Cálculo I - Pontos Críticos e Extremos

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Cálculo I - B Tarefa TPAModelo Data:20/09/2024
Turma:TPBXX Grupo:TPBXX - GY
Preencher com os dados dos elementos do grupo presentes
Papel atribúıdo NMEC Nome
Gestor/Portavoz 199999 António Gestor
Escriba/Carteiro 200000 Manuela Escriba
Colaborador 200001 Manuel Colaborador
Colaborador 200002 Antónia Colaboradora
Colaborador
Colaborador
Colaborador
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1. Seja f(x)= |1−x2| com domı́nio D= [−2, 2].
(a) Determine os pontos cŕıticos da função f no interior do domı́nio.
(b) Determine todos os extremos da função f , indicando se são mı́nimos, máximos, locais ou
absolutos
Resolução
1. A função f é cont́ınua no seu domı́nio pois é a composta de duas funções cont́ınuas, a função
módulo e a função quadrática 1− x2. Dado que envolve o módulo, pode considerar-se uma função
por ramos:
f(x) =

1− x2 se −1 ≤ x ≤ 1
x2 − 1 se −2 ≤ x 0 em ] − 1, 0[ e f ′(x) 0 em ]1, 2], e portanto, f é decrescente em [−2,−1[ e crescente em ]1, 2].
Um quadro de sinal ajuda a visualizar o comportamento da derivada e da função no seu
domı́nio.
−2 −1 0 1 2
f ′(x) −4 − ND + 0 − ND + 4
f(x) 3 ↘ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↗ 3
Os extremos do intervalo que define o domı́nio, e que pertencem ao domı́nio, tem que ser
considerados na determinação dos extremos.
A função f tem máximos relativos em (−2, f(−2)) = (−2, 3), (0, f(0)) = (0, 1) e (2, f(2)) =
(2, 3) e o máximo absoluto é 3 e é atingido nos pontos de abcissa x = 2 e x = −2.
O mı́nimo absoluto (e relativo) é 0 e é atingido nos pontos de abcissa x = −1 e x = 1:
f(−1) = f(1) = 0.
Usando o GeoGebra, por exemplo, podemos traçar o gráfico da função f confirmando assim as
nossas respostas.
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