Avaliação I - Individual Calculo III

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GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:990757)
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Prova 89991861
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Nota 10,00
O Teorema de Fubini é uma ferramenta essencial no cálculo de integrais duplas, permitindo que a 
integração sobre uma região bidimensional seja transformada em integrações iteradas 
unidimensionais. Para aplicar o Teorema de Fubini, a função deve ser contínua sobre o domínio de 
integração, que pode ser um retângulo ou uma região mais complexa, em que o teorema garante que a 
ordem de integração possa ser trocada.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
Sobre a aplicação do Teorema de Fubini em integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a 
seguir:
I. O Teorema de Fubini permite a troca da ordem de integração de uma integral dupla quando a 
função é contínua em um domínio retangular.
II. Para aplicar o Teorema de Fubini em domínios não retangulares, a função deve ser contínua em 
toda a região de integração.
III. O Teorema de Fubini é aplicável apenas a domínios retangulares, pois a troca da ordem de 
integração não é garantida em domínios mais complexos.
IV. A troca da ordem de integração pode simplificar o cálculo de integrais duplas, especialmente 
quando os limites de integração são mais facilmente manipuláveis em uma ordem específica.
É correto o que se afirma em:
A I, II e III, apenas.
B I e IV, apenas.
C II e III, apenas.
D I, II e IV, apenas.
E III e IV, apenas.
Considere uma região D do plano cartesiano, na qual a densidade de carga elétrica em qualquer ponto 
(x, y) é descrita pela função δ(x, y). Essa função, contínua e integrável no intervalo considerado, 
representa a quantidade de carga por unidade de área naquele ponto específico. A carga elementar 
correspondente a uma pequena área dxdy em torno do ponto (x, y) é dada por δ(x,y) dxdy. A carga 
total distribuída na região D pode ser obtida através da integração dupla sobre toda a área, conforme a 
expressão:
Fonte: SILVA, M. C. Cálculo Avançado e Aplicações. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 
2015.
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Sendo assim, dada uma região D correspondente a um retângulo, conforme ilustração a seguir:
A distribuição de carga elétrica nessa área é descrita pela função densidade δ(x, y) = 9x²y², expressa 
em Coulombs por metro quadrado (C/m²). Assinale a alternativa correta que apresenta o valor para a 
carga total acumulada na região:
A 519 Coulombs.
B 385 Coulombs.
C 421 Coulombs.
D 342 Coulombs.
E 494 Coulombs.
A resolução de problemas envolvendo integrais duplas frequentemente exige uma compreensão não 
apenas da técnica algébrica, mas também da interpretação geométrica do problema. Suponha que 
você esteja resolvendo uma integral dupla para calcular o volume de um sólido delimitado por 
superfícies no espaço tridimensional. Para tal, considere uma região D no plano xy e uma função 
f(x,y) que define a altura do sólido sobre essa região. Em muitos casos, a função f(x, y) pode 
representar formas geométricas familiares assim como a região D, e reconhecer imediatamente essas 
formas é essencial para agilizar a resolução do problema.
Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:
I. A equação de formato x² + y² + z² = 9 representa uma esfera de raio 3.
II. A região delimitada acima do plano xy, pela equação z² + y² = 1, com 0 ≤ x ≤ 2, representa um 
semicilindro.
III. Seja uma região D definida por 1 ≤ x² + y² ≤ 3, logo, ela é delimitada por dois círculos 
concêntricos de raios 1 e 3.
IV. A função f(x, y) = √(x²+y²) representa geometricamente um cone.
É correto o que se afirma em:
A I, II e IV, apenas.
B II e III, apenas.
C III e IV, apenas.
D I e IV, apenas.
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E I, II e III, apenas.
