Avaliação II - Individual (Cod 883781)

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O estudo da reta tangente foi a motivação do estudioso Leibniz e é importante para o entendimento da derivada. Tangenciar é tocar uma curva em apenas um ponto. Para defini-la, precisamos saber o ponto em que a reta vai tocar a curva e o seu coeficiente angular.Assinale a alternativa CORRETA, que apresenta a equação da reta tangente à função f(x) = 1/x, no ponto x = 1/2:
A
y = x/4 - 1.
B
y = -x/4 + 1.
C
y = -4x + 4.
D
y = 4x - 4.
2A derivada de uma função, em seu conceito mais teórico, é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente, quando a variável independente sofre uma pequena variação. Desta forma, a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações cruciais sobre o seu comportamento local e global.Assim sendo, seja a função f(t) = t2 + 5t-2, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada:
A
f'(t) = 2t - 10t-1.
B
f'(t) = 2t + 10t-3.
C
f'(t) = 2t + 10t-1.
D
f'(t) = 2t - 10t-3.
3As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, exponenciação e logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação. Assim, dada à derivada de uma função, o processo que consiste em achar a função que a originou, ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação. Baseado nisto, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f'(x) = x³ - x + 2 para todo x e f(1) = 2 e assinale a alternativa CORRETA:
A
I, apenas.
B
III, apenas.
C
II, apenas.
D
IV, apenas.
4No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y=f(x) representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Com relação à questão a seguir, assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a opção II está correta.
B
Somente a opção III está correta.
C
Somente a opção IV está correta.
D
Somente a opção I está correta.
5Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas funções. Sendo assim, considerando o uso adequado da regra da cadeia, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) y = cos(3x), implica em y' = -3·sin(3x). 
( ) y = ln(2x²), implica em y' = 2/x. 
( ) y = tan (x²), implica em y' = sec²(x²). 
( ) y = (2 - x)³, implica em y' = 3·(2 - x)².Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - V - F - F
B
F - F - V - V.
C
V - F - V - V.
D
F - V - F - F.
6A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora. Para determinar ela, podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar, ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa, que em uma de suas partes, diz que g'(y) = 1/f'(x) (a derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x correspondente ao y). Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir. O procedimento é simples: basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função (caso não seja dada), determinar a derivada da função, aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado. Senso assim, determine a derivada da função inversa f(x) = 2x³ - 4x² + 2x - 1 no ponto (2, 3) e assinale a alternativa CORRETA:
A
g'(4) = 1/9.
B
g'(4) = 1/10.
C
g'(4) = 1/8.
D
g'(4) = 1/11.
7A função velocidade é dada pela derivada primeira da função S(t). Para um móvel que se desloca de acordo com a função horária S(t) = 20 + 15 t, sendo S medido em metros e t em segundos, qual o valor de sua velocidade, em metros por segundo?
A
Sua velocidade é de 10 metros por segundo.
B
Sua velocidade é de 20 metros por segundo.
C
Sua velocidade é de 35 metros por segundo.
D
Sua velocidade é de 15 metros por segundo.
8Uma maneira eficiente de encontrar a reta tangente a uma função em um determinado ponto é utilizando a derivada. Como proposto por Leibniz, ao realizar a derivada de uma função em um determinado ponto, encontramos o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a reta tangente da função f(x) = - x³ + 2x + 1 no ponto (-1, 0):
A
y = x + 1.
B
y = -x + 1.
C
y = -x - 1.
D
y = x - 1.
9O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral. O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada. Então, para a equação diferencial y' - y = 2 (ou seja, o dobro da derivada primeira subtraída com a própria função é igual a 2), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
A
V - V - F - F.
B
F - V - V - F.
C
V - F - V - F.
D
F - V - F - V.
10A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade. O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo. Em outros momentos, é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes. Desta forma, sendo a função g(x) = cos(2x) + x-2, assinale a alternativa que apresenta a derivada segunda desta função.
A
g''(x) = -6x-4 – 2·cos(2x)
B
g''(x) = -6x-4 – cos(2x)
C
g''(x) = 6x-4 – 4·cos(2x)
D
g''(x) = 6x-4 – 2·cos(2x)
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