logica do aprendizado avançado 15QY

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Portanto, a derivada da função f(x) = 3x^2 + 5x - 2 é f'(x) = 6x + 5, que corresponde à 
alternativa a). 
 
Questão: Qual é a derivada da função \(f(x) = e^x \cdot \sin(x)\)? 
 
a) \(e^x \cdot \cos(x)\) 
 
b) \(e^x \cdot (\sin(x) + \cos(x))\) 
 
c) \(e^x \cdot \sin(x) + e^x \cdot \cos(x)\) 
 
d) \(e^x \cdot (-\sin(x) + \cos(x))\) 
 
Resposta: c) \(e^x \cdot \sin(x) + e^x \cdot \cos(x)\) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \(f(x) = e^x \cdot \sin(x)\), utilizamos a 
regra do produto da derivada. A função \(e^x\) tem como derivada ela própria (\(e^x\)), e 
a derivada de \(\sin(x)\) é \(\cos(x)\). Então, aplicando a regra do produto, temos: 
 
\[f'(x) = e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x = e^x \cdot \cos(x) + e^x \cdot \sin(x) = e^x 
(\sin(x) + \cos(x))\] 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra c), \(e^x \cdot \sin(x) + e^x \cdot \cos(x)\). 
 
Questão: Qual é a derivada da função \( f(x) = \sin(x) \cdot e^x \)? 
 
Alternativas: 
a) \( \cos(x) \cdot e^x \) 
b) \( \sin(x) \cdot e^x + \cos(x) \cdot e^x \) 
c) \( - \sin(x) \cdot e^x \) 
d) \( \cos(x) \cdot e^x + e^x \) 
 
Resposta: b) \( \sin(x) \cdot e^x + \cos(x) \cdot e^x \) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \sin(x) \cdot e^x \), utilizamos a 
regra do produto da derivada. Seja \( u(x) = \sin(x) \) e \( v(x) = e^x \), então a derivada de 
\( f(x) \) é dada por \( f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \). Calculando as derivadas, 
temos \( u'(x) = \cos(x) \) e \( v'(x) = e^x \). Substituindo na fórmula, obtemos a derivada 
de \( f(x) \) como \( \cos(x) \cdot e^x + \sin(x) \cdot e^x \), que corresponde à alternativa 
b). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 4? 
Alternativas: 
a) f'(x) = 3x^2 + 4x - 3 
b) f'(x) = 3x^2 + 4x + 3 
c) f'(x) = 4x^2 + 3x - 2 
d) f'(x) = 3x^2 - 4x + 3 
Resposta: a) f'(x) = 3x^2 + 4x - 3 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 4, devemos derivar 
termo a termo. Assim, a derivada de x^3 é 3x^2, a derivada de 2x^2 é 4x, a derivada de -3x é 
-3 e a derivada de 4 é 0 (a derivada de uma constante é sempre zero). Portanto, a derivada 
de f(x) é f'(x) = 3x^2 + 4x - 3. A alternativa correta é a letra a). 
 
Questão: Qual é o valor da integral definida de sen(x) de 0 a pi? 
 
Alternativas: 
a) 0 
b) pi 
c) -pi 
d) 2 
 
Resposta: a) 0 
 
Explicação: Para encontrar o valor da integral definida de sen(x) de 0 a pi, primeiro 
calculamos a integral indefinida de sen(x), que é -cos(x). Em seguida, substituímos os 
limites de integração na integral indefinida e subtraímos, ou seja, calculamos -cos(pi) - (-
cos(0)). Como cos(pi) = -1 e cos(0) = 1, temos -(-1) - 1 = 0 - (-1) = 0 + 1 = 1. Portanto, o valor 
da integral definida de sen(x) de 0 a pi é 0. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = ln(x) - x^2? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 1/x - 2x 
b) f'(x) = 1/x - 2x^2 
c) f'(x) = 1/x - 2 
d) f'(x) = 1/x - 2x^3 
 
Resposta: a) f'(x) = 1/x - 2x