A integral dupla é uma extensão natural da integral simples para funções de duas variáveis, 
permitindo o cálculo de volumes sob superfícies em um plano. O conceito é amplamente utilizado em 
diversas áreas da matemática e da física para modelar fenômenos em que a dependência espacial é 
crucial.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
Dessa forma, seja a região definida por Dxy = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1} e a função f(x, y) = 
y²x, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. O volume do sólido acima da região D e abaixo da função f é 2/3.
PORQUE
II. Pelos dados fornecidos, a integral que resolve o volume deste sólido é definida por:
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
B A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
C As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E As asserções I e II são falsas.
Para calcular a massa de uma chapa com densidade de massa variável, é fundamental compreender 
como a densidade se distribui ao longo da superfície. A função densidade descreve essa variação, e a 
massa total da chapa é determinada integrando essa função sobre a área da superfície. Assim, para 
calcular a massa, é necessário realizar a integral dupla da função densidade sobre a região definida no 
plano XY. Esse método permite obter a massa total considerando a variação da densidade ao longo de 
toda a chapa.
Dessa forma, para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY, com vértices nos pontos (0, 
0), (3, 0), (0, 4) e (3, 4) todos em centímetros, e cuja densidade de massa por área em qualquer ponto 
P é dada por δ(x, y) = 2x²y em g/cm², assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa 
dessa chapa:
A 198 g.
B 144 g.
C 123 g.
D 167 g.
E 184 g.
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Atenção: Esta questão foi cancelada, porém a pontuação foi considerada.
Em problemas de cálculo integral envolvendo geometria tridimensional, a escolha do sistema de 
coordenadas adequado é essencial para a simplificação do cálculo. Quando a região de integração 
possui simetria axial, como cilindros e cones, o uso de coordenadas cilíndricas pode facilitar 
significativamente a resolução das integrais triplas.
Fonte: BORGES, E. M.; RUGGIERO, M. A. Cálculo Volume 2. São Paulo: Editora Pearson, 2010.
Podemos entender que, ao realizar a conversão de coordenadas cartesianas para cilíndricas, surgem 
novos parâmetros específicos. Sobre esses parâmetros, assinale a alternativa correta:
A As coordenadas cilíndricas são descritas pelos parâmetros distância radial, ângulo azimutal e
altura.
B As coordenadas cilíndricas utilizam os parâmetros raio, ângulo e profundidade.
C As coordenadas cilíndricas são definidas pelos parâmetros raio, ângulo e altura.
D Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o comprimento radial, o ângulo de inclinação e a
altura.
E Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o ângulo azimutal, o raio radial e a coordenada
vertical.
Além de calcular integrais duplas em regiões retangulares, é possível aplicar integrais duplas em 
regiões não retangulares, que podem exigir uma abordagem mais detalhada. Essas regiões podem ser 
divididas em dois tipos principais para facilitar a integração:
• Tipo I: quando a região é delimitada por duas funções de y, com x variando dentro de um intervalo 
fixo. Nesse caso, y varia entre duas funções específicas, enquanto x permanece constante dentro de 
um intervalo definido.
• Tipo II: quando a região é delimitada por duas funções de x, com y variando dentro de um intervalo 
fixo. Aqui, x varia entre duas funções específicas, enquanto y permanece constante dentro de um 
intervalo definido.
Essas categorias ajudam a adaptar a técnica de integração à forma da região de interesse, tornando o 
processo de cálculo mais eficiente em contextos variados.
Considerea região D delimitada pelo eixo das abscissas e pelas retas y = x e x + 2y = 3. Dessa forma, 
sobre essa região D e a função f(x, y) = 2xy² e as relações entre a área de D e o sólido gerado sobre a 
região D e abaixo da superfície definido em f, analise as afirmativas a seguir:
I. A região D possui área igual a 5/2.
II. A área da região D pode ser determinado pela integral dupla com 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 3 – 2y e 
aplicando f(x, y) = 1.
III. Para determinar o volume do sólido gerado pelo tipo I nas integrais duplas, há a necessidade de 
separar a integral em duas partes.
