² constituída por autovetores de T. Qual é a representação matricial de T nessa base?
 
25) Seja T : R³ 
 R³ a transformação linear definida por T(x, y, z) = (y + z, 2y + z, y + 2z) .
 a) Calcule o polinômio característico de T.
 b) Calcule os autovalores e os subespaços associados aos autovalores de T.
 c) Determine uma base de R³ constituída por autovetores de T. Qual é a representação matricial de T nessa base?
 d) Designanda por A a matriz que representa T na base canônica de R³, determine uma matriz de mudança de base S e uma matriz diagonal D tal que .
26) Seja T : R³ 
 R³ a transformação linear definida por T(x, y, z) = (3x, 2y + z, 2z) .
 a) Calcule o polinômio característico de T.
 b) Calcule os autovalores e os subespaços associados aos autovalores de T.
 c) Mostre que não existe uma base de R³ constituída por autovetores de T.
27)Considere as matrizes:
 
Mostre que todas são diagonalizáveis. 
28)Mostre que é diagonalizável, identificando uma matriz diagonal D e uma matriz de mudança de base S tal que 
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