Cálculo de Derivadas e Máximos

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UNICESUMAR - CENTRO UNIVERSITÁRIO CESUMAR
PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
QUESTÃO 01 | Objetiva Código: 69231
Em matemática, uma derivada parcial de uma função de várias variáveis é a sua derivada com respeito a uma
daquelas variáveis, com as outras variáveis mantidas constantes. Este conceito é útil no cálculo vectorial e geometria
diferencial. Neste sentido, dada a função f(x, y) = x2 - x.y + 2y2 , determine a derivada parcial de segunda ordem fxx .
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Derivadas Parciais", na página 85, da unidade III do livro Cálculo Diferencial e Integral II.
Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
Faça a derivada parcial em x e posteriormente derive novamente parcialmente em x, assim teremos fx = 2x - y e fxx =
2.
A 1.
B 2.
C - 1.
D 2x.
E 2x - y.
QUESTÃO 02 | Objetiva Código: 69236
As equações podem ser escritas de forma explícita, ou seja, a variável dependente y está isolada, ou de
forma implícita, onde a variável dependente y não está isolada. Neste sentido, calcule dz/dt para z = sen (xy), dado que
x = 3t e y = t2 .
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Regra da Cadeia", na página 96, da unidade III do livro Cálculo Diferencial e Integral II.
Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
Temos z=sen(xy) com x=3t e y=t², assim z = sen(3t.t²) = sen(3t³). Aplicando a derivada obtemos dz/dt =
d(sen(3t³))/dt.
Pela regra da cadeia, temos dz/dt = cos(3t³).3.3t² = cos(3t³).9t² = 9t².cos(3t³).
A 9t2.sen( t3 ).
B t2.cos( 3t3 ).
C 9t2.cos( t3 ).
D 9t2.cos( 3t3 ).
E 9t2.sen(3 t3 ).
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PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
QUESTÃO 03 | Objetiva Código: 69262
Em economia, a utilidade de quantidades x e y de dois bens de capital G1 e G2 é, algumas vezes, medida por uma
função U(x, y). Por exemplo, G1 e G2 podem ser dois produtos químicos que uma indústria farmacêutica precisa ter à
mão e U(x, y), o lucro da manufatura de um produto cuja síntese necessita de quantidades diferentes dos produtos
químicos, dependendo do processo utilizado. Se G1 custa "a" dólares por quilograma, G2 custa "b" dólares por
quilograma e a quantidade total destinada à compra de G1 e G2 juntos é "c" dólares, então os administradores de
empresa querem maximizar U(x, y), dado que "ax + by = c". Assim, eles precisam resolver um problema típico de
multiplicadores de Lagrange. Dessa forma, suponha que U(x, y) = xy + 2x e que a equação "ax + by = c" seja
simplificada para "2x + y = 30", assinale a alternativa que indica o valor máximo de U com relação aos valores de x e y
sujeitos a essa restrição.
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Multiplicadores de Lagrange", na página 119, da unidade III do livro Cálculo Diferencial e
Integral II. Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
A 32.
B 82.
C 64.
D 128.
E 256.
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QUESTÃO 04 | Objetiva Código: 118833
A derivada direcional da função f (x, y, z) = 4x2eyz no ponto (-1, 0, 3) na direção do vetor v = 2i - j + 2k é igual a:
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Derivadas Direcionais", na página 111, da unidade III do livro Cálculo Diferencial e Integral
II. Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
A
.
B
.
C
.
D
.
E
.
QUESTÃO 05 | Objetiva Código: 118836
Considere as funções f(x, y) = x2 + 2y2 e g(x, y) = x2 + y2 - 1. Calcule os valores extremos de f sob a restrição g.
Resposta esperada:
Resposta presente no tópico "Multiplicadores de Lagrange", na página 119, da unidade III do livro Cálculo Diferencial e
Integral II. Doherty Andrade. Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 257 p.
Temos que f(x,y)=x²+2y² e desejamos encontrar seus extremos sob a restrição g(x,y)=x²+y²-1. Por definição que ∇f =
(2x,4y) e ∇g = (2x,2y) e pelo metodo dos multiplicadores de Lagrange, se f(x,y) e g(x,y) forem representadas por
superficies de nível obtidas igualando ambas as funções a zero, então os vetores gradientes serão paralelos onde as
superfícies tocarem. Em qualquer ponto de contato deveria ser possivel encontrar um k escalar tal que ∇f = k∇g, ou
seja, (2x,4y) = k(2x,2y).
Assim temos um sistema formado por três equações: 2x=2xk, 4y=2yk e x²+y²=1, pois para g(x,y)=0, temos x²+y²=1.
Note que: 2x=2xk => 2x-2xk=0 => 2x(1-k)=0 => x=0 ou k=1 e 4y=2yk => 4y-2yk=0 => 2y(2-k)=0 => y=0 ou k=2.
Substituindo os valores encontrados em nossa restrição x²+y²=1, obtemos os pontos A=(0,1), B=(0,-1), C=(1,0) e D=(-
1,0) e substitutindo na f(x,y) teremos f(0,1)=2, f(0,-1)=2, f(1,0)=1 e f(-1,0)=1. Assim temos que o máximo é igual a 2
e o mínimo é igual a 1.
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PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
A O máximo é igual a 1 e o mínimo é igual a 0.
B O máximo é igual a 2 e o mínimo é igual a 0.
C O máximo é igual a 3 e o mínimo é igual a 0.
D O máximo é igual a 2 e o mínimo é igual a 1.
E O máximo é igual a 3 e o mínimo é igual a 1.
QUESTÃO 06 | Objetiva Código: 179341
.
Resposta esperada:
ANDRADE, Doherty. Cálculo Diferencial e Integral II. Maringá: UniCesumar, 2016. [Unidade IV].
 
A
B
C
D
E
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PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
QUESTÃO 07 | Objetiva Código: 179343
.
Resposta esperada:
ANDRADE, Doherty. Cálculo Diferencial e Integral II. Maringá: UniCesumar, 2016. [Unidade III].
 
A
B
C
D
E
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PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
QUESTÃO 08 | Objetiva Código: 179344
.
Resposta esperada:
ANDRADE, Doherty. Cálculo Diferencial e Integral II. Maringá: UniCesumar, 2016. [Unidade III].
 
A z=x+y+1.
B z=-x+y+3.
C z=4x-2y+1.
D z=4x+2y-3.
E z=-4x+2y+5.
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PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
QUESTÃO 09 | Objetiva Código: 179346
.
Resposta esperada:
ANDRADE, Doherty. Cálculo Diferencial e Integral II. Maringá: UniCesumar, 2016. [Unidade III].
A
B
C
D
E
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PRÉ-VISUALIZAÇÃO DE QUESTÕES
QUESTÃO 10 | Objetiva Código: 179362
Utilizando o método dos Multiplicadores de Lagrange, encontre as dimensões do jardim retangular de maior área que
pode ser cercado com 200m de cerca.
Resposta esperada:
ANDRADE, Doherty. Cálculo Diferencial e Integral II. Maringá: UniCesumar, 2016. [Unidade III].
A 50m e 50m.
B 60m e 40m.
C 75m e 25m.
D 100m e 50m.
E 100m e 100m.