IV. O volume do sólido gerado sobre a região D e abaixo da superfície definido em f é igual a 3/5.
É correto o que se afirma em:
A III e IV, apenas.
B II e III, apenas.
C I, II e III, apenas.
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D I e IV, apenas.
E II, III e IV, apenas.
Em cálculo de integrais múltiplas, a mudança de variável é uma técnica que transforma a integral 
sobre um domínio complexo em uma integral sobre um domínio mais simples ou mais conveniente. 
Para implementar essa mudança, utiliza-se um mapeamento de coordenadas que facilita o cálculo. O 
determinante do Jacobiano da transformação ajusta o volume ou a área no novo sistema de 
coordenadas. Essa técnica é comum em física e engenharia para resolver problemas de simetria 
circular ou esférica.
Fonte: THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo: volume 2. 13. ed. São Paulo: Pearson, 
2015.
Sobre a mudança de variável em integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir:
I. A mudança de variável em integrais múltiplas é usada apenas para simplificar a função integrada, 
sem modificar a forma do domínio de integração.
II. Em coordenadas esféricas, a função x² + y² + z² se transforma em ρ².
III. Coordenadas polares são especialmente úteis para integrais duplas sobre regiões circulares, pois 
simplificam a função integrada e os limites de integração.
IV. A coordenada Φ em coordenadas esféricas representa a distância radial do ponto à origem.
É correto o que se afirma em:
A I e IV, apenas.
B II e III, apenas.
C I, II e III, apenas.
D I e III, apenas.
E II, III e IV, apenas.
A mudança de variáveis para coordenadas polares é uma técnica eficaz para simplificar a integração 
sobre domínios com simetria circular ou radial. Nesse sistema de coordenadas, um ponto no plano é 
representado por (r, θ), em que r é a distância do ponto à origem e θ é o ângulo medido a partir do 
eixo x. O diferencial de área em coordenadas polares é dado por dA = rdrdθ, e essa transformação é 
particularmente útil para integrais sobre regiões que são circulares ou possuem bordas curvas que se 
alinham com as coordenadas polares.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 1. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
Vejamos no gráfico a seguir, a representação de uma região R a ser utilizada em uma integral dupla 
para uma certa função f:
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Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:
I. A região R possui em uma das limitações uma circunferência de equação x² + y² = 3, limitada no 
semiplano superior.
II. Realizando a mudança de variável sobre a região R, teremos o raio variando em 1 ≤ r ≤ 3 e o 
ângulo 0 ≤ θ ≤ π.
III. O Jacobiano para a mudança de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (θ, r) é r.
IV. A circunferência de equação x² + y² = 1 delimita uma das fronteiras da região R, que está restrita 
ao semiplano superior.
É correto o que se afirma em:
A I e III, apenas.
B I, II e III, apenas.
C II e IV, apenas.
D III e IV, apenas.
E I, II e IV, apenas.
Quando a função f(x, y) é igual a 1 em toda a região D no plano, o cálculo da integral dupla sobre 
essa região se resume a encontrar a área de D. Isso ocorre porque, com f(x, y) = 1, a função não 
adiciona nenhuma variação à medida que percorremos a região, o que significa que estamos 
simplesmente somando as pequenas áreas que compõem D. Por exemplo, se a região D for um 
retângulo, o resultado do cálculo será a área desse retângulo, que pode ser obtida multiplicando a 
largura pela altura. De maneira geral, quando a função é constante e igual a 1, o processo de 
integração sobre uma região plana equivale a determinar a área dessa região.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
Dessa forma, seja a região D delimitada pelas curvas y = 2x² e y = 6x, avalie as asserções a seguir e a 
relação proposta entre elas:
I. Podemos determinar a área delimitada região D utilizando uma integral dupla, o qual resultará em 
6.
PORQUE
II. Considerando f(x, y) = 1, a área de região D pode ser determinada pela integral dupla 
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A
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As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
B A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
C A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
D As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
E As asserções I e II são falsas.
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