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INTEGRAIS DUPLAS Danilo Sande Santos SUMÁRIO ¢ Definição e interpretação geométrica; ¢ Propriedades das Integrais duplas; ¢ Cálculo das integrais duplas; ¢ Mudança de variáveis nas integrais duplas; ¢ Integrais duplas em coordenadas polares; ¢ Aplicações de Integrais Duplas; ¢ Referências. DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Uma integral dupla de uma função positiva é um volume, que é o limite das somas dos volumes de colunas retangulares. DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Vamos considerar uma função z = f(x,y) positiva, definida em uma região fechada e limitada R do plano xy. z = f (x, y) Traçando retas paralelas aos eixos x e y, cobrimos a região R com pequenos retângulos. DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Vamos considerar somente os retângulos Ri totalmente contidos em R, numerando-os de 1 até n. Escolhendo um ponto (xi,yi) em um dado retângulo Ri, podemos calcular o volume aproximado entre z = f(x,y) e esse retângulo. V ≈ f (xi, yi )ΔAi = f (xi, yi )ΔxiΔyi DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Somando o volume de todos os prismas retos gerados como os da figura anterior, temos uma aproximação do volume do espaço entre a função e o plano xy. V ≈ f (xi, yi )ΔxiΔyi i=1 n ∑ DEFINIÇÃO E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Tomando o limite dessa soma, quando o número de retângulo tende para infinito, obtemos o volume delimitado pela função z = f(x,y) e o plano xy. V = lim n→∞ f (xi, yi )ΔxiΔyi i=1 n ∑ = f (x, y)dxdy R ∫∫ PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS Supondo f(x,y) e g(x,y) contínuas sobre a região R: a) kf (x, y)dA = k f (x, y)dA R ∫∫ R ∫∫ b) [ f (x, y)+ g(x, y)]dA = f (x, y)dA R ∫∫ + g(x, y)dA R ∫∫ R ∫∫ Se f(x,y) ≥ g(x,y) para todo (x,y) pertencente `a R, então: c) f (x, y)dA R ∫∫ ≥ g(x, y)dA R ∫∫ Se f(x,y) ≥ 0 para todo (x,y) pertencente `a R, então: d) f (x, y)dA R ∫∫ ≥ 0 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS Se a região R é composta de duas sub-regiões R1 e R2 que não possuem pontos em comum, exceto possivelmente os pontos de suas fronteiras, então: e) f (x, y)dA = f (x, y)dA R1 ∫∫ + f (x, y)dA R2 ∫∫ R ∫∫ CÁLCULO DAS INTEGRAIS DUPLAS A região de integração pode ser basicamente de dois tipos: Teorema de Fubini: 1- Se R é definida por a ≤ x ≤ b e f1(x) ≤ y ≤ f2(x), onde f1(x) e f2(x) são contínuas em [a,b], então: f (x, y)dA = f (x, y)dydx f1(x ) f2 (x ) ∫ a b ∫ R ∫∫ CÁLCULO DAS INTEGRAIS DUPLAS 2 Se R é definida por c ≤ y ≤ d e g1(y) ≤ x ≤ g2(y), onde g1(y) e g2(y) são contínuas em [c,d], então: f (x, y)dA = f (x, y)dxdy g1(y) g2 (y) ∫ c d ∫ R ∫∫ CÁLCULO DAS INTEGRAIS DUPLAS CÁLCULO DAS INTEGRAIS DUPLAS Exemplo 2: Calcular a integral , onde R é a região limitada por y = x2 e y = 2x. I = (x + y)dA R ∫∫ CÁLCULO DAS INTEGRAIS DUPLAS Exemplo 3: Calcule a integral I = e−y 2 dydx 4x 4 ∫ 0 1 ∫ CÁLCULO DAS INTEGRAIS DUPLAS Exemplo 4: Descreva e inverta a região de integração da Integral: I = f (x, y)dydx − 4−x2 4−x2 ∫ −2 2 ∫ Exemplo 5: Calcular , onde R é o triângulo OAB da figura. I = xydA R ∫∫ MUDANÇA DE VARIÁVEIS NA INTEGRAL DUPLA A mudança de variáveis na integração de funções de uma variável é dada por: f (x)dx = a b ∫ f (g(t))g '(t)dt c d ∫ x = g(t) , onde a = g(c) e b = g(d) Para integrais duplas, podemos realizar a mudança de variáveis: x = x(u,v) y = y(u,v) Desse modo, uma uma integral dupla sobre a região R do plano xy pode ser transformada em uma integral dupla sobre uma região R’ do plano uv. MUDANÇA DE VARIÁVEIS NA INTEGRAL DUPLA Considerando u, v, x e y contínuas, com derivadas parciais contínuas em R’ e R, temos: f (x, y)dxdy = R ∫∫ f (x(u,v), y(u,v)) ∂(x, y) ∂(u,v) dudvR '∫∫ ∂(x, y) ∂(u,v) = ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v , onde é o determinante Jacobiano de x e y em relação a u e v. INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Em coordenadas polares: x = rcosθ y = rsenθ è ∂(x, y) ∂(r,θ ) = ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂y ∂r ∂y ∂θ = cosθ −rsenθsinθ rcosθ = r Desse modo, a integral dupla em coordenadas polares fica: f (x, y)dxdy = R ∫∫ f (rcosθ, rsenθ )r dr dθ R ' ∫∫ 0 ≤θ ≤ 2π −π ≤θ ≤ π , com Interpretação geométrica em coordenadas polares: R’ e R se relacionam pela transformação de coordenadas Dividindo R’ em pequenos retângulos, pelas retas r = constante, θ = constante, R fica dividido em retângulos polares. INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Interpretação geométrica em coordenadas polares: O Retângulo de área ΔA’ =ΔrΔθ, na região R’, está em correspondência com o retângulo polar de área ΔA, na região R. INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES 2π −−−πR2 α −−−−x x = 12αR 2 ΔA = 12 (r +Δr) 2Δθ − 1 2 r 2Δθ ΔA = 12 [(r +Δr) 2 − r2 ] ΔA = [r + (r +Δr)]2 ΔrΔθ ΔA = rΔA ' è é o raio médio entre r e r +Δr, se Δr tender a 0, então: r f (x, y)dA = R ∫∫ f (rcosθ, rsenθ )r dA ' R ' ∫∫ f (x, y)dxdy = R ∫∫ f (rcosθ, rsenθ )r dr dθ R ' ∫∫ INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Exemplo 1: Calcular , sendo R o círculo de centro na origem e raio 2. x2 + y2 dxdy R ∫∫ Exemplo 2: Calcular , onde R é delimitada por e . ex2+y2 dxdy R ∫∫ x2 + y2 = 4 x2 + y2 = 9 INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Exemplo 3: Usando coordenadas polares, escreva na forma de uma integral iterada, a integral: f (x, y)dxdy R ∫∫ , onde R é a região delimitada por x2 + y2 − ay = 0, a > 0 INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Exemplo 4: Calcular [(x − 2)2 + (y− 2)2 ]dxdy R ∫∫ , onde R é a região delimitada (x − 2)2 + (y− 2)2 = 4pela circunferência . z = (x − 2)2 + (y− 2)2 (x − 2)2 + (y− 2)2 = 4 *Não confundir uma função no espaço com uma curva no plano. z ≠ 4è INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS Vimos que para f(x,y) ≥ 0, a integral é o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f(x,y), inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. V = f (x, y)dA R ∫∫ Exemplo 1: Calcule o volume do sólido acima do plano xy e delimitado por z = 4 – 2x2 – 2y2. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS Exemplo 2: Calcule o volume do sólido delimitado por y + z = 2 e pelo cilindro que contorna a região delimitada por y = x2 e x = y2, no primeiro octante. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS Quando um sólido é determinado por duas superfícies z1 = f(x,y) e z2 = g(x,y) com z1 ≥ z2. O volume será dado por: V = [ f (x, y)− g(x, y)] R ∫∫ dxdy , onde R é a projeção do sólido sobre o plano xy. Exemplo 3: Calcule o volume do sólido delimitado por z = 2x2 + y2 e z = 4 – 2x2 – y2. APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS O Volume é dado por , se fizermos f(x,y) = 1, temos: V = f (x, y)dA R ∫∫ A = dA R ∫∫ , que é a área da região de integração R. A = dA = dydx f1(x ) f2 (x ) ∫ a b ∫ R ∫∫ = [ f2 (x)− f1(x)]dx a b ∫ Analisando para uma região do tipo 1: APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLAS Exemplo 1: Calcule a área da região R delimitada por e . x = y2 +1 x + y = 3 Exemplo 2: Mostrar, usando integrais duplas, que a área delimitada por uma elipse com semi-eixos a e b é πab. REFERÊNCIAS ¢ GONÇALVES, M. B. e FLEMMING, D. M., Cálculo B: Funções de Várias Variáveis, Integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. 2ª Edição. Editora Makron Books do Brasil, São Paulo, 2007. ¢ STEWART J, Cálculo, volume 2. Tradução da 6ª edição norte americana. Editora Cengage Learning, São Paulo, 2013.